Klassische Mechanik. von Herbert Goldstein, Charles P Poole, Jr, John L Safko, Sr. 1. Auflage

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1 Klasssche Mechank von Herbert Goldsten, Charles P Poole, Jr, John L Safko, Sr 1. Auflage Klasssche Mechank Goldsten / Poole, Jr / Safko, Sr schnell und portofre erhältlch be beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Thematsche Glederung: Theoretsche Physk, Mathematsche Physk WILEY-VCH 2006 Verlag C.H. Beck m Internet: ISBN

2 1 1 De grundlegenden Prnzpen De Bewegung fester Körper war enes der frühesten Gebete, dem sch de Ponere der Physk wdmeten. Aus hren Untersuchungen entwckelte sch en wetes Feld, das heute als analytsche Mechank oder Dynamk oder enfach als Mechank bekannt st. Im zwanzgsten Jahrhundert entstand de Bezechnung klasssche Mechank n Abgrenzung zu neueren physkalschen Theoren, nsbesondere der Quantenmechank. Wr werden desem Gebrauch folgen, werden dabe aber den Tel der Mechank, der aus der spezellen Relatvtätstheore folgt, mt enschleßen. De Abscht deses Buches st, de Struktur der klassschen Mechank zu entwckeln und enge hrer Anwendungen vorzustellen, de n der modernen Physk von Interesse snd. Grundlage jeder Darstellung der Mechank snd physkalsche Konzepte we Raum, Zet, Glechzetgket, Masse und Kraft. Im überwegenden Tel des Buches werden dese Begrffe ncht krtsch hnterfragt, sondern velmehr als undefnerte, aber dem Leser vertraute Begrffe vorausgesetzt. 1.1 De Mechank von Massenpunkten Mt r wollen wr den Vektor enes Massenpunkts vom Koordnatenursprung aus gerechnet bezechnen, mt v entsprechend sene vektorelle Geschwndgket, de als v = dr Klasssche Mechank. Herbert Goldsten, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko. Copyrght c 2006 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Wenhem ISBN: (1.1) defnert st. Der lneare Impuls (oder enfach Impuls) p st als Produkt der Masse und der Geschwndgket des Massenpunkts defnert, p = mv. (1.2) Durch Wechselwrkungen mt anderen Objekten oder Feldern können verschedene Kräfte auf enen Massenpunkt enwrken, bespelswese Gravtatonskräfte oder elektromagnetsche Kräfte. De Vektorsumme aller Kräfte auf den Massenpunkt ergbt de Gesamtkraft F. De Mechank enes solchen Massenpunkts wrd durch das zwete Newtonsche Axom beschreben, wonach de Bewegung des Massenpunkts n enem geegneten Be-

3 2 1 De grundlegenden Prnzpen zugssystem durch de Dfferentalglechung oder F = dp ṗṗṗ F = d (mv) (1.3) (1.4) beschreben wrd. In den mesten Fällen st de Masse des Massenpunkts konstant, sodass sch Gl. (1.1) auf F = m dv = ma (1.5) reduzert, wobe a de Beschleungung des Massenpunkts st, de durch a = d2 r 2 (1.6) defnert st. De Bewegungsglechung st somt ene Dfferentalglechung zweter Ordnung, wenn wr annehmen, dass F ncht von höheren Abletungen abhängt. En Bezugssystem, n welchem Gl. (1.3) glt, heßt Inertalsystem oder Gallesches System. Selbst nnerhalb der klassschen Mechank st das Konzept enes Inertalsystems ene Idealserung. Mest st es aber möglch, en Koordnatensystem zu wählen, das deser Idealserung hnrechend nahe kommt. In velen Fällen st en mt der Erde verbundenes Bezugssystem (Laborsystem) berets ene hnrechende Annäherung an en Inertalsystem; n der Astronome st es jedoch gelegentlch nötg, en Inertalsystem durch Bezug auf entfernte Galaxen zu konstrueren. Vele der wchtgen Ergebnsse der Mechank können n Form von Erhaltungssätzen ausgedrückt werden, de angeben, unter welchen Bedngungen bestmmte mechansche Größen zetlch unveränderlch snd. Glechung (1.3) lefert drekt den ersten solchen Erhaltungssatz, den. Impulserhaltungssatz: Wenn de Gesamtkraft F verschwndet, st ṗṗp = 0 und der lneare Impuls p blebt erhalten. Der Drehmpuls enes Massenpunkts um enen Punkt O wrd mt L bezechnet; er st durch L = r p (1.7) defnert, wobe r der Radusvektor von O zu dem Massenpunkt st; dabe st de Rehenfolge der Faktoren m Vektorprodukt von Bedeutung. Das Drehmoment um O st als N = r F (1.8)

4 1.1 De Mechank von Massenpunkten 3 defnert. De zu Gl. (1.3) analoge Glechung für N erhalten wr, ndem wr das Vektorprodukt von r mt Gl. (1.4) blden, r F = N = r d (mv). (1.9) Mthlfe der Vektordenttät d (r mv) = v mv + r d (mv), (1.10) n welcher der erste Term auf der rechten Sete offenschtlch verschwndet, kann Gl. (1.9) als N = d dl (r mv) = L. (1.11) geschreben werden. Dabe hängen sowohl N als auch L von dem Punkt O ab, auf den se bezogen snd. Genau we Gl. (1.1) lefert auch de Drehmpulsglechung (1.11) enen Erhaltungssatz, und zwar den Drehmpulserhaltungssatz: Wenn das Gesamt-Drehmoment N null st, dann glt. L. L. L = 0 und der Drehmpuls L blebt erhalten. Als nächstes betrachten wr de Arbet, de ene äußere Kraft F be der Bewegung von enem Punkt 1 zu enem Punkt 2 an enem Massenpunkt lestet. Se st defntonsgemäß glech Z 2 W 12 = F.ds. (1.12) 1 Für konstante Masse (was wr m Folgenden stets annehmen werden, sofern ncht ausdrücklch etwas anderes gesagt wrd) reduzert sch das Integral n Gl. (1.12) auf Z Z dv F.ds = m. v = m Z d 2 (v 2 ), und damt wrd W 12 = m ( v v 2 ) 1. (1.13) De skalare Größe mv 2 /2 nennt man de knetsche Energe des Massenpunkts und bezechnet se mt T, sodass de gelestete Arbet glech der Änderung der knetschen Energe st, W 12 = T 2 T 1. (1.14) Wenn das Kraftfeld so beschaffen st, dass de Arbet W 12 für jeden physkalsch möglchen Weg zwschen 1 und 2 dentsch st, so bezechnet man de Kraft (und das

