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1 V3..3 ****** Motivtion Ein Spektrlnlystor überführt die Schwingungen, welche von verschiedenen Musikinstrumenten oder von einem Funktionsgenertor erzeugt wurden, durch Fouriernlyse in ihr zugehöriges Amplitudenspektrum. Experiment Abbildung : Versuchsufbu Abb. zeigt den experimentellen Aufbu. Ein Spektrlnlystor nimmt elektronische Signle n und fährt eine Fouriertrnsformtion der entsprechnden Zeitspektren durch. Die Fouriermplituden werden dnn in Knälen gleicher Breite drgestellt. Als Eingngssignle dienen ein reines Sinus-Signl, eine periodische Rechtecks- bzw. Dreiecksverteilung, welche von einem Funktionsgenertor erzeugt und uf einem Oszilloskop ngezeigt werden, sowie ds Grundruschen des Oszilloskops. Ebenflls misst mn die spektrle Verteilung des Klngs verschiedener Musikinstrumente, welcher mit einem Schlldruck-Messgerät gemessen wird, ds dnn die elektronischen Signle n den Spektrumsnlystor weitergibt. Abb. zeigt die Fourierspektren einer Sinusschwingung, einer Dreiecksverteilung, einer Rechtecksverteilung sowie des Ruschens.

2 V3 b d c Abbildung : Fourierspektren verschiedener Zeitverteilungen: ) Sinusschwingung, b) Dreiecksverteilung, c) Rechtecksverteilung, d) Ruschen. 3 Theorie 3. Fourierreihen Definition: Eine Fourierreihe ist eine U berlgerung von endlich vielen oder uch unendlich vielen, ber bz hlbren, Schwingungen. Jede periodische Funktion f (t) mit Periode T, lso f (t + T ) = (t), () knn geschrieben werden ls f (t) = oder f (t) = X n= X An cos (ωn t + δn ) () {n cos ωn t + bn sin ωn t} n= Physikdeprtement ETH Zu rich

3 V3 mit ω n = nω, Frequenzen der Oberschwingungen, (3) ω = π, T Frequenz der Grundschwingung. (4) Die Funktionen cos ω n t und sin ω n t bilden die Bsisvektoren eines unendlich-dimensionlen Vektorrums, in dem sich periodische Funktionen ls Linerkombintion dieser Bsisvektoren drstellen lssen! Mn bechte: cos ω n t sind die Bsisvektoren im Rum der gerden periodischen Funktionen f g mit Periode T = π/ω und der Symmetrie f g (t) = f g ( t) (5) sin ω n t sind dgegen die Bsisvektoren im Rum der ungerden periodischen Funktionen f u mit Periode T = π/ω und der Symmetrie Es gilt lso f g (t) = f u (t) = f u (t) = f u ( t) (6) n cos ω n t (7) n= b n sin ω n t (8) n= Mn bechte uch, dss b gilt, d der konstnte Term eine gerde Symmetrie ufweist und bereits durch drgestellt ist. Beliebige periodische Funktionen ohne Symmetrie können dnn ls eine Summe von gerden und ungerden Funktionen drgestellt werden. f(t) = f g (t) + bf u (t) (9) Flls nun sowohl f(t) ls uch die Periode T = π/ω beknnt sind, knn mn die Fourierkoeffizienten k und b k bestimmen. Dies entspricht einer Projektion eines Vektors r im R n uf die Bsischse ˆx k : n = r ˆx n () Beim Vektor wird diese Projektion durch ds Sklrprodukt erreicht, bei der Funktion im Funktionenrum durch ds Integrl über ds Produkt der Funktion f(t) mit der Bsisfunktion, berechnet für eine Periode T. 3

4 V3 k = T b k = T T T f(t) cos ω k t dt f(t) sin ω k t dt () Dies ist die Grundlge der Signlverrbeitung und Informtionstechnik. Auch in der Quntentheorie spielt diese Zerlegung eine grundlegende Rolle. Beispiel : Mänderkurve Die Mänderkurve wird uch ls Rechtecksignl bezeichnet (siehe Abb. 3): { +A, t T f(t) = T A, t < T () D die Kurve mit dieser Definition punktsymmetrisch ist, knn sie mit usschliesslich Sinusfunktionen ngenähert werden: Die Koeffizienten b k ergeben sich us b k = T = A T f( t) = f(t) (3) f(t) = b k sin ω k t (4) T k= f(t) sin ω k t dt (5) T/ sin ω k t dt Zwischenrechnung: Integrl über die Sinusfunktion in Gl. (6) T T/ sin ω k t dt (6) b e it dt = [ i e it ] b = b b {cos t + i sin t} dt (7) b cos t dt + i sin t dt (8) = {sin b sin } i {cos b cos } (9) 4

