Skriptum. Operations Research

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1 Skriptum Operations Research verfasst nach der Vorlesung von Frau Prof. Dragoti-Cela im Wintersemester 2011/2012 von Judith Kloas Institut für Optimierung und Diskrete Mathematik Techische Universität Graz

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Dynamische Optimierung Einführende Beispiele Das endlich-stufige deterministische dynamische Optimierungsproblem-ESDDOP Das endlich-stufige stochastische dynamische Optimierungsproblem-ESSDOP Die Optimalitätsgleichung Ein Kontrollmodell ESDDOP mit nicht diskretem Zustands- bzw. Aktionenraum Lösbarkeit von (D) und Eindeutigkeit der Lösung Das unendlich-stufige deterministische dynamische Optimierungsproblem Lösungsverfahren für das Problem (U): Wertiteration vs. Politikiteration Lagerhaltungsprobleme Das grundlegende Lagerhaltungsmodell Ein deterministisches dynamisches Lagerhaltungsmodell Ein serielles zweistufiges Lagersystem Mehrstufige Lagersysteme Ein stochastisches Ein-Periodenmodell Stochastische stationäre Mehrperiodenmodelle Unendlich-periodische stochastische stationäre Lagerhaltungsprobleme Multikriterielle Optimierung Einleitung und Definitionen Schwache und strikte pareto-optimale Lösungen Eigentliche Pareto-Optimialität und eigentliche Effizienz Die Skalarisierungsmethode Die Skalarisierung und die schwache Effizienz Die Skalarisierung und die eigentliche Pareto-Optimalität Andere Methoden der Pareto-Optimierung Die ε-constraint-methode Methode von Benson Methode des Compromise Programming (CP) Multikriterielle lineare Optimierung Parametrische lineare Optimierung Theorie der MCLP Ein multikriterieller Simplex-Algorithmus

4 Kapitel 1 Dynamische Optimierung 1.1 Einführende Beispiele Beispiel (Kürzeste Wegeproblem: Stufengraph). Sei v n (s) die Länge eines kürzesten Weges vom Knoten s der Stufe n nach L. B D G J A 2 8 C E 10 F H I K 12 8 L Stufen: 0 : A}, 1 : B, C}, 2 : D, E, F }, 3 : G, H, I}, 4 : J, K}, 5 : L} v 4 (J) = 12 v 4 (K) = 8 v 3 (G) = 20 + v 4 (J) = 32 v 3 (H) = min 4 + v 4 (J), 6 + v 4 (K)} = 14 v 3 (I) = 2 + v 4 (K) = 10 v 2 (D) = min 10 + v 3 (G), 14 + v 3 (H)} = 24 v 2 (E) = 10 + v 3 (I) = 20 v 2 (F ) = min 10 + v 3 (H), 14 + v 3 (I)} = 24 v 1 (B) = min 4 + v 2 (D), 12 + v 2 (E)} = 28 v 1 (C) = min 10 + v 2 (D), 10 + v 2 (F )} = 34 v 0 (A) = min 2 + v 1 (B), 8 + v 1 (C)} = 30 Kürzester Weg: A-B-D-H-K-L 3

5 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 4 Es handelt sich hier um ein mehrstufiges Optimierungsproblem, bei dem jedes Teilproblem in jeder Stufe separat optimiert werden kann. Die Lösung (optimaler Wert) des Gesamtproblems setzt sich aus den Lösungen (optimalen Werten) der Probleme in den einzelnen Stufen zusammen. Beispiel (Aufteilungsproblem). Man betrachtet einen Investor mit 30 Geldeinheiten und sucht ein Investitionsmodell, dass den Gesamtgewinn maximiert. Stufe Projekt Budget Gewinn Stufe i: Entscheidung, ob Projekt i + 1 erworben wird (i = 0,..., 3). Sei v n (s) der maximale Gewinn, der mit den Projekten n + 1,..., 4 und Restkapital s zu erzielen ist. 0 s < 8 Stufe 3: v 3 (s) = 5 s 8 v 3 (s) s < 21 Stufe 2: v 2 (s) = max 10 + v 3 (s 21), v 3 (s)} s 21 v 2 (s) s < 6 Stufe 1: v 1 (s) = max 4 + v 2 (s 6), v 2 (s)} s 6 v 1 (s) s < 12 Stufe 0: v 0 (s) = max 7 + v 1 (s 12), v 1 (s)} s 12 s v 3 (s) v 2 (s) v 1 (s) v 0 (s) 0 s s s s s s s s s s s Welche Projekte werden ausgeführt? v 0 (30) = max 7 + v 1 (18), v 1 (30)} = max 16, 15} = 16 v 1 (18) = max 4 + v 2 (12), v 2 (18)} = max 9, 5} = 9 v 2 (12) = v 3 (12) v 3 (12) = 5 Führe die Projekte 1, 2 und 4 aus.

6 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 5 Beispiel (Stochastische dynamische Optimierung, Stopp-Problem). Ein Hausbesitzer muss ein Haus binnen 10 Wochen verkaufen und er inseriert jede Woche in der Zeitung. Jede Woche wird entschieden, ob er verkaufen oder noch abwarten soll. Das Angebot in der Woche n sei x n, x n S = 300, 350, 400, 450} in Tausend Euro. Des weiteren sei q(x n ) die Wahrscheinlichkeit, mit der das Angebot x n gemacht wird. x n q(x n ) Vorgangsweise: Akzeptiere ein Angebot x n in Woche n nur dann, wenn der zu erwartende Erlös über die zukünftigen Wochen niedriger als das vorliegende Angebot ist (oder gleich). Dabei ist v n (s) der maximal zu erwartende Verkaufserlös, wenn in Woche n ein Angebot der Höhe s gemacht wird, wobei n = 0,..., 10. v 10 (s) = 0 v 9 (s) = s v n (s) = max s (auf jeden Fall annehmen) } s, s S q(s)v n+1 (s) 0 n 9 Daraus ergibt sich die nachstehende Tabelle, wobei Angebote, die akzeptiert werden mit einem Stern versehen sind v 9 (s) 300* 350* 400* 450* v 8 (s) * 450* v 7 (s) * 450* v 6 (s) * 450* v 5 (s) * v 4 (s) * v 3 (s) * v 2 (s) * v 1 (s) * v 0 (s) * 1.2 Das endlich-stufige deterministische dynamische Optimierungsproblem-ESDDOP Definition Das ESDDOP ist ein Tupel der Form (N, S, A, z, r, v N ), wobei (i) N N... die Länge des Planungshorizonts (legt Anzahl der Stufen fest), (ii) S... der Zustandsraum, abzählbare Menge: die nichtleere Teilmenge S i S stellt die Zustandsmenge der Stufe i dar, S 0 = s 0 }, (iii) A... der Aktionenraum, abzählbare Menge, sodass A n (s) A, nicht leer und endlich, die Menge der Aktionen/Entscheidungen ist, die in Stufe n bei Zustand s getroffen werden dürfen D n := (s, a) S n A : a A n (s)},

7 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 6 (iv) z n : D n S n+1... die Zustandstransformations-Funktion, s S n, a A n (s) sei z(s, a) = s S n+1, (v) r n : D n R... die einstufige Gewinnfunktion, ist die Funktion, die den Gewinn r n (s, a) in Zustand s der n-ten Stufe bei Aktion a angibt und (vi) v N : S N R... die terminale Gewinnfunktion, beschreibt den Gewinn v N (s), der bei Zustand s S N eintritt. Definition Eine Strategie (Politik) δ = (a 0,..., a N 1 ) ist eine Folge zulässiger Aktionen a 0 A 0 (s 0 ),..., a N 1 A N 1 (s N 1 ), wobei s n+1 = z n (s n, a n ) n = 0,..., N 1 ist. Die Menge aller Strategien ist. Wir haben dabei das Ziel, diejenige Strategie zu finden, welche den Gesamtgewinn maximiert. Notationen. Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: R δ (s 0 ) = N 1 n=0 r n(s n, a n ) + v N (s N ), v 0 (s 0 ) = max R δ (s 0 ) : δ } und für n = N 1,..., 1 : N 1 } v n (s n ) = max r t (s t, a t ) + v N (s N ). a n A n(s N ) Satz Optimalitätsgleichung: t=n (i) Für n = 0,..., N 1 und für alle s n S n gilt (ii) Sei v n (s n ) = max r n(s n, a) + v n+1 (z n (s n, a))}. (1.1) a A n(s n) a n arg max r n (s n, a) + v n+1 (z n (s n, a))} n = 0,..., N 1, a A n(s n) dann ist δ = (a 0,..., a N 1 ) eine optimale Strategie für das gegebene ESDDOP. Beweis: (i): Sei n 0,... N 1}, s n S n. Da A n (s n ) endlich ist (laut Problemdefinition) existieren die Maxima. Endlich viele Stufen N endlich es existiert eine optimale Strategie. Sei a n,... a N 1 eine optimale Strategie, sei s n, s n+1,... s N die dazugehörige optimale Zustandsfolge, dann ergibt sich v n (s n ) = N 1 t=n r t (s t, a t ) + v N (s N) = r n (s n, a n) + N 1 t=n+1 r n (s n, a n) + v n+1 (s n+1). r t (s t, a t ) + v N (s N) } } =v n+1 (s n+1 )

