Einführung in Quantitative Methoden

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1 Einführung in Quantitative Methoden Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr SS 2014 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 1/74

2 Bedingte Wahrscheinlichkeit Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A B) (sprich: A unter der Bedingung B) versteht man die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter der Bedingung, dass Ereignis B bereits eingetreten ist. D.h. das Eintreten von B beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von A. Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 2/74

3 Beispiel 100 KlientInnen, die vor einiger Zeit auf einer Warteliste für eine Psychotherapie standen, werden nach ihrem subjektiven Gesundheitszustand befragt. Einige dieser KlientInnen haben in der Zwischenzeit einen Therapieplatz bekommen, andere noch nicht. Bivariate Häufigkeitstabelle: Häufigkeiten von bereits in Behandlung befindlichen und noch wartenden KlientInnen bezüglich subjektiv gesund und nicht gesund. bereits Therapie noch keine Therapie gesund nicht gesund Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 3/74

4 bereits Therapie noch keine Therapie gesund nicht gesund r(t ) = = 0.4, r(g) = = 0.5 r(g T ) = r(g T ) r(t ) eine geschätzte Wahrscheinlichkeit = = P(G T ) = P(G T ) P(T ) = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 4/74

5 Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeit Durch Umformen der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich P(G T ) = P(G T )P(T ) bzw. P(G T ) = P(T G)P(G) Aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten kann man die Wahrscheinlichkeit des Durchschnittsereignisses ausrechnen. Beispiel: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% rollt einem Autofahrer in einer Wohngegend ein Ball vor das Auto. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unmittelbar hinter dem Ball ein Kind nachgelaufen kommt, beträgt p = Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball auf die Straße rollt und ein Kind hinterherläuft? P(B K) = P(K B)P(B) = = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 5/74

6 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses keinen Einfluss auf das Eintreten des anderen Ereignisses hat P(A B) = P(A) und P(B A) = P(B) Daraus folgt weiters: P(A B) = P(A B) P(B) = P(A) P(A B) = P(A)P(B) Zwei Ereignisse sind voneinander unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Auftreten dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht = Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse. Außerdem gilt: P(A B) = P(A) = 1 P(A) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 6/74

7 Beim Ziehen mit Zurücklegen sind die einzelnen Wahrscheinlichkeiten gleich und die Ziehungen stochastisch unabhängig. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich mit jeder Ziehung die Anteile der günstigen ω i, und daher auch die Wahrscheinlichkeiten. Die Ziehungen sind daher stochastisch abhängig. Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 7/74

8 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Gegeben sind k einander ausschließende Ereignisse A i, i = 1,..., k, die zusammen den Ereignisraum Ω ergeben. Wenn ein Ereignis B immer gleichzeitig mit einem von den A i auftritt, schließen sich die Ereignisse (B A 1 ), (B A 2 ),... (B A k ) ebenfalls gegenseitig aus, und nach der Additionsregel erhält man P(B) = k P(B A i ) i=1 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 8/74

9 Ersetzt man P(B A i ) mit der Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B) = k P(A i )P(B A i ) i=1 = Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Aus der Kenntnis von Wahrscheinlichkeiten von Teilen eines Ereignisses kann man die Wahrscheinlichkeit des gesamten Ereignisses ausrechnen Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 9/74

10 Erfundenes Demonstrationsbeispiel Angenommen das Symptom absichtliches Erbrechen tritt bei verschiedenen Diagnosen nach DSM-5 mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auf: p=0.95 bei Bulimia Nervosa (BN), p=0.40 bei Anorexia Nervosa (AN), p=0.75 bei nicht näher bezeichneten Essstörungen (EDNOS), p=0.80 bei Fütterstörung (F), sowie mit insgesamt p=0.05 bei allen restlichen Störungsbildern zusammen. Die Häufigkeiten der Diagnosen seien: BN = 3%, AN = 1%, EDNOS = 3%, Fütterstörung = 1%, restliche Störungsbilder = 92%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Symptom Erbrechen insgesamt? (Anmerkung: Die Zahlen sind erfunden. Es wird angenommen, dass nur jeweils eine Diagnose gestellt werden kann, d.h. dass sich die Diagnosen wechselseitig ausschließen.) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 10/74