5 V3 Der Vergleich der Rel- und Imginärteile ergibt: Entsprechend ist b b cos t dt = {sin b sin } () T/ sin t dt = {cos b cos } () sin ω k t dt = { ( cos k π ) } T T () = { cos kπ} = { ( ) k} (3) T T/ sin ω k t dt = { } ( ) k b k = T [ ] ( ) k ( ) k + = [ ( ) k] = kπ 4 kπ, k ungerde, k gerde (4) (5) (6) Dmit folgt für die Mänderkurve: f(t) = k=,3,5,... Ds entsprechende Amplitudenspektrum ist in Abb. 4 wiedergegeben. Gibbssches Phänomen: 4A kπ sin t (7) Ds Gibbsche Phänomen bescheibt ds Verhlten von Fourierreihen in der Umgebung von Sprungstellen. Bei der Approximtion entstehen Überschwinger n der Sprungstelle, die sich uch mit verbesserter Approximtion nicht usmerzen lssen. Beispiel : Dreiecksverteilung Die punktsymmetrische Dreiecksverteilung mit Amplitude A und Periode T lutet: f(t) = 4A T t t < 4 T A 4A T t 4 T t < 3 4 T 4A + 4A T t 3 4 T t < T (8) 5

6 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 8 V3 f(ωt) 6π 4π π π 4π 6π ωt - - f (ωt) 6π 4π π π 4π 6π ωt - - f 3 (ωt) 6π 4π π π 4π 6π ωt - - f (ωt) 6π 4π π π 4π 6π ωt - - f n (ωt) = n k=,3,5,... 4A sin {kωt}, A = kπ Abbildung 6.: Mänderkurve und deren Approximtion durch eine Fourierreihe. Abbildung 3: Mänderkurve und deren Approximtion durch eine Fourierreihe. 6

7 V3 4A π A(ω) ω/ω Die Fourierreihe dzu lutet Abbildung 4: Amplitudenspektrum der Mänderkurve. f(t) = 8A { sin ω π t sin 3ω 3 t + sin 5ω 5 t... } = 8A π ( ) k sin {(k ) ω (9) t} (k ) k= Die Funktion und einige ihrer Näherungen sind in Abb. 5, ds entsprechende Amplitudenspektrum ist in Abb. 6 wiedergegeben. Komplexe Drstellung der Fourierreihe Sttt mit Winkelfunktionen knn mn die Fourierreihe uch mit der komplexen Exponentilfunktion drstellen: f(t) = c n e inωt (3) n= Mn bechte, dss bei dieser Drstellung uch negtive Frequenzen erforderlich sind! Für ist f(t) R mit c = c n = c n (3) (3) c n = ( n ib n ) (33) c n = ( n + ib n ) (34) f(t) = + { n cos nω t + b n sin nω t} (35) n= 7

8 V3 f(ωt) 3π π π π π 3π ωt - - f (ωt) 3π π π π π 3π ωt - - f 3 (ωt) 3π π π π π 3π ωt - - f 5 (ωt) 3π π π π π 3π ωt - - f n (ωt) = 8A π n k sin {(k ) ωt} ( ) (k ), A = k= Abbildung 5: Dreiecksverteilung und deren Approximtion durch eine Fourierreihe. 8

