Baustatik. Berechnung statisch unbetsimmter Tragwerke: Band 1 Baustatik I, Berechnung statisch bestimmter Tragwerke. von Raimond Dallmann. 1.

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1 Busttik Berehnung sttish unetsimmter Trgwerke: Bn 1 Busttik I, Berehnung sttish estimmter Trgwerke von Rimon Dmnn 1. Aufge Busttik Dmnn shne un portofrei erhätih ei ek-shop.e DIE FACHBUCHHANDLUNG Hnser ünhen 006 Verg C.H. Bek im Internet: ISBN Inhtsverzeihnis: Busttik Dmnn

2 Busttik 1 Rimon Dmnn Berehnung sttish estimmter Trgwerke ISBN Leseproe Weitere Informtionen oer Besteungen unter sowie im Buhhne

3 60 4 Shnittgrößen sttish estimmter eener Systeme Krgträger mit Einzekrft F = F x A v = F quittive Verformung F Die Shnittgrößen n er Stee uten: x ( ) = konst. = F x ( ) = F x Setzen wir x =, so entsprehen ie Shnittgrößen en Aufgergrößen im Punkt. Ds Festegen er x-koorinte vom rehten Bkenrn entspriht einer Striheung er oeren Bkenseite. Es ist jeoh üih, ie Striheung uf ie untere Seite zu egen. Dnn iegt ie omenteninie niht uf er gestriheten Seite un s Vorzeihen er omente ist negtiv. Ds uerkrftvorzeihen ist von er Striheung unhängig. F Krgträger mit konstnter Strekenst Bi 4.51 Zustnsinien es Krgträgers Wir shneien en Bken n einer vrien Stee x vom rehten Bkenrn gemessen un etrhten s rehte Teisystem, ort keine Aufgergrößen wirken. q = A v = q q x ( ) x ( ) x F q quittive Verformung Bi 4.5 Agetrenntes Teisystem Die zu ermittenen Shnittgrößen können hier nshuih geih so ngesetzt weren, wie es s Geihgewiht erforert. Die uerkrft muss er Krft F entgegenwirken, so nh oen zeigen. Sie ist positiv, wei s Kräftepr us un F im Uhrzeigersinn reht (erkrege). Ds oment x ( ) muss em Kräftepr entgegenrehen, mit = 0 ist. Es reht so so, wie es ngesetzt wure, ie oere Bkenseite wir gezogen. Die omenteninie iegt esh im gesmten Bereih uf er oeren Seite. Die mehnishe Wirkung es omentes wir uh im Zusmmenhng mit er Verformung eutih, ie in Bi 4.51 mit er omenteninie quittiv ngegeen ist. Wei im gesmten Bereih ie oere Bkenseite gezogen wir, ist uh ie Krümmung im gesmten Träger geih. Im Einspnnpunkt ist keine Drehung mögih, so ss ie Bkenhse ort tngenti einmünet. Drus fogt zwngsäufig eine Durhiegung nh unten, ws uh nshuih infoge er Bestung zu erwrten ist. q Bi 4.53 Krgträger mit Zustnsinien Wieer shneien wir en Bken n einer vrien Stee x un etrhten s rehte Teisystem in Bi x ( ) x ( ) i x q Bi 4.54 Agetrenntes Teisystem Die Shnittgrößen n er Stee x ergeen sih us en Geihgewihtseingungen. V = 0: x ( ) + q x = 0 x ( ) = q x () i = 0: x ( ) q x = 0 x ( ) = q x Wieerum entsprehen ie Aufgergrößen im Punkt en Shnittgrößen n er Stee x =.

4 4. Einzesheien 61 Die omenteninie ist nh oen ufzutrgen, s oment oen Zug erzeugt. Bei einer Striheung er unteren Bkenseite ist s Vorzeihen negtiv. Ein hrkteristishes erkm er omenteninie ist ie horizonte Tngente m rehten Bkenrn, ort = 0 ist. Beispie 4.5 Für en in Bi 4.55 rgesteten Krgträger sin ie Zustnsinien infoge er ngegeenen Bestung zu ermitten kn/m 1,5 m 1, quittive Verformung = Bi 4.55 Krgträger mit Zustnsinien Die Berehnung er Zustnsinien knn urh sukzessives Freishneien usgehen vom rehten Trägerene erfogen, wie in Bi 4.56 rgestet ist. Die m rehten Teisystem ermitteten Shnittgrößen weren s eknnte Größen m nähsten Teisystem in umgekehrter Rihtung ngesetzt. Am etzten Teisystem fogen us er Berehnung ie Aufgergrößen im Punkt. Die omenteninie ist nh oen ufzutrgen, im gesmten Bereih ie oere Seite gezogen wir. In en äußeren Bereihen ist iner un konstnt ( q = 0 ). Im mitteren Bereih veräuft proish un iner ( q = konst. ). Der proishe omentenveruf im mitteren Bereih muss tngenti in ie 5 4 [ knm] [ kn] ngrenzenen Geren einmünen, keine Einzekräfte wirken. = = 49 = = 5 A v = 5 1 = 5 = = kn/m,5 m Bi 4.56 Geshnittener Krgträger = = = 74 = 5 Aterntiv können ie Aufgergrößen uh urh ie Geihgewihtseingungen m Gesmtsystem ermittet weren. Sie entsprehen en Shnittgrößen im Punkt. Die Shnittgrößen im Punkt ergeen sih nn einfher urh Betrhtung es inken Teisystems. Die Berehnung zeigt Bi = = 74 A v = = 5 Bi 4.57 Ermittung er Aufgergrößen m Gesmtsystem 1, kn/m A v 1,5 m 1, = = 49 = 5 4