11 Fortsetzung Beispiel Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: P(E) = k P(D i )P(E D i ) i=1 P(E BN) = 0.95, P(BN) = 0.03, P(E AN) = 0.40, P(AN) = 0.01, P(E EDNOS) = 0.75, P(EDNOS) = 0.03, P(E F ) = 0.80, P(F ) = 0.01, P(E Andere) = 0.05, P(Andere) = 0.92 P(E) = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 11/74

12 Theorem von Bayes Verknüpft bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A B) und P(B A) unter Verwendung des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit. Gegeben sind k einander ausschließende Ereignisse A i, i = 1,..., k, die zusammen den Ereignisraum Ω ergeben. Weiters ein beliebiges Ereignis B. P(A j B) = P(A j B) P(B) P(A i B) = P(A i B)P(B) = P(B A i )P(A i ) Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: P(B) = k i=1 P(A i)p(b A i ) P(A j B) = P(B A j )P(A j ) k i=1 P(B A i)p(a i ) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 12/74

13 Demonstrationsbeispiel (Zahlen erfunden) Ein HIV-Test zeigt bei 99% der Infizierten die Infektion an. In 2% der Fälle ist er jedoch falsch positiv. Die Häufigkeit der Infizierten in der betrachteten Population sei 1%. Wenn eine beliebige Person aus dieser Population den Test macht und ein positives Ergebnis erhält, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich HIV-positiv ist? Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 13/74

14 Gegeben: P(HIV ) = 0.01, P(+ HIV ) = 0.99, P(+ HIV ) = 0.02 Gesucht: P(HIV +) = P(HIV +) P(+) P(+) = P(+ HIV )P(HIV ) + P(+ HIV )P(HIV ) = P(HIV +) = = = P(HIV )P(+ HIV ) P(+) = = 0.33 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 14/74

15 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment (auch Zufallsvorgang) beschreibt einen Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang Zufallsexperiment besteht aus einer Reihe von gleichwertigen und voneinander unabhängigen Versuchen Ein Versuch ist ein Vorgang, der ein nicht vorhersagbares, erfassbares Ergebnis zur Folge hat Obwohl das Ergebnis jedes einzelnen Versuchs zufällig ist, lassen sich bei hinreichend häufiger Wiederholung Gesetzmäßigkeiten erkennen Eine Variable, deren Ausprägungen die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes sind, heißt Zufallsvariable Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 15/74

16 Zufallsexperiment Jedes mögliche Ergebnis aus einem Zufallsexperiment nennen wir ein Elementarereignis ω Die Menge aller möglichen Ereignisse ist definiert als der Ereignisraum Ω Der Ereignisraum Ω heißt diskret, wenn er aus abzählbar vielen Elementarereignissen besteht Der Ereignisraum Ω heißt stetig, wenn er aus überabzählbar vielen Elementarereignissen besteht Zufallsexperiment ist ein allgemeiner Begriff, der Grundlage für die Inferenzstatistik ist Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 16/74

17 Zufallsexperiment Beispiel 1: Zufallsexperiment ist einmaliger Wurf mit einer Münze; Ω = { Kopf, Zahl } endlich und abzählbar Beispiel 2: Zufallsexperiment ist Wurf mit einem Würfel so lange bis zum ersten Mal drei Einser hintereinander kommen; wir interessieren uns für die Anzahl der notwendigen Würfe; Ω = 3, 4, 5, oder Ω = {k : k natürliche Zahl 3}; Ω ist diskret und abzählbar unendlich Beispiel 3: Zufallsexperiment ist Lebensdauer einer Glühbirne; Ω = {x : x 0}; Ω ist stetig und überabzählbar unendlich Richtige Bestimmung von Ω ist Voraussetzung für Richtigkeit jeder weiteren statistischen Analyse Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 17/74

18 Definition Es seien ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω und p(ω) für alle ω gegeben Eine mathematische Funktion X, welche jedem Ereignis ω eine reelle Zahl X (ω) zuweist, heißt X ist eine, wenn die Werte von X reelle Zahlen sind, die durch ein Zufallsexperiment bestimmt werden, und wenn für die Ereignisse, die man damit beschreiben kann, Wahrscheinlichkeiten angebbar sind Der Wert, den die ZV bei der Durchführung des Zufallsexperimentes annimmt, heißt Realisation von X, und wird mit x bezeichnet Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 18/74