8 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 7 Somit ist v n (s n ) max r n(s n, a) + v n+1 (z n (s n, a))}. a A n(s n) Sei nun a + n eine Aktion im Zustand s + n = s n, die die rechte Seite von der Gleichung in 1.1 maximiert. Sei a + n+1,... a+ N 1 eine optimale Aktionsfolge für den Anfangszustand s+ n+1 := z n (s + n, a + n ). Es gilt Insgesamt folgt somit v n (s n ) N 1 t=n r t (s + t, a+ t ) + v N(s + N ) = r n (s + n, a + n ) + N 1 t=n+1 = r n (s + n, a + n ) + v n+1 (s + n+1 ) r t (s + t, a+ t ) + v N(s + N ) = max a A n(s n) r n(s n, a) + v n+1 (z n (s n, a))}. v n (s n ) = max r n(s n, a) + v n+1 (z n (s n, a))}. a A n(s n) (ii): Summiere die Gleichung aus 1.1 für n = 0,... N 1 auf und kürze anschließend N 1 n=0 a 0,... a N 1 optimal. v n (s n ) = v 0 (s 0 ) = N 1 n=0 N 1 n=0 N 1 r n (s n, a n) + n=0 r n (s n, a n) + v N (s N ) = max δ R δ(s 0 ) Algorithmus. Wertiteration des ESDDOP Input: Ein ESDDOP (N, S, A, z, r, v). Begin: Setze v (s) = v N (s) s S N. for n = N 1 downto 0 do Setze v(s) = v (s) s S n+1. s S n berechne v n+1 (z n (s n, a } n) ) } s n+1 v (s) = max r n(s, a) + v(z n (s, a))} und a A n(s) fn := a arg max r n (s, a) + v(z n (s, a))}. a A n(s) End Setze v 0 (s 0 ) = v (s 0 ). Setze δ = (a 0,... a N 1 ) mit a 0 = f 0 (s 0) und a n = f n(s n ) n = 1,... N 1, wobei s n = z n 1 (s n 1, a n 1 ).

9 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 8 Bemerkungen. Für den Algorithmus gilt folgendes: Er benötigt viel Speicher: f n(s) muss für jedes n und s mitgeführt werden (aber nur 2 Werte für v). Er ist exakt, effizient (für alle n), abhängig von Maximabildung. Das Verfahren funktioniert generell für seperable Gewinnfunktionen. Definition Eine Folge von Wertfunktionen v 0,... v N heißt seperabel, wenn es Funktionen F 0,... F N 1 gibt, sodass gilt max x,y v n (s) = F n(x, y) = max x Beispiel. (Subset Sum Problem) Input: N N, P 1,... P N Z +, Y Z + Frage: I 1,... N}, sodass i I P i = Y? Formuliere Instanz des ESDDOP: Horizont der Länge N, Stufen: 1,... N, max F n(r n (s, a), v n+1 (z(s, a)))}, a A n(s) max F n (x, y). y Menge der zulässigen Zustände: S = 0,... Y }, alle zulässigen Zustände für Stufe n: S n = S n = 0,... N, 0} s < P N n+1 A = 0, 1}, A n (s) =, 0, 1} s P N n+1 Übergangsfunktionen: z n (s, a) = s a P N n+1, 1 s = P N n+1, a = 1 einstufige Gewinnfunktion: r n (s, a) =, 0 sonst terminale Gewinnfunktion: v n (s) = max a An(s) max r n (s, a), v n+1 (z n (s, a))}} 1 (Antwort ja für Subset Sum) Behauptung: v 1 (Y ) = 0 (Antwort nein für Subset Sum) Beweis: 1 falls I 1,... N n + 1}mit i I v n (s) = P i = s 0 sonst mit P i = s n = 0,... N, s S i I ist zu zeigen. 1 s = P 1 v N (s) = 0 sonst Angenommen man will wissen, ob es ein I 1,... n} gibt mit i I P i = s, dann gibt es zwei Möglichkeiten.

10 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 9 Betrachte Gleichung für v n (s): Fall 1: Fall 2: Fall 3: n I n / I (1) I = n} P n = s I 1,... n 1} (2) I = n} J, J 1,... n 1} i I P i = s s = i I P i = P n + i J P i i I P i = s P n s < P N n+1 (kann P N n+1 nicht nehmen) A n (s) = 0} v n (s) = max r n(s, 0), v } } n+1 (z n (s, 0) ) } } = v n+1(s) =s =0 s > P N n+1 (könnte P N n+1 nehmen) A n (s) = 0, 1} v n (s) = max max r n(s, 0), v } } n+1 (z n (s, 0) ) } }, max r n(s, 1), v } } n+1 ( z n (s, 1) } } =0 =s =0 = max } v n+1 (s), v n+1 (s P N n+1) s = P N n+1 A n (s) = 0, 1} (könnte P N n+1 nehmen) v n (s) = max v n+1 (s), 1, v n+1 (s P N n+1) } = 1 =s P N n+1 ) Bemerkung. Wir haben gesehen, dass man mit dynamischer Optimierung auch Entscheidungsprobleme lösen kann. 1.3 Das endlich-stufige stochastische dynamische Optimierungsproblem-ESSDOP Bisher: s n S n - Zustand Stufe n a n A n (s n ) - Aktion in Stufe n deterministisch, s n+1 = z n (s n, a n ) Realistischer: Zustand s n+1 ergibt sich als Realisierung einer Zufallsvariable I n, die von s n und a n abhängt. Sei p(s n, a n, s n+1 ) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Zustand s n+1 in Stufe n + 1 nach Zustand s n in Stufe n und Aktion a n. s n+1 S n+1 p(s n, a n, s n+1 ) = 1

11 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 10 Definition Ein endlich-stufiges stochastisches dynamisches Optimierungsproblem ist ein Tupel (N, S, A, r n, p, v N ), wobei N, S, A, r n, v n wie in ESDDOP und die Übergangswahrscheinlichkeiten sind wie oben definiert. Ziel: Maximierung des Gesamtgewinns (Zufallsvariable). Definition Eine Funktion f n : S n A n mit f n (s) A n (s) s S n heißt Entscheidungsfunktion. Eine Folge (f 0, f 1,... f N 1 ) von Entscheidungsfunktionen heißt Strategie (Politik). Die Menge aller Strategien sei. Bemerkung. Hat man s 0 S 0, eine Strategie δ = (f 0, f 1,... f N 1 ) und eine Realisierung von Zuständen s 1,... s N in den jeweiligen Stufen gegeben, so ist der Gesamtgewinn R s0,δ(s 1,... s N ) = R sn,δ(s n+1,... s N ) = N 1 i=0 N 1 i=n r i (s i, a i ) + v N (s N ) r i (s i, a i ) + v N (s N ). (1.2) Der Gesamtgewinn R s0,δ ist eine Zufallsvariable mit den Realisierungen R s0,δ(s 1,... s N ), (s 1,... s N ) S 1... S N. Mit der Annahme, dass die I 1,... I N 1 unabhängig sind, folgt für die Wahrscheinlichkeit der Realisierungen R s0,δ(s 1,... s N ) P s0,δ(i 1 = s 1,... I N = s N ) =: P s0,δ(s 1,... s N ) = P sn,δ(i n+1 = s n+1,... I N = s N ) =: P sn,δ(s n+1,... s N ) = Definition Erwartungswert: E(R s0,δ) = N 1 i=0 N 1 p i (s i, f i (s i ), s i+1 ) bzw. i=n s 1 S 1,...s N S N R s0,δ(s 1,... s N ) P s0,δ(s 1,... s N ) Definition Die Strategie δ heißt optimal, falls R s0,δ := E(R s 0,δ ) E(R s 0,δ) δ. } Maximaler erwarteter Gewinn: v 0 (s 0 ) := sup δ Rs0,δ Notationen. R sn,δ = s n+1 S n+1,...s N S N R sn,δ(s n+1,... s N ) P sn,δ(s n+1,... s N ) = v n (s) := sup δ s n+1 S n+1... Rsn,δ} s N S N R sn,δ(s n+1,... s N ) N 1 k=n p i (s i, f i (s i ), s i+1 ). p(s k, f k (s k ), s k+1 ) n = 0,... N 1 (1.3)

12 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 11 Es gilt für alle n = 0,... N 1, δ, s n S n, dass R sn,δ =... R sn,δ(s n+1,... s N ) P sn,δ(s n+1,... s N ) s n+1 S n+1 s N S N 1.2 = N 1... (r n (s n, f n (s)) + r i (s i, f i (s i )) + v N (s N )) P sn,δ(s n+1,... s N ) s n+1 S n+1 s N S N i=n+1 =... (r n (s n, f n (s)) + R sn+1,δ(s n+2,... s N )) P sn,δ(s n+1,... s N ) s n+1 S n+1 s N S N = r n (s n, f n (s))... P sn,δ(s n+1,... s N ) s n+1 S n+1 s N S N } } + =1... R sn+1,δ(s n+2,... s N ) P sn,δ(s n+1,... s N ) s n+1 S n+1 s N S N = r n (s n, f n (s)) +... p(s n, f n (s n ), s n+1 )R sn+1,δ(s n+2,... s N ) s n+1 S n+1 s N S N P sn+1,δ(s n+2,... s N ) = r n (s n, f n (s)) + s n+1 S n+1 p(s n, f n (s n ), s n+1 ) s n+2 S n+2... s N S N R sn+1,δ(s n+2,... s N ) P sn+1,δ(s n+2,... s N ) R sn,δ = r n (s n, f n (s)) + p(s n, f n (s n ), s n+1 ) R sn+1,δ. (1.4) s n+1 S n+1 Bemerkung. Falls S endlich ist, existieren alle obigen Erwartungswerte. Ansonsten müssten Annahmen getroffen werden, z.b. hinreichende Bedingungen für die Existenz aller R sn,σ: b : S (0, ), 0 < α R, sodass r n (s, f n (s)) b(s) (s, f n (s)) D n n = 0, 1,..., N 1 v N (s) b(s) s S N s S n+1 p n (s, f n (s), s )b(s ) αb(s) (s, f n (s)) D n, n = 0,... N 1. Unter diesen Bedingungen gilt: R s,δ N n i=0 Dies kann induktiv mit Hilfe von 1.4 gezeigt werden Die Optimalitätsgleichung Satz Es gilt: α i b(s n ) < s n S n, n N, n < N, δ. (i) Für n = 0, N 1 und s S n ist v n (s) = max a A n(s) r n(s, a) + p(s, a, s )v n+1 (s ). (1.5) s S n+1

13 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 12 (ii) Jede Strategie, die sich aus dem argmax der Gleichung 1.5 ergibt, ist optimal. Beweis: (i) Sei n = N 1. Aus 1.3 und 1.4 ergibt sich, dass für alle s S N 1 gilt Sei f N 1 arg max a A N 1 (s) v N 1 (s) = sup RsN 1 =s,δ} δ 1.4 = max a A N 1 (s) r N 1(s, a) + p(s, a, s )v N (s ). s S N r N 1 (s, a) + } s S N p(s, a, s )v N (s ), dann gilt v N 1 (s) = r N 1 (s, f N 1(s)) + = R sn 1 =s,δ s S N p(s, f N 1(s), s )v N (s ) für alle Strategien δ = (f 0, f N 2, f N 1 ). Somit ist auch (ii) für n = N 1 gezeigt. Sei nun n = N 2. Aus 1.3 und 1.4 folgt RsN 2 =s,δ} v N 2 (s) = sup δ 1.4 = sup δ r N 2(s, f N 2 (s)) + p(s, f N 2 (s), s ) R sn 1 =s,δ s S N 1 sup δ r N 2(s, f N 2 (s)) + p(s, f N 2 (s), s )v N 1 (s ) s S N 1 = max a A n 2 (s) r N 2(s, a) + p(s, a, s )v N 1 (s ), s S N 1 und dies geht induktiv weiter. Somit folgt insgesamt v n (s) max a A n(s) r n(s, a) + p(s, a, s )v n+1 (s ). (1.6) s S n+1 Sei dann gilt fn 2 arg max a A n 2 (s) r N 2(s, a) + p(s, a, s )v N 1 (s ), s S N 1 v N 2 (s) r N 2 (s, f N 2(s)) + s S N 1 p(s, f N 2(s), s )v N 1 (s ) = R sn 2 =s,δ δ = (f 0, f N 3, f N 2, f N 1). (1.7)

14 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 13 Aus 1.3, 1.4 und 1.7 folgt v N 2 (s) 1.3 = sup δ RsN 2 =s,δ} R sn 2 =s,δ 1.7 =r N 2 (s, fn 2(s)) + = max a A N 2 (s) p(s, fn 2(s), s )v N 1 (s ) s S N 1 r N 2(s, a) + p(s, a, s )v N 1 (s ), s S N 1 also v n (s) max a A n(s) r n(s, a) + p(s, a, s )v n+1 (s ). (1.8) s S n+1 Aus 1.7 und 1.8 ergibt sich die gewünschte Gleichheit. (ii) Als optimal partielle Strategie gilt jedes δ mit δ = (f 0,... f N 2, f N 1 ) (induktiv rückwärts bis Stufe 0). Der folgende Algorithmus, der sogenannre Werteiteration-Algorithmus zur Lösung des ESS- DOP beruht auf der obigen Optimalitätsgleichung. Algorithmus. Wertiteration für das ESSDOP Input: Ein ESSDOP (N, S, A, p, r n, f n, v N ). Begin: Setze v (s) = v N (s) s S N. for n = N 1 downto 0 do Setze v(s) = v (s) s S n+1, s S n berechne v (s) = max a A n(s) r n(s, a) + p(s, a, s )v(s ) s S n+1 und bestimme f n(s) arg max a A n(s) r n(s, a) + s S n+1 p(s, a, s )v(s ). End Setze v 0 (s 0 ) = v (s 0 ), δ = (f 0, f 1,... f N 1 ). Output: Optimaler erwarteter Gewinn v 0 (s 0 ), optimale Strategie δ. Falls die Zustandsmengen S n, n = 0, 1,..., N, und die Mengen A n (s) der im Zustand s der Stufe n möglichen Entscheidungen, für alle n = 0, 1,..., N 1 und alle s S n endlich sind, dann kann man das ESSDOP auch als lineares Optimierungsproblem formulieren.

15 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 14 Lösung des dynamischen Optimierungsproblems als lineares Programm N min w n,s n=0 s S n s.t. w n,s p n (s, a, s )w n+1,s r n (s, a) s S n+1 w N,s v N (s) s S N n = 0,... N 1, a A n (s), s S n (1.9) Behauptung: Der optimale Wert von 1.9 ist der durch den Algorithmus errechnete optimale Gewinn. Beweis: Annahme: Die Behauptung gilt nicht. Sei wn,s die optimale Lösung von 1.9, seien v n (s) mit s S n die vom Algorithmus berechneten Werte und sei k 0, 1,... N} der größte Index, sodass v k (s) w k,s. Beobachtung: v n (s) mit n 0,... N 1} und s S n ist zulässig für 1.9. Es gilt v n (s) = max a A n(s) r n(s, a) + p(s, a, s )v n+1 (s ) s S n+1 v n (s) r n (s, a) + p(s, a, s )v n+1 (s ) 1.Restiktion erfüllt s S n+1 und die 2. Restriktion ist auch erfüllt. Weiters gilt wk,s r k(s, a) + p(s, a, s )wk+1,s s S n+1 = r k (s, a) + s S n+1 p(s, a, s )v k+1 (s ) a A k (s), s S n. Dies gilt auch für a = a = fk (s) w k,s v k(s) und mit der Annahme über k folgt wk,s > v k(s). l = 0,... k 1 kann man daher induktiv zeigen, dass w l,s r l(s, a) + Dies gilt auch für a l = a l = f l (s) w l,s r l(s, a l ) + p(s, a, s ) wl+1,s } } s S l+1 v l+1 (s) a A l (s). s S l+1 p(s, a l, s )v l+1 (s) = v l (s). Eingesetzt in die Zielfunktion liefert v n (s), n 0,... N}, s S n einen besseren Wert als die Optimallösung w n,s Widerspruch! Optimale Strategie: n 0,... N 1}, s S n a A n (s), sodass die dazugehörige Restriktion mit Gleichheit erfüllt ist. Werde dieses a mit a n(s) =: fn(s) bezeichnet, so bildet (f0,... f N 1 ) die optimale Strategie.

16 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG Ein Kontrollmodell Oft ist eine exogene Zufallsvariable mitbestimmend für die optimale Strategie bzw. den optimalen Gewinn (Kosten) eines ESSDOP (z.b. die Nachfrage bei einem Lagerhaltungsproblem). Seien Y 0,... Y N 1 exogene, unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungsdichten q n (x) = P (Y n = x) x X n und sei s n+1 = g n (s n, a, x n ) S n+1 und g n :D n X n S n+1. Input: (N, S, A, X, q, g, r, v N ) mit N, S, A, r, v N wie beim Basismodell und X... Wertebereich der exogenen Variablen Y 0,... Y N 1 (abzählbar), X i, X ist der nichtleere Wertebereiche von Y i, i =, 1,..., N 1, q n : X n [0, 1]... die Verteilungsdichte von Y n,n = 0, 1,... N 1, g n : D n X n S n+1... die Übergangsfunktion. Durch p n (s, a, s ) = x X n:g(s,a,x)=s q n (x) s S n, a A n (s), s S n+1 ergibt sich folgende Optimalitätsgleichung: v n (s) = max r n (s, a) + } q n (x)v n+1 (g(s, a, x)) a A n(s) x X n n = 0,... N 1. Als nächstes betrachten wir Beispiele von Kontrollmodellen, in denen die optimale Strategie gewisse Struktureigenschaften aufweist. Beispiel. Ein Hausbesitzer verkauft sein Haus. Zu den Zeitpunkten n = 0,... N 1 erhält er ein Angebot der Höhe x n, wobei x n als Realisierung einer Zufallsvariable Y n mit Werten zwischen 0 und M aufgefasst wird. Y 0,... Y N 1 sind iid mit P (Y n = x) = q(x) x = 0,... M, n = 0, 1,..., N 1. Falls ein Angebot abgelehnt wird, entstehen Kosten c. Kontrollproblem: N... Entscheidungshorizont, S = S n = 0,... M} }, n = 0,... N 1... Menge der Angebote, bzw. Verkauf bereits getätigt, A = A n (s) = 0, 1}... Ablehnung/Annahme, für s = sind die Aktionen bedeutungslos, X = X n = 0,... M},

17 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 16 q n (x) = q(x) x X, n = 0, 1,..., N 1, x s M, a = 0 lehne ab g n (s, a, x) = s = a = 1 nehme an, c s M a = 0 lehne ab r(s, a) = s s M a = 1 nehme an 0 sonst hab schon Gewinn gemacht v N (s) = 0 s S, v n ( ) = 0 n N (schon verkauft) Optimalitätsgleichung } M v n (s) = max s, c + q(x)v n+1 (x) x=0 Sei s n = c + M x=0 q(x)v n+1(x) n = 0,... N, dann ist fn(s) 1 s s n = 0 s < s n die optimale Entscheidungsfunktion. Diese optimale Strategie bestätigt die Intuition: Ein gutes Angebot wird angenommen, ein schlechtes nicht. s n präsentiert, was gut bzw. schlecht heißt. Satz Die Schwellen s 0, s 1,... s N 1 lassen sich rekursiv berechnen s c n = N 1 n = c + M x=0 q(x) max x, s n+1} 0 n < N 1 und es gilt s 0 s 1... s N 1. Beweis: Mit vollständiger Induktion von N 1 bis 0 beweisen wir v n (s) = max s, s n} n = 0,... N 1, s = 0,... M. Da v N (s) = 0 s, gilt v N 1 (s) = max s, c} = max s, s N 1} s = 0,... M. Annahme: v n+1 (s) = max s, s } n+1 Aus der Optimalitätsgleichung folgt M v n (s) = max s, c + q(x) max x, s } } n+1 wobei = max s, s n}, s n = c + x=0 M max x, s n+1}. x=0

18 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 17 Monotonie: Basis: s N 2 s N 1, da s N 1 = c c + Unter der Annahme, dass s n+1 s n+2 folgt s n = c + c + = s n+1. M x=0 M x=0 M q(x) max x, c}. x=0 } } 0 q(x) max x, s } n+1 q(x) max x, s } n+2 Beispiel. (Stopp-Problem) Ein Investor hat die Option zum Kauf einer Aktie um Preis c. Das Optionsrecht kann zu den Zeitpunkten n = 0,... N 1 ausgeübt werden. Der Börsenkurs der Aktie zum Zeitpunkt n ist I n = S 0 + Y 0 + Y Y n 1, wobei Y 0,... Y n 1 iid-verteilt sind mit diskreter Verteilungsdichte P (Y i = x) = q(x) x Z, i = 0,... N 1. Gesucht: Ausübungsstrategie, die den erwarteten Gewinn maximiert. Kontrollmodell: N N (n = 0,... N 1)... Planungshorizont, Zustand Börsenkurs der Aktie, S = S n = Z } (letzteres entspricht der Situation, dass das Optionsrecht bereits ausgeübt wurde), A = A n (s) = 0, 1} = (Nichtausübung, Ausübung), X = X n = Z n = 0,... N 1, q n (x) = q(x) n = 0,... N 1, s + x s <, a = 0 Nichtausübung g n (s, a, x) = 0 s = a = 1 Ausübung oder bereits ausgeübt, r n (s, a) = v N (s) = 0 s S s c s <, a = 1 Ausübung, Gewinn 0 s = a = 0 Nichtausübung oder bereits ausgeübt,

19 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 18 Optimalitätsgleichung: v n (s) = max s c, J n (s)} (maximal erwarteter Gewinn), wobei J n (s) = x Z q(x)v n+1 (s + x). der erwartete zukünftige Gewinn bei Nichtausübung und s c der erzielte Gewinn bei Ausübung ist. Satz Für alle n < N und alle s Z gilt (i) 0 J n (s + 1) J n (s) 1 (Gewinne steigen langsamer als die Preise) und (ii) 0 v n (s + 1) v n (s) 1 ( There is no free lunch ). Beweis: Vollständige Induktion von n + 1 auf n: Basis: Da v N (s) = 0 s ist, gilt J N 1 (s) = 0 s. v N 1 (s) = max s c, J N 1 (s)} = s c s S Somit erfüllen J N 1 und v N 1 die gewünschten Gleichungen. Annahme: J n+1 und v n+1 erfüllen (i) bzw. (ii) Zu zeigen: J n, v n erfüllen (i) bzw. (ii) Es gilt (i) 0 J n (s + 1) J n (s) =,x Z q(x)(v n+1 (s + 1 x) v n+1 (s x)) 1 q(x) = 1 x Z v n (s + 1) v n (s) = max s + 1 c, J n (s + 1)} max s c, J n (s)}. Fallunterscheidung über die Annahme des Maximums: Zwei triviale Fälle: a) Maximum wird bei s + 1 c und s c angenommen: 0 s + 1 c (s c) = 1 und b) Maximum wird bei J n (s + 1) und J n (s) angenommen: 0 J n (s + 1) J n (s) 1. Nichttriviale Fälle: a) Maximum wird bei s + 1 c und J n (s) angenommen: v n (s + 1) v n (s) = s + 1 c J n (s) s + 1 c (s c) = 1 und b) Maximum wird bei J n (s + 1) und s c angenommen: v n (s + 1) v n (s) = J n (s + 1) (s c) J n (s + 1) J n (s) 1 Analog zeigen wir, dass 0 v n (s + 1) v n (s): a)v n (s + 1) v n (s) = s + 1 c J n (s) J n (s + 1) J n (s) 0 b)v n (s + 1) v n (s) = J n (s + 1) (s c) s + 1 c (s c) = 1 0

20 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 19 (ii) Bemerkung. Aus diesem Satz folgt, dass die erwarteten (zukünftigen) Gewinne langsamer als der Preis s steigen. Sei M n := s S n s c J n (s)}, dann gilt s n = min M n und δ = (f0,... fn 1) ist die optimale Strategie, wobei fn(s) 1 s s n = 0 s < s, das heißt es wird nur ausgeübt, wenn n der Preis s den Wert s n erreicht oder übersteigt. Beispiel. Ersetzungsmodell Zustand der Maschine s 0,... M}, M N, Maschine wird zum Zeitpunkt n = 0,... N 1 inspiziert, dabei fällt die Entscheidung : ersetze oder nicht, der Preis einer neuen Maschine sei K, Betriebskosten c(z n ), z n... Zustand der Maschine unmittelbar nach der Entscheidung, z n = s n (1 a n ) (s n Zustand unmittelbar vor der Entscheidung), ˆq(z n, s n+1 )... Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand der Maschine sich von z n auf s n+1 verändert (Verschleiß) Optimalitätsgleichung: v n (s) = max c(s) + M ˆq(s, s )v n+1 (s ), K c(0) + M ˆq(0, s )v n+1 (s ) } s =0 } } s =0 } nicht ersetzen ersetzen Die minimalen erwarteten Gesamtkosten ausgehend vom Zustand n im Zeitpunkt n sind G n (s) = v n (s). G n (s) = min Y n (s), K + Y n (0)}, wobei M Y n (s) := ˆq(s, s )G n+1 (s ). s =0 Es ist } M M v n (s) = max c(s) + ˆq(s, s )v n+1 (s ), K c(0) + ˆq(0, s )v n+1 (s ) Annahmen: s =0 M = min c(s) ˆq(s, s )v n+1 (s ), K + c(0) s =0 s =0 s =0 } M ˆq(0, s )v n+1 (s ).

21 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 20 (A1) c(s) c(s + 1) s = 0,... M 1 entspricht höheren Betriebskosten bei einer älteren Maschine. (A2) v N (s) v N (s + 1) entspricht dem Restwert der Maschine in Zustand s (= terminaler Gewinn). (A3) M s =i ˆq(s, s ) M s =i ˆq(s + 1, s ) s = 0,... M 1, i = 0,... M. Lemma Sei v : 0,... M} R monoton wachsend. Wenn (A3) erfüllt ist, dann gilt Beweis: M ˆq(s, s )v(s ) s =0 M ˆq(s + 1, s )v(s ). s =0 M ˆq(s, s )v(s ) = s =0 + M ˆq(s, s )v(0) + s =0 M ˆq(s, s )(v(1) v(0)) s =1 M ˆq(s, s )(v(2) v(1)) s =2 M s =M M M = v(0) + (v(s ) v(s 1)) ˆq(s, s ) s =1 s =s A3 M M v(0) + (v(s ) v(s 1)) ˆq(s + 1, s ) s =1 s =s =... M = ˆq(s + 1, s )v(s ) s =0 ˆq(s, s )(v(m) v(m 1)) Satz Seien die Annahmen (A1)-(A3) erfüllt, dann gilt n = 0,... N 1, s = 0,... M 1 (i) Y n (s) Y n (s + 1) und (ii) G n (s) G n (s + 1). Beweis: Vollständige Induktion von n + 1 n:

22 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 21 Basis: Aus G N = v N, aus (A1) und (A2) und dem vorhergehenden Lemma folgt M Y N 1 (s) := c(s) + ˆq(s, s )G N (s ) s =0 M = c(s) ˆq(s, s )v N (s ) s =0 M c(s + 1) ˆq(s + 1, s )v N (s ) s =0 = Y N 1 (s + 1) s, G N 1 (s) = min Y N 1 (s), K + Y N 1 (0)} min Y N 1 (s + 1), K + Y N 1 (0)} = G N 1 (s + 1). (Lemma, (A1)) (wegen (i)) Annahme: (i) und (ii) gelten für Y n+1 und G n+1. Zu zeigen: (i) und (ii) gelten auch für Y n und G n. M Y n (s) = c(s) ˆq(s, s )v n+1 (s ) s =0 M c(s + 1) ˆq(s + 1, s )v n+1 (s ) s =0 = Y n (s + 1) G n (s) = min Y n (s), k + Y n (0)} min Y n (s + 1), k + Y n (0)} = G n (s + 1) s M n := s 0,... M} Y n (s) K + Y n (0)} n = 0,... N 1 Sn min M n M n := M n = Die optimale Strategie δ = (f0,... f N 1 ) erfüllt f n(s) 1 s s n = 0 s < s. n 1.4 ESDDOP mit nicht diskretem Zustands- bzw. Aktionenraum Situation: S R m Zustandsraum, S n R m n = 0,... N 1, A R r, A n (s n ) R r n = 0,... N 1,

23 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 22 s = s 1 s m, a = Anfangszustand: s 0 R m Einstufige Gewinne: r n : D n R : (s, a) r n (s, a), D n = (s, a) s S n, a A n (s)} Zustandstransformationsfunktion: z n : D n R : (s, a) z n (s, a) S n+1 Terminaler Gewinn: v N : S N R a 1 a r (D) : N 1 max r n (s n, a n + v N (s N )) n=0 s.t. s n+1 = z n (s n, a) (s n, a) D n n = 0,... N 1 s 0 S, a A n (s n ) n = 0,... N Lösbarkeit von (D) und Eindeutigkeit der Lösung Satz Wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind, dann besitzt (D) eine optimale Lösung. (D1) Das Problem (D) besitzt mindestens eine zulässige Lösung, (D2) n = 0,... N 1 sind r n und z n stetig auf D n, (D3) S n ist abgeschlossen für n = 0,... N 1, (D4) A n (s n ) ist kompakt s n S n und (D5) die Abbildungen A n : S n R + : s n A n (s n ) sind stetig im Sinne der Hausdorff- Metrik. Bemerkung. Hausdorff-Metrik: A, B R r : d(a, B) = sup sup a A d(a, B), sup b B d(b, A)}, mit d(a, B) = inf b B d(a, b) Beweis: Sei G := N 1 n=0 G : M R, r n (s n, a n ), wobei M R (m+r)n die Menge der zulässigen Lösungen von (D) ist. Da die r n alle stetig sind, folgt G ist stetig auf M. Wenn M kompakt ist, dann sind wir fertig. Wir zeigen daher, dass M abgeschlossen und beschränkt ist. Sei S n + die Menge der erreichbaren Zustände mit S + n = s n S n s n 1 S n 1 a A n 1 (s n 1 ), s n = z n 1 (s n 1, a)} S + 0 = s 0} D + n = (s, a) s S + n, a A n (s) } n = 0,... N 1.

24 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 23 Wir beobachten M D 0 + D D+ N 1, s 0, a 0, s 1, a 1,... s N 1, a N 1 } M. 1.) Beschränktheit von M: Wir zeigen D n + kompakt D n + beschränkt M beschränkt: Wir zeigen induktiv die Kompaktheit von S n und somit auch von D n. Induktion über n: n = 0 : S 0 + = s 0} kompakt D 0 + kompakt Sei nun S n + kompakt. Zu zeigen ist, dass S n+1 + kompakt ist. S n+1 + = z n (s, A n (s)) s S + n D + n = (s, a) s S + n, a A n (s) } D + n abgeschlossen: Sei ((s k, a k )) k N eine Folge in D + n mit lim (s k, a k ) = ( s, ā) k lim s k = s S n + k s S + n. kompakt k N : a k A n (s k ) und für A n Hausdorff-stetig folgt und somit ( s, ā) D n +. D n + beschränkt: D n + = s S + n (s} A n (s)) Kompaktheit von S + n+1 : ā = lim k a k lim k A n(s k ) = A n ( s) S n + }} A n (S n + ) } } beschränkt, weil kompakt beschränkt, weil A n Hausdorff-stetig unds n + kompakt S + n+1 = z(s, a) (s, a) D + n } = zn (D + n ) ist kompakt, weil D + n kompakt und z n stetig ist M beschränkt. (Daraus folgt wieder die Kompaktheit von D + n+1 usw.) 2.) Abgeschlossenheit von M: (s (k) 0 a(k) 0,... s(k) N 1 a(k) N 1 ) M k N Dies strebt für k gegen ( s 0 ā 0,... s N 1 ā N 1 ). Zu zeigen ist, dass dieser Grenzwert auch in M liegt. Es ist a (k) 0 A 0 (s (k) 0 ),... a(k) N 1 A N 1(s (k) N 1 ) k N. Da A n Hausdorff-stetig für alle n = 0,... N 1 und s (k) n S + n kompakt ist, folgt ā 0 A 0 ( s 0 ),... ā N 1 A N 1 ( s N 1 ) ( s 0 ā 0,... s N 1 ā N 1 ) M M ist kompakt Maximum wird angenommen.

25 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 24 Notationen. Es sei v n der optimale Gewinn eines Prozesses, der in Stufe n startet und ϕ : D n R, ϕ n (s, a) := r n (s, a) + v n+1 (z n (s, a)) v n (s) = max ϕ n(s, a). a A n(s) Satz Unter den Voraussetzungen (D1)-(D5) sind ϕ n und v n stetig auf D n bzw. S n n = 0,... N 1. Satz Sei zusätzlich zu (D1)-(D5) auch die Konvexität von S n und A n (s n ) gegeben n = 0,... N 1 und seien weiters die r n (streng) konvex und z n linear auf D n, dann sind ϕ n und v n (streng) konvex n = 0,... N 1. Satz Unter den Voraussetzungen vom vorhergehenden Satz mit der strengen Konvexität besitzt (D) genau eine optimale Lösung und die Funktionen sind eindeutig und stetig. f n (s) = arg max ϕ n (s, a) a A n(s) 1.5 Das unendlich-stufige deterministische dynamische Optimierungsproblem Situation: Die Perioden seien abzählbar unendlich, die Einteilung des Planungshorizonts sei so, dass die problemdefinierenden Größen innerhalb jeder Periode konstant bleiben. Annahmen: 1) z n = z, r n = r, S n = S, A n (s) = A(s) n N, s S, 2) Diskontierungsfaktor α = 1 1+p (0, 1), p... Zinssatz, 3) kein terminaler Gewinn vorhanden (U) max α n r(s n, a n ) n=0 s.t. s n+1 = z(s n, a n ) s n S, s 0 S a n A(s n ) Es seien folgende Voraussetzungen erfüllt: n N n N n N (U1) S R m, S, S ist abgeschlossen, (Ū1)... kompakt, (U2) s S : A(s), kompakt und A : S ϕ(r r ) : s A(s) ist Hausdorff-stetig, wobei ϕ(r n ) die Menge der kompakten Teilmengen von R r ist,

26 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 25 (U3) z ist stetig auf D = (s, a) s S, a A(s)}, (U4) r ist stetig und beschränkt auf D und (U5) s S a A(s) : z(s, a) S (garantiert Existenz einer zulässigen Lösung von (U)). Anmerkung: Aus (U4) folgt d = inf (s,a) D r(s, a), d = sup (s,a) D r(s, a) : d α n n=0 d r(s, a)α n n=0 1 α r(s, a)α n n=0 d α n n=0 d 1 α. Notationen. Betrachte das endlich-stufige Problem mit n = 0,... N 1 und r n (s, a) = α n r(s, a) (s, a) D. Seien v n die Lösungen der Optimalitätsgleichung v n (s) = max r n(s, a) + v n+1 (z(s, a))} n = 0,... N 1. (1.10) a A n(s) Betrachte Perioden j, j n als Perioden 0,... n j eines n j + 1-stufigen Problems P, das in Periode j startet. Sei ṽj (s) der maximale Gewinn mit Anfangszustand s. Es gilt v j (s) = α j ṽ j (s) j N. Setze dies in 1.10 ein und erhalte damit α j ṽj (s) = α j r(s, a) + α j+1 ṽ j+1 (z) } / : α j ṽ j (s) = ṽ n(s) = 0. max a A n(s) max r(s, a) + αṽ j+1(z)} j N (1.11) a A n(s) Setze ṽ j+1 (s) := s Rm \ S. Aufgrund von (U4) und (U5) gilt < ṽ j (s) < s S. Sei χ j = ṽ n j+1 ein Problem, das bei Stufe n j + 1 startet und in Stufe n endet (j = 0,... N 1). χ 0 (s) = v n(s) und χ j (s) ist der maximale Gewinn eines j-stufigen Problems mit Anfangszustand s s S, j N. Setze χ j in 1.11 ein und erhalte somit χ j(s) = max r(s, a) + αχ j 1 (z(s, a)) } j = 0,... n, n N( j N). (1.12) a A(s) Sei ϕ j : D + R : (s, a) r(s, a) + αχ j 1(z(s, a)) j N, D + = (s, a) s S, a A(s), z(a, s) S}

27 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 26 mit χ 0 (s) = 0 s S. Somit gilt χ j(s) = max a A(s) ϕ j(s, a). Annahme o.b.d.a.: r(s, a) 0, sonst r = r d und die Gesamtkosten des unendlichen Problems mit r sind nun j=0 αj d = d 1 α kleiner als die Gesamtkosten des ursprünglichen Problems. Da d 1 α konstant und unabhängig von der Politik ist, sind beide Probleme äquivalent. Satz Unter den Voraussetzungen (U1)-(U5) und mit der obigen Annahme existieren Funktionen χ = lim j χ j und ϕ = lim j ϕ j und sind stetig auf S bzw. D+. χ j und ϕ j konvergieren gleichmäßig gegen χ bzw. ϕ auf S bzw. D + (ohne Beweis). Vorgehensweise: Bilde den Limes auf beiden Seiten von 1.12 und erhalte χ (s) = max a A(s) r(s, a) + αχ (z(s, a))} Bellman sche Funktionalgleichung, (1.13) wobei χ der optimale Gewinn des unendlich-stufigen Problems ist. Satz Unter den Voraussetzungen (U1)-(U5) und der obigen Annahme besitzt die Bellman sche Funktionalgleichung nur eine beschränkte Lösung. Notationen. w(s) = max r(s, a) + αw(z(s, a))} (1.14) a A(s) fj arg max ϕ j (s, a) } s S, j N a A(s) f (s) arg max r(s, a) + αχ (z(s, a))} a A(s) s S (optimale Politik) Bemerkung. Im Allgemeinen sind f j und f nicht eindeutig. Satz Unter den Voraussetzungen (U1)-(U5) und der obigen Annahme ist jeder Häufungspunkt der Folge f j (s) gleich dem Funktionswert einer optimalen Politik f des unendlich-stufigen Problems (U) s S. Hat beispielsweise fj (s 0) 2 Häufungspunkte a, b, dann existieren f1, f 2 von (U), sodass f1 (s 0) = a, f2 (s 0) = b. als Optimallösungen/Politik Bemerkung. Analog wie bei endlichstufigen Problemen gilt wenn D konvex, z auf D streng konvex und r linear ist, dann sind f j und f eindeutig. In diesem Fall gilt lim j f j (s) = f (s) s S 0.

28 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG Lösungsverfahren für das Problem (U): Wertiteration vs. Politikiteration Wertiteration: Konstruiere Folgen χ j und f j mittels sukzessiver Auswertung der Funktionalgleichung Löse beginnend mit χ 0 (s) = 0 s S χ 1(s) = max r(s, a) + α 0} a A(s) f1 (s) arg max r(s, a)} a A(s) χ 2(s) = max a A(s) r(s, a) + αχ 1(z(s, a))} f2 (s) arg max r(s, a) + αχ 1 (z(s, a))} a A(s) und die weiteren j N bis ein Stoppkriterium χ j (s) χ j 1 (s) χ j 1 (s) < ε... für ein vorgegebenes ε > 0 erfüllt ist. Setze χ = χ j, f = fj für das letzte j. eine Lösung fol- Politikiteration: Für alle s setze f 1 + (s) arg max a A(s) r(s, a). Sei χ + 1 gender Funktionalgleichung χ 1 (s) = r(s, f + 1 (s)) + αχ 1(z(s, f + 1 (s))) und sei ϕ + j : D+ R, sodass ϕ + j (s, a) = r(s, a) + αχ+ j 1 (z(s, a)) 2 j N mit χ + 0 (s) = 0 s. Sei f + j (s) arg max ϕ + j (s, a), (1.15) a A(s) dann bestimme eine Lösung χ + j der Funktionalgleichung χ j (s) = r(s, f + j (s)) + αχ j(z(s, f + j (s))) (1.16) solange bis ein Stoppkriterium χ + j (s) χ+ j 1 (s) χ + j 1 (s) < ε für ein vorgegebenes ε > 0 erfüllt ist.

29 KAPITEL 1. DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 28 Bemerkung. Wir tun so als ob f + j (s) die beste Politik wäre. Es ist eine Approximation. Satz Unter den Voraussetzungen (U1)-(U5) und der obigen Annahme hat die Funktionalgleichung 1.16 genau eine beschränkte Lösung χ j für jede gemäß 1.15 festgelegte Funktion f j + j N. Satz Mit den gleichen Voraussetzungen wie im vorhergehenden Satz und erfüllten Annahmen konvergiert die Folge der (eindeutigen) beschränkten χ + j gleichmäßig gegen χ, wobei χ die eindeutig beschränkte Lösung von (U) ist. Weiters ist jeder Häufungpunkt der Folge f + j (s) der Wert einer optimalen Politik f an der Stelle s s S. Vergleich: Die Wertiteration ist leichter umsetzbar als die Politikiteration. Bei der Politikiteration muss in jeder Iteration eine im Allgemeinen nicht triviale Funktionalgleichung gelöst werden. Wenn f j + = f j+1 + für j N, dann sind die Folgen f i + und χ + i optimale Gewinn liegt vor, i j konstant. Der χ = lim i χ + i = χ + j. Die Politikiteration ist sinnvoll, falls eine gute bekannte Politik verbessert werden soll. Wertiteration: χ j χ = α j r(s, fj (s)) j=0 Die Konvergenzgeschwindigkeit hängt von α ab. Politikiteration: Die Konvergenzgeschwindigkeit ist i.a. unabhängig von α, daher ist es sinnvoll für α 1 die Politikiteration zu wählen (entspricht einem niedrigen Zinssatz p, denn α = 1 1+p ).

30 Kapitel 2 Lagerhaltungsprobleme Funktion: Ein Lager dient zur Entkopplung der Bedarfserfüllung (Verkauf) von dem Produktionsbzw. Bestellungsprozess. Typen: Ein-Produkt-Lager, Mehr-Produkt-Lager, Just-in-time-Systeme (möglichst kleines Lager), Multi-echelon-systems (Lager bekommt halbfertige Produkte und muss noch Produktionsschritte durchführen), Supply-chain-management, Material-replanishment-planing Wir betrachten Ein-Produkt-Lager und treffen die folgenden Annahmen: das Produkt wird nur an einem Standort gelagert und hat kein Ablaufdatum, die Nachfrage ist konstant über die Zeit, es sind keine Fehlmengen erlaubt, das Lager produziert nicht selbst, es existiert nur ein vordefinierter Lieferant, es gibt keine Mengenrabatte, es existiert keine Lieferzeit, der Planungshorizont ist unendlich, alle Parameter des Modells sind konstant im Zeitablauf (stationär), die Bestellgröße ist konstant über die Zeit und man hat folgende Kosten: Lagerungskosten h pro Produkt- und Zeiteinheit, fixe Bestellkosten K pro Bestellung, unabhängig von der bestellten Menge und variable Bestellkosten c pro Produkteinheit. Frage: Wann und wie viel soll bestellt werden? 29

31 KAPITEL 2. LAGERHALTUNGSPROBLEME Das grundlegende Lagerhaltungsmodell Bemerkung. Es wird auch als Sägezahnmodell bezeichnet und im Englischen redet man vom Economic Order Quality Modell (EOQ). Q Lagerbestand T 2T 3T Zeit L = Q rt im Intervall [0, T ] (Lagerbestand) Q... Bestellmenge r... Lagerabgangsrate (konstant, dadurch ist die Nachfrage beschrieben) T = Q r... Zykluslänge Aufgabe: Bestimme Q (bzw. T ), sodass die Gesamtkosten pro Zeiteinheit minimiert werden! Lagerhaltungskosten: h... Kosten für das Lagern einer Produkteinheit über eine Zeiteinheit Q 2... mittlerer Lagerbestand im Laufe eines Zyklus... mittlere Lagerungskosten je Zeiteinheit h Q 2 h Q 2 T = h Q2 2r... Lagerungskosten pro Zyklus Bestellkosten über einen Zyklus: mit δ(q) als Indikatorfunktion Gesamtkosten pro Zyklus: Kδ(Q) + cq Gesamtkosten pro Zeiteinheit: Minimum bestimmen: Kδ(Q) + cq + hq2 2r C(Q) = Kδ(Q) Q r = Krδ(Q) Q + cq Q r + hq2 2r Q r + cr + hq 2 C(Q) = Kr Q 2 + h 2Kr 2 = 0 Q = h C(Q) = 2Kr Q 3 > 0 (2.1)

32 KAPITEL 2. LAGERHALTUNGSPROBLEME 31 Minimum eindeutig, optimale Losgröße Optimale Zykluslänge: Minimale Kosten je Zeiteinheit: T = Q 2K r = hr (2.2) C(Q ) = Kr 2Kr h + cr + h 2 2Kr h hkr hkr = + cr hkr = 2 + cr 2 = 2hKr + cr Beobachtung: Q und T hängen nicht von den variablen Bestellkosten c ab. 1. Erweiterung des Modells: Fehlmengen sind erlaubt. p... Fehlmengenkosten pro Produkt- und Zeiteinheit, S und s (s < 0)... sind die Lagerbestände zu Beginn bzw. am Ende eines Zyklus, S... Lagerbestand unmittelbar nach Eintreffen einer Bestellung, s... Lagerbestand unmittelbar vor Eintreffen einer Bestellung, Q... Bestellmenge (Losgröße), s = S Q (maximale Fehlmenge) S Lagerbestand s T 2T 3T Zeit L = S rt im Intervall [0, T ] Aufgabe: Q, S bestimmen, sodass die Gesamtkosten je Zeiteinheit minimal sind. Lagerungskosten in [0, T ]: fallen in [0, S r ] an mittlerer Lagerbestand: S 2,

33 KAPITEL 2. LAGERHALTUNGSPROBLEME 32 mittlere Lagerungskosten je Zeiteinheit: h S 2, Lagerungskosten je Zyklus: h S 2 S r = hs2 2r Fehlmengen im Zyklus [0, T ]: fallen in [ S r, T = Q r mittlere Fehlmenge: s 2 = S Q 2 < 0, mittlere Fehlmengenkosten je Zeiteinheit: p Q S 2, Fehlmengenkosten je Zyklus: p Q S 2 Bestellkosten: Gesamtkosten je Zyklus: Gesamtkosten je Zeiteinheit: Minimum bestimmen: Q S r ] an (Intervalllänge Q S r ) = p(q S)2 2r Kδ(Q) + cq Kδ(Q) + cq + hs2 2r C(Q, S) = Kδ(Q)r Q + cr + hs2 2Q + p(q S)2 2r + p(q S)2 2Q C Q = 2rK + p(q2 S 2 ) hs 2 2Q 2 = 0 C hs p(q S) = = 0 S Q Die Hessematrix ist positiv definit und wir erhalten wie gewünscht ein Minimum. Es werden folgende optimale Größen angenommen: 2rK p S = h optimaler höchster Lagerbestand p + h Q = h + p 2rK S = p h h + p optimale Losgröße p s = S Q ( ) 2rK p = h p + h h + p p ( ) 2rK = h p (p + h) p(p + h) 2rKh = p(p + h) 2rK = 1 p p p + h T = Q 2K r = hr h + p p optimale negative Fehlmenge optimale Zykluslänge

34 KAPITEL 2. LAGERHALTUNGSPROBLEME 33 Minimale Kosten je Zeiteinheit: C = C(Q, S ) = rc + p 2rKh p + h Beobachtung: S /r Q /r = S Q = p p+h ist unabhängig von K und c. Für p erhält man die Lösung eines Basismodells ohne Fehlmengen. Die optimale Lösung ist eine sogenannte (s, S)-Politik mit Bestellpunkt s (Höhe des Lagerbestands, zu der eine Bestellung abgegeben wird) und Bestellgrenze S (bis zu welcher Grenze wird Lager gefüllt). 2. Erweiterung des Modells: Lieferzeiten vorhanden Hier gibt es eine Lieferzeitkonstante λ. Fallunterscheidung: 1.) λ < T : Wähle den Bestellzeitpunkt so, dass die Bestellung zum Bestellpunkt eintrifft. Bestellzeitpunkte: T λ, 2T λ,..., 2.) λ T : l := λ T λ = lt + R, 0 R < T Bestellzeitpunkte: T λ, 2T λ,... T R, 2T R, Erweiterung: Lager produziert selbst mit konstanter Produktionsrate ρ > 0 wenn ρ > r, dann sind Fehlmengen nicht erlaubt, die Anlaufzeit für die Produktion sei gleich 0, Q... ist der maximale Lagerbestand, Q... produzierte Menge je Zyklus Q Lagerbestand T T 1 Zeit Es gilt L = t(ρ r) tr + Q Q = ρt 1 = T r T 1 = T r ρ = Q ρ. 0 t T 1 (produziere und verkaufe) T 1 t T (verkaufe nur) T 1 = Q ρ r

35 KAPITEL 2. LAGERHALTUNGSPROBLEME 34 Mittlerer Lagerbestand je Zyklus: Q 2 = (ρ r)t 1 2 = (ρ r)q 2ρ Mittlere Lagerungskosten je Zeiteinheit: (ρ r)q h 2ρ Lagerungskosten je Zyklus: Produktionskosten je Zyklus: K + cq Gesamtkosten je Zyklus: Gesamtkosten je Zeiteinheit: h (ρ r)q T = h 2ρ (ρ r)q 2ρ (ρ r)q2 = h 2rρ (ρ r)q2 K + cq + h 2rρ C(Q) = Kr Q Q r + cr + h(ρ r)q 2ρ Bemerkung. Das ist das Minimierungsproblem des grundlegenden Lagerhaltungsproblems (EOQ) mit h EOQ = h ρ r ρ. Daraus folgen die nachstehende optimalen Größen: 2rK Q = h(1 r ρ ) 2K T = h(1 r ρ )r ( C = 2rh 1 r ) K + cr. ρ 4. Erweiterung: Mengenrabatte. variable Produktionskosten abhängig von Q, es ist für 0 < c < c c(q) = keine Fehlmengen, keine Anlaufzeit c c 0 Q < Q Q Q,

36 KAPITEL 2. LAGERHALTUNGSPROBLEME 35 Gesamtkosten je Zeiteinheit: C(Q) = rk Q + rc(q) + hq 2 C 1 (Q) = rk Q + rc + hq 2 C 2 (Q) = rk Q + rc + hq 2 Sei Q + die minimale Stelle von C 1 (Q) und C 2 (Q). Dann ist für 1.) Q > Q + : Q Q + C 1 (Q + ) C 2 ( = Q) und Q sonst 2.) Q Q + : Q = Q +. C (Q) 1 C (Q) 1 C (Q) 2 C (Q) 2 _ + Q Q Q _ Q + Q Q 2.2 Ein deterministisches dynamisches Lagerhaltungsmodell Annahmen: endlicher Zeithorizont, Perioden 1,... n, Nachfrage je Periode r j bekannt im Voraus j = 1,... n, fixe Bestellkosten K konstant im gesamten Zeithorizont, Stückpreise c pro Produkteinheit, konstant in der Zeit, Lagerhaltungskosten h pro Zeit- und Mengeneinheit konstant in der Zeit, Bestellmenge u j, j = 1,... n Gesucht: Bestellpolitik, die die Gesamtkosten minimiert. Es gilt o.b.d.a. folgendes r j > 0 j = 1,... n, wenn ein r k = 0, dann lege 2 Perioden zusammen.

37 KAPITEL 2. LAGERHALTUNGSPROBLEME 36 Es ist Der Bedarf wird sofort nach der Bestellung zu Beginn der Periode erfüllt. Die Lagerhaltungskosten werden bzgl. des Lagerbestands am Ende der Periode berechnet. (zu Beginn x 0, bestelle u 1, Abgang r 1 und habe dann x 1 am Ende von der 1. Periode bzw. am Anfang der 2. Periode (vor Bestellung) usw.) x 0 = x n = 0 x j = x j 1 + u j r j j = 1,... n Lagerhaltungsgleichung. (2.3) Die variablen Bestellkosten c n j=1 r j sind unabhängig von der Bestellpolitik und daher für die Optimierung irrelevant. Sie werden daher für die Bestimmung der optimalen Lösung vernachlässigt. Die minimalen Kosten des Problems für die Perioden 1,... j sind Cj (x j), wobei x j der Lagerbestand am Ende von Periode j ist. Es ergibt sich wobei C 0 (x) = C j (x j ) = min 0 u j x j +r j δ(u j)k + hx j + C j 1( 0 x = 0 x < 0 und C j (x) = x < 0. x j 1 }} =x j u j +r j ) j = 1,... n, (2.4) Bemerkung. Die Grenzen für u j beim Minimum sind aus 2.3 zu folgern. Das Problem wird mit Wertiteration gelöst. Lemma Sei x, u eine optimale Lösung des obigen Problems, dann gilt für alle j = 1,... n, dass x j 1 = 0 u j > 0 oder x j 1 > 0 u j = 0. Beweis: Annahme: Es existieren optimale Lösungen x, u und j 0 [1,... n] mit x j 0 1 > 0 u j 0 > 0. Sei x + j 0 1 = 0 Die neue Lösung sieht ab j 0 wie folgt aus u + j 0 = u j 0 + x j 0 1 u j 0 > 0 x + j 0 = x + j u+ j 0 r j0 = 0 + u + j 0 r j0 = x j u j 0 r j0 = x j x + j 0 1 = 0, u+ j 0, x + j 0 = x j 0, u + j 0 +1 = u j 0 +1,... Sei P (j 0) ein (j 0 1)-stufiges Problem mit gleichem Input wie das ursprüngliche Problem und sei x j0 1 = 0 (leeres Lager am Ende). Sei x +(j 0), u +(j 0) eine optimale Lösung und seien C +(j 0) die minimalen Kosten von P (j 0). Dann gilt C +(j 0) C j 0 1(x j0 1),

38 KAPITEL 2. LAGERHALTUNGSPROBLEME 37 da man ausgehend von x i 1, u i für i = 1,... j 0 1 eine Lösung von P (j 0) konstuieren kann, indem die bestellte Menge u i dementsprechend verringert wird, da man bei P (j 0) ein leeres Lager am Ende hat. Es gilt sogar <, da x j0 1 > 0 nach Voraussetzung und somit fallen Lagerkosten an (rechte Seite). Seien C + die Kosten der +-Lösung, dann ist C + = C +(j 0) + n j=j 0 [Kδ(u + j ) + hx+ j ] < Cj 0 1(x j0 1) + K δ(u + j 0 ) + hx + j } } }} 0 δ(u j ) 0 = C. hx j 0 + n j>j 0 [Kδ(u j) + hx j] Dies ist ein Widerspruch zur Optimalität von C und somit folgt die Aussage des Lemmas. Folgerung: u j > 0 x j 1 = 0 u j r j. Falls u j > r j x j > 0 u j+1 = 0 u j r j + r j+1 usw. Es gilt u j r j, r j + r j+1,..., r j +... r j+n }, (2.5) das heißt, sobald ich weiß wann ich bestelle, weiß ich auch wie viel. Weiters gilt: Sei j so, dass x j = 0 (dieses existiert, da x n = 0) und sei k 0,... j 1} so gewählt, dass x k = 0, x k+1 > 0,... x j 1 > 0, das heißt k ist der größte Periodenindex kleiner j mit leerem Lager am Ende vor Periode j (existiert, da x 0 = 0). Aus 2.5 folgt u k+1 = r k r j u k+2 = u k+3... u j = 0 x k+1 = r k r j x k+2 = r k r j... x j 1 = r j. Minimale Kosten über die Perioden k + 1,... j: K + h(x k x j 1) = K + h(r k+2 + 2r k (j 1 k)r j ) C j (x j = 0) = min K + h(r k+2 + 2r k (j 1 k)r j + Ck 0 k j 1 (x k = 0)} (2.6) (Rückwärtsrekursion, r k+1 geht sofort wieder weg - keine Lagerkosten)

39 KAPITEL 2. LAGERHALTUNGSPROBLEME 38 Sei I j (k) := K + h(r k+2 + 2r k (j 1 k)r j ) + C k (x k = 0) j = 1,... n, k = 0,... j 1 (2.7) Cj (0) = min I j(k) =: Ij (2.8) 0 k j 1 } k j := max Aus folgt für k j 2 arg min I j (k) 0 k j 1 I j (k) = K + h(r k+2 + 2r k (j 2 k)r j 1 + (j 1 k)r j ) + C k (x k = 0) = K + h(r k+2 + 2r k ((j 1) 1 k)r j 1 ) + C k (x k = 0) + h(j 1 k)r j = I j 1 (k) + h(j 1 k)r j. (2.9) und für k = j 1 Algorithmus. Wagner und Whitin Schritt 1: Vorwärts: I1 = I 1(0) = K und k1 = 0 Für j = 2, 3,... n bestimme I j 1 (k) + (j 1 k)hr j 0 k j 2 I j (k) = I j 1 + K Ij = min I j(k) 0 k j 1 k j = max arg min I j (k) 0 k j 1 Setze C = I n + c(r r n ). Schritt 2: Rückwärts: Setze I j (k) = I j (j 1) = K + I j 1. (2.10) }. k = j 1(bestelle nur f. eine Periode) Solange l > 1, setze l = k n u l+1 = r l r n u l+2 = u l+3 =... = u n = 0. Output: u i für i = 1,... m und C. m = k l u m+1 := r m r l u m+2 = u m+3 =... = u l = 0 l := m.

40 KAPITEL 2. LAGERHALTUNGSPROBLEME 39 Satz Der Algorithmus liefert eine korrekte Lösung des dynamischen Lagerhaltungsproblems aus diesem Abschnitt. Eine triviale Implementierung liefert eine Laufzeit von O(n 2 ). Unter Verwendung von balanced binary trees kann der Algorithmus in O(n) implementiert werden. Bei zeitabhängigen fixen Bestellkosten K i, variablen Bestellkosten c i und Lagerungskosten h i, i = 1,... n lässt sich der Algorithmus in O(n log n) Zeit implementieren, vorausgesetzt K 1 K 2... K n. Beweis: Die Korrektheit folgt aus Die Laufzeit von O(n) ist trivial. Bei weiterem Interesse siehe [1]. Beispiel. K = = 2 Mio, h = = 0.2 Mio Start: j = 2: j = 3: Winter j = 1 Frühling j = 2 Sommer j = 3 Herbst j = I 2 = I 1 = I 1 (0) = K = 2 k 1 = 0 min I 2(k) = 2.4 k 0,1} k2 = 0, weil I 1 (0) = 2.4 k = 0 I 2 (k) = K + I1 = 4 k = 2 I 3 = 3.6 k3 = 0, weil I 2 (k) + (2 k) k = 0, 1 I 3 (k) = K + I2 k = = 3.6 k = 0 = = 4.6 k = = 4.4 k = 2

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