Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes

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1 Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows De folgede ufgabe löse wr uter Verwedug der bede ombatorsche ussage: Es gbt geau! verschedee orduge vo Objete auf lätze.! Es gbt geau verschedee -elemetge Telmege eer!! -elemetge Mege. Zu ufgabe Würfel mt Würfel Se V der zufällge Versuch Würfel mt glechmäßge Würfel eem rote, eem blaue ud eem grüe. ereche Se de Wahrschelchet für folgede Eregsse: a lle ugezahle sd glech b lle ugezahle sd verschede voeader c C Mdestes ee st dabe d D De Summe der ugezahle st e E Mdestes zwe Sechse sd gewürfelt worde f F Es sd de ugezahle, ud gewürfelt worde Lösug: E elemetarer Versuchsausgag st darstellbar als Trpel ωw,w,w, W {,...,} st das Ergebs des.te Würfels. De Grudmege Ω ethält alle möglche Trpel deser rt. Offeschtlch glt wel jede Stelle des Trpels möglche Zfer aehme a Ω. Zu a ud folglch *5* 4 Zu b *5*4 0 ud folglch Zu c C - 0, wobe 0 ee st gewürfelt worde st. Es st 0 Mege aller Trpel aus de Zffer {,,,4,5}, also st ud folglch st : C Zu d We de Summe der ugezahle st, so st D {,,4,,,,,,,,4,,,,,,,,,,,,,,,,, 4,,}. Folglch st wege D D 0

2 Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows Zu e E - 0-, wobe 0 ee st gewürfelt worde ud Geau ee st gewürfelt worde. Es st 0 Mege aller Trpel aus de Zffer {,,,4,5}, also st 0 5. Es st Mege aller Trpel aus de Zffer {,,,4,5,}, de geau ee ethalte, also st 5. Möglchete für de, jewels wetere 5 Möglchete für de bede adere Würfel. 5 ud folglch st : 5 E Zu f Es gbt! Möglchete, de Zffer,, auf de Würfel zu vertele, dem zufolge st F! ud folglch st F Zu ufgabe Se X de zufällge Lebesdauer ees autels ud es gelte X > 00h 0,5 sowe X > 00 h 0,. a Wevel % aller autele, de läger als 00 h lebe überlebe auch 00 h? b Sd de bede Eregsse X>00 h ud X> 00h stochastsch uabhägg voeader? Lösug: X > 00 X > 00 X > 00 0,5 a X > 00 X > 00 X > 00 X > 00 0, b X>00 X> 00 X>00 X>00 X> 00. D.h. de bede Eregsse X>00 h ud X> 00h sd cht stochastsch uabhägg voeader! Zu ufgabe E autel wrd Tests T ud T getestet. De Wahrschelchet dafür T zu bestehe se 0,7. De Wahrschelchet T zu bestehe hägt vo T ab: st T bestade worde, so besteht das autel T mt der Wahrschelchet 0,, sost st se 0,5. We groß st de Wahrschelchet dafür, bede Tests zu bestehe? Lösug: Se T autel besteht Test T ud T autel besteht Test T. Da st: TT T T T 0, 0,7 0,5 5

3 Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows Zu ufgabe 4 Se G e System, welches aus htereadergeschaltete auehete E ud E besteht. Das System G arbetet ur da fehlerfre, we bede auehete fehlerfre arbete. ereche Se für de Szeare a ud b de Wahrschelchet dafür, dass das Gesamtsystem G fehlerfre arbetet! a De Fehlerrate vo E wrd durch de vo E beeflusst. De Wahrschelchet, dass E fehlerfre arbetet uter der Vorrausetzug, dass auch E fehlerfre arbetet, st 0,90. De Wahrschelchet, dass E fehlerfre arbetet se 0,5. b De Fehlerrate vo E wrd cht durch de vo E beeflusst, d.h., E ud E verhalte sch stochastsch uabhägg!. De Wahrschelchet, dass E fehlerhaft arbetet se 0 % ud de Wahrschelchet dafür, dass E fehlerhaft arbetet se 0 %. Lösug: Se G Gerät arbetet fehlerfre, E E arbetet fehlerfre, E E arbetet fehlerfre. Zu a G E E E E E 0,9 0,5 0, 75 Zu b G E E E E 0, 0, 0, 7 Zu ufgabe 5 Multplatossatz Löse Se uter Verwedug des Multplatossatzes folgede ufgabe! I eem aet vo 0 glechartge autele befde sch defete. e der Qualtätsotrolle werde zufällg aus desem aet Tele etomme. a We groß st de Wahrschelchet dafür, dass sch uter de gezogee bede defete Tele befde? Lösug: Wr defere de Eregsse e der.te Zehug wrd e defetes Tel gezoge,,,. Da st ach Multplatossatz: bede defete Tele werde gezoge

