5 Festigkeitslehre Die Aufgabe der Festigkeitslehre

Transkript

1 5 Festigkeitslehre Die Aufgabe der Festigkeitslehre Wir betrachten die technische Zeichnung einer Getriebewelle. Sie enthält sämtliche zur Herstellung nötigen Maße. Beispielsweise sehen wir sofort, dass der linke Lagerzapfen 30 mm Durchmesser und 16 mm Länge haben soll. Wie ist der Konstrukteur, der die Welle entworfen hat, gerade auf diese Maße gekommen? Wir wollen seinen Überlegungen bei der Gestaltung der Welle einmal nachgehen. Der Konstrukteur kennt das Drehmoment M, das von der Welle übertragen werden soll. Mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen werden sämtliche an der Welle angreifenden Kräfte ermittelt. Das sind die am Zahn angreifenden Umfangskräfte F u und Radialkräfte F r, sowie die an den Lagerzapfen angreifenden Stützkräfte F A und F B mit den Komponenten F Ay, F Az und F By, F Bz. Damit ist die Belastung der Welle bekannt. Nach einer Reihe gegebener Bedingungen werden die Abstände 1, 1 1, 1 2 festgelegt. Der Werkstoff wird gewählt. Von diesem sind die wichtigsten Festigkeitswerte aus Tafeln oder Diagrammen greifbar. Jetzt beginnen die Überlegungen der Festigkeitslehre. F u1, F u2 Umfangskräfte, F r1, F r2 Radialkräfte, F Ay, F Az, F By, F Bz Komponenten der Stützkräfte F A, F B, M Drehmoment Die Welle darf nicht brechen. Sie darf sich aber auch nicht derart stark verformen (durchbiegen, verdrehen), dass das Getriebe klemmt oder durch starken Verschleiß vorzeitig unbrauchbar wird, z.b. durch eine unzulässig hohe Kantenpressung in den Lagern.

2 Die "von außen" auf ein Bauteil einwirkenden Kräfte wie beispielsweise die Umfangskräfte am Zahnrad, die Stützkräfte in den Lagern und die Gewichtskräfte nennt man äußere Kräfte. Sie rufen im Werkstoffgefüge die inneren Kräfte hervor, die dem Bruch und der Verformung des Bauteils entgegenwirken. Bevor die Maße für ein Bauteil festgelegt werden können, müssen Betrag, Richtung und Richtungssinn der inneren Kräfte bekannt sein, z. B. die inneren Kräfte im Querschnitt x-x eines Zahnrades oder eines Hebezeugträgers Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren Kräftesystems Die erste und wichtigste Arbeit beim Lösen einer Aufgabe aus dem Bereich der Festigkeitslehre ist die Beantwortung der Frage, welche inneren Kräfte die Bauteile zu übertragen haben. Denn von der Art des "inneren Kräftesystems" hängt es ab, mit welchen Festigkeitsgleichungen gearbeitet werden muss. Aus der Statik ist bekannt, dass eine Kraft nur dann eindeutig bestimmt ist, wenn ihr Betrag (z.b. 150 N), ihre Richtung (z.b. waagerecht, senkrecht, in Richtung der x-achse) und ihr Richtungssinn (z.b. Druckkraft, Zugkraft) festgelegt worden sind. Das gilt auch für innere Kräfte. Das Verfahren, mit dem die drei Bestimmungsstücke für jede innere Kraft ermittelt werden, heißt Schnittverfahren. Es wird an einem einfachen Beispiel Schritt für Schritt vorgeführt. Das stabförmige Bauteil mit der Querschnittsfläche S wird durch die Federkräfte F= 50 N belastet (äußere Kräfte). Der Stab befindet sich im Gleichgewicht, das heißt, die beiden Zugkräfte sind gleich groß (von gleichem Betrag). Sie wirken auf einer gemeinsamen Wirklinie und sind entgegengesetzt gerichtet.

