erster Ansatz: Kurve durch Polygon approximieren

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1 6. Modelle für Kurve erser Asaz: Kurve durch Polygo approxmere Polygoe sd sückwese leare Approxmaoe für Kurve bzw. Fläche Nachele: hohe Zahl vo Eckpuke für geaue Repräseao erforderlch erakve Mapulao schwerg Suche ach kompakere ud efacher mapulerbare Repräseaoe "Freformfläche", -kurve sbesodere: sückwese polyomale Kurve bzw. Fläche Geschchlcher Hergrud: ab ca Aweduge vo Freformfläche m CAD-Berech, sbes. m Auomobl-Karosserebau Perre Bézer (Reaul): paramersche Repräseao auf der Bass vo Berse- Polyome: Sysem UNISURF P. de Caseljau (Croe)

2 Exkurs: Welche Repräseaoe vo Kurve ud Fläche gb es? (Krömker)

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4 Defo eer 3D-Kurve durch sückwese Spezfkao dreer kubscher Polyome x(), y(), z() m dem Parameer.

5 Polyom-Ierpolao:

6 Durchführug der Polyom-Ierpolao: Ee mels der Süzpuke gewchee Summe vo sog. Lagrage-Polyome lefer geau das Polyom, das durch alle P verläuf (Lagrage-Ierpolao): Q( ) ( P : gegebee m L, 0 ( ) P L j 0 j, ( ) Puke, j j. : espr. Süzselle, 0,1,..., ) De Lagrage-Polyome L, () habe de Egeschaf, a der Süzselle de Wer 1 zu lefer ud a alle adere Süzselle 0: be Hzufüge ees weere Süzpukes müsse alle Koeffzee eu bereche werde "globales Verfahre": be eer lokale Äderug, z.b. ees ezele Süzpukes, ka sch de Gesal der gaze Kurve äder geereller Nachel der Ierpolao m Polyome höhere Grades: Oszllaoe

7 Bespel: Ierpolao des Fukosgraphe vo y 1/(1+x 2 ) zwsche 5 ud 5 Polyom 4. Grades Polyom 7. Grades

8 Polyom 14. Grades weerer Nachel: be der Ierpolao durch e Polyom - e Grades wech de Tagee sellewese sark vo der Tagee der darzusellede Kurve ab Abhlfe für de leze Puk: ma gb ebe de Süzpuke auch de erse m Ableuge a de Süzpuke vor ud wähl das Polyom so, dass auch dese überesmme. für ezeles Kurvesegme: gegebe: P (k) (k) 0, P 1 (k 0; 1;...; m) (Were der Ableuge a de bede Süzselle). Der Parameerberech se [ 0, 1 ] ( 0 < 1 ). Asaz für deses Segme: 1 m 0 k 0 ( k ) ( ), [, ] Q ( ) P H, k 0 1 dar sd de H,k () de sog. Herme-Ierpolaospolyome vom Grad 2m+1.

9 Das folgede Dagramm zeg de Herme-Polyome vom Grad 3 über dem Iervall [0; 1] (her m 0; 1; 2; 3 dzer, espr. H 0,0, H 0,1, H 1,1, H 1,0 ): Durch de Vorgabe der Ableuge, sbes. der erse Ableug (Tageevekor), ka der Kurveverlauf besser geseuer werde als alle durch de Posoe a de Süzselle: a) Varao der Läge des Tageevekors m Afagspuk des Kurvesegmes b) de Rchuge der bede Tagee de Edpuke werde varer

10 zur Vermedug vo Oszllaoe ud globale Auswrkuge be lokale Äderuge: Zerlegug Telervalle m verschedee, ur begrez voeader abhägge Ierpolaoskurve Idee der Sple-Kurve Sples sple (egl.): düer Sab, vo Schffsbauer beuz, um de rchge Form der "srger" zu kosruere (Plake, de Schffs-Lägsrchug quer zu de Spae agebrach werde ud de Außewad des Rumpfes blde) Espr. deusches Wor: "Sraklae", daher der älere d. L. für Splefukoe z.t. auch "Srakfukoe". See 0,..., R, 0 < 1 <... <, Fuko S def. auf [ 0, ]. Def.: S heß Splefuko der Ordug k (oder vom Grad k 1), we gl: (1) S s jedem Telervall [ r, r+1 ] e Polyom vom Grad k 1. (2) S ud de Ableuge S (m), m 1;...; k 2, sd seg auf [ 0, ]. S heß Sub-Splefuko, we (1) gl, S seg s, (2) aber ch gl. Kubsche Sples k 4, also Polyomsegmee vom Grad 3, zwemal seg dfferezerbar.

