Die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Steven Klein

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1 Die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen Steven Klein

2 In dieser Ausarbeitung konstruieren wir die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen. Hierzu denieren wir zunächst eine Äquivalenzrelation auf der Menge der rationalen Cauchy-Folgen und zeigen, dass die Menge der Äquivalenzklassen ein vollständiger angeordneter Körper ist. Denition 1. Seien (a n ) und (b n ) rationale Cauchy-Folgen mit a n b n 0 für n. Dann heiÿen (a n ) und (b n ) äquivalent. Satz. Seien (a n ) und (b n ) rationale Cauchy-Folgen. Dann wird durch (a n ) (b n ) a n b n 0 für n eine Äquivalenzrelation auf der Menge der rationalen Cauchy-Folgen deniert. Beweis. Wir zeigen, dass die angegebene Relation reexiv, symmetrisch und transitiv ist. Sei (a n ) eine rationale Cauchy-Folge. Dann gilt a n a n =0 für alle n N, sodass a n a n 0 für n gilt. Folglich ist (a n ) (a n ). Seien (a n ) und (b n ) rationale Cauchy-Folgen mit (a n ) (b n ), d.h. es gilt a n b n 0 für n. Dann ist b n a n = (a n b n ) 0 für n und somit (b n ) (a n ). Seien (a n ), (b n ) und (c n ) rationale Cauchy-Folgen mit (a n ) (b n ) sowie (b n ) (c n ). Dann gilt für n und somit (a n ) (c n ). a n c n = (a n b n ) + (b n c n ) 0 Nun denieren wir die rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy- Folgen und besprechen im Anschluss die Arithmetik auf der Menge der Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Denition 3. Es sei q Q. Wir bezeichnen die Äquivalenzklasse, die die konstante Folge q, q, q,... enthält, mit [(q)]. Denition 4. Seien [(a n )] und [(b n )] Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Dann ist die Addition + durch [(a n )] + [(b n )] = [(a n + b n )] und die Multiplikation durch deniert. [(a n )] [(b n )] = [(a n b n )] Satz 5. Seien [(a n )] und [(b n )] Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Die Verknüpfungen + und auf der Menge der Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen sind wohldeniert.

3 Beweis. Wir zeigen zunächst, dass die Addition wohldeniert ist. Seien (a n ), (b n ), (c n ) und (d n ) rationale Cauchy-Folgen mit [(a n )] = [(c n )] und [(b n )] = [(d n )], d.h. es gilt a n c n 0 und b n d n 0 für n. Da die Gleichung für alle n N gilt, folgt a n + b n (c n + d n ) = (a n c n ) + (b n d n ) ((a n ) + (b n )) ((c n ) + (d n )) 0 für n. Somit ist [(a n + b n )] = [(c n + d n )]. Nun zeigen wir, dass die Multiplikation wohldeniert ist. Seien (a n ), (b n ), (c n ) und (d n ) rationale Cauchy-Folgen mit [(a n )] = [(c n )] und [(b n )] = [(d n )], d.h. es gilt a n c n 0 und b n d n 0 n. Für alle n N gilt sowie die Ungleichung (a n b n ) (c n d n ) = a n b n + (b n c n b n c n ) c n d n = (a n b n b n c n ) + (b n c n c n d n ) = b n (a n c n ) + c n (b n d n ) (a n b n ) (c n d n ) b n a n c n + c n b n d n. Da Cauchy-Folgen beschränkt sind, gibt es eine rationale Zahl M > 0 mit für alle n N. Folglich gilt b n, c n < M b n a n c n + c n b n d n M( a n c n + b n d n ) 0 für n und somit [(a n b n )] = [(c n d n )]. Der folgende Satz folgt aus dem entsprechenden Ergebnis für rationale Zahlen. Satz 6. Für die Verknüpfungen + und auf der Menge der Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen gelten die folgenden Aussagen. (i) Das neutrale Element bezüglich der Addition ist [(0)]. (ii) Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist [(1)]. Mithilfe des folgenden Lemmas zeigen wir, dass es zu jeder nichttrivialen Äquivalenzklasse rationaler Cauchy-Folgen ein multiplikatives Inverses gibt. Lemma 7. Sei (a n ) eine rationale Cauchy-Folge, die nicht gegen 0 für n konvergiert. Dann existiert ein N N, so dass a n 0 für n > N gilt. Satz 8. Sei [(a n )] [(0)] eine Äquivalenzklasse rationaler Cauchy-Folgen. Dann gibt es eine Äquivalenzklasse rationaler Cauchy-Folgen [(b n )] mit [(a n )] [(b n )] = [(1)]. 3