5 4 1 De grundlegenden Prnzpen System) als konservatv. Ene alternatve Beschrebung enes solchen Systems erhält man, wenn man sch vorstellt, dass der Massenpunkt auf enem belebgen Weg von Punkt 1 nach Punkt 2 gelangt und danach auf enem anderen Weg weder zu Punkt 1 zurückkehrt. Wegen der Wegunabhänggket von W 12 folgt sofort, dass de Arbet, de entlang enes solchen geschlossenen Weges gelestet wrd, null sen muss, I F.ds = 0. (1.15) Offenschtlch kann en System ncht konservatv sen, wenn Rebungs- oder andere Dsspatonskräfte vorhanden snd, denn F. ds st für Rebungskräfte stets postv, und das Integral kann daher ncht verschwnden. Nach enem Theorem aus der Vektoranalyss st ene notwendge und hnrechende Bedngung dafür, dass de Arbet W 12 unabhängg vom Weg st, den der Massenpunkt nmmt, wenn F als Gradent ener skalaren Funkton des Ortes geschreben werden kann, F = V (r), (1.16) wobe V Potental oder potentelle Energe genannt wrd. De Exstenz von V kann ntutv begründet werden. Wenn W 12 unabhängg vom Integratonsweg zwschen den Punkten 1 und 2 sen soll, dann sollte es möglch sen, W 12 als Änderung ener Größe auszudrücken, de allene von den beden Endpunkten abhängt. Dese Größe soll mt V bezechnet werden, sodass für en dfferentelles Wegstück de Bezehungen oder F.ds = dv F s = V s gelten, de äquvalent zu Gl. (1.16) snd. Dabe kann man n Gl. (1.16) zu V noch ene belebge räumlch konstante Größe adderen, ohne de Ergebnsse zu beenflussen. De Wahl des Nullpunkts von V st folglch belebg. De durch de Kräfte n enem konservatven System gelestete Arbet st W 12 = V 1 V 2. (1.17) Durch Kombnaton der Gln. (1.17) und (1.14) ergbt sch T 1 +V 1 = T 2 +V 2. (1.18) Das st n der Sprache der Mathematk ausgedrückt der Energeerhaltungssatz für enen Massenpunkt: Wenn auf enen Massenpunkt nur konservatve Kräfte wrken, dann blebt sene Gesamtenerge T +V erhalten.

6 1.2 De Mechank enes Systems von Massenpunkten 5 De auf enen Massenpunkt wrkende Kraft kann manchmal durch den Gradenten ener skalaren Funkton gegeben sen, de explzt sowohl von der Poston des Massenpunkts als auch von der Zet abhängt. De Arbet F.ds = V s ds, de n desem Fall an dem Massenpunkt verrchtet wrd, wenn er de Strecke ds zurücklegt, st dann ncht mehr durch de Änderung V zwschen Anfangs- und Endpunkt gegeben, da sch V während der Bewegung des Massenpunkts verändert. Somt kann de verrchtete Arbet ncht mehr als Dfferenz der Funkton V an desen Punkten ausgedrückt werden. Obwohl ene Gesamtenerge T +V mmer noch defnert sen kann, blebt se während der Bewegung des Massenpunkts ncht erhalten. 1.2 De Mechank enes Systems von Massenpunkten Wenn wr de Gedanken aus dem vorgen Abschntt auf en System aus velen Massenpunkten verallgemenern wollen, so müssen wr zwschen äußeren Kräften unterscheden, de außerhalb des Systems entstehen und von außen auf de Massenpunkte wrken, und nneren Kräften, de de Wrkung aller anderen Massenpunkte m System auf (bespelswese) den -ten Massenpunkt beschreben. Somt st de Bewegungsglechung (zwetes Newtonsches Axom) für den -ten Massenpunkt F j + F (e) = ṗp, (1.19) j wobe F (e) für ene äußere Kraft steht und F j de nnere Kraft des j-ten auf den -ten Massenpunkt st (F st offenschtlch null). Wr nehmen an, dass de F j (ebenso we de F (e) ) Newtons drttem Axom n sener ursprünglchen Fassung gehorchen, dass de Kräfte, de zwe Telchen aufenander ausüben, glech groß und entgegengesetzt gerchtet snd. Dese Annahme (de m übrgen ncht für alle Arten von Kräften glt) wrd manchmal das schwache Wechselwrkungsprnzp genannt. Wenn wr über alle Massenpunkte summeren, so erhalten wr aus Gl. (1.18) d 2 2 m r = F (e) + F j. (1.20) = j De erste Summe auf der rechten Sete st gerade de gesamte äußere Kraft F (e). Der zwete Term verschwndet, da das Wechselwrkungsprnzp besagt, dass jedes Paarsumme F j + F j null st. Um de lnke Sete zu verenfachen, defneren wr enen Vektor R als Mttelwert der mt hren jewelgen Massen gewchteten Ortsvektoren der Massenpunkte, R = m r m = m r M. (1.21)