19 Definition ZV Eine ZV wird als konstant bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt, X (ω) = c für alle ω Eine ZV wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt (Würfelspiel) Eine ZV wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine Dichte (vgl. Abschnitt Verteilungsfunktion) besitzt Oft interessieren wir uns nicht nur für eine ZV, sondern gleich für mehrere ZV X 1,, X n, einen Zufallsvektor Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 19/74

20 Beispiele Beispiel 1: Einmaliger Wurf mit einer Münze Ω = {Kopf, Zahl}; dem Ergebnis Kopf wird der Wert 1 zugeordnet, dem Ergebnis Zahl der Wert 0 { 0 falls ω = Zahl X (ω) = 1 falls ω = Kopf Beispiel 2: Zweimaliger Wurf mit einer Münze Y sei die Anzahl der Würfe mit Ergebnis Zahl ; Zahl = Z und Kopf = K; Ω = {ZZ, KK, ZK, KZ} Y (ω) = 0 falls ω = KK 1 falls ω = KZ oder ZK 2 falls ω = ZZ Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 20/74

21 Eine diskrete ZV X lässt sich durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreiben, welche angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Realisationen x i auftreten Es sei p i die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Wertes x i ; dann ist f (x i ) = P(X = x i ) = p i für alle i, p i [0, 1] die Wahrscheinlichkeitsfunktion der ZV X Wenn alle möglichen Ausprägungen von X berücksichtigt wurden, muss gelten i p i = 1 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die Dichte der Verteilung von X bezüglich des Zählmaßes auf der Menge der möglichen Werte; ihre Werte p i werden daher auch als Zähldichte bezeichnet Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 21/74

22 Beispiel: Zweimaliger Wurf mit einer Münze Y sei die Anzahl der Würfe mit Ergebnis Zahl ; Zahl = Z und Kopf = K; Ω = {ZZ, KK, ZK, KZ} Y (ω) = Wahrscheinlichkeitsfunktion P(Y ) 0 falls ω = KK 1 falls ω = KZ oder ZK 2 falls ω = ZZ y i f (y i ) 1 4 Nur Wahrscheinlichkeitsmaße für die einzelnen Ausprägungen Wahrscheinlichkeitsfunktion P(Y ) = theoretische Verteilung im Gegensatz zur empirischen Häufigkeitsverteilung Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 22/

23 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 23/74

24 Die Verteilungsfunktion oder kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV X ist definiert für jede reelle Zahl x als F (x) = P(X x) = t x f (t) Summation bedeutet das Aufsummieren über alle t, die kleiner oder gleich als x sind, und als Realisationen der ZV auftreten können F (x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert x annimmt F (x) ist das Analogon zur empirischen kumulativen Häufigkeitsfunktion Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 24/74

25 Beispiel: Zweimaliger Wurf mit einer Münze; Treppenfunktion mit Sprüngen y i f (y i ) 4 1 F (y i ) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 25/74

26 Eigenschaften der Verteilungsfunktion Monotonie; folgt direkt aus der Form der Verteilungsfunktion F (x 1 ) F (x 2 ) für x 1 x 2 Normierung im Intervall [0, 1] F (x) 0 für sehr kleines x F (x) 1 für sehr großes x P(c < X b) = F (b) F (c) für c < b Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 26/74

27 Dichtefunktion Eine stetige ZV X kann jeden Wert in einem Intervall [a, b] annehmen Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen (Werte) einer stetigen ZV können (im Gegensatz zum diskreten Fall) nicht angegeben werden Es können nur Wahrscheinlichkeiten f (x)dx angegeben werden, mit welchen die Werte innerhalb von Intervallen dx um die Werte x auftreten Beispielsweise fragt man nicht, wie viele Personen exakt 1.75 Meter groß sind, sondern z.b., wie viele Personen zwischen 1.75 und 1.76 Meter groß sind Die Funktion f (x) heißt Dichtefunktion Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 27/74