4 Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows Zuverlässgetstheore mt stochastscher Uabhägget Zu ufgabe G se e Gerät mt parallele Rehe, de jewels auelemete Rehe geschaltet ethalte. Das Gerät fällt aus, falls alle Rehe ausfalle. Ee Rehe fällt aus, falls ees der bede auelemete der Rehe ausfällt. De auelemete E j falle stochastsch uabhägg voeader mt der gleche Wahrschelchet E j ot OK 0, für alle,...,; j,, aus. Wevele Rehe muß das Gerät habe, damt de usfallwahrschelchet p des Gerätes 0, % cht überschretet, d.h. damt glt p G ot OK 0, 00? Lösug: Es st: p G ot OK uabhägget Uabhägget Rehe otok Rehe otok Rehe otok Rehe E OK E OK 0, otok E OK E OK 0,9 Rehe OK 0, Wr löse jetzt de Uglechug G otok 0,9 0,00 ach auf! Es st: l0,00 0,9 0,00 l0,9 l0,00 4,59 l0,9 D.h. dass Gerät muss mdestes 5 Rehe bestze! Satz vo ayes ud totale Wahrschelchet Zu ufgabe 7 Se V e zufällger Versuch mt Grudmege Ω. 4

5 Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows 5 Ω se e belebges Eregs zu V mt 0. See,,..., wetere Eregsse Ω,,..., mt folgede Egeschafte: Ω ud Φ j für alle j. anachwes der Formel I ud II: eh.: I. Formel der totale Wahrschelchet: ewes: Es glt:... Da alle Eregsse,,...,, paarwese dsjut sd, glt ach xom der Wahrschelchet:. De ehauptug I folgt aus der Multplatosformel: q.e.d eh: II. Satz vo ayes: ewes: Wahrschelchet totale der Formel Multplatossatz Wahrschelchet bedgte der Defto q.e.d We lautet der Satz vo ayes, falls, ud st? twort: + ud + Warum sd ud e vollstädges Eregssystem?

6 Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows Wel glt: Ω ud Φ Zu ufgabe E bestmmtes autel wrd auf see Zuverlässget utersucht. De techsche rüfug erfolgt dabe so: Das autel Gerät wrd als defet egestuft, we ee Lampe be Egabe ees bestmmte Stromsgals aufleuchtet Eregs. I jedem adere Fall wrd das autel als O.K. egestuft. Es soll de Es soll de Zuverlässget deses Testverfahres, d.h. de Treschärfe des Verfahres, utersucht werde. us vorhergehede Utersuchuge se beat, dass % aller autele defet sd. Es se weterh beat, dass be 90% aller autele, de defet sd, de Lampe tatsächlch aufleuchtet, aber leder auch be % aller autele, de O.K. sd. a We groß st de Wahrschelchet dafür, dass e autel, welches als defet egestuft wurde auch wrlch defet st? b We groß st de Wahrschelchet dafür, dass e cht defet egestuftes autel O.K. st? Lösug: Gegebe: Eregsse: Wrd als defet egestuft D autel st defet Wahrschelchete: D 0,0, D 0,9, D 0,0 Wr verwede zur Lösug der ufgabe de Satz vo ayes für : D etsprcht, D etsprcht. Zu a Ges: D D Satzvo ayes D D totale Wahrschelchet D D D D + D D 0,9 0,0 0,0 0,9 0,0 + 0,0 0,0 0,0 + 0, ,47 4,7% D.h. 4,7% aller autele, de als defet egestuft wurde sd auch wrlch defet. Zu b Ges: D

7 Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows D Satzvo ayes D D totale Wahrschelchet D D D D + D D 0,0 0,0 0, ,99 99,% 0,0 0,0 + 0,90,0 0, ,00 97 D.h. 99,% aller autele, de als OK egestuft wurde sd auch wrlch OK. Damt st das Kosumeterso sehr gerg. Das st gut! Zu ufgabe 9 Ee Frma bezeht jewels 0 %, 0% bzw. 50% vo beötgte Tele vo verschedee Zuleferer Z, Z bzw. Z. Über de usschussrate tel der defete Tele uter de geleferte se beat, dass se be Z %, be Z ud Z % bzw. 0,5 % beträgt. a We vel % usschuss Eregs erhält de Frma sgesamt? b Mt welcher Wahrschelchet stammt e defetes Tel vo Z? c Sd de bede Eregsse: Tel st usschuss ud Tel stammt vo Zuleferer Z stochastsch uabhägg voeader? egrüdug! Lösug: Gegebe: Eregsse: Z Tel ommt vom Zuleferer Z,,,. Tel st usschuss Wahrschelchete: Z 0,, Z0,, Z0,5, Z0,0, Z0,0, Z0,005. Wr löse de ufgabe mt Hlfe der Formel der totale Wahrschelchet I ud dem Satz vo ayes II. Dabe wähle wr, Z, Z, Z.,, erfülle offeschtlch de für de bede Formel I ud II geforderte Egeschafte. Zu a Gesucht: Wr bereche gemäß der Formel der totale ahrschelchet: ZZ + ZZ + ZZ 0,0*0, + 0,0*0, + 0,005*0,5 0,0095 Zu b Gesucht: Z Wr bereche Z gemäß dem Satz vo ayes: Z Z 0,00 0 Z 0, 0, Zu c 0 Z 0, Z 0, 95 7

8 Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows d.h. es glt cht ZZ. Demzufolge sd de bede Eregsse Z ud cht stochastsch uabhägg voeader!

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