5 6 4 Shnittgrößen sttish estimmter eener Systeme 4..6 Einfeken mit Krgrm Der in Ashnitt 4..1 isher etrhtete Bken uf zwei Stützen wr n en Enpunkten gegert. Geht er Bken üer ein Aufger hinus, wie in Bi 4.58 rgestet, so wir ieser Bereih, er sih niht zwishen en Aufgerpunkten efinet, Krgrm gennnt. Den Bereih zwishen en Aufgern ezeihnet mn s Fe, her uh er Begriff Einfeträger. Sestverstänih könnte er Bken uh uf eien Seiten uskrgen,. h. üer s Aufger hinusgehen. Die Berehnung eines Einfeträgers mit Krgrm untersheiet sih grunsätzih niht von er Berehnung er isher etrhteten Systeme. Betrhten wir en urh einen Shnitt getrennten Krgrmereih in Bi 4.58, so weren n er Shnittstee rei uneknnte Shnittgrößen freigeegt un s Teisystem entspriht genu em Krgträger in Bi Die Shnittgrößen im Bereih es Krgrms können ermittet weren, ohne ss vorher ie Aufgerkräfte erehnet weren müssen. Beispie 4.6 Für en in Bi 4.59 rgesteten Einfeträger mit Krgrm sin ie Zustnsinien infoge er konstnten Strekenst zu ermitten = kn/m 4 m 135 quittive Verformung = = 60 [ knm] Sin ie Shnittgrößen im Anfngspunkt es Krgrms eknnt, so können sie s Bestung für s inke Teisystem ngesetzt weren, s nun s Bken uf zwei Stützen mit zusätziher Bestung m rehten Aufgerpunkt erehnet weren knn = , i = ± = ± Bi 4.59 Auskrgener Einfeken = 60 [ kn] Bi 4.58 Einfeken mit Krgrm k k Im Bereih es Krgrms knn ie omenten- un uerkrftinie sofort ngegeen weren. Wir er Krgrm getrennt, so entspriht s Shnitti genu em es Krgträgers us Ashnitt Der Veruf es omentes ist proish, m freien Ene muss eine horizonte Tngente voriegen, siehe Bi Im Bereih zwishen en Aufgern knn er omentenveruf quittiv gezeihnet weren. Ds oment im Punkt ist us er Lösung es Krgrmereihs eknnt. Die oere Bkenseite wir gezogen, so ist s oment nh oen zutrgen. Es knn nun von er Verinungsinie er Stenmomente ie q 8 - Pre eingehängt weren.

6 4. Einzesheien 63 Die uerkräfte ergeen sih im inken Bereih us er Beziehung: 0 re = i Die Aufgerkräfte entsprehen en Sprüngen er uerkrftfunktion. Beispie 4.7 Für en rgesteten Einfeträger mit Krgrm sin ie Zustnsinien zu ermitten. 1 kn/m 0 knm A v 1,5 1, = 4 1 = Bi 4.60 Einfeträger mit Krgrm Aufgerkräfte: H = 0: B h = 0 ( ) = 0: B v 5 = 0 B v = 9.7 kn ( ) = 0: A v 5 = 0 A v = 9.3 kn Kontroe V = 0?: = 0 0 Zustnsinien: Im Krgrmereih knn er Veruf er Shnittgrößen sofort ngegeen weren. Der omentenveruf ist 5 m B h = 0 B v quittive Verformung [ knm] [ kn] proish, m freien Rn iegt eine horizonte Tngente vor, im gesmten Bereih iegt ie gezogene Seite oen. Der uerkrftveruf ist gerinig, m freien Rn ist ie uerkrft geih nu. Im Gegenstz zum vorherigen Beispie ist s Vorzeihen er uerkrft negtiv. Die Shnittgrößen zwishen en Aufgerpunkten un können n en Teisystemen in Bi 4.61 erehnet weren. Die omenteninie veräuft shnittsweise gerinig. Es weren s oment im Punkt sowie ie omente inks un rehts von enötigt. Die Berehnung erfogt in Bi 4.61 m rehten Teisystem sowie urh s omentengeihgewiht m freigeshnittenen Punkt. Rehts von erzeugt s oment uf er unteren Bkenseite Zug, inks von ist uf er oeren Bkenseite Zug. Diese Wirkung ist us em Drehsinn er omente m Shnittufer erkennr. Entsprehen erfogt s Auftrgen er omenteninie uf er gezogenen Bkenseite. Die quittiv gestrihet eingetrgene Biegeinie es Bkens ist mit er mehnishen Wirkung es omentes in Üereinstimmung. Im Angriffspunkt es äußeren omentes wehset, er omenteninie entsprehen, ie Krümmung es geogenen Stes. Bi 4.61 Teisysteme 0 = = 14.55, re = = 3.95 = = 5.3, i = = , re = 9.7 1,5 B v = 9.7 Die uerkrft veräuft zwishen en Aufgerpunkten shnittsweise konstnt. Die Werte ergeen sih n 3,5 15 1,5 B v = 9.7 4