optionsbewertung kreditrisiko portfolio-optimierung versicherungsmathematik zinsmodelle

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1 fiazmathematik optiosbewertug kreditrisiko portfolio-optimierug versicherugsmathematik zismodelle Abteilugsleiter Prof. Dr. Ralf Kor T. 0631/

2 Die Abteilug Fiazmathematik beschäftigt sich mit alle Aspekte der modere Fiazmathematik. Typische Idustrieparter sid Ladesbake ud Spezialbake, Ver si che ru ge ud Pesiosfods, Asset-Maa ge met-gesellschafte ud auf de Bake- ud Versicherugsbereich spezialisierte Beratugsuterehme. Im Schwerpukt Optiosbewertug werde umerische Bewertugsalgorithme etwickelt ud imple me tiert, mit dere Hilfe sich Preise vo Optioe aller Art i modere Aktie-, Zis- ud Güterpreismodelle (wie z. B. Hesto-Modell, Cheyette-Modell) effiziet ud geau bereche lasse. Wisseschaftliches Neulad wurde hier 2010 mit dem Gebiet des Cross Hedgig betrete. Im Bereich der Portfolio-Optimierug werde sowohl he rkömmliche statische Asätze (Markowitz, Black Litterma) als auch io va ti ve modere, zeitstetige Methode utersucht. Auf de Gebiete der Worst-Case-Opti mie rug ud der optimale Portfolios für Maager ist die Abteilug iteratioal führed. Im Bereich Kreditrisiko uterstütze wir Kreditistitute bei der Umsetzug der eue Eigekapitalrichtliie (Basel II) aus statistischer Sicht. Hierbei uterstütze wir usere Kude ach erfolgreicher Zusammearbeit bei der Ko zep tio, Kalibrierug ud Va li dierug vo Ratigs mittlerweile bei Back- ud Stresstestig. Kredit derivate stelle als mitverat wort li che Auslöser für die Fiazkrise eie besodere Herausforderug hisichtlich ihrer Bewertug dar. Hier sid Markt ud Forschug weiter i der Etwicklug, was i eiem große Bedarf a ma thematischer Modellierug ud Uterstützug resultiert. Im Bereich Versicherugs ma the matik ist die Arbeit a ud mit der Software ALMSim ei Schwerpukt. Diese uterstützt Ver sicherugs uterehme bei der Umsetzug der Solvabi li täts richt li i e (Solvecy II) ud erlaubt sowohl die idividuelle Modellierug vo Assets ud Liabilities als auch dere Kopplug. Im Bereich Zismodelle beschäftige wir us mit geerische Bewer tugs verfahre, die der große Vielfalt komplexer Zisderivate Rechug trage. Ei großer Teil der im Jahr 2010 erzielte Wirtschaftserträge lag im Bereich der Bewertug vo Zisderivate. Dieses Thema domiierte auch die Serie vo Workshops, die vo userer Abteilug sowohl bei Idustriekude als auch i Kaiserslauter ud Lodo durchgeführt wur de. Mit der teckpro AG hat sich user Kudeportfolio um eie kompetete Parter auf dem Gebiet der Altersvorsorge erweitert. Außerdem wurde zusamme mit Lotto Rheilad-Pfalz ud Hesse ei Projekt abgeschlosse, dass vor allem eie Herausforderug auf dem Gebiet der Kom bi a to rik darstellte. Zum Ede des Jahres startete wir mit dem EU-Projekt NORM zur automatische Risikobewertug auf Basis sematischer Aalyse vo Nachrichte ei eues öffetliches Projekt. Das BMBF-Verbudprojekt ALI (Alterative Ivestmets) wurde erfolgreich abgeschlosse. Isgesamt habe die Aus wir kuge der Fiazkrise zu eiem durchschittliche wirtschaftliche Ergebis für die Ab tei lug geführt. Die Zusammearbeit mit der Uiversität Cambridge wurde ochmals itesiviert; hier kote i ge mei same Forschugsprojekte auf de Gebiete der Statistik vo Lévy- Prozesse ud der