Zur Erinnerung. Volumenintegrale in unterschiedlichen Koordinatensystemen. Stichworte aus der 10. Vorlesung:

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1 Zu Einneung Stichote aus de 10. Volesung: Volumenintegale in unteschiedlichen Koodinatensstemen Beegung eines staen Köpes: Tanslation und Rotation Tägheitsmoment Steinesche Sat Momentane Dehachse Zusammenhang lineae Beegung <> Rotationsbeegung Epeimentalphsik SS

2 Gößen de Tanslation und Rotation Übesetungstabelle : Tanslation Kinetische Enegie de Tanslation/Rotation: Masse m mpuls p Kaft F Geschindigkeit v Beschleunigung a E kin 1 mv Rotation Tägheitsmoment Dehimpuls Dehmoment D Winkelgeschindigkeit Winkelbeschleunigung d/dt E ot 1 mpuls/dehimpuls: p m v p Kaft/Dehmoment: F m a D F D d dt Beegungsgleichung: m D lineae Deh- D Schingung Epeimentalphsik SS

3 Tägheitsmomente Zusammenfassung: Das Tägheitsmoment eines Köpes ist imme auf eine bestimmte Dehachse beogen. gegebene Massenveteilung, veschiedene Dehachsen veschiedene Tägheitsmomente!! gegebene Dehachse, veschiedene Massenveteilung veschiedene Tägheitsmomente!! (ichtig, da bei gegebenem ω Dehimpuls = ω und E ot = ½ ω von = ρ dv bestimmt eden. Tägheitsmoment beechenba enn ρ () bekannt, bei smmetischen Massenveteilungen elativ leicht ausueten falls Dehachse nicht duch Schepunkt geht: Steineschen Sat nuten! Epeimentalphsik SS

4 Haupttägheitsachsen Allgemeines: Beiehung ischen de momentanen Winkelgeschindigkeit ω und dem Dehimpuls es gilt: im Allgemeinen muss de Dehimpuls eines beliebig staen Köpes nicht paallel u momentanen Dehachse, d.h. paallel u ω sein! De Zusammenhang ischen den Vektoen ω und ist bestimmt duch die Massenveteilung im staen Köpe Ziel: allgemeine Aussagen übe Tägheitsmomente eines gegebenen Köpes es gibt beliebig viele Dehachsen! beliebig viele (unabhängige) Tägheitsmomente? (duch Steine schen Sat eduieba auf beliebige Achse duch den Schepunkt) Egebnis: Poblem ist eduieba auf Tägheitsmoment fü Dehung um dei ausgeeichnete Achsen: Haupttägheitsachsen mit Haupttägheitsmomenten Epeimentalphsik SS

5 Haupttägheitsachsen Allgemeines: Achse duch den Schepunkt Tägheitsmoment hängt ab von de Richtung Voeggenommene Egebnisse: Es gibt eine Achse büglich de das Tägheitsmoment maimal id ma ( ma ) Es gibt eine Achse büglich de das Tägheitsmoment minimal id min ( min ), obei min ma Fü die Dehung um die Achse inte mit inte min min ma gilt ( min) inte( inte) ma( m a ) Epeimentalphsik SS

6 Epeimentalphsik SS Tägheitsmoment Dehimpulsbeitag eines Masseelementes: Gesamtdehimpuls: Es gilt allgemein: ) ( i i i i i i i dm dm d v C B A B C A C B A D dv dm d i i i i i ) ) ( ( ) ) ( ( Skalapodukt ausgeschieben: dv dv ) ( Komponenten: dv dv dv dv dv ) ( ) (

7 Tägheitsmoment Koeffiientenvegleich: ( ) dv dv dv Analog fü die anden Komponenten: Abstand von de -Achse ( ( ) dv dv ) dv Abstand von de -Achse Abstand von de -Achse ij, i=j : Rotation um die Koodinatenachsen Epeimentalphsik SS

8 Tägheitsmoment Gleichungssstem: Matifom ~ Vekto Tenso Vekto Tägheitstenso: Vekto id duch Mati ~ in Vekto tansfomiet. liegt in de Regel nicht paallel u Epeimentalphsik SS

