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1 Baustatik I+II Sessionsprüfung ( und ) Sommer 2015 Samstag, 22. August 2015, Uhr, HIL G 15 Name, Vorname: Studenten-Nr.: Bemerkungen 1. Die Aufgaben dürfen in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. 2. Für jede Aufgabe ist der entsprechende Papierbogen A3 zu verwenden. Notizen in der Aufgabenstellung werden für die Bewertung nicht berücksichtigt. 3. Alle ausgeteilten Unterlagen (Aufgabenstellung und alle Papierbögen A3) sind nach Prüfungsende mit Namen und Studenten-Nr. versehen abzugeben. 4. Die Eigenlasten der Strukturen sollen vernachlässigt werden. 5. Hilfsmittel: 10 Seiten selbständig handschriftlich verfasste Zusammenfassung, Taschenrechner, Schreibzeug, Zirkel und Lineal. 6. Eine Integrationstabelle liegt der Aufgabenstellung bei. 7. Vorzeichenkonvention: Sommer 2015 Seite 1/7

2 Aufgabe 1: Tramhaltestelle (10 Punkte) Bild 1: (a) statische Systemskizze, (b) Querschnitt mit Abmessungen in mm. Die in Bild 1 (a) dargestellte Tramhaltestelle mit in Bild 1 (b) gegebener Querschnittsgeometrie der Träger BD und DF wird mit einer einseitigen Schneelast q zwischen D und F und einer Einzelkraft Q am freien Ende B belastet. Die Träger sind gelenkig an der Stütze angeschlossen und werden je durch ein Seil nach unten gehalten. Es sind folgende Aufgaben zu lösen: a) Zeichnen Sie die Schnittgrössendiagramme des gesamten Systems für das Biegemoment M, die Querkraft V und die Normalkraft N, mit Q = 3ql. b) Bestimmen Sie die Schnittgrössen im Träger im Schnitt 1-1 unmittelbar rechts vom Punkt C (siehe Bild 1 (a)). Verwenden Sie dazu folgende Werte: l = 1 m, q = 6 kn/m, Q = 18 kn. c) Bestimmen Sie für den Querschnitt in Bild 1 (b) die Querschnittsfläche A, das Trägheitsmoment I y, sowie das statische Moment S z im Punkt P. d) Beschreiben Sie den Spannungszustand im Punkt P (siehe Bild 1 (b)) für die in Teilaufgabe b) ermittelten Schnittgrössen im Schnitt 1-1. Berechnen Sie die Werte σ x, σ z, τ xz, σ 1, σ 2 und φ 1. Stellen Sie den Spannungszustand in einem Mohrschen Spannungskreis dar. Falls Sie die Teilaufgaben b) und c) nicht gelöst haben, rechnen Sie mit M y = -20 knm, V z = 10 kn und N = -50 kn, A = 3900 mm 2, I y = mm 4 und S z = mm 3. e) In der Nähe von Punkt C wird der Träger gestossen und die beiden Trägerenden mit einer um 45 zur Horizontalen geneigten Schweissnaht miteinander verbunden. Die Naht verläuft dabei durch den Punkt P des Querschnitts. Die maximal zulässige Schubspannung der Schweissnaht beträgt τ d = 16.5 N/mm 2. Beurteilen Sie, ob die Tragfähigkeit der Naht im Punkt P gegeben ist. Sommer 2015 Seite 2/7

3 Aufgabe 2: Schwerlastkran (10 Punkte) Bild 2: Schwerlastkran mit Seilzug. Der in Bild 2 dargestellte Schwerlastkran ist als ideales Fachwerk ausgebildet. Am Ausleger des Krans greifen insgesamt drei Einzellasten vom Betrag 2F und 4F an. Über ein Seilzugsystem kann der Obergurt des Auslegers zwischen den Knoten 7 und 11 auf eine beliebige Kraft H vorgespannt werden. Die Diagonalen zwischen den Knoten 2 bis 11 können als dehnstarr angenommen werden. Die Stäbe von Ober- und Untergurt sowie die Diagonalen 1-2, 1-3, 8-12 und 9-12 besitzen die Dehnsteifigkeit EA. Nutzen Sie zum Lösen der Aufgaben die Vorlagen auf dem Lösungsbogen. a) Bestimmen Sie die Stabkräfte infolge der angreifenden Einzellasten (H = 0). b) Bestimmen Sie die vertikale Verschiebung w des Knotens 11 infolge der Einzellasten (H = 0). c) Wie gross muss die Vorspannkraft H minimal sein, damit die vertikale Verschiebung w den Wert von 25 mm nicht überschreitet? Die Kraft F beträgt 100 kn, die Länge l ist 2 m, die Dehnsteifigkeit EA kann zu kn angenommen werden. d) Infolge eines Materialfehlers droht der Stab 7-8 auszufallen. Sie haben die Möglichkeit, mittels Spriessung ein Vertikallager einzuführen und den Kran so zu unterstützen. An welchem Knotenpunkt müssen Sie für die Entlastung des Stabs 7-8 die Spriessung vornehmen, um eine minimale Stützkraft im neuen Vertikallager zu erhalten? Begründen Sie das Resultat mittels Einflusslinien des Ober- und Untergurtes. Der Seilzug ist nicht aktiv (H = 0). Sommer 2015 Seite 3/7