Portfolio-Opti mie rug i te ressate wisseschaftliche Resultate erzielt werde. Des Weitere wurde i Zusammearbeit mit der Firma OptiRisk Systems ud der Uiversität Cambridge die bereits obe erwähte Serie vo Work shops aus dem Bereich»Modere Fiaz mathematik für Praktiker«etabliert, mit der die Bemühuge um eie Eistieg i de Fiazmarkt Lodo verstärkt werde. Schließlich wurde die Abteilug strategischer Parter des i Kaiserslauter gegrüdete Europäische Istituts für Qualitätsmaagemet fiazmathematischer Verfahre ud Produkte EI-QFM ud erhofft sich hiervo 2011 eie Eistieg i die Zertifizierug vo Produkte ud Abieter auf dem Fiaz- ud Ver si che rugssektor. Tilma Sayer, Dr. Christia Erlwei, Adreas Wager, Prof. Dr. Ralf Kor, Yulia Mordashova, Dr. Peter Ruckdeschel, Nataliya Horbeko, Dr. Sascha Desmettre, Dr. Gerald Kroisadt, Dr. Johaes Leiter, Dr. Jörg Wezel, Roma Horsky, Nora Imkeller, Dr. Johaes de Kock 62

3 Bewertug vo Zisderivate Um eigezahlte Versicherugsprämie möglichst sicher ud retabel azulege, lege Versicherugsuterehme eie Großteil ihrer Mittel i verzisliche Aleihe am Kapitalmarkt a. Dabei stellt das Uterehme eiem Schulder eie gewisse Alagebetrag zur Verfügug ud erhält im Gegezug i der Regel feste Ziszahluge. Bei mache Aleihearte sid die Zissätze jedoch icht fixiert, soder orietiere sich a Referezzissätze, welche mehr oder weiger stark schwake köe. Ei Beispiel ist die sogeate CMS-Steepeer- Aleihe, bei der z. B. die Differez aus dem aktuelle Zehjahres- ud dem Zweijahres-Zissatz zu zahle ist, jedoch ur, we diese Differez positiv ist (Floor) ud maximal bis zu eier bestimmte Höhe (Cap). Darüber hiaus köe dem Schulder och weitere Rechte eigeräumt werde, z. B. Küdigugsrechte, Adieugsrechte, Wadlugsrechte etc. Aleihe mit solch optioale Bestadteile werde als strukturierte Zisprodukte bezeichet. Es existiert eie Vielzahl gaz uterschiedlich ausgestatteter Produkte, dere Marktwerte isbesodere vo der Etwicklug der Ziskurve bzw. dere Schwakug abhäge. Für eie Bewertug solcher Produkte ist es daher etscheided, die Zisetwicklug möglichst geau modelliere zu köe. Weit verbreitet sid sogeate Ei-Faktor-Modelle, also Modelle, die die Usicherheit im Kapitalmarkt durch eie Risikofaktor modelliere. Sie sid jedoch icht sehr flexibel, so dass es kaum möglich ist, alle Marktsituatioe abzudecke. Isbesodere die als Folge der Fiazkrise stark gesukee kurzfristige Zise sid ur schwer i diese Modelle abzubilde. Die Abteilug hat zusamme mit dem Risikocotrollig der R+V Versicherug AG die dort seit eiige Jahre eigesetzte Bewertugssoftware für das Portfolio der strukturierte Zisprodukte geprüft ud überarbeitet. Dabei wurde der Programmcode i eie eue Programmiersprache überführt ud die Bewertugsmethode weiteretwickelt. Die bisherige Bewertugsroutie etspreche de Bewertugsaforderuge der R+V. Mit dem i userer Abteilug etwickelte iovative Zwei-Faktor-Modell ist die R+V jetzt i der Lage, durch eie größere Flexibilität vielfältigere Marktsituatioe abzudecke. Durch optimierte Kalibrierugsalgorithme köe u die beötigte Modellparameter so gewählt werde, dass das Modell die aktuelle Marktlage wiedergibt. Damit ist die R+V isbesodere i schwierige Marktsituatioe och besser aufgestellt. Des Weitere ka sie die weiteretwickelte Bewertugssoftware bei Bedarf um