28 Die Wahrscheinlichkeit, dass die ZV Werte zwischen a und b annimmt, wird dann allgemein definiert als das Integral über die Dichtefunktion mit Integrationsgrenzen a und b. Analog zum diskreten Fall erhält man durch Integration die Verteilungsfunktion F (x) = P(X x) = f (t)dt t x Die Wahrscheinlichkeit ist definiert als Fläche unter der Dichtefunktion Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 28/74

29 Es gilt für alle a < b P(a X b) = P(a < X < b) = b a f (x)dx Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 29/74

30 Eigenschaften der Dichtefunktion Es gilt weiters für alle x f (x) 0 und x f (x)dx = 1 P(a X b) = F (b) F (a) f (x) = df (x) dx = F (x) f (x) gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit Beobachtungen in der Nähe von x auftreten Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 30/74

31 Eigenschaften der Verteilungsfunktion Monotonie F (x 1 ) F (x 2 ) für x 1 x 2 Normierung im Intervall [0, 1] F (x) 0 für sehr kleines x F (x) 1 für sehr großes x P(c X b) = F (b) F (c) für c < b Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 31/74

32 Es seien X und Y ZV; die gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y ist definiert als F (x, y) = P(X x Y y) X und Y heißen stochastisch unabhängig wenn gilt: F (x, y) = P(X x Y y) = P(X x) P(Y y) Bei diskreten ZV folgt Unabhängigkeit aus P(X = x Y = y) = P(X = x) P(Y = y) Bei stetigen ZV folgt Unabhängigkeit aus f (x, y) = f (x) f (y) Obige Regeln sind verallgemeinbar auf beliebig viele ZV Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 32/74

33 Beispiel Beim zweimaligen Würfeln bezeichne X die Augenzahl beim ersten und Y die Augenzahl beim zweiten Wurf Das Ereignis Y = 2 ist unabhängig vom Ereignis X < 2 Auch das Ereignis Y = {2, 4, 6} ist unabhängig vom Ereignis X = {1, 3, 5} X und Y sind stochastisch unabhängig, weil für jede Auswahl von Ereignissen in beiden ZV Unabhängigkeit vorliegt Die Bedingung Y = y beeinflusst nicht die Verteilung von X und umgekehrt Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 33/74

34 Erwartungswert Beispiel: X ist die erhaltene Augenzahl bei einmaligem Würfeln; die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist x i f (x i ) Welchen Wert erwarten wir, wenn wir dieses Zufallsexperiment sehr lange durchführen? Intuitiv erwarten wir X = 1 bei 1 6 der Würfe, X = 2 bei 1 6 bei der Würfe, usw. Der Durchschnitt von X auf lange Sicht ist der Erwartungswert von X = 3.5, Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 34/74

35 Erwartungswert Der Erwartungswert einer ZV ist ein Maß für das Zentrum der Verteilung Bei einer diskreten ZV X ist der Erwartungswert definiert E [X ] als der gewichtete Durchschnitt über alle möglichen Ausprägungen von X ; die Gewichte sind die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. E [X ] = x xf (x) Bei einer stetigen ZV Y analog E [X ] = x xf (x)dx Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 35/74

36 Erwartungswert Folgende Eigenschaft folgt direkt aus der Definition des Erwartungswerts; für beliebige Konstanten a und b gilt Weiters gilt E [ax + b] = ae [X ] + b E [X 1 + X X n ] = E [X 1 ] + + E [X n ] Für unabhängige ZV X 1 X n gilt E [X 1 X 2... X n ] = E [X 1 ]... E [X n ] Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 36/74

37 Varianz, Kovarianz, Korrelation Die Varianz σ 2 ist ein Streuungsmaß der Verteilung σ 2 X = E [ (X E [X ]) 2] = E [ X 2] (E [X ]) 2 Analog zur Stichprobenkovarianz ist die Kovarianz zwischen 2 ZV definiert als σ XY = E [XY ] E [X ] E [Y ] Die Varianz einer ZV ist die Kovarianz dieser ZV mit sich selbst! Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 37/74