4 Beweis. Wir wählen N, so dass a n 0 für n > N gilt und denieren die Folge (b n ) durch b n = 0 für n N, und b n = 1 a n für n > N. Der folgende Satz folgt aus den entsprechenden Ergebnissen für rationale Zahlen. Satz 9. Für die Verknüpfungen + und auf der Menge der Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen gelten folgende Aussagen. (i) Zu jedem [(a n )] existiert ein [(b n )], so dass [(a n )] + [(b n )] = [(0)]. (ii) Die Addition ist kommutativ und assoziativ. (iii) Die Multiplikation ist kommutativ und assoziativ. (iv) Die Addition und Multiplikation erfüllen das Distributivgesetz. Bemerkung. Das inverse Element zu [(a n )] bezüglich der Addition ist [( a n )]. Im Folgenden denieren wir eine Ordnung und besprechen diese. Denition 10. Seien [(a n )] und [(b n )] Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. (i) Sei [(a n )] [(0)]. Dann ist [(a n )] positiv, wenn es ein N N mit a n > 0 für n > N gibt. (ii) Es ist [(a n )] > [(b n )], falls [(a n )] [(b n )] positiv ist. Satz 11. Die Ordnung > ist wohldeniert. Satz 1. Seien [(a n )], [(b n )] und [(c n )] Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen mit [(a n )] > [(b n )]. Dann gilt [(a n )] + [(c n )] > [(b n )] + [(c n )]. Beweis. Es gelte [(a n )] > [(b n )], d.h. es sei [(a n )] [(b n )] > [(0)]. Damit existiert ein N N mit a n b n > 0 für n > N, d.h. a n > b n für n > N. Mit der entsprechenden Regel für rationale Zahlen folgt a n + c n > b n + c n für n > N, sodass für n > N und folglich gilt. (a n + c n ) (b n + c n ) > 0 [(a n )] + [(c n )] > [(b n )] + [(c n )] Der folgende Satz wird analog zu Satz 1 bewiesen. Satz 13. Seien [(a n )], [(b n )] und [(c n )] Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen mit [(a n )] > [(b n )] und [(c n )] > [(0)]. Dann gilt [(a n )] [(c n )] > [(b n )] [(c n )]. 4

5 Satz 14. Die Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen erfüllen die archimedische Eigenschaft, d.h. für Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen [(a n )] > [(0)] und [(b n )] existiert ein m N mit [(m)] [(a n )] > [(b n )]. Beweis. Falls [(b n )] [(0)] folgt die Behauptung mit m = 1. Nun seien [(a n )] > [(0)] und [(b n )] > [(0)] Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Wir zeigen die Existenz von m, N N mit ma n > b n für jedes n > N. Es existieren M 1 > 0 mit für alle n N und N N, M > 0 mit b n M 1 a n M für n > N, da (a n ) nicht gegen 0 konvergiert und damit auch keine Teilfolge von (a n ) gegen 0 konvergiert ((a n ) ist eine Cauchy-Folge). Damit gilt b n M 1 für n > N. Da Q die archimedische Eigenschaft hat, gibt es m N mit m > M 1 M b n < m für n > N. a n a n M Bemerkung. Insbesondere gilt [( 1 )] [(0)] für n. n und somit Satz 15. Seien [(a n )] eine Äquivalenzklasse rationaler Cauchy-Folgen und sei ɛ > 0 eine rationale Zahl. Dann existiert ein q Q mit [(a n )] [(q)] < [(ɛ)]. Beweis. Da (a n ) eine Cauchy-Folge ist, existiert ein N N mit für m, n > N. Nun wählen wir Dann gilt für n > N, sodass ist. a n a m < ɛ q = a N+1. ɛ < a n q < ɛ [ (ɛ)] < [(a n )] [(q)] < [(ɛ)] 5