eue Produkte erweiter ud somit schell auf aktuelle Marktetwickluge reagiere. Zu de weitere Aufgabe des Risikocotrolligs gehört es, sich durch die Bewertug mit veräderte Ziskurve eie Überblick über die eizele Risikopositioe zu verschaffe ud die strukturierte Produkte i ihre Eizelbestadteile (wie z. B. die eizele optioale Kompoete) zu zerlege. Diese Aforderuge wurde ebefalls im Projekt berücksichtigt, so dass die aufsichtsrechtliche ud bilazielle Vorgabe im Hiblick auf die Bewertug strukturierter Produkte weiterhi als mehr als erfüllt agesehe werde köe. 63

4 Darlehespricig i illiquide Märkte 1 Beutzeroberfläche eies Darlehespricers 2 Beispiel der Modelldiagostik: Residueplot Die Bestimmug marktkoformer Darlehespreise i Etwicklugs- ud Schwelleläder ist deutlich komplexer als das Pricig i liquide Märkte. I eiem Projekt mit der Deutsche Ivestitios- ud Etwicklugsgesellschaft mbh (DEG) wurde vo us ei Darlehespricer etwickelt, der eie taggeaue Margebestimmug für Darlehe a Bake, Fiazdiestleister ud Idustriebetriebe i rud 180 Läder ermöglicht. Aus am Markt beobachtete Darlehespreise werde Aufschläge für Ausfallrisike extrahiert ud eizele Preisdetermiate zugeordet. I dem erstellte Darlehespricer ka der Beutzer Darlehescharakteristika eigebe, wie z. B. Währug, Laufzeit, Ratig ud Besicheruge ud erhält die taggeaue Preisberechug des Darlehes. Die uzureichede Datelage für diese Märkte erfordert die Kombiatio verschiedeer Datequelle, wodurch wir i eger Kooperatio mit der DEG zu eier geeigete Datebasis für user Darlehespreismodell gelagte. Das läderspezifische Ausfallrisiko wird abgebildet durch Credit Default Swap Spreads sowie Spreads aus dem Emergig Market Bod Idex ud Läder-Ratigs verschiedeer Ratigageture. Taggeaue sektorspezifische Ausfallrisike werde ebeso berücksichtigt wie eie bereitgestellte Referezdatebasis eies Nachrichtediestleisters a eizele Darlehe ud Aleihe. Zur Verküpfug der verschiedee Datequelle erfolgt ei Dateabgleich über Datum, Laufzeit, Lad ud Sektor, wobei geeigete Glättugs-, Iterpolatios-, ud Gruppierugs techike zum Trage komme. Mithilfe dieser Datebasis soll mit eiem geeigete Regressiosmodell ei Darlehespreis ermittelt werde. Modellwahlkriterie sid dabei das (agepasste) r 2 -Bestimmtheitsmaß sowie die Kreuz validierug. Agesichts der heterogee Datequelle muss ma bei der Modellierug Ausreißer i Betracht ziehe ud vermeide, dass eizele Beobachtuge eie übermäßige Eifluss auf das eigepasste Modell habe. Dies ka ma durch Verfahre der robuste Regressio erreiche. Zudem ist die DEG icht ur a»mittlere Preise«iteressiert, soder auch a Preisutergreze, wie sie etwa durch Quatilsregressio bestimmt werde köe. User Tool stellt der DEG verschiedee (klassisch, robust, Quatils-) Regressios-Preise zur itere Diskussio bereit. Die graphische Beutzeroberfläche higege gibt dem Edbeutzer ur eie Preis heraus, de die DEG jeweils hausiter festlegt. Ei Validierugskozept schließlich regelt das Prozedere ach Ergäzug euer Beobachtuge: Zum eie habe wir ei zeitgesteuertes Revisiosschema, zum adere ei Ampelkozept zur ereigisgesteuerte Revisio durch Überwachug der Modellapassugsgüte. 64