7 6 1 De grundlegenden Prnzpen Abbldung 1.1 Der Schwerpunkt enes Systems von Massenpunkten. Der Vektor R defnert den Schwerpunkt des Systems (Abb. 1.1). Mt deser Defnton reduzert sch Gl. (1.19) auf M d2 2 = F (e) F (e) (1.22) Dese Glechung besagt, dass sch der Schwerpunkt bewegt, als ob de gesamte äußere Kraft auf de gesamte Masse des Systems wrkt, de m Schwerpunkt konzentrert st. Innere Kräfte haben deshalb sofern se das drtte Newtonsche Axom befolgen kenen Enfluss auf de Bewegung des Schwerpunkts. En oft verwendetes Bespel st de Bewegung ener exploderenden Granate; der Schwerpunkt hrer Bruchstücke bewegt sch so, als wäre de Granate noch en enzges Stück (unter Vernachlässgung des Luftwderstands). Dasselbe Prnzp kommt auch be Düsen- oder Raketenantreben ns Spel. Damt de Bewegung des Schwerpunkts konstant blebt, muss der mt hoher Geschwndgket erfolgende Ausstoß der Abgase durch de Vorwärtsbewegung des Flugkörpers ausgeglchen werden. Nach Gl. (1.20) st der gesamte Impuls des Systems dr P = m = M dr (1.23) glech der Gesamtmasse des Systems multplzert mt der Geschwndgket des Schwerpunkts. Für de Bewegung des Schwerpunkts, Gl. (1.22), glt folglch de Impulserhaltung für en System von Massenpunkten: Wenn kene resulterende äußere Kraft auf en System wrkt, so blebt der Impuls erhalten. Um den Gesamtdrehmpuls des Systems zu berechnen, müssen wr das Vektorprodukt r p blden und über summeren. Wenn wr das für Gl. (1.19) tun, dann erhalten wr mthlfe der Identtät aus Gl. (1.10) (r ṗp d ) = (r p ) = L. = r F (e) + r F j. (1.24) = j

8 1.2 De Mechank enes Systems von Massenpunkten 7 Abbldung 1.2 Der Vektor r j zwschen zwe Massenpunkten und j. Wenn wr nun noch berückschtgen, dass Akton glech Reakton st (Wechselwrkungsprnzp), können wr den letzten Term auf der rechten Sete von Gl. (1.24) als Summe von Paaren der Form r F j + r j F j = (r j r ) F j (1.25) auffassen. Da r r j der Vektor r j von j nach st (vgl. Abb. 1.2), können wr de rechte Sete von Gl. (1.25) auch als r j F j schreben. Wenn de (entgegengesetzt glechen) Kräfte zwschen zwe Telchen entlang der Verbndungslne der beden Telchen wrken ene Bedngung, de unter der Bezechnung starkes Wechselwrkungsprnzp bekannt st dann verschwnden alle dese Vektorprodukte. De Summe über de Paare st dann null und wr können Gl. (1.24) n der Form dl = N(e) (1.26) schreben: De zetlche Abletung des Gesamtdrehmpulses st glech dem Moment der äußeren Kraft an dem betrachteten Drehpunkt. In Worten ergbt sch aus Gl. (1.26) de Erhaltung des Gesamtdrehmpulses: L st zetlch konstant, wenn das angewendete (äußere) Drehmoment null st. (Es st wchtg, zu betonen, dass des en Vektortheorem st, d.h. L z blebt erhalten, wenn N z (e) null st, selbst wenn N x (e) und/oder N y (e) von null verscheden snd.) De Drehmpulserhaltung n Abwesenhet äußerer Kräfte glt nur, wenn das schwache Wechselwrkungsprnzp erfüllt st. De Drehmpulserhaltung n Abwesenhet äußerer Drehmomente glt, wenn das starke Wechselwrkungsprnzp erfüllt st wenn

9 8 1 De grundlegenden Prnzpen Abbldung 1.3 De be der Verschebung des Bezugspunktes für den Drehmpuls auftretenden Vektoren. de auftretenden Kräfte also alle Zentralkräfte snd. Vele der üblcherwese vorkommenden physkalschen Kräfte, bespelswese de Gravtaton, erfüllen dese letzte Bedngung. Es gbt aber auch Kräfte, für de zwar Akton glech Reakton glt, de aber trotzdem kene Zentralkräfte snd. In enem System, das bewegte Ladungen enthält, verletzen de durch das Gesetz von Bot Savart berechneten Kräfte bede Varanten des Wechselwrkungsprnzps 1. De Gln. (1.22) und (1.26) sowe de entsprechenden Erhaltungssätze snd dann ncht anwendbar, jedenfalls ncht n der her angegebenen Form. In der Regel st es n desen Fällen aber möglch, ene geegnete Verallgemenerung von P bzw. L zu defneren, de erhalten blebt. So blebt n enem solerten System aus bewegten Ladungen de Summe des mechanschen und des elektromagnetschen Drehmpulses des Feldes erhalten. Glechung (1.23) besagt, dass der Gesamtmpuls enes Systems glech dem Impuls st, den man erhält, wenn de gesamte Masse m Schwerpunkt konzentrert st und sch mt desem bewegt. Der entsprechende Satz für den Drehmpuls st komplzerter. Der Gesamtdrehmpuls des Systems bezogen auf den Koordnatenursprung O st L = r p. Wr bezechnen den Vektor vom Punkt O zum Schwerpunkt des Systems mt R und den Vektor vom Schwerpunkt zum -ten Massenpunkt mt r. Dann st (sehe Abb. 1.3) und r = r + R v = v + v, (1.27) 1) Wenn sch zwe Ladungen glechförmg bewegen und hre Geschwndgketsvektoren parallel, aber ncht senkrecht zur Verbndungslne der beden Ladungen snd, so snd de Kräfte zwschen hnen entgegengesetzt glech, zegen aber ncht entlang hrer Verbndungslne. Wenn sch zwe Ladungen entlang der Lnen n enem T bewegen, also n zuenander senkrechten Rchtungen und so, dass Telchen 2 gerade auf Telchen 1 zuflegt, dann übt Telchen 2 ene magnetsche Kraft auf Telchen 1 aus, ncht aber umgekehrt.