6 Nun bezeichnen wir die Menge aller Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen mit R. Mit den Verknüpfungen (+) und ( ) sowie der Ordnung (<) bildet diese einen geordneten Körper mit der Archimedischen Eigenschaft. Identizieren wir q Q mit [(q)] R, so ist Q eine dichte Teilmenge von R. Es bleibt noch die Supremumseigenschaft von R zu verizieren. Dabei verwenden wir die übliche Notation für reelle Zahlen. Es seien S eine nichtleere Teilmenge von R, M eine obere Schranke von S und s 0 S. Wir denieren zwei Folgen (u n ) und (l n ) in R durch folgendes induktives Verfahren. Wir setzen u 0 = M und l 0 = s 0. Wir setzen m n = un+ln für n N 0. Falls m n eine obere Schranke von S ist, setzen wir u n+1 = m n sowie l n+1 = l n. Ansonsten setzen wir u n+1 = u n und l n+1 = m n. Lemma 16. Für die Folgen (u n ) und (l n ) gelten folgende Aussagen. (i) Die Folge (u n ) ist monoton fallend und die Folge (l n ) ist monoton wachsend. (ii) Die Folgen (u n ) und (l n ) sind Cauchy-Folgen reeller Zahlen. (iii) Es existiert u R, so dass u n u für n gilt. (iv) Es gilt l n u für n. Beweis. oder (i) Es gilt für n 0, d.h. es ist für n 0. Weiterhin gilt oder für n 0, d.h. es gilt u n+1 = u n u n+1 = u n + l n u n+1 u n l n+1 = l n l n+1 = u n + l n l n+1 l n u n für n 0. (ii) Die Folge (l n ) ist monoton wachsend und nach oben beschränkt durch M und die Folge (u n ) ist monoton fallend und nach unten beschränkt durch M. (iii) Zu jedem u n gibt es ein q n Q, d.h. eine Äquivalenzklasse [(q n, q n, q n,...)], so dass Es gilt u n q n < 1 n. l n q n q m = (q n u n ) + (u n u m ) + (u m q m ) und somit ist (q n ) eine Cauchy-Folge. Wir setzen u = [(q n )], sodass q n u 6

7 für n. Da nach Konstruktion u n q n < 1 gilt, folgt n für n. (iv) Es gilt entweder oder u n u u n+1 l n+1 = m n l n = u n + l n l n = u n l n u n+1 l n+1 = u n m n = u n u n + l n = u n l n für n 0. Nun zeigen wir mit vollständiger Induktion, dass u n l n = n (M s 0 ) für n N gilt. Für n = 1 ist u 1 l 1 = u 0 l 0 = 1 (M s 0 ). Es gelte u n l n = n (M s 0 ) für ein festes n N. Dann ist u n+1 l n+1 = 1 u n l n = 1 n (M s 0 ) = (n+1) (M s 0 ). Da für n gilt, folgt und somit für n. n (M s 0 ) 0 u n l n 0 l n u Satz 17. Die reelle Zahle u ist eine kleinste obere Schranke für S. Beweis. Wir nehmen an, u ist keine obere Schranke für S. Dann gilt u < s für ein s S sowie ɛ = s u > 0. Da (u n ) u für n und (u n ) monoton fallend ist, existiert ein n mit u n u < ɛ sowie u n < ɛ + u = u + (s u) = s. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass u n eine obere Schranke von S ist. Also ist u eine obere Schranke. Für jedes n ist l n keine obere Schranke für S. Dann gibt es für jedes n ein s n S mit l n s n. Da l n u für n und (l n ) monoton wachsend ist, gibt es für jedes ɛ > 0 ein N N mit l n > u ɛ für n > N. Insbesondere gibt es zu jedem ɛ > 0 ein s S mit s > u ɛ, sodass es keine kleinere obere Schranke als u gibt. 7