5 1 Desig eier eue Bigolotterie Dieses Projekt, das ur am Rade mit Fiazmathematik zu tu hatte, drehte sich hauptsächlich um die Erstellug eies Programms zum Desig der eue Bigolotterie i Hesse ud Rheilad-Pfalz. Beim herkömmliche Bigo sid die Mitspieler zusamme ud jeder hat eie Spielschei mit aufgedruckte Zahle vor sich. Der Spielleiter zieht acheiader Kugel mit Zahle ud zeigt diese de Mitspieler. Falls eie gezogee Zahl auf seiem Spielschei vorkommt, markiert der Spieler dieses Feld. Sobald ei Mitspieler eie Reihe oder Diagoale markiert hat, ruft er»bigo«ud hat gewoe. Das Spiel ist damit auch beedet. 1 Höchste Gewiklasse ud kei Gewi (blau: Felder mit gezogee Zahle) Da bei eier öffetliche Lotterie die Mitspieler icht alle zusamme sei köe, wird die Ziehug isofer verädert, dass eie festgelegte Azahl a Zahle gezoge wird. Damit ist es möglich, dass ei Mitspieler icht ur eie Reihe bzw. Diagoale markiert hat, soder auch mehrere. Je ach der Azahl der vollstädige Reihe, Diagoale ud Spalte, die als weitere Gewimuster aufgeomme wurde, fällt ma i verschiedee Gewiklasse. Die höchste Gewiklasse besteht aus drei oder mehr markierte Reihe bzw. Diagoale oder Spalte. Der Spielschei besteht aus füf Reihe ud füf Spalte. I der erste Spalte komme ur Zahle vo 1 bis 15 vor, i der zweite vo 16 bis 30,..., i der letzte Spalte vo 61 bis 75. Bei der Berechug der Gewiwahrscheilichkeite der verschiedee Gewiklasse besteht die Schwierigkeit dari, dass es icht, wie beim gewöhliche Lotto, auf die Azahl der markierte Zahle, soder auch auf dere Aordug akommt. Im Bild sieht ma, dass ma mit ur zwölf gezogee Zahle i die höchste Gewiklasse (drei Gewimuster) komme ka, aber auf der adere Seite auch mit zwazig gezogee Zahle och keie Gewi habe ka. Ursprüglich war das geaue Spieldesig och icht festgelegt (Azahl der Reihe ud Spalte, Zahlebereiche für die eizele Spalte, Azahl gezogeer Zahle, Gewimuster, Jokerfelder, Gewiklasse etc.). Um verschiedee Kofiguratioe bezüglich ihrer Gewiwahrscheilichkeite aalysiere zu köe, war die Aufgabe, eie schelle Algorithmus zu fide ud zu implemetiere. Der vo us implemetierte Algorithmus ermittelt die Gewiwahrscheilichkeite der aktuelle Kofiguratio i weiger als eier Sekude. Nebe diesem Programm zum Durchprobiere verschiedeer Kofiguratioe im Vorfeld der Eiführug vo Bigo wurde auch die Programme zur Geerierug der Spielscheie sowie das Programm zum Auswerte ud Erstelle der Auszahlugsdateie erstellt. 65

6 m Optio Maturity 20y 1y Teor 30y 1m 3m 9m 18m 3y Optio Maturity 5y 10y 20y 1y 3y 5y 7y 9y Teor 15y 25y Kalibrierug ud Vervollstädigug des Volatility Cubes 1 Volatilitätsfläche (ATM) 2 Volatilitätsfläche (Strike = 25 bps) Swaptios (Optioe auf Zisswaps) werde im wesetliche durch drei Parameter gekezeichet: die Optioslaufzeit, die Swaplaufzeit (Teor) ud de Ausübugspreis (Strike). Für jede Swaptio ka eie implizite Volatilität aus de Marktdate bestimmt werde. Es ist üblich, diese Volatilitäte i eiem Würfel (Volatility Cube) zusammezufasse. Die obe geate Parameter bilde da die drei Würfeldimesioe. Jede Scheibe des Würfels wird als Volatilitätsfläche bezeichet. Die Scheibe, die eiem Strike- Wert»am Geld«(ATM»at-the-moey«) etspricht, ist meist vollstädig aus de Marktdate zu etehme. Häufig bekomme Hädler jedoch ur uvollstädige Volatilitätsfläche vo Dateabieter für adere Strike-Werte, z. B. für Strike-Werte, die füfzig Basispukte liks oder rechts vom ATM-Strike