3 Man denkt sich den Stab an der (beliebigen) Stelle x-x quer zur Stabachse durchgeschnitten. So entstehen die beiden Teilstücke 1 und II. Der Werkstoffzusammenhang ist damit aufgehoben und eine Kraftübertragung vom Schnittufer 1 zum Schnittufer II nicht mehr möglich: Die beiden Teilstücke werden durch die äußeren Kräfte nach links und rechts gerissen. Im Schnittflächenschwerpunkt SP wird nun eine Normalkraft F N angebracht, die den Restkörper wieder ins Gleichgewicht zurückversetzt. Damit ist diejenige innere Kraft gefunden, die von der Querschnittsfläche (kurz: Schnittfläche) im unbeschädigten Zustand übertragen wurde. Den Betrag der von einem Schnittufer zu übertragenden inneren Kraft liefern die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen aus der Statik: Für jedes Stabteil muss die Summe aller Kräfte gleich null sein (Kraftmomente wirken hier nicht). Schnittverfahren: Im Schnittflächenschwerpunkt SP werden diejenigen Kräfte und Kraftmomente angebracht, die den, abgeschnittenen" Teilkörper in das Gleichgewicht zurückversetzen. Diese inneren Kräfte und Kraftmomente hat der Querschnitt zu übertragen. Ergebnis des Schnittverfahrens im Beispiel: Die untersuchte Querschnittsfläche hat eine in Normalenrichtung auf die Schnittfläche wirkende innere Kraft F N = 50 N zu übertragen. Beachte: Normalkräfte F N stehen rechtwinklig auf der Schnittfläche, Querkräfte F q dagegen liegen in der Schnittfläche. Nach dem Wechselwirkungsgesetz (Aktion = Reaktion) von Newton müssen die inneren Kräfte und Kraftmomente beider Schnittufer gleich groß sein (von gleichem Betrag), jedoch entgegengesetzten Richtungssinn haben Spannung und Beanspruchung Wird angenommen, mit dem Schnittverfahren wurde die innere Kraft, die ein Zugstab aufzunehmen hat, mit F N = 300 N gefunden. Damit ist noch unklar, ob diese innere Kraft den Werkstoff stark oder weniger stark "beansprucht". Das hängt offenbar davon ab, wie viele Flächenteilchen an der Kraftübertragung beteiligt sind, z.b. 60 mm 2 oder nur 6 mm 2. Als Maß für die Höhe der Beanspruchung des Werkstoffes bietet sich diejenige innere Kraft an, die von der Flächeneinheit übertragen werden muss, z. B. von 1 mm 2 oder von 1 cm 2. Spannung als innere Kraft je Flächeneinheit; wegen der einfacheren Rechnung wurde ein Rechteckquerschnitt gewählt. Beachte: Der Werkstoff wird durch innere Kräfte beansprucht, der Körper wird durch äußere Kräfte belastet.

4 Wird vorausgesetzt, dass jedes Flächenteilchen eines Querschnittes gleichmäßig an der Kraftübertragung beteiligt ist, dann ist der Quotient aus der inneren Kraft (z.b. F N = 300 N) und der Querschnittsfläche (z.b. S = 6 mm 2 ) ein Maß für die Beanspruchung des Werkstoffs. Der Quotient aus innerer Kraft und der an der Kraftübertragung beteiligten Fläche heißt Spannung. Die Einheit der Spannung muss ebenfalls der Quotient aus einer Krafteinheit (z.b. Newton) und einer Flächeneinheit (z.b. mm 2 ) sein: Die Spannung ist vorstellbar als die je Flächeneinheit vom Werkstoff aufzunehmende Kraft. Einheit der Spannung ist der Quotient aus einer gesetzlichen Krafteinheit und einer gesetzlichen Flächeneinheit. Statt Spannung sagt man auch "mechanische" Spannung. Übung: Der Kreisquerschnitt eines Stahlstabes von 3 mm Durchmesser hat eine innere Kraft F N = 50 N zu übertragen. Es soll die Beanspruchung des Werkstoffs bestimmt werden. Die Rechnung zeigt, dass jeder Quadratmillimeter eine innere Kraft von 7,07 N zu übertragen hat. Die Querschnittsfläche wird nach DIN 1304 von 1989 mit dem Buchstaben S bezeichnet. Beispiel: Mit F N = 300 N und S = 6 mm 2 beträgt das Maß für die Beanspruchung des Werkstoffes 50 N/mm 2. Mit anderen Worten: Jeder Quadratmillimeter des Querschnittes überträgt eine Kraft von 50 N Wir sagen: "Die Spannung beträgt 50 Newton je Quadratmillimeter". Spannung = innere Kraft / Querschnittsfläche Einheit der Spannung = N / mm 2 Hinweis: In der Festigkeitslehre wird als Einheit der mechanischen Spannung das "Newton je Quadratmillimeter" verwendet. Lösung: Bei d=3 mm Durchmesser beträgt die Querschnittsfläche S = π d 2 /4 = π (3 mm) 2 /4 = 7,069 mm 2. Damit ergibt sich die zu übertragende Spannung = F N /S = 50N /7,069 mm 2 = 7,07 N/mm Die beiden Spannungsarten (Normalspannung σ und Schubspannung τ) Nicht immer liegt die Wirklinie der äußeren Kraft in der Stabachse, sie kann auch rechtwinklig (quer) zur Stabachse liegen. Die entsprechenden inneren Kräfte erhalten daher unterschiedliche Bezeichnungen: Steht eine innere Kraft in Normalenrichtung auf dem Querschnitt S, dann heißt sie Normalkraft F N, liegt die, innere Kraft dagegen im Querschnitt S, dann nennt man sie Querkraft F q.