10 1.2 De Mechank enes Systems von Massenpunkten 9 wobe v = dr de Geschwndgket des Schwerpunkts relatv zum Ursprung st und v = dr de Geschwndgket des -ten Massenpunkts relatv zum Schwerpunkt des Systems. Mt Gl. (1.27) nmmt der Gesamtdrehmpuls dann de Form ( ) L = R m v + r m v + m r v + R d m r. an. De beden letzten Terme n desem Ausdruck verschwnden, da bede den Faktor m r enthalten. Des st de Defnton des Schwerpunkts n enem Koordnatensystem, dessen Ursprung m Schwerpunkt legt; folglch st deser Term glech null. Damt erhalten wr für den Gesamtdrehmpuls um O L = R Mv + r p. (1.28) In Worten besagt Gl. (1.28), dass der Gesamtdrehmpuls enes Systems um enen Punkt O glech dem Drehmpuls des m Schwerpunkt konzentrerten Systems plus dem Drehmpuls der Bewegung um den Schwerpunkt st. De Form von Gl. (1.28) zegt, dass L m Allgemenen wegen des Vektors R von der Wahl des Ursprungs O abhängt. Nur wenn der Schwerpunkt bezüglch O ruht, st der Drehmpuls unabhängg vom Bezugspunkt. In desem Fall verschwndet der erste Term n Gl. (1.28) und L reduzert sch auf den Drehmpuls um den Schwerpunkt. Zuletzt wollen wr noch de Energeglechung betrachten. We m Fall enes enzelnen Massenpunkts berechnen wr de durch alle Kräfte gelestete Arbet, wenn das System aus enem Anfangszustand 1 n enen Endzustand 2 gebracht wrd: Z 2 W 12 = 1 Z 2 F.ds = 1 F (e) Z 2.ds + = F j.ds. (1.29) = j 1 Auch her können wr de Integrale unter Benutzung der Bewegungsglechungen auf Z 2 1 Z 2. F.ds = m 1 v. v = Z 2 1 d ( 1 2 m v 2 ) reduzeren. Demnach kann de gelestete Arbet weder als Dfferenz der knetschen Energen am Ende und am Anfang geschreben werden: W 12 = T 2 T 1,

11 10 1 De grundlegenden Prnzpen wobe T de gesamte knetsche Energe des Systems st, T = 1 2 m v 2. (1.30) Wenn wr gemäß Gl. (1.27) auf Schwerpunktskoordnaten transformeren, dann erhalten wr für T T = 2 1 m (v + v ).(v + v ) = 1 2 m v m v 2 + v. d ( ) m r Aus denselben Gründen we be der Berechnung des Drehmpulses verschwndet der letzte Term und wr erhalten T = 2 1Mv m v 2. (1.31) We der Drehmpuls besteht also auch de knetsche Energe aus zwe Antelen: de knetsche Energe, de man erhält, wenn de gesamte Masse des Systems m Schwerpunkt konzentrert st, plus de knetsche Energe der Bewegung um den Schwerpunkt. Wr betrachten nun de rechte Sete von Gl. (1.29). In dem Spezalfall, dass de äußeren Kräfte als Gradenten enes Potentals geschreben werden können, kann der erste Term n der Form Z 2 1 F (e).ds = Z V.ds = V, 1 wobe der Index am Nabla-Operator bedeutet, dass nach den Komponenten von r abzuleten st. Wenn de nneren Kräfte ebenfalls konservatv snd, dann können de Kräfte F j und F j zwschen dem -ten und dem j-ten Massenpunkt aus ener Potentalfunkton V j berechnet werden. Damt das starke Wechselwrkungsprnzp erfüllt st, kann V j nur ene Funkton der Abstände zwschen den Massenpunkten sen, V j = V j ( r r j ). (1.32) De beden Kräfte snd dann automatsch entgegengesetzt glech, F j = V j = + j V j = F j, (1.33) und snd entlang der Verbndungslne der beden Massenpunkte gerchtet, V j ( r r j ) = (r r j ) f, (1.34) wobe f ene skalare Funkton st. Wäre V j auch ene Funkton der Dfferenz anderer Vektoren, de mt den Massenpunkten verbunden snd, etwa hrer Geschwndgketen oder (um enen Schrtt n de moderne Physk zu wagen) hrer ntrnsschen.

12 1.2 De Mechank enes Systems von Massenpunkten 11 Spn drehmpulse, dann wären zwar de Kräfte noch entgegengesetzt glech, aber ncht mehr entlang der Verbndungslne beder Massenpunkte gerchtet. Wenn alle Kräfte konservatv snd, kann der zwete Term n Gl. (1.29) als Summe über Paare von Massenpunkten geschreben werden. De Terme für jedes Paar haben de Form Z 2 ( V j.ds + j V j.ds j ). 1 Wenn wr den Dfferenzvektor r r j mt r j und den Gradenten bezüglch r j mt j bezechnen, dann st und V j = j V j = j V j ds ds j = dr dr j = dr j, sodass der Term für das Paar j nun de Form Z j V j.dr j annmmt. De gesamte Arbet aufgrund der nneren Kräfte st dann Z j V j.dr j = V j. (1.35) = j 1 = j 1 Der Faktor 2 1 trtt n Gl. (1.35) auf, wel n der unabhänggen Summaton über und j jedes Mtgled enes Paares zwemal enthalten st, enmal n der Summaton über und noch enmal n der Summaton über j. Aus desen Überlegungen wrd deutlch, dass n dem Fall, dass sowohl de äußeren als auch de nneren Kräfte aus Potentalen hergeletet werden können, ene gesamte potentelle Energe V = V V j, (1.36) = j des Systems defnert werden kann, de de Egenschaft bestzt, dass de Gesamtenerge T +V erhalten blebt das Analogon des Erhaltungssatzes (1.18) für enen enzelnen Massenpunkt. Der zwete Term auf der rechten Sete von Gl. (1.36) wrd nnere potentelle Energe des Systems genannt. Se st m Allgemenen st ncht null, und noch wchtger se kann sch m Laufe der Zet ändern. Nur für ene besondere Klasse von Systemen, de man starre Körper nennt, blebt das nnere Potental mmer konstant. Formal kann en starrer Körper als en System von Massenpunkten defnert werden, n dem de Abstände r j fest und zetlch konstant snd. In desem Fall können de Vektoren