11 Ee kubsche Splefuko beschreb äherugswese de Begele ees düe Sabes durch ee vorgegebee Rehe vo fese Süzhake. (Lösug d. Euler-Lagrage-Glechug, Varaosrechug, s. Hoschek & Lasser 1992) Kubsche Sples beuze auf de Telervalle Herme- Ierpolaospolyome vom Grad 3 2m+1 (m 1). Gegebe: +1 Puke P r (0), r 0;...; ( > 0); Süzselle a 0 < 1 < 2 <...< b. Auf dem Telervall [ r, r+1 ]: Herme-Ierpolao 3. Grades Q r r r k 0 ( k ) 3 2 ( ) ( ; ; ;1) M ( [, ]) ( ) P H, k H r r + 1 dar s M H de sog. Herme-Marx (4,3-Marx) (beache: de P (k) werde her als Zelevekore erpreer!) M H s uabhägg vo. De Berechug vo M H erfolg durch Eseze vo r ud r+1 de obge Glechug ud de emal dfferezere Verso der obge Glechug. Daraus lasse sch de Herme-Polyome, ud dam de Splefuko, bereche. Ee explze Vorgabe der 1. Ableuge auch de ere Süzselle s. allg. ch svoll fordere sadesse: Segke der 1. Ableug (sehe Def. der Sple-Fukoe) 2 Were bslag ubesmm (für jedes Segme de 1. Ableuge de bede Edpuke) Segkesforderug lefer 1 weere Bedguge +1 Koeffzee mmer och ubesmm

12 fordere zusäzlch de Segke der 2. Ableug lefer 1 weere Bedguge 2 Koeffzee mmer och ubesmm ma gb de 1. Ableug de Edpuke vor lefer Besmmugsglechuge für de reslche 2 Koeffzee Berechug der Koeffzee für de kubsche Polyome de Telervalle läuf auf Löse ees l. Glechugssysems heraus! Zusammefassug zur sückwese Polyom-Ierpolao (gl espreched auch für Approxmaosasäze):

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14 Approxmaosverfahre für de Kurvedarsellug (a) Bézer-Kurve spezelle Form polyomaler Kurve spezfzer durch +1 Korollpuke P 0, P 1,..., P Kurve läuf ch durch alle Korollpuke, soder wrd vo he beefluss! Der Korollpuk P wrd durch das sogeae -e Berse-Polyom gewche: Q ( ) 0 P B, ( ) 12 3 "Berse - Polyome", [0;1] Defo: dar s der Vorfakor der bekae Bomalkoeffze:!!( )! Bersepolyome vom Grad 4 (uerer Idex ):

15 Egeschafe: Es gl:, B 0 [0;1] 1 ) ( Bewes: +, B )) (1 ( ) (1 ) ( ( ach dem bomsche Saz) De approxmerede Kurve Q() leg erhalb der kovexe Hülle der Korollpuke P 0,..., P 2: 3: Für de Sorerug ach -Poeze def. ma: j j j j j j P j P j Q ) 1 ( 1) ( : 0 0, da gl: [0;1]) ( ) ( 0, Q Q

16 De Berechug der Q, aus de Korollpuke läss sch Marxschrebwese zusammefasse: Q Q M Q 0, 1,, M P P M P 0 1, ( M ), j ( 1) j j ( 0 j für j > ) be +1 vorgegebee Korollpuke s Q() Polyom -e Grades m Q(0) P 0 ud Q(1) P, also Überesmmug m de Korollpuke am Rad de Kae P 0 P 1 ud de Kae P 1 P sd Tagee a Q m Puk Q(0) bzw. Q(1) ud zege Rchug der Dfferez zum Nachbarpuk: dq d für 0: dq d 1 Q, 1 0 Q 1, ( P0 + P1 für 1 espreched. ) das Verfahre ha globale Charaker: Efüge vo zusäzlche Korollpuke bedg höhere Grad des approxmerede Polyoms ud egere Alehug a das Polygo der Korollpuke ("charakerssches Polygo").

17 zum Aeaderfüge zweer Bézer-Kurve m seg dfferezerbarem Übergag müsse de esprechede Edsücke der charakerssche Polygoe kollear se. Bespele verschedeer Bézer-Kurve m hre charakerssche Polygoe (Korollpuke):

18 Berechug vo Puke auf der Bézer-Kurve: erav edlch vele Schre möglch Algorhmus vo de Caseljau Ialserug: b 0 P für 0,..., Ierao: k 1,..., : k,..., : b k (1 ) b 1 k 1 + b k 1 Ergebs: Q() b. (hochgeselle Zahl her ke Expoe, soder Idex.) Veraschaulchug des Recheschemas (her b P, X() Q()): Esprechede geomersche Kosruko ees Pukes zum Parameerwer auf der Kurve: Telug der Kae des charakerssche Polygos m Verhäls : (1 ), Verbde der Telugspuke, Ierao