5 Die beiden inneren Kräfte, die Normalkraft F N und die Querkraft Fq, stehen rechtwinklig aufeinander, also auch die aus ihnen zu berechnenden Spannungen. Es sind daher zwei Spannungsarten zu unterscheiden. Wird die Spannung aus einer inneren Normalkraft F N berechnet, dann heißt sie Normalspannung und wird mit dem griechischen Buchstaben σ (Sigma) bezeichnet. Wie die Normalkraft F N muss auch die von ihr herrührende Normalspannung rechtwinklig auf dem Querschnitt stehen. Spannungen dieser Art treten als Zugspannung z.b. in Kettengliedern, als Druckspannung z.b. in Pleuelstangen auf. Die Normalspannung σ hervorgerufen durch die Normalkraft F N, steht rechtwinklig auf der Querschnittsfläche. Wird die Spannung aus einer inneren Querkraft F q berechnet, dann heißt sie Schubspannung und wird mit dem griechischen Buchstaben τ (Tau) bezeichnet. Wie die Querkraft F q muss auch die von ihr herrührende Schubspannung in der Querschnittsfläche liegen. Spannungen dieser Art treten als Abscherspannung z.b. in Scherstiften auf. Die Schubspannung τ hervorgerufen durch die Querkraft F q liegt in der Querschnittsfläche Die fünf Grundbeanspruchungsarten Am stabförmigen Bauteil lassen sich die Beanspruchungsarten am einfachsten erkennen. Dazu wird das Schnittverfahren (siehe 5.1.2) eingesetzt. Die Berechnungsgleichungen dafür werden später hergeleitet Zugbeanspruchung (Zug) Die äußeren Kräfte ziehen in Richtung der Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer I und II voneinander zu entfernen: Der Stab wird verlängert (gedehnt). Die innere Kraft F N steht rechtwinklig auf der Schnittfläche, es entsteht die Normalspannung σ z (Zugspannung).

6 Druckbeanspruchung (Druck) Die äußeren Kräfte drücken in Richtung der Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer einander näher zu bringen: Der Stab wird verkürzt. Die innere Kraft F N steht normal (rechtwinklig) zur Schnittfläche, es entsteht wieder eine Normalspannung σ d (Druckspannung). Bei schlanken Stäben besteht die Gefahr des "Ausknickens". Diese Beanspruchungsart wird als Sonderfall Knickung behandelt. Die Beanspruchung der Berührungsflächen von zwei aufeinander gepressten Bauteilen heißt Flächenpressung Abscherbeanspruchung (Abscheren) Beim Scherschneiden wirken zwei gleich große gegensinnige Kräfte F auf leicht versetzten parallelen Wirklinien quer zur Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer parallel zueinander zu verschieben. Das entstehende Kräftepaar wird erst später in die Untersuchung einbezogen. Im Schnittufer bewirkt die innere Querkraft F q = F die Schubspannung τ. Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart heißt sie Abscherspannung τ a Biegebeanspruchung (Biegen) Die äußeren Kräfte ergeben zwei Kräftepaare, die im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kräftepaare wirken in einer durch die Stabachse verlaufenden Ebene und versuchen die Schnittufer gegeneinander schräg zu stellen: Der Stab wird gebogen. Da das innere Kraftmoment, das Biegemoment M b, in einer Ebene rechtwinklig zur Schnittfläche wirkt, entsteht die Normalspannung σ (Biegespannung σ b = Zug- und Druckspannung). In den Gleichungen σ b = M b /W und τ t = M T /W p erscheinen die Größen W und W p. Sie heißen Widerstandsmomente und werden in einem besonderen Abschnitt behandelt.

7 Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung) Die äußeren Kräfte ergeben zwei Kräftepaare, die im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kräftepaare wirken in zwei rechtwinklig (quer) zur Stabachse stehenden Ebenen und versuchen, die Schnittufer gegeneinander zu verdrehen: Der Stab wird verdreht (tordiert). Da das innere Kraftmoment, das Torsionsmoment M T, in der Schnittfläche wirkt, entsteht die Schubspannung τ (Torsionsspannung τ t ) Kurzzeichen für Spannung und Beanspruchung Aus dem Kurzzeichen für die Spannung (σ oder τ) erkennen wir, ob es sich um eine rechtwinklig (in Normalenrichtung) auf dem Querschnitt stehende Normalspannung (Kurzzeichen σ) oder um eine im Querschnitt liegende Schubspannung (Kurzzeichen τ) handelt. Die Beanspruchungsart, also Zugbeanspruchung, Druckbeanspruchung, Abscherbeanspruchung, Biegebeanspruchung und Torsionsbeanspruchung kennzeichnen wir mit einem Index, also einem halbzeilig tiefer gesetzten Buchstaben. Vorläufig wird die zulässige Spannung für alle Festigkeitsaufgaben gegeben (siehe "Aufgabensammlung Technische Mechanik") Die zusammengesetzte Beanspruchung Die meisten Bauteile werden durch die äußeren Kräfte so beansprucht, dass mehrere der vorstehenden Grundbeanspruchungsarten gleichzeitig auftreten. Kraftrichtungen mit beliebigem Winkel zur Stabachse ergeben immer zusammengesetzte Beanspruchung. Auch hierbei gibt das Schnittverfahren Aufschluss. Im beliebigen Schnitt x-x müssen zur Herstellung des Gleichgewichts am abgetrennten Stabteil die inneren Kräfte F N und F q sowie das Biegemoment M b angebracht werden. Der Vergleich mit den fünf Grundbeanspruchungsarten ergibt Zug-, Abscher- und Biegebeanspruchung.

8 5.1.7 Bestimmen des inneren Kräftesystems (Schnittverfahren) und der Beanspruchungsarten Für die fünf Grundbeanspruchungsarten Zug, Druck, Abscheren, Biegung und Torsion gelten einfache Gleichungen, die später gründlich entwickelt werden. Jetzt geht es darum, Sicherheit im Erkennen der Beanspruchungsarten zu gewinnen, die bei den verschiedenartigen Belastungen in den Bauteilen entstehen. Den Schlüssel zum Verständnis liefert stets das Schnittverfahren. Zur Einführung in das Schnittverfahren wird das allgemeine innere Kräftesystem untersucht Das allgemeine innere Kräftesystem Im allgemeinen Fall kann der Querschnitt eines Bauteils das folgende innere Kräftesystem zu übertragen haben: eine normal auf der Schnittfläche stehende innere Kraft F N, sie erzeugt die Normalspannung σ; eine in der Schnittfläche liegende innere Kraft F q sie erzeugt die Schubspannung τ ; ein normal auf der Schnittfläche wirkendes Biegemoment M b, es erzeugt die Normalspannung σ (Biegespannung σ b ), weil das zugehörige Kräftepaar in Normalenrichtung auf der Schnittfläche steht; ein in der Schnittfläche liegendes Torsionsmoment M T, es erzeugt die Schubspannung τ (Torsionsspannung τ t, weil das zugehörige Kräftepaar in der Schnittfläche wirkt. In nicht leicht durchschaubaren Fällen (z. B. Kurbelwelle) ist es zweckmäßig, diese vier statischen Größen in der Schnittfläche anzubringen und mit den Gleichgewichtsbedingungen am "abgeschnittenen" Bauteil die inneren Kräfte und Momente zu bestimmen. Meist wird es genügen, wenn wir durch Hinzufügen von inneren Kräften und Kraftmomenten das abgeschnittene Bauteil Schritt für Schritt ins Gleichgewicht setzen. So verfahren wir in den folgenden Übungen. Da diese Übungen eine der wichtigsten Grundaufgaben der Festigkeitslehre erfassen, geht man nach einem Arbeitsplan vor. In jedem Fall müssen zuerst die äußeren Kräfte und Kraftmomente mit den Gesetzen der Statik bestimmt werden.

9 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kräftesystems und der Beanspruchungsarten: Äußere Kräfte und Kraftmomente mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmen (zeichnerisch oder rechnerisch). Bauteil durch einen Schnitt quer zur Stabachse an der Stelle schneiden, deren Beanspruchung untersucht werden soll. In den Schnitt Normalkraft F N, Querkraft F q, und Momente M b und M T so einzeichnen, dass der Restkörper wieder im Gleichgewicht steht. Beträge der inneren Kräfte und Kraftmomente mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Beanspruchungsarten durch Vergleich des inneren Kräftesystems mit den Angaben im Abschnitt festlegen. Spannungen nach Abschnitt berechnen. 1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt Übungen zum Schnittverfahren 1. Übung: Durch die Last F wird ein Seil (Kette, Draht) belastet. Wir machen das Seil frei und zerlegen es durch den Schnitt x-x in Teil I und II. Der betrachtete Restkörper ist wieder im Gleichgewicht, wenn wir im Schnitt die normal (rechtwinklig) zur Schnittfläche wirkende innere Kraft F N = F = 4000 N anbringen ( F y = 0). Der Vergleich mit den Angaben im Abschnitt Grundbeanspruchungsarten ergibt, dass Zugbeanspruchung vorliegt. Es tritt die Normalspannung σ z (Zugspannung) auf. Ihr Betrag wird bestimmt durch die Gleichung σ z = F N /S. 2. Übung: Das innere Kräftesystem im Querschnitt x-x eines Stützträgers soll bestimmt werden. Zunächst müssen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtkörper die Stützkräfte F A und F B berechnet werden. Die Rechnung ergibt für die Stützkraft F A = 20 kn = N, für die Stützkraft F B = 40 kn = N.

10 Sehen wir uns nun die Teilstücke an, zunächst Teil I. Soll sich der Restkörper I nicht mehr verschieben, müssen wir im Schnitt eine nach unten wirkende innere Kraft F q = F A = N anbringen ( F y = 0). Nun bilden F q und F A jedoch ein Kräftepaar, das den Restkörper rechtsdrehend belastet. Folglich bringen wir im Schnitt ein linksdrehendes, normal zur Fläche wirkendes Biegemoment M b = F A l 1 = Nm an, das die Drehung verhindert ( M (SP) = 0). Auf diese Weise können wir auch den Restkörper II untersuchen. Wir erkennen: Waagerecht wirkende Kräfte sind nicht vorhanden. Die im Schnitt wirkende innere Kraft F q = N ergibt nach Abschnitt Grundbeanspruchungsarten Abscherbeanspruchung mit Schubspannung τ a (Abscherspannung). Ihr Betrag wird bestimmt durch die Gleichung τ a = F q /S. Außer der inneren Querkraft F q hat der Querschnitt noch ein Biegemoment M b zu übertragen. Wie jedes Kraftmoment wird auch das Biegemoment M b durch ein Kräftepaar erzeugt. Die Teilkräfte dieses Kräftepaares stehen hier normal zur Fläche und ergeben nach Abschnitt Biegebeanspruchung mit der Normalspannung σ b. Ihr Betrag wird bestimmt durch die Gleichung σ b = M b /W. 3. Übung: Durch das Anziehen soll in der Schraubenspindel der skizzierten Schraubzwinge eine Längskraft F=3000 N entstehen. Diese Kraft wird die Schraubzwinge etwas aufweiten. Wir wollen versuchen, für die willkürlich gelegten Schnitte x-x und y-y das innere Kräftesystem und die dort vorhandenen Beanspruchungsarten festzulegen.

11 a) Schnitt x-x Die Kraft F würde Schnitteil I nach rechts verschieben. Daher müssen wir im Schnitt die innere Kraft F q = F = 3000 N anbringen ( F x = 0). Äußere Kraft F und innere Kraft F q ergeben nun aber ein Kräftepaar, das den Körper mit dem rechtsdrehenden Kraftmoment M = - Fl 1 = N 0,2 m = Nm rechtsherum drehen würde. Gleichgewicht bringt erst das eingezeichnete linksdrehende Biegemoment M b = Fl 1 = 600 Nm ( M (SP) = 0). Damit liegen auch die Beanspruchungsarten fest. Beanspruchungsarten im Schnitt x-x: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft F q = F = 3000 N mit Abscherspannung τ a = F q /S und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment M b = F l 1 = 600 Nm mit Biegespannung σ b = M b / W. b) Schnitt y-y Zur Herstellung des Gleichgewichts am abgeschnittenen Bauteil II müssen wir im Schnitt die innere Normalkraft F N = F = 3000 N anbringen ( F x = 0). Auch hier haben wir dann ein Kräftepaar mit dem Kraftmoment F1 2, dem wir mit dem eingezeichneten Biegemoment M b = - F1 2 rechtsdrehend entgegenwirken müssen ( M (SP) = 0). Damit liegen auch für diesen Schnitt die Beanspruchungsarten fest. Beanspruchungsarten im Schnitt y-y: Zugbeanspruchung durch die Normalkraft F N = F = 3000 N mit Zugspannung σ z = F N /S und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment M b = F1 2 = 900 Nm mit Biegespannung σ b = M b / W. 4. Übung: Wir kommen jetzt zu einer recht schwierigen Aufgabe: Für die drei eingezeichneten Schnittstellen I, II, III einer Handkurbel sollen das innere Kräftesystem und die Beanspruchungsarten bestimmt werden. Gleiche oder ähnliche Probleme begegnen uns in der Praxis häufig, z.b. bei Kurbelwellen, bei Getriebewellen, überall dort, wo eine äußere Kraft drehend auf einen Körper wirkt.

12 a) Schnittstelle I (Bolzen) Um das Gleichgewicht am abgeschnittenen Bolzen wieder herzustellen, müssen wir zunächst die innere Querkraft F q = F = 200 N anbringen ( F y = 0). Dadurch entsteht das aus F q und F bestehende (rechtsdrehende) Kräftepaar. In gleicher Ebene wirkt das linksdrehende Biegemoment M b = 200 N 0,120 m = 24 Nm. Es ergibt sich aus der Momentengleichgewichtsbedingung um den Schnittflächenschwerpunkt SP ( M (SP) = 0). Die Beanspruchungsarten mit der jeweiligen Spannung, hier Abscherspannung τ a und Biegespannung σ b, erhalten wir durch Vergleich mit den Angaben im Abschnitt Beanspruchungsarten im Schnitt 1: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft F q = F= 200 N mit Abscherspannung τ a = F q /S und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment M b = Fl 1 = 24 Nm mit Biegespannung σ b = M b / W. b) Schnittstelle II (Kurbel) Bevor wir das innere Kräftesystem im Schnitt II des Kurbelarmes bestimmen können, müssen wir wissen, wie die Handkraft F in Bezug auf den Kurbelarm wirkt. Um das festzustellen, bringen wir nach dem Parallelverschiebungssatz (siehe Statik) im Kurbelarmpunkt A zwei gleich große gegensinnige Kräfte F an. Wir erkennen, dass die Handkraft im Punkt A zweierlei bewirkt: zum einen die nach unten gerichtete Kraft F, zum anderen aber noch das dem Kräftepaar (zweifach gestrichene Kräfte) entsprechende (rechtsdrehende) Drehmoment M = Fl 1 = 26 Nm. Mit diesem in A wirkenden Kräftesystem können wir nun weiterarbeiten. Die in A angreifende Einzelkraft F = 200 N und das um A drehende Drehmoment M = 26 Nm sind dasjenige äußere Kräftesystem, dem wir in der Querschnittsstelle II ein entsprechendes inneres Kräftesystem entgegensetzen müssen. Der Kurbelarm soll sich weder verschieben noch soll er sich um seine Längsachse z-z verdrehen.

13 Die Verschiebung schließen wir aus, indem wir im Schnitt die Querkraft F q = F = 200 N anbringen ( F y = 0). Dadurch entsteht ein Kräftepaar (aus F und F q ), dem wir im Schnitt ein entsprechendes Moment entgegensetzen müssen. Das kann nur das um die x-achse drehende Biegemoment M b = Fl 2 = 40 Nm sein ( M (SP) = 0). Nun würde aber das äußere Drehmoment M = 26 Nm den Kurbelarm um die z-achse rechtsherum drehen. Folglich hat der Querschnitt noch das linksdrehende und in der Fläche liegende Torsionsmoment M T = 26Nm zu übertragen. Statt M (SP) = 0 müssten wir hier exakter M (z-achse) = 0 sagen. Die Beanspruchungsarten mit der zugehörigen Spannung erhalten wir wie gewohnt nach Abschnitt Beanspruchungsarten im Schnitt I: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft F q = F = 200 N mit Abscherspannung τ a = F q /S und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment M b = F 1 2 = 40 Nm mit Biegespannung σ b = M b /W und Torsionsbeanspruchung durch das Torsionsmoment M T = 26 Nm mit der Torsionsspannung τ t = M T / W p. c) Schnittstelle III (Kurbelwelle) Auch hier müssen wir erst einmal feststellen, welche Wirkung die Handkraft F auf den zu untersuchenden Körper ausübt. Dazu verlängern wir die Achse x-x der Welle bis zum Schnittpunkt B. Dort bringen wir die beiden gleich großen gegensinnigen Kräfte F an. Wir erhalten in Bezug auf die x-achse die äußere Kraft F = 200 N und das dem gestrichenen Kräftepaar entsprechende (rechtsdrehende) Drehmoment M = Fr= 50 Nm. Mit diesem in Punkt B wirkenden Kräftesystem können wir weiterarbeiten. Schritt für Schritt wollen wir nun den abgeschnittenen Körper ins Gleichgewicht zurückversetzen: Zuerst bringen wir eine nach oben gerichtete Querkraft F q im Schnittflächenschwerpunkt an. Damit wird das Gleichgewicht in der x,y-ebene wieder hergestellt ( F y = 0). Nun ist aber das Kräftepaar F, F q entstanden, das die Welle in der x,y-ebene rechtsdrehend belastet. Folglich müssen wir als nächstes ein in gleicher Ebene wirkendes Kraftmoment im Schnitt anbringen, das linksdrehende Biegemoment M b = Fl 4 = 52 Nm ( M (SP) = 0). Bis hierher ist gesichert, dass sich die Welle in der x,y-ebene weder verschiebt noch dreht. Sie würde sich aber unter der Wirkung des Drehmomentes M um die x-achse drehen (gegenüber dem Restteil

14 der Welle). Das verhindert das in der Schnittebene liegende linksdrehende Torsionsmoment M T = 50 Nm. Wie üblich erhalten wir die Beanspruchungsarten und die Spannungen nach Abschnitt Beanspruchungsarten im Schnitt III: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft F q = 200 N mit Abscherspannung τ a = F q /S, Biegebeanspruchung durch das Biegemoment M b = 52 Nm mit Biegespannung σ b = M b /W und Torsionsbeanspruchung durch das Torsionsmoment M T = 50 Nm mit Torsionsspannung τ t = M T /W p.