13 12 1 De grundlegenden Prnzpen dr j nur senkrecht auf den r j und damt zu den F j stehen. Deshalb lesten de nneren Kräfte n enem starren Körper kene Arbet, und das nnere Potental muss konstant bleben. Da das Gesamtpotental ohnehn nur bs auf ene adve Konstante bestmmt st, kann en unveränderlches nneres Potental be der Dskusson der Bewegung enes Systems vollständg außer acht gelassen werden. 1.3 Randbedngungen Aus den vorangegangenen Abschntten könnte man den Endruck gewnnen, dass sch alle Probleme der Mechank auf de Lösung der Dfferentalglechungen (1.18), m.. r = F (e) + j F j, zurückführen lassen. Wr müssen nur de Kräfte ensetzen, de auf de Massenpunkte des Systems wrken, de mathematsche Zaubermühle anwerfen und bekommen de Lösungen fx und fertg auf s Tablett! Selbst von enem physkalschen Standpunkt aus betrachtet st dese Annahme aber zu sehr verenfacht. Zum Bespel kann es notwendg sen, Randbedngungen zu berückschtgen, de de Bewegung des Systems enschränken. Wr haben berets ene Art von Systemen angetroffen, de Randbedngungen erfüllen muss: In starren Körpern müssen de Abstände r j der Massenpunkte mmer konstant bleben. Auch vele andere Systeme müssen Randbedngungen erfüllen. De Kugeln n enem Abakus snd durch de Stützdrähte, auf denen se aufgezogen snd, auf ene endmensonale Bewegung engeschränkt. Gasmoleküle n enem Behälter snd durch de Gefäßwände gezwungen, sch nur nnerhalb des Behälters zu bewegen. En Massenpunkt, der auf de Oberfläche ener harten Kugel gesetzt wrd, kann sch nur auf der Oberfläche (oder ganz außerhalb) der Kugel bewegen. Randbedngungen können auf verschedene Art klassfzert werden; de m Folgenden verwendete Varante soll nun kurz vorgestellt werden. Wenn de Randbedngungen durch Glechungen dargestellt werden können, de Bezehungen zwschen den Koordnaten der Massenpunkte (und möglcherwese der Zet) ausdrücken und de de Form haben f (r 1, r 2, r 3,...,t) = 0, (1.37) dann sprechen wr von holonomen Randbedngungen. Das enfachste Bespel für holonome Randbedngungen lefert der starre Körper, dessen Randbedngungen durch Glechungen der Form (r 2 r 2 j ) c 2 j = 0 beschreben werden. En Massenpunkt, der gezwungen st, sch längs ener Kurve oder ener Fläche zu bewegen, st en anderes lecht überschaubares Bespel für holonome

14 1.3 Randbedngungen 13 Randbedngungen, wobe de Glechung der Kurve oder Fläche glechzetg de Randbedngung angbt. Randbedngungen, de ncht auf dese Wese ausgedrückt werden können, heßen nchtholonom. De Wände enes Behälters bewrken ene nchtholonome Randbedngungen auf de darn enthaltenen Gasmoleküle. De Randbedngung für enen Massenpunkt auf der Oberfläche ener Kugel st auch nchtholonom, denn se kann als Unglechung r 2 a 2 0 geschreben werden (wobe a der Radus der Kugel st), de ncht de Form von Gl. (1.37) hat. Daher wrd en Massenpunkt, der n enem Gravtatonsfeld auf de oberste Stelle der Kugel gelegt wrd, en Stück de Oberfläche herunterrollen und dann herunterfallen. Randbedngungen werden weterhn danach engetelt, ob de zugehörgen Glechungen de Zet explzt enthalten (rheonome Randbedngungen) oder zetunabhängg snd (skleronome Randbedngungen). Wenn ene Perle sch auf enem ruhenden Draht entlang bewegt, handelt es sch um ene skleronome Randbedngungen; bewegt sch der Draht dabe selbst auf defnerte Wese fort, so handelt es sch um ene rheonome Randbedngung. Wenn sch der Draht aber nur als Reakton auf de Bewegung der Perle bewegt, so geht de Zetabhänggket der Randbedngung nur ndrekt durch de Koordnaten des Drahtes (de Tel der Systemkoordnaten snd) n de Glechung für de Randbedngung en; nsgesamt st de Randbedngung dann skleronom. Randbedngungen führen zu zwe Komplkatonen be der Lösung mechanscher Probleme. Erstens snd de Koordnaten r ncht länger alle unabhängg, da se durch de Glechungen der Randbedngungen mtenander verknüpft snd. Folglch snd de Bewegungsglechungen (1.19) ncht mehr unabhängg vonenander. Zwetens snd de Zwangskräfte (z.b. de Kraft, de der Draht auf de Perle oder de Wandung auf de Gastelchen ausübt) ncht a pror bekannt. Se gehören zu den Unbekannten des Problems und müssen als Tel der gesuchten Lösung bestmmt werden. De Angabe von Randbedngungen für en System bedeutet letztlch nchts anderes als de Aussage, dass Kräfte m System vorhanden snd, de ncht m enzelnen angegeben werden können, deren Wrkung auf de Bewegung des Systems aber bekannt snd. Für holonome Randbedngungen kann de erste Schwergket durch de Enführung verallgemenerter Koordnaten überwunden werden. Bsher haben wr stllschwegend n kartesschen Koordnaten gedacht. En System aus N Massenpunkten ohne Randbedngungen bestzt 3N unabhängge Koordnaten oder Frehetsgrade. Wenn holonome Randbedngungen n Form von k Glechungen der Form von Gl. (1.37) exsteren, so können wr mt hrer Hlfe k der 3N Koordnaten elmneren, sodass 3N k unabhängge Koordnaten übrg bleben. Man sprcht dann von 3N k Frehetsgraden. De Elmnerung der abhänggen Varablen kann auch ausgedrückt werden, ndem man 3N k neue, unabhängge Varablen q 1,q 2...,q 3N k enführt. Mt