9 V3 8A π A(ω) ω/ω Die Amplituden c n ergeben sich zu Abbildung 6: Amplitudenspektrum der Dreiecksverteilung. c n = T T f(t)e inωt dt (36) Anwendungen der Fourierreihe Bei der Fouriernlyse wird ermittelt, mit welcher Amplitude die Vielfchen der Grundfrequenz ω uftreten. Bei der Fouriersynthese versucht mn dgegen, eine vorgegeben periodische Funktion durch eine geeignete Kombintion von Schwingungen zu erzeugen. 3. Fourierintegrle Wir hben im vorhergehenden Abschnitt gelernt, dss mn periodische Signle durch unendliche Fourierreihen usdrücken knn. Ds zugehörige Amplitudenspektrum besteht us einzelnen, dikreten Amplituden. wenn mn nun die Periode T gehen lässt, erhält mn kein periodisches Signl mehr, sondern eine nichtperiodische Funktion. Dbei geht ber uch ω = π/t, so dss bei gleichbleibendem Mssstb im Amplitudenspektrum die Linien immer dichter werden, bis sich eine kontinuierliche Verteilung ergibt. Sttt der Koeffizienten c n in Gl. (3) erhält mn dnn Amplitude A(ω), und die Summe wird durch ein Integrl ersetzt: f(t) = π A(ω) e iωt dω (37) Der Fktor vor dem Integrl ist frei wählbr. Ist er ber einml gewählt, dnn ist dmit der Vorfktor bei der Amplitude A(ω) nicht mehr frei. Der Fktor / π ht den Vorzug, dss sich bei der Amplitude der gleiche Fktor ergibt: 9

10 V3 f(t) = { f, τ t τ, sonst f(t) f t/τ A(ω) = f π sin ωτ ω τ π f A(ω) 6π 4π π π 4π 6π ωτ Abbildung 6.: 7: Zeitliche Verteilung und Spektrum eines eines Knlls. A(ω) = π f(t) e iωt dt (38) Beispiel: Knll Ein Knll lässt sich näherungsweise durch eine konstnte Schllmplitude während eines gewissen Zeitintervlls beschreiben (siehe Abb. 7): { f, τ t τ f(t) = (39), sonst Unendlich kurzer Knll und Deltfunktion Offensichtlich benötigt mn zur Fouriersynthese eines Knlls unendlich viele Frequenzen, wobei sich ber die Huptbeiträge im Gebiet des. Mximums um ω = herum befinden. Je kürzer der Knll ist, desto breiter wird die Amplitudenverteilung und dmit uch ds Gebiet des. Mximums. Wir betrchten dzu ls geeignetes Mss die Breite ω zwischen ω = und der. Nullstelle herum. Dort ist Normlerweise nimmt mn die volle Breite uf hlber Höhe (Hlbwertsbreite, FWHM), ws ber hier zu einer trnszendenten Gleichung führt.

11 V3 f(t) = δ(t t ) f(t) t A(ω) = π e iωt π A(ω) t ωτ Abbildung 6.: Zeitliche Verteilung und Spektrum eines unendlich kurzen Knlls. Abbildung 8: Zeitliche Verteilung und Spektrum eines unendlich kurzen Knlls. sin ωτ = ω = π τ (4) Die Breite der Amplitudenverteilung ist lso umgekehrt proportionl zur Zeitduer des Knlls! Ws geschieht nun, wenn der Knll immer kürzer gemcht wird, ber derrt, dss gleichzeitig f vergrössert wird, so dss die Fläche f τ konstnt bleibt (siehe Abb. 8)? Für eine Einheitsfläche erhält mn die Deltfunktion: δ(x ) = {, x, x = Dies ist offensichtlich keine Funktion im normlen Sinne. Mn bezeichnet sie vielmehr ls Distribution, und ls solche ist sie über ds folgende Integrl definiert: (4) Mn bechte, dss gilt: δ(x ) dx = (4) b< δ(x ) = und c> δ(x ) = (43)

12 V3 Die Deltfunktion δ(x ) projiziert us einer beliebigen Funktion den Funktionswert f() herus: Die Fouriertrnsformierte der δ-funktion ist gleich: A(ω) = π f(x)δ(x ) dx = f() (44) δ(t t )e iωt dt = π e iωt (45) Re {A(ω)} = π cos ωt (46) Im {A(ω)} = π sin ωt (47) Ds Amplitudenspektrum der Deltfunktion erstreckt sich lso von bis! Diese Art von Zusmmenhng zwischen der Breite eines Zeitsignls und der Breite der Amplitude im Frequenzspektrun spielt uch in der Quntenmechnik in Form der Heisenbergschen Unschärfereltion eine Rolle. Die Fouriertrnsformierte A(ω) dieser Funktion ist dnn A(ω) = π = f [ e iωt π iω f(t)e iωt dt = f π ] τ τ = f π iω τ τ e iωt dt (48) [ e iωτ e iωτ ] } {{ } =i sin ωτ (49) A(ω) = f π sin ωτ ω (5)

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