9 Tägheitstenso: Tägheitsmoment ~ ~ Vekto Tenso Vekto beogen auf Köpe, de beliebig in einem Koodinatensstem positioniet ist (b. Achsen des KS beliebig elativ u Kanten des Köpes gelegt) Duch diese lineae Beiehung ist dem Vekto ω de Vekto ugeodnet. Diese Zuodnung ist duch die Phsik bestimmt. Sie hängt nicht ab von de Oientieung des Koodinatensstems, in dem man die Rechnung duchfüht. Wenn man in einem gedehten Sstem ( ) echnet, ist dem Vekto ω deselbe Vekto ugeodnet im absoluten Raum. Die Komponenten de Vektoen und die ntegale i'k' haben abe andee Wete. Eine lineae Beiehung, die einem Vekto (hie ω ) einen eiten Vekto (hie ) so uodnet, dass die Zuodnung im absoluten Raum nicht von de Oientieung des Koodinatensstems abhängt, nennt man einen Tenso eite Stufe. Epeimentalphsik SS

10 Tägheitstenso Dehimpuls und Dehachse: Obige Gleichung besagt, dass nicht unbedingt paallel u Komponente i ( i,, ) ist. ist abhängig von Wann liegt paallel u? (. B. paallel u -Achse?) a) 0, 0 alle andeen = 0 0 ( i k), b) ik und = Skala i Epeimentalphsik SS

11 Hauptachsentansfomation: Tägheitstenso T ~ Diejenige Tansfomation (Dehung), die das Sstem K in K übefüht, deat dass sich fü den Tägheitstenso egibt: K ~ T K 0 Die Hauptachsen sind Smmetieachsen des Köpes. Beogen auf Hauptachsen id de Tägheitstenso diagonal Dehimpulskomponente i ii i i (Achse i) hängt nu ab von i Dehimpuls um Achse i ist unabhängig von Dehung um j und k Epeimentalphsik SS

12 Haupttägheitsachsen inte min ma Epeimentalphsik SS

13 Tägheitsellipsoid Beechnung de Rotationsenegie fü ein Massenelement i: E ot 1,, und Vegleich mit Eot cos cos cos 1 Tägheitsmoment bei Rotation um Achse mit Winkeln,, de Koodinatenachsen u Dehachse cos cos cos cos cos cos Details bitte im Demtöde, S. 145 ff. nachlesen De skalae Wet des Tägheitsmomentes als Funktion de Raumichtung (α,β,γ) de Dehachse ω bildet ein Tägheitsellipsoid Epeimentalphsik SS

14 Tägheitsellipsoid Einfühen eines Vektos R in Richtung de Dehachse mit den Komponenten: Rcos, Rcos, Rcos R Die Spite des Vektos R liegt fü R =const. auf einem Ellipsoid. Achtung: R 1 Details bitte im Demtöde, S. 145 ff. nachlesen Zu Bestimmung des Tägheitsmomentes fü eine Dehung in eine bestimmte Richtung sucht man den Schnittpunkt des Richtungsvektos mit de Obefläche des Ellipsoids: de Betag des Richtungsvektos ist geade: 1 R Epeimentalphsik SS

15 Tägheitsellipsoid Richtungen (α,β,γ) unte denen ω (α,β,γ) Etemete annimmt (Maima ode Minima) heißen: Haupttägheitsachsen die ugehöigen Tägheitsmomente: Haupttägheitsmomente iegen die Koodinatenachsen in Richtung de Haupttägheitsachsen, nimmt de Tägheitstenso die einfache Gestalt an: a b c Epeimentalphsik SS

16 Tägheitsmomente und Smmetie Jede otations-smmetische Köpe ist ein smmetische Keisel abe: Ein smmetische Keisel muss nicht geometisch Rotationssmmetie haben. (.B.: Wüfel: Tägheitsellipsoid ist eine Kugel) a b c smmetische Keisel a b ode b c ode a c asmmetische Keisel Epeimentalphsik SS

17 Keisel Smmetische Keisel: Asmmetische Keisel: Epeimentalphsik SS

18 Keisel Polate Keisel: Oblate Keisel: Epeimentalphsik SS

19 Feie Achsen Bishe: Rotation um feste Achsen betachtet Dehachse ω im Köpe-festen KS fest (.B.: bei ollendem Zlinde: ω im S tanslatiet) Jett: keine Achse mechanisch fiiet Dehmoment ikte in de Vegangenheit Köpe hat Dehimpuls im Folgenden: Dehachsen gundsätlich duch den SP Zu Einneung: Bei einem feien Köpe, dessen Dehachsen nicht festgehalten eden, ist nu, enn ode Köpe otiet um eine seine Haupttägheitsachsen a b c Epeimentalphsik SS

20 Feie Achsen Stabile Rotation um Haupttägheitsachsen = feie Achsen im Pinip möglich jedoch: kleinste Stöungen können um umkippen de Achsen fühen. a b c Efahung: Rotation um a ist stabil Rotation um b ist instabil Rotation um c ist seh stabil Epeimentalphsik SS