15 14 1 De grundlegenden Prnzpen Abbldung 1.4 Ebenes Doppelpendel. hrer Hlfe können de alten Koordnaten r 1, r 2,..., r N durch Glechungen der Form r 1 = r 1 (q 1,q 2...,q 3N k,t) r N. = r N (q 1,q 2...,q 3N k,t) (1.38) ausgedrückt werden, de de Randbedngungen berets mplzt enthalten. Dese Glechungen können entweder als Transformatonsglechungen zwschen den Varablen r l und den q oder aber als Parameterdarstellungen der r l aufgefasst werden. Dabe wrd stets angenommen, dass wr von den q weder auf de r l zurück transformeren können, d.h., dass wr de Gln. (1.38) zusammen mt den k Glechungen für de Randbedngungen nverteren können, um de q als Funkton der r l sowe der Zet zu erhalten. Im Allgemenen lassen sch de verallgemenerten Koordnaten q ncht we de kartesschen Koordnaten zu Vektoren zusammenfassen. Für den Fall enes Massenpunkts auf ener Kugeloberfläche snd snnvolle verallgemenerte Koordnaten offenschtlch zwe Wnkel, de de Lage auf der Kugel beschreben (z.b. Brete und Länge). Für en Doppelpendel, das sch n ener Ebene bewegt (zwe Massenpunkte, de durch enen starren, lechten Stab mtenander verbunden snd und de durch enen weteren Stab an enem der Massenpunkte aufgehängt snd), snd de verallgemenerten Koordnaten de beden Wnkel θ 1 und θ 2 (Abb. 1.4). Verallgemenerte (ncht-kartessche) Koordnaten snd oft auch n Systemen ohne Randbedngungen nützlch. Bespelswese enthält das System enes Massenpunkts n enem äußeren Zentralkraftfeld V = V (r) kene Randbedngungen, aber es st offenschtlch vortelhaft, sphärsche Polarkoordnaten (Kugelkoordnaten) anstelle von kartesschen Koordnaten zu verwenden. Wr dürfen be verallgemenerte Koordnaten aber ncht nur an de herkömmlchen orthogonalen Ortskoordnaten denken. Als verallgemenerte Koordnaten egnen sch de unterschedlchsten Größen. So können de Ampltuden n ener Fourerentwcklung von r j als verallgemenerte Koordnaten verwendet werden, während es n anderen Fällen zweckmäßg sen kann, Größen mt der Dmenson ener Energe oder enes Drehmpulses zu verwenden.

16 1.3 Randbedngungen 15 Abbldung 1.5 Ene vertkale Schebe, de auf ener horzontalen Ebene rollt. Wenn de Randbedngung nchtholonom st, so können wr de Glechungen für de Randbedngungen ncht verwenden, um de abhänggen Varablen zu elmneren. En häufges Bespel für en System mt ener nchtholonomen Randbedngung st en Körper, der auf ener rauen Fläche rollt, ohne zu rutschen. De zur Beschrebung des Systems benutzten Koordnaten werden m Allgemenen Wnkelkoordnaten enthalten, um de Orenterung des Körpers anzugeben, und Koordnaten, de den Ort des Körpers auf der Fläche beschreben. De Randbedngung Rollen verbndet dese zwe Sätze von Koordnaten; se snd ncht unabhängg. Ene Änderung der Orenterung des Körpers bedeutet unvermedlch ene Änderung sener Lage. Trotzdem können wr de Anzahl der Koordnaten ncht verrngern, denn de Bedngung Rollen kann ncht durch ene Glechung zwschen den Koordnaten m Snne von Gl. (1.37) beschreben werden. Es handelt sch her um ene Bedngung für de Geschwndgketen (d.h. der Berührungspunkt st statonär), also um ene Dfferentalbedngung, de erst nach der Lösung des Problems n ntegrerter Form angegeben werden kann. En enfaches Bespel soll desen Punkt llustreren. Wr betrachten ene Schebe, de auf der horzontalen xy-ebene rollt, wobe de Ebene der Schebe stets vertkal sen soll. Um hre Bewegung zu beschreben, können wr de x- und y-koordnaten des Schebenzentrums verwenden, enen Drehwnkel φ um de Schebenachse und enen Wnkel θ zwschen Schebenachse und x-achse (Abb. 1.5). De Randbedngung bewrkt, dass der Betrag der Geschwndgket v des Schebenzentrums proportonal zu. φ st, v = a. φ, wobe a der Radus der Schebe st. Ihre Geschwndgket steht senkrecht zur Schebenachse,. x = v snθ,. y = v cosθ.

17 16 1 De grundlegenden Prnzpen Wenn wr dese Bedngungen kombneren, so erhalten wr zwe Dfferentalglechungen für de Randbedngungen dx asnθ dφ = 0, dy + acosθ dφ = 0. (1.39) Dese Glechungen können ncht ntegrert werden, bevor das vollständge Problem gelöst st, d.h. wr können kenen ntegrerenden Faktor f (x, y, θ, φ) fnden, der ene der Glechungen n en exaktes Dfferental überführt (vgl. Aufgabe 4) 2. Folglch können de Randbedngungen ncht n der Form von Gl. (1.37) geschreben werden; se snd also nchtholonom. Physkalsch betrachtet sehen wr, dass es kenen drekten Zusammenhang zwschen φ und den Koordnaten x, y und θ geben kann, da de Schebe an jedem Punkt hrer Bahn n enem tangental zu hrer momentanen Bahn legenden Kres mt belebgen Radus rollen kann. Am Ende enes solchen Prozesses bestzen de Varablen x, y und θ weder hre ursprünglchen Werte, während φ sch um enen Betrag verändert hat, der vom Radus des durchlaufenen Kreses abhängt. Natürlch stellen nchtntegrable Dfferentalglechungen we Gl. (1.39) ncht de enzge Art nchtholonomer Randbedngungen dar. Ebenso können Randbedngungen n Form von höheren Abletungen oder we wr berets gesehen haben von Unglechungen auftreten. Probleme mt holonomen Randbedngungen snd mmer formal lösbar, telwese deshalb, wel de abhänggen Koordnaten elmnert werden können. Es gbt aber ken allgemenes Verfahren zur Lösung von nchtholonomen Fällen. Wenn es sch um nchtntegrable Randbedngungen handelt, können de Dfferentalglechungen der Randbedngungen mt den Dfferentalglechungen der Bewegung kombnert und de abhänggen Glechungen mthlfe von Lagrange-Multplkatoren elmnert werden. Wr werden auf dese Methode später zurückkommen. De gemeneren Fälle mt nchtholonomen Randbedngungen müssen ndvduell behandelt werden, und folglch muss be der Entwcklung der formalen klassschen Mechank fast mmer angenommen werden, dass jede eventuell vorlegende Randbedngung holonom st. Dese Enschränkung beschränkt de Anwendbarket der Theore ncht sehr, obwohl vele der Randbedngungen, de uns n der Wrklchket begegnen, nchtholonom snd. Der Grund dafür st, dass das gesamte Konzept der Randbedngungen, denen en System durch das Vorhandensen von Drähten, Flächen oder Wänden unterworfen st, nur für makroskopsche oder räumlch sehr ausgedehnte Probleme geegnet st. Physker snd aber vorwegend an atomaren oder subatomaren Problemen nteressert. Her bestehen alle Objekte, egal ob nnerhalb oder außerhalb des Systems, aus Molekülen, Atomen oder kleneren Massenpunkten, de defnerte Kräfte aufenander ausüben, und der Begrff der Randbedngung wrd wllkürlch und taucht selten auf. Randbedn- 2) In Systemen mt nur zwe Koordnaten kann für ene Dfferentalglechung erster Ordnung als Randbedngung stets en ntegrerender Faktor gefunden werden; daher snd derartge Randbedngungen automatsch holonom. En bekanntes Bespel st de zwedmensonale Bewegung enes Kreses, der auf ener genegten Ebene rollt.

18 1.4 Das Prnzp von d Alembert und de Lagrange-Glechungen 17 gungen werden dann nur als mathematsche Idealserungen der realen physkalschen Stuaton oder als klasssche Näherungen für ene quantenmechansche Egenschaft engesetzt z.b. de Rotaton enes starren Körpers anstelle des Spns. Derartge Randbedngungen snd stets holonom und fügen sch ohne Schwergket n de Theore en. Um de zwete Komplkaton zu überwnden, dass nämlch de Zwangskräfte a pror unbekannt snd, formuleren wr de Mechank so, dass de Zwangskräfte verschwnden. Wr brauchen uns dann nur mt den bekannten Kräften m System zu befassen. Enen Hnwes auf en geegnetes Vorgehen gbt de Tatsache, dass n enem spezellen System mt Randbedngungen, nämlch enem starren Körper, de von den nneren Kräften (de her de Zwangskräfte snd) gelestete Arbet verschwndet. Wr werden desen Anhaltspunkt n den nachfolgenden Abschntten verfolgen und de darn enthaltenen Ideen verallgemenern. 1.4 Das Prnzp von d Alembert und de Lagrange-Glechungen Unter ener vrtuellen (nfntesmalen) Verrückung enes Systems versteht man ene Veränderung der Konfguraton des Systems als Ergebns belebger nfntesmaler Koordnatenänderungen δr, de mt den Randbedngungen m Enklang stehen, denen das System zu enem Zetpunkt t unterlegt. De Verrückung wrd vrtuell genannt, um se von ener realen Verrückung des Systems zu unterscheden, de während enes Zetntervalls stattfndet, n dem sch de Kräfte und Randbedngungen ändern können. Wr setzen voraus, dass das System m Glechgewcht st, dass also de an jedem Massenpunkt angrefende Gesamtkraft verschwndet: F = 0. Dann muss offenschtlch auch das Skalarprodukt F.δr verschwnden, also de vrtuelle Arbet der Kraft F entlang der Verrückung δr. De Summe deser verschwndenden Skalarprodukte über alle Massenpunkt muss folglch ebenfalls null sen: F.δr = 0. (1.40) So wet snd wr auf nchts physkalsch Neues gestoßen. Nun telen wr de F n de ausgeübte Kraft F (a) und de Zwangskraft f auf, F = F (a) + f, (1.41) und erhalten so aus Gl. (1.40) F (a).δr + f.δr = 0. (1.42) Wr beschränken uns nun auf Systeme, für de de vrtuelle Arbet der Zwangskräfte glech null st. Wr haben berets gesehen, dass dese Bedngung bespelswese für starre Körper erfüllt st; dasselbe trfft aber auch auf ene große Zahl anderer