4 Aufgabe 3: Versuchsrahmen (10 Punkte) Bild 3: (a) Quadratischer Rahmen mit Belastung, (b) Rahmen mit Belastung und eingesetztem Pendelstab. Der in Bild 3 (a) dargestellte quadratische Rahmen einer neuen Versuchsanlage ist am Punkt A einfach und am Punkt C horizontal verschieblich gelagert. Am Rahmen greifen die gezeichneten Lasten Q bzw. 2Q an. Falls es ein Experiment erfordert, kann zwischen den Punkten D und E zusätzlich ein Pendelstab eingefügt werden (siehe Bild 3 (b)). Sämtliche Stäbe des Rahmens besitzen die Biegesteifigkeit EI und können mit Ausnahme des Pendelstabes D-E als dehn- und schubstarr modelliert werden. a) Zeichnen Sie qualitativ die zu erwartenden Verformungen für den Fall ohne Pendelstab. b) Bestimmen Sie die Schnittgrössen N, V und M des Rahmens infolge der angreifenden Lasten. Der Pendelstab ist nicht eingebaut. Nutzen Sie die Symmetrie des Systems. c) Wie gross ist die horizontale Verschiebung w am Punkt D (ohne Pendelstab)? d) Für dieselben Lasten wird die horizontale Verschiebung auf den Wert w = 1/96 Ql 3 /EI begrenzt. Dazu soll der Pendelstab eingesetzt werden. Die ursprüngliche Länge des Pendelstabes ist 2l. Wie gross ist die Kraft, die auf den Pendelstab einwirkt? Welchen Wert muss seine Dehnsteifigkeit EA mindestens haben, damit die geforderte maximale Verschiebung eingehalten werden kann? Sommer 2015 Seite 4/7

5 Aufgabe 4: Asymmetrischer Gebäuderahmen (11 Punkte) Bild 4: Statisches System des Gebäuderahmens mit einseitiger Windlast und Temperaturdehnung. Der in Abbildung 4 gezeigte asymmetrische Rahmen eines Gebäudes besteht aus biegesteif miteinander verbundenen Stäben und ist am Knoten A eingespannt, am Knoten D aufgelagert und beim Knoten B horizontal gehalten. Die Stützen besitzen die Biegesteifigkeit EI, der Riegel hat die Biegesteifigkeit 2EI. Die linke Fassadenseite A-B wird durch eine verteilte Windlast q = 5 kn/m beansprucht. Infolge intensiver Sonneneinstrahlung ergibt sich weiter eine Erwärmung des Riegels um T = +55 C und eine damit einhergehende Temperaturdehnung ε T. Der Temperaturausdehnungskoeffizient α T beträgt l/ei knm/ C. Verwenden Sie l = 3 m und EI = 2100 knm 2. Normalkräfte und Querkräfte sind mit EA sowie GA nicht verformungswirksam. a) Bestimmen Sie die Momentenverteilung. b) Berechnen Sie die Verschiebungen w 1 in Stabmitte sowie w 2 am Punkt C. Sommer 2015 Seite 5/7

6 Aufgabe 5: Abgewinkelter Rahmen (11 Punkte) Bild 5: Rahmensystem mit Beanspruchung und plastischen Biegewiderständen. Der in Bild 5 dargestellte abgewinkelte Rahmen ist am Punkt A eingespannt und am Punkt E unverschieblich gelagert. Er wird mit einer vertikalen Last F in Punkt C und einer horizontalen Last H in Punkt D beansprucht. Gesucht ist die Traglast des Systems. Der Biegewiderstand der Stäbe A-B und B-C beträgt 2M u, derjenige der Stäbe C-D und D-E beträgt M u. a) Zeichnen Sie 4 mögliche Mechanismen (Grundmechanismen und kombinierte Mechanismen) und bestimmen Sie jeweils den dazugehörigen oberen Grenzwert für die Traglast als Funktion von F und H. b) Bestimmen Sie das Fliessdiagramm des Systems. Benutzen Sie dazu die Vorlage auf dem Lösungsbogen. c) Für ein Verhältnis F/H = 2, welcher Mechanismus wird massgebend und wie gross ist die zugehörige Traglast? Sommer 2015 Seite 6/7

7 Aufgabe 6: Stütze mit Drehfeder (8 Punkte) Bild 6: Stütze: (a) statisches System mit Einwirkung, (b) Hinweise zur Geometrie Die in Bild 6 (a) dargestellte Stütze mit der Höhe h und Biegesteifigkeit EI sei oben und unten gelenkig gelagert. Weiter sei am oberen Ende eine Drehfeder mit der Steifigkeit c f befestigt. Die Stütze erfährt als äussere Einwirkung eine Normalkraft vom Betrag F. Es ist anzunehmen, dass die maximale Verformung der Stütze bei h/2 eintritt und die Knickfigur parabolisch verlaufe. Das Knicken aus der Ebene ist konstruktiv verhindert. a) Bestimmen Sie mittels Näherungsverfahren die Systemknicklast F cr als Funktion von c f. Beachten Sie die in Bild 6 (b) gegebenen Hinweise zur Geometrie. b) Geben Sie für die beiden Grenzfälle c f = 0 knm/rad und c f die äquivalenten statischen Systeme und die zugehörigen Knicklasten an. Können die Knicklasten mit der in Teilaufgabe a) erhaltenen Lösung angenähert werden? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Die Drehfeder besitze eine Steifigkeit von c f = EI/h knm/rad, die Kraft F betrage 30% der in Teilaufgabe a) approximierten Knicklast F cr. Die Vorverformung in der Mitte der Stütze ist zu w 0 = h/200 bestimmt worden. Berechnen Sie die Schnittkräfte zweiter Ordnung am Stützenkopf und in Stützenmitte mit EI = 3600 knm 2 und h = 6 m. Falls Sie Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechnen Sie mit einer Knicklast F cr = 1000 kn. d) Der Stützenquerschnitt sei ein quadratischer Vollquerschnitt mit Seitenlänge b = 120 mm. Für welche Druckkraft wird in Stützenmitte gerade die Fliessspannung des Materials von σ y = 235 N/mm 2 erreicht? Sommer 2015 Seite 7/7

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