19 Bespel: Kosruko ach de Caseljau für 3 ud 2/3: weere Egeschafe der Bézer-Kurve: moooer Daesaz führ zu moooer Kurve kovexer Daesaz führ zu kovexer Kurve Roaos- ud Traslaosvaraz lokale Äderuge de Korollpuke wrke sch zwar global aus, aber Efluss s ur der Umgebug des geädere Pukes sgfka es köe Doppelpuke aufree: Bézerkurve vom Grad 4 m eem Doppelpuk

20 häufg gebrauch: Spezalfall 3, kubsche Bézer-Kurve Marx-Noao der kubsche Bézer-Kurve:

21 Zusammefassug zu Bézer-Kurve: hsorsch bedeuedes Repräseaosmodell schelle + efache Berechug och of erakver Awedugssofware geuz: Korolle der Edpuke ud der Tagee, ggf. erakve Beeflussug der Korollpuke Verallgemeerug auf Fläche: möglch, aber durch zu wege Frehesgrade bem Modellere ur beschräk esezbar Verwedug vo Bézer-Fläche für das Rederg

22 (b) B-Sples Es se ( 0, 1,..., ) e "Koevekor" (Vekor vo Korollselle) m j für < j. De (ch-uforme) ormalsere B-Sple- Bassfukoe N,k der Ordug k über dem Iervall [ 0, ] sd def. durch Verlauf vo N,1 : Bespel k 2 : N + 2, 2 ( ) N,1 ( ) + N 1, 1 ( ) ^^^^^^^^ +

23 Bespel k 3, Koevekor (0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4), Verlauf der B-Sple-Bassfukoe N,3 (), 0,..., 5: Allgeme s N,k () 0 für [, +k ]. Verebarug: k k für 0 : 1 1 für 0 : k k k Das Parameerervall für de Kurve, [u 0, u ], wrd zerleg m k+2 Telervalle [u, u +1 ), 0; 1;...; 1.

24 Def. des Koevekors ( 0, 1,..., k+m ): u 0 für 0; 1;...; k 2, +k 1 u für 0; 1;...; m k+2, +m+2 u für 0; 1;...; k 2. Spezalfall der uforme B-Sples: wähle uforme (d.h. äqudsae) Telug vo [u 0, u ), also u 0 0, u 1 1, u 2 2,..., u. Spezalfall m k 1, 0 0, 1 1: Koevekor (0, 0, 0,..., 0, 1, 1, 1,..., 1) (k Nulle, k Ese) lefer "degeerere B-Sple-Bass": N k 1 k 1, k ( ) (1 ) B, k 1( ) (Berse-Polyom som als Spezalfall). Für de B-Sple-Bassfukoe gl (m allgemee Fall): m 0 N, k ( ) 1 für [ 0 ; ). (wchg für de Kovexe-Hülle-Egeschaf, s.u.). (Bewes durch Iduko über k.)

25 Approxmao eer gegebee Lse vo Korollpuke P, 0,..., m, durch ee B-Sple-Kurve der Ordug k: m 0 Q( ) P N k ( ), [ 0 ;, A de Räder: Q( 0 ) P 0, Q( ) P m, dazwsche werde de P. allg. ledglch approxmer. Aber: we ma P P P +k 1 sez, muss Q() durch P verlaufe Durchlaufe ees Pukes läss sch erzwge. ). Egeschafe der B-Sple-Kurve: wege N,k () 0 für [, +k ) s das Verfahre lokal. lokale Wrkug der Korollpuke. k 3, Koevekor (0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5); durch Verschebe vo d 3 ach d 3 ' werde ledglch de Kurvesegmee m Parameerwere zwsche 1 ud 4 beefluss.

26 Da sch de Bassfukoe zu 1 summere (s.o.), leg de approxmerede Kurve erhalb der kovexe Hülle der Korollpuke. Geauer: Q() verläuf erhalb der kovexe Hülle vo je k aufeaderfolgede Korollpuke: für klees k leg sch Q() eg a das Polygo a, für k 2 s Q() desch m dem charakerssche Polygo. we k+1 aufeaderfolgede Korollpuke kollear sd, ehäl de Kurve ee der Polygokae: k 3, 4 Puke d 1,..., d 4 kollear: Erzwgug ees Geradesücks es gb e eraves Berechugsverfahre als Verallgemeerug des de Caseljau-Algorhmus: Algorhmus vo de Boor (sehe Ecaração e al. 1996)

27 Für ege Aweduge (sbes. be Verwedug für Fläche) be B-Sples mmer och ch geug Frehesgrade Idee: Def. der Kurve homogee Koordae dadurch zusäzlche Frehesgrade (x(), y(), z(), w()) Be Normalserug (Dvso durch w()) esehe gebrocheraoale Fukoe. Som: (c) NURBS Nch-uforme raoale B-Sples

28 we be de efache B-Sples wrd de Kurve sückwese zusammegesez:

29 Wrkug der Gewche auf NURBS: ee NURBS-Kurve m k 5, Koevekor (0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4), be der das Gewch w 4 varer wurde: