Konfidenzintervalle. Praktische Übung Stochastik SS 2017 Lektion 10 1

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1 Kofidezitervalle Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 1

2 Kofidezitervalle Geerelle Aahme: Parametrisches Modell (P ϑ ) ϑ Θ Beobachtuge X 1,..., X u.i.v. ach P ϑ mit ubekatem ϑ Θ Grudidee: Schätzer T (ω) = t(x 1 (ω),..., X (ω)) liefert ur eie mögliche Wert für ϑ, aber i.a. ist T (ω) ϑ. Besitzt P ϑ eie Dichte, gilt i der Regel P ϑ (T = ϑ) = 0 ϑ Θ. Daher ka es sivoller sei, für ϑ keie kokrete Zahl (Schätzwert) azugebe, soder eie Bereich (Itervall), i dem das ubekate ϑ mit hoher Wahrscheilichkeit liegt: I (X 1,..., X ) = [a(x 1,..., X ), b(x 1,..., X )] Defiitio I heißt Kofidezitervall für ϑ zum Niveau 1, falls gilt: P ϑ (ϑ I ) 1 (ϑ Θ). Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10

3 Kofidezitervalle uter Normalverteilugsaahme Seie X 1,..., X u.i.v. ach N(µ, σ ), da ist ˆµ = X = 1 X i ML-Schätzer für µ, ˆσ = 1 (X i 1 X ) =: s erw.treuer Schätzer für σ. Es gilt S := X µ s t 1. Sei t 1;p das p-quatil der t-verteilug mit 1 Freiheitsgrade, da gilt P(t 1; S t 1;1 ) = P( S t 1;1 ) = 1. Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 3

4 Dichte der t 5 Verteilug t 0 x t 1 4 Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 4

5 Kofidezitervalle uter Normalverteilugsaahme Wege S t 1;1 X µ t s 1;1 X µ s t 1;1 [ µ X s t 1;1, X + s ] t 1;1 ist I (X 1,..., X ) = [ ] X ± s t 1;1 Kofidezitervall zum Niveau 1 für µ. Ei Kofidezitervall für σ erhält ma durch V = 1 σ (X i X ) χ 1 wie folgt: Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 5

6 Dichte der χ 5 Verteilug χ χ 1 16 x Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 6

7 Kofidezitervalle uter Normalverteilugsaahme Wege gilt P(χ 1; V χ 1;1 ) = 1 V χ 1; 1 σ (X i X ) = ( 1)s σ χ 1; V χ 1;1 σ ( 1)s χ 1; [ Damit ist I (X 1,..., X ) = zum Niveau 1 für σ. ( 1)s σ χ 1;1 ( 1)s, ( 1)s χ 1;1 χ 1; σ ( 1)s χ 1;1 ] Kofidezitervall Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 7

8 Allgemeies Verfahre Bilde aus Beobachtuge ud dem eizuschachtelde Parameter ϑ eie Größe T ( Teststatistik ), dere Verteilug F bekat ist. Eigrezug vo T zwische q F Niveau sicher: P ( q F T q1 F ud q1 F stellt das gewüschte ) = 1. Auflöse der Ugleichuge ach dem i T ethaltee Parameter ergibt das gesuchte Kofidezitervall. Probleme: a) Verteilug vo T ist icht exakt, soder ur asymptotisch für bekat bzw. berechebar. b) Ugleichuge lasse sich icht immer exakt ach dem gewüschte Parameter auflöse. I diese Fälle lasse sich ur approximative Kofidezitervalle agebe. Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 8

9 Kofidezitervalle uter Biomialverteilugsaahme Seie X 1,..., X u.i.v. ach B(1, p), da ist der ML-Schätzer für p gegebe durch p = 1 X i, ud Var p ( p ) = p(1 p) Aus dem zetrale Grezwertsatz (bzw. dem Satz vo demoivre- Laplace) folgt p p N(0, 1), p(1 p) d.h. P ( z ) p p z 1 1, p(1 p) wobei z p = q N(0,1) p. Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 9

10 Kofidezitervalle uter Biomialverteilugsaahme I diesem Fall köe die Ugleichuge icht so eifach ach p aufgelöst werde. Mögliche Auswege: 1) Ersetze de Neer p(1 p) durch p (1 p ) ud löse da Ugleichuge auf. ) Ersetze p(1 p) durch Maximalwert 0.5 (koservative Methode). 3) Löse die aus de (U)Gleichuge hervorgehede quadratische Gleichuge für p exakt: p p = z, p p p(1 p) = z 1 p(1 p) Mit 1) erhält ma das approximative Kofidezitervall [ ] p (1 p ) p (1 p ) p z 1, p + z 1. Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 10

11 Kofidezitervalle uter Poissoverteilugsaahme Seie X 1,..., X u.i.v. ach Pois(λ), da ist der ML-Schätzer für λ gegebe durch λ = 1 X i, ud Var λ ( λ ) = λ. Ereut folgt aus dem zetrale Grezwertsatz λ λ λ N(0, 1). Zum Auflöse vo z λ λ λ ud λ λ λ ma λ im Neer durch λ ud erhält [ λ, λ + z 1 λ z 1 ersetzt λ z 1 als approximatives Kofidezitervall zum Niveau 1. Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio ]

12 Kofidezitervalle uter Expoetialverteilugsaahme Seie X 1,..., X u.i.v. ach Exp(λ), da ist der ML-Schätzer für λ gegebe durch λ 1 = 1. X i Aus der Stochastik-Vorlesug wisse wir, dass ( ) X i Γ(, λ). Ferer gilt für X Γ(, β), dass ax Γ, β a mit a > 0. Daher ist λ ( = λ X i Γ, λ ) ( = Γ, 1 ) = χ λ λ. Auflöse der Ugleichuge χ ; [ λ χ ; λ χ λ ;1 ], λ χ ;1 als Kofidezitervall zum Niveau 1 für λ. ergibt Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 1

13 Nachtrag: Die Dichte eier χ -Verteilug mit Freiheitsgrade ist d χ (x) = x Γ( )e x 1(0, ) (x), ud die eier Gamma-Verteilug Γ(, β) d Γ(,β) (x) = Eisetze vo = ud β = 1 ergibt d Γ(, 1 )(x) = ( 1 ) β Γ() x 1 e βx 1 (0, ) (x). Γ() x 1 e 1 x 1 (0, ) (x) 1 = Γ ( ) x e x 1(0, ) (x) = d χ (x). Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 13