38 Varianz, Kovarianz, Korrelation Die Korrelation ρ XY ist das Verhältnis zwischen der Kovarianz und dem Produkt der Standardabweichungen ρ XY = σ XY σ X σ Y Gleiche Interpretation wie in Stichprobe Sind zwei ZV Variablen unabhängig, dann ist ihre Korrelation 0; Achtung die umgekehrte Folgerung ist nicht immer richtig! Aus Korrelation gleich 0 folgt nicht unbedingt stochastische Unabhängigkeit Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 38/74

39 Varianz, Kovarianz, Korrelation Es gilt für beliebige ZV bzw. für Konstanten a und b Weiters σ 2 (ax +b) = a2 σ 2 X σ 2 (X +Y ) = σ2 X +σ2 Y +2σ XY bzw. σ 2 (X Y ) = σ2 X +σ2 Y 2σ XY Und schließlich σ (ax +b)(cy +d) = acσ XY ρ (ax +b)(cy +d) = sgn(ac)ρ XY Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 39/74

40 Varianz Beispiel: X ist die beobachtete Augenzahl bei einmaligem Würfeln; die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist x i f (x i ) σ 2 = E [ X 2] (E [X ]) 2 [ und E X 2 ] = }{{} xi 2 p(xi 2 ) i=1 E [ X 2] = = 15.17, σ2 = 2.92, σ = 1.71 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 40/74

41 Erwartungswert und Varianz Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 41/74

42 α-quantil Als α-quantil q α wird ein Wert bezeichnet, unterhalb dessen ein vorgegebener Anteil α aller Fälle der Verteilung liegen Jeder Wert unterhalb von q α unterschreitet den Anteil α, mit α als reelle Zahl zwischen 0 (gar kein Fall der Verteilung) und 1 (alle Fälle oder 100% der Verteilung) Für stetige ZV gilt F (q α ) = P(X q α ) = f (t)dt = α t q α α-quantile sind für die wichtigsten stetigen Verteilungen in Tabellen ausgegeben Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 42/74

43 Stetige ZV Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 43/74

44 α-quantil Für diskrete ZV gilt F (q α ) = P(X q α ) = t q α P(X = t) α F (x) < α für jedes x kleiner als q α Aufrunden auf die nächste größere ganzzahlige Ausprägung, analog zur Stichprobe Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 44/74

45 Diskrete ZV Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 45/74

46 Diskrete Gleichverteilung Diese Verteilung beschreibt eine ZV, welche die Zahlen 1, 2,, m annehmen kann, und es gilt P(X = x) = 1 m für alle x = 1, 2,, m E [X ] = (m + 1) 2 σ 2 = (m2 1) 12 Anwendung bei Zufallsexperimenten, deren Ergebnisse gleich häufig sind, also wenn angenommen wird, dass die m Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 46/74

47 Diskrete Gleichverteilung Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 47/74

48 Diskrete Gleichverteilung Erwartungswert und Varianz σ 2 = E [X ] = m i 1 m = 1 m i=1 E [ X 2] = 1 m m i 2 = 1 m i=1 m i i=1 }{{} m(m + 1) 2 = m m(m + 1)(2m + 1) 6 ( ) (m + 1)(2m + 1) m = = 6 2 (m + 1)(m 1) 12 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 48/74

49 Diskrete Gleichverteilung Beispiel: X = die erhaltene Augenzahl bei einmaligem Würfeln E[X ] = (6 + 1) 2 = 3.5 σ 2 = (62 1) 12 = 2.92 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 49/74

50 Binomialverteilung Wir betrachten ein Zufallsexperiment mit 2 Ausgängen, Erfolg (1) und Misserfolg (0) Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p, mit p zwischen 0 und 1 Wir führen dieses Experiment n-mal durch, wobei zwischen den einzelnen Durchführungen Unabhängigkeit angenommen wird ( Ziehen mit Zurücklegen ) Die ZV X beschreibt die Anzahl der Erfolge und ist binomialverteilt mit Parametern n und p, X B(n, p) ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k für k = 0, 1,, n k Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 50/74