sid. I eiem Projekt mit der Asseago GmbH aus Müche musste das SABR-Modell a de vorhadee Marktdate kalibriert ud der Volatility Cube vervollstädigt werde. Die Marktdate ethalte i diesem Fall ur weige Volatilitäte. Daher ist der Cube im Ausgagszustad extrem dü besetzt: Die ATM-Volatilitätsfläche ist vollstädig, aber für die restliche Strike- Werte sid ur eiige weige Volatilitäte vorhade. Das SABR-Modell muss pro Optiosud Swaplaufzeit kalibriert werde. D. h. für maches Paar (bestehed aus Optios- ud Swap laufzeit) ist ur eie Volatilität (ATM) aus de Marktdate bekat. Wege der hochgradig ichtlieare Struktur der Volatilitätsfläche ist Iterpolatio weig sivoll. Daher wurde Optioslaufzeit-Swaplaufzeit-Paare, zu dee weig Volatilitätswerte vorhade sid, auch kalibriert (statt iterpoliert) ud zwar mit de Kalibrierugsparameter der bereits kalibrierte Nachbar-Paare als Afagswerte. Ferer wurde bei der Kalibrierug ei flexibles Trade-Off (Abwägug) zwische der Güte der Kalibrierug ud der Glätte der Volatilitätsfläche implemetiert. 66

7 µ (x, t) 0 1 Gesud alter mit Mathematik mathematische Modelle für Laglebigkeit Ei gesudes ud lages Lebe ist für de Eizele erstrebeswert, währed i der Le bes versicherugsbrache für de ugewisse, uerwartete Zuwachs der Lebes er war tug der Bevölkerug i de letzte Jahrzehte der uschöe Begriff des Laglebig keits ri si kos geprägt wurde. Tatsächlich ist die zuverlässige Progose der Etwicklug der Lebesdauer der Bevölkerug über die Jahre hiweg eie eorme Herausforderug, da ma diese Usicherheit trotz des erste Auftauches sogeater Mortalitäts- ud Laglebigkeitsbods (Beispiele hierfür sid der im Jahr 2003 vo SwissRe emittierte Mortalitätsbod ud der im Dezember 2004 vo EIB / BNP agebotee Laglebigkeitsbod) oder aber Mortalitäts swaps icht i dem Maße am Fiazmarkt absicher ka, wie dies beispielsweise für Zis- oder Aktiekurs schwa kugs risike möglich ist. 1 Simulierte zuküftige Etwicklug der Mortalitätsrate 65-jähriger deutscher Mäer µ (65, t) mit t = 0 auf 2004 zetriert Nebe dem adauerde Fortschreibe vo Sterbetafel ud dem Erstelle vo Geerati ossterbetafel besteht eie Modellierugsalterative für die Etwicklug der Lebesdauer i der Eiführug sogeater dyamischer Mortalitätsmodelle. Diese sid isbesodere für die Bewertug vo Fiaz- ud Versicherugsprodukte, die a die Lebesdauer des Versicherte gebude sid, vo großem Nutze. Dyamische Mortalitätsmodelle basiere auf der Aahme klassischer Mortalitätsmodelle (also Modelle, bei dee eie vom Lebes alter des Idividuums abhägige Sterbeitesität parametrisch aber uabhägig vo der Kalederzeit modelliert wird), ehme aber a, dass sich die sie bestimmede Parameter gemäß eiem zugrude liegede stochastische Prozess über die Zeit hiweg äder. Ei eifaches Beispiel, das allerdigs für deutsche Date eie sehr gute Apassug zeigt, ist das am Frauhofer ITWM i eiem Idustrieprojekt ud als Teil eier Dissertatio etwickelte stochastische Gompertz-Modell, bei dem ageomme wird, dass die all ge mei e Sterblichkeitsitesität ahezu determiistisch mit der Zeit fällt, währed die zeitliche Etwicklug der alters ab häg ige Sterblichkeit eie stochastische Kompoete besitzt. Weitere Modelle befide sich i der Etwicklug ud köe auch mit dem ITWM-Asset-Liability-Maagemet-Tool ALMSim leicht simuliert werde. 67