21 Feie Achsen Beispiel: Rotation eines Quades um seine feien Achsen: Köpe hat Tenden u Rotation um Achse mit gößtem Tägheitsmoment (kleinste) Stöungen fühen dau, dass de Köpe (duch Zentifugalkaft) in diese age getieben id Epeimentalphsik SS

22 Keisel Käftefeie Keisel: Keisel mit äußeem Dehmoment: Beeichnung de Achsen: Rotation Nutation Päession Keiselkompass ˆ cˆ Dehimpulsachse Figuenachse, (Smmetie-Achse enn Köpe auch geometisch smmetisch) ŵ momentane Dehachse enn äußees Dehmoment D = 0 (käftefei!) aumfest! enn c = Smmetie-Achse, dann ist a = b enn ω = c (Figuenachse) dann auch = c stabile Rotation um aumfeste Achse (Figuenachse äumlich stabil) Epeimentalphsik SS

23 Nutation Ausganssituation ˆ cˆ ŵ Kue Schlag gegen die Figuenachse d Ddt ˆ, cˆ, ˆ nicht meh paallel ˆ cˆ ˆ cˆ Nach dem Schlag ist de Keisel käftefei D 0 0 const. Dehung um Achse ĉ und Achse u ĉ müssen so koodiniet ablaufen, dass 0 Epeimentalphsik SS

24 Nutation anfangs: Figuenachse c, und liegen paallel = (, 0, ) = (, 0, ) i = i i F Schlag gegen Figuenachse c mit Kaftstoß Fdt -Achse d = dp = Fdt : vom Koodinaten-Nullpunkt u Schlagstelle d -Achse! = + d = da d d Kaftstoß: Richtungsändeung de Figuenachse in --Ebene d duch Kaftstoß Achse, nicht meh in --Ebene, d.h. (und ) nicht meh paallel u Figuenachse Epeimentalphsik SS

25 Päession (eines smmetischen Keisels) Reaktion des Keisels mit 0 auf ein äußees Dehmoment hie: Figuenachse von 0 u S: Figuenachse D = F ikt ständig ständig ist d 0 S d F d Richtungsändeung von Epeimentalphsik SS

26 Päession () (eines smmetischen Keisels) D = s M g D = M g sin Reaktion des Keisels mit 0 auf ein äußees Dehmoment d d = D dt s und g d = d d d/dt = d/dt D = P d S d F o D mg sinα D(90 ) ω P = sinα ω Keisel d sin Epeimentalphsik SS

27 N Keisel-Kompass kadanisch aufgehängte Keisel am Äquato positioniet Blick längs de Dehachse auf den Nodpol Dehimpuls 0 Std 3 Std 6 Std N Epeimentalphsik SS

28 Keisel-Kompass () Vekippung de Keiselplattfom um Achse Edobefläche nicht möglich Fiieung eine Dehmoment D duch Vekippung de Plattfom Dehachse Ebene paallel u Edobefläche Fiieung Achse de Vekippung paallel u D = 0 d = D dt + d D dt d Päession von N D = 0 sobald Edachse A ichtet sich paallel u A aus eigt nach Einschingung dauehaft nach Noden Epeimentalphsik SS

29 Keiseldnamik am Fahad Einige paktische Konsequenen aus de Keiseldnamik Steueung eines Rades beim f e i h ä n d igen Fahen: Epeimentalphsik SS

30 Tägheitsmomente, Keisel, etc. Zusammenfassung: allgemeine Dastellung des Dehimpulses fü Dehung von beliebig gefomtem Köpe um beliebige Dehachse (duch den Schepunkt) Zusammenhang von ω und. m allgemeinen Fall liegt nicht paallel u ω. Tägheitstenso: vebindet mit ω ( tansfomiet ω nach ) Haupttägheitsachsen = dei senkecht u einande stehende Achsen a, b, c mit ugehöigen Tägheitsmomenten a b c (enn ei de Tägheitsmomente gleich sind: smmetische Keisel) Epeimentalphsik SS

31 Tägheitsmomente, Keisel, etc. Zusammenfassung: Tägheits-Ellipsoid (aus Dastellung de Rotationsenegie duch Tägheitstenso). Wenn a, b und c bekannt, kann ω fü beliebige Richtung de Dehachse ω bestimmt eden. Rotation um nicht gelagete Achsen: stabile Rotation nu um die Achse c, d.h. die Achse mit dem gößten Tägheitsmoment Epeimentalphsik SS