51 Binomialverteilung Beispiel: Ein Glücksrad besteht aus 20 Feldern, wobei 5 davon Gewinnfelder sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie zwei Mal gewinnen, wenn Sie das Glücksrad drei Mal drehen? Experiment mit 2 Ausgängen, Erfolg (5 Gewinnfelder) und Misserfolg n = 3, weil wir das Glücksrad drei Mal drehen p = 5 20 = 0.25 ist die Wahrscheinlichkeit zum Erfolg ( ) 3 P(X = 2) = (1 0.25) 1 = 3! = !1! Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 51/74

52 Binomialverteilung Binomialverteilte ZV nimmt Werte zwischen 0 und n an Binomialverteilung ist symmetrisch für p = 0.5 Je kleiner/größer p desto rechts/links-schiefer die Verteilung Erwartungswert und Varianz E [X ] = np σ 2 = np(1 p) Für n = 1: B(1, p) ist eine Bernoulli-ZV mit Erwartungswert p und Varianz p(1 p) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 52/74

53 Binomialverteilung Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 53/74

54 Poisson-Verteilung Diese Verteilung beschreibt ZV, die alle natürliche Zahlen und 0 annehmen können Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) = λk e λ k! für k = 0, 1,, λ ist der Parameter der Poisson-Verteilung und kann jede reelle positive Zahl sein Erwartungswert und Varianz E [X ] = λ σ 2 = λ Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 54/74

55 Poisson-Verteilung Poisson-Verteilung ist Grenzverteilung der Binomialverteilung bei n und p 0 unter der Nebenbedingung, dass np = λ beschränkt bleibt Poisson-Verteilung kann als gute Approximation für die Binomialverteilung bei großem n und kleinem p verwendet werden Poisson-Verteilung beschreibt seltene Ereignisse Anwendung bei binomialverteilter ZV mit unbekanntem oder großem n (leichtere Berechnung) und kleinem p Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 55/74

56 Poisson-Verteilung Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 56/74

57 Poisson-Verteilung Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient die Injektion eines Serums nicht verträgt sei Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 200 Patienten mehr als 1 die Injektion nicht vertragen? Wahrscheinlichkeiten (Poisson-Verteilung) E[X ] = λ = (200)(0.001) = 0.2 P(X = 0) = 0.20 e 0.2 0! = , P(X = 1) = P(X > 1) = 1 P(X = 0) P(X = 1) = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 57/74

58 Poisson-Verteilung Wahrscheinlichkeiten (Binomialverteilung B(200, 0.001)) ( ) 200 P(X = 0) = (0.001) 0 ( ) (200 0) = P(X = 1) = P(X > 1) = 1 P(X = 0) P(X = 1) = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 58/74

59 Poisson-Verteilung Beispiel: In einer Telefonzentrale kommen in einer Minute durchschnittlich 3 Gespräche an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen in einer Minute mehr als 3 Gespräche an? Denkt man sich eine Minute in n gleiche Zeitabschnitte zerlegt, die so klein sind, dass in jedem Abschnitt höchstens ein Gespräch ankommen kann, so liegt eine Binomialverteilung B(n, 3 n ) vor n ist unbekannt Poissonverteilung mit λ = 3 P(X > 3) = 1 P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 59/74

60 Poisson-Verteilung P(X = 0) = 30 e 3 0! P(X = 1) = 31 e 3 1! P(X = 2) = 32 e 3 2! P(X = 3) = 33 e 3 3! = = = = P(X > 3) = = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 60/74

61 Geometrische Verteilung Wir führen eine Serie von Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen, Erfolg (1) und Misserfolg (0), so lange durch bis wir den ersten Erfolg haben Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p Unsere ZV X erfasst die Anzahl der Durchführungen bis zum ersten Erfolg P(X = k) = p(1 p) k 1 für k = 1, 2,, E [X ] = 1 p σ 2 = 1 p p 2 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 61/74

62 Geometrische Verteilung Anwendung bei der Analyse von Wartezeiten bis zum Eintreffen eines bestimmten Ereignisses Lebensdauerbestimmung von Geräten und Bauteilen, d.h. dem Warten bis zum ersten Ausfall Rückfälle bei Suchterkrankungen Bestimmung der Anzahl häufiger Ereignisse zwischen unmittelbar aufeinanderfolgenden seltenen Ereignissen wie z.b. Fehlern Bestimmung der Zuverlässigkeit von Geräten Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 62/74

63 Hypergeometrische Verteilung Aus einer Gesamtheit von N Elementen, wobei A (A N) markiert sind, wird zufällig eine Stichprobe von n (n N) Elementen ohne Zurücklegen entnommen Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl a von markierten Elementen vor? ( A N A ) P(X = a) = a)( n a ( N n) E [X ] = n A N σ2 = n A N ( 1 A N ) ( ) N n N 1 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 63/74

64 Hypergeometrische Verteilung Beispiel: Lotto 6 aus 45 N = 45 Kugeln (=Zahlen) insgesamt, A = 6 Kugeln sind markiert (d.h. am Lottoschein angekreuzt), n = 6 Kugeln werden gezogen (ohne Zurücklegen). Die einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch die Hypergeometrische Verteilung ( 6 )( 39 ) P(X = 3) = ( 45 ) = = P(X = 6) = ( 6 )( 39 ) 6 0 ( 45 ) = = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 64/74

65 Wahrscheinlichkeitsfunktion Beispiel Lotto Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 65/74

66 Hypergeometrische und Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung kann durch B(n, A N ) angenähert werden, wenn n N 0.05 Beispiel: In der Population der Personen mit Adipositas, die sich einer Magenbypass-Operation unterzogen haben, haben 10% einige Jahre nach der Operation (noch) eine Binge-Eating Störung (BED). In einer spezialisierten Klinik wurden in den letzten Jahren 1500 Personen operiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in einer Stichprobe von n = 50 Personen maximal eine Person mit BED zu finden? Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 66/74

67 Hypergeometrische und Binomialverteilung Binomialverteilung B(50, 0.10) ( ) 50 P(X = 0) = (1 0.10) 50 = P(X = 1) = , P(X = 0) + P(X = 1) = Hypergeometrische Verteilung, N = 1500, A = 150, n = 50 P(X = 0) = ( 150 )( ( ) ) = P(X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 67/74

68 Normalverteilung (NV) Die NV ist eine stetige Verteilung, die durch 2 Parameter µ und σ charakterisiert ist Es sei X eine ZV die N(µ, σ 2 ) verteilt ist; X kann Werte zwischen und + annehmen Die Dichtefunktion φ(x) ( 1 x µ φ(x) = 1 σ 2π e 2 σ Geht x ± strebt φ(x) gegen 0 φ(x) ist symmetrisch um µ, d.h. µ + a = µ a (a = Konstante) ) 2 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 68/74

69 Normalverteilung (NV) σ gibt den Abstand zwischen µ und den Wendepunkten der Dichtefunktion an Wendepunkte an den Stellen µ ± σ Wenn σ groß ist, ist die Verteilung breit und niedrig, wenn σ klein ist, ist die Verteilung schmal und hoch Fläche unter φ(x) zwischen und + ist gleich 1 Die Fläche µ ± σ umfasst ca. 68% aller Fälle Die Fläche µ ± 2σ umfasst ca. 95% aller Fälle Es existieren unendlich viele NV durch beliebige Auswahl von µ und σ Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 69/74

70 Normalverteilung (NV) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 70/74

71 Standardnormalverteilung N(0, 1) Spezielle NV für µ = 0 und σ = 1 (Gauß sche Glockenkurve) Verteilung der N(0,1) ist tabelliert; Fläche zwischen µ = 0 und einem beliebigen Wert z ist ablesbar (Tabelle 1c) Quantile der NV; 1-Fläche rechts von einem Wert z, und links von z (Tabelle 1b) Beispiele P(0 Z 1) = (Tabelle 1c) P( 1 Z 1) = (Tabelle 1b) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 71/74

72 Standardnormalverteilung N(0, 1) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 72/74

73 Standardnormalverteilung N(0, 1) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 73/74

74 Standardnormalverteilung N(0, 1) Ist X N(µ, σ 2 ) verteilt dann führt die Transformation X µ σ eine N(0, 1) Verteilung Vorteil, da Quantile ablesbar (Tabelle 1b) Beispiel: X N(11, 5.53). Wie hoch ist P(X 14.5)? auf z = = 1.49 P(Z 1.49) = (Tabelle 1b) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 74/74