19 18 1 De grundlegenden Prnzpen Randbedngungen zu. Wenn sch en Massenpunkt auf ener Fläche bewegen muss, so steht de Zwangskraft senkrecht auf der Fläche, während de vrtuelle Verrückung tangental zu hr erfolgt, also m rechten Wnkel zur Zwangskraft; de vrtuelle Arbet verschwndet folglch. Wenn Gletrebung vorlegt, glt das jedoch ncht mehr; solche Systeme werden wr daher vermeden. Dese Enschränkung st glücklcherwese ncht so graverend, we es zunächst den Anschen haben mag, denn de Rebung st m wesentlchen ene makroskopsche Erschenung. Rollrebungskräfte verletzen de angegebene Bedngung ncht, da her de Kräfte an enem ruhenden Punkt angrefen und daher be ener mt den Randbedngungen m Enklang stehenden nfntesmalen Verrückung kene Arbet lesten können. Wenn sch en Massenpunkt auf ener hrersets bewegten Fläche fortbewegt, so st de Zwangskraft n jedem Augenblck senkrecht zur Oberfläche, und de Arbet entlang ener vrtuellen Verrückung st mmer noch null, obwohl de Arbet entlang ener realen Verrückung n der Zet ncht unbedngt verschwnden muss. Für das Glechgewcht des Systems erhalten wr somt de Bedngung, dass de vrtuelle Arbet der ausgeübten Kräfte verschwnden muss, F (a).δr = 0. (1.43) Glechung (1.43) wrd oft Prnzp der vrtuellen Arbet genannt. De Koeffzenten der δr dürfen her ncht enfach glech null gesetzt werden, d.h. m Allgemenen st F (a) = 0. Der Grund dafür st enfach, dass de δr ncht unabhängg snd, sondern über de Randbedngungen mtenander zusammenhängen. Um de Koeffzenten zum Verschwnden zu brngen, muss man das Prnzp n ene Form überführen, de de vonenander unabhänggen vrtuellen Verrückungen der q enthält. Genau des errecht Gl. (1.41), da se de f ncht enthält; se glt aber nur für den statschen Fall, während wr ene Bedngung benötgen, de de allgemene Bewegung des Systems beschrebt. Um zu enem solchen Prnzp zu gelangen, machen wr von enem Kunstgrff Gebrauch, der zuerst von Jacob Bernoull engeführt und später von d Alembert weterentwckelt wurde. De Bewegungsglechungen F = ṗp können n der Form F ṗp = 0 geschreben werden. Dese Bezehung besagt, dass sch de Massenpunkte enes Systems m Glechgewcht befnden, wenn de auf se enwrkende Kraft glech der Summe aus der tatsächlch ausgeübten Kraft plus ener entgegengesetzt wrkenden effektven Kraft ṗp st. Anstelle von Gl. (1.40) können wr sofort schreben (F ṗp ).δr = 0, (1.44)

20 1.4 Das Prnzp von d Alembert und de Lagrange-Glechungen 19 und wenn wr weder we oben de Auftelung n ausgeübte Kräfte und Zwangskräfte vornehmen, erhalten wr ( F (a) ṗp ). δr + f.δr = 0. Wr beschränken uns weder auf Systeme, für de de vrtuelle Arbet der Zwangskräfte verschwndet, und erhalten daher ( ) F (a) ṗp. δr = 0. (1.45) Dese Bezehung wrd oft als Prnzp von d Alembert bezechnet. Wr haben damt unser Zel errecht: De Zwangskräfte tauchen ncht mehr n der Glechung auf, sodass wr den Index (a) nun weglassen können, ohne Unklarheten zu rskeren. De Bezehung st aber noch ncht geegnet, um daraus Bewegungsglechungen für das System ableten zu können. Dazu müssen wr das Prnzp so umformuleren, dass es de vrtuellen Verrückungen der verallgemenerten Koordnaten enthält, de (für holonome Randbedngungen) vonenander unabhängg snd, sodass de Koeffzenten der δq enzeln null gesetzt werden können. De Transformaton von den r zu den q erfolgt auf der Grundlage der Transformatonsglechungen (1.38), r = r (q 1,q 2,...,q n,t) (1.45 ) (für n unabhängge Koordnaten) und der üblchen Rechenregeln für de partelle Dfferentaton. So snd de v über de Bezehung v dr = r. q k + r q k t k (1.46) mt den. q k verknüpft. Entsprechend hängen de vrtuellen Verrückungen δr mt den vrtuellen Verrückungen δq durch δr = j r δq j (1.47) zusammen. Her taucht kene Varaton δt der Zet auf, da sch de vrtuellen Verrückungen defntonsgemäß nur auf Auslenkungen der Koordnaten bezehen. (Nur dann st de vrtuelle Verrückung mmer senkrecht zur Zwangskraft, auch wenn sch de Randbedngung selbst m Laufe der Zet ändert.) Mthlfe verallgemenerter Koordnaten lässt sch de vrtuelle Arbet der Kräfte F als F.δr = F. r δq j, j = Q j δq j (1.48) j

21 20 1 De grundlegenden Prnzpen schreben, wobe de Q j de Komponenten der verallgemenerten Kraft snd, de durch Q j = F. r (1.49) defnert snd. Dabe müssen de Q j ncht unbedngt de Dmenson ener Kraft bestzen, genau we de q j auch ncht de Dmenson ener Länge bestzen müssen; das Produkt Q j q j muss aber stets de Dmenson ener Arbet haben. Bespelswese kann Q j en Drehmoment N j und dq j en dfferenteller Wnkel dθ j sen; das Produkt Q j dθ j entsprcht dann we verlangt ener dfferentellen Arbet. Wr wenden uns jetzt dem anderen Term n Gl. (1.45) zu, der n der Form. p.δr = m.. r.δr geschreben werden kann. Nun drücken wr de δr durch Gl. (1.47) aus und erhalten.. m r. r δq j., j Betrachten wr nun de Bezehung [ d.. m r. r = ( m. r. r ) m. r. d ( )] r. (1.50) Im letzten Term von Gl. (1.50) können wr de Rehenfolge der Dfferentaton nach t und q j vertauschen, denn n Analoge zu Gl. (1.46) glt d ( r ) = r. = k = v. 2 r. q k + 2 r q k t Außerdem sehen wr aus Gl. (1.46), dass v. q j = r. (1.51) Wenn wr das n Gl. (1.50) ensetzen, so erhalten wr [ ( d m v. v ) q. m v. v ], j.. m r. r = und der zwete Term auf der lnken Sete von Gl. (1.45) wrd zu { [ ( )] ( )} d j q. 1 j 2 m v m v 2 δq j.

22 1.4 Das Prnzp von d Alembert und de Lagrange-Glechungen m v 2 st gerade de knetsche Energe T des Systems; damt erhalten wr das Prnzp von d Alembert [Gl. (1.45)] n der Form {[ ( ) d T q. T ] } Q j δq j = 0. (1.52) j j In enem kartesschen Koordnatensystem verschwnden de partellen Abletungen von T nach den q j und folglch auch de nach dq/. In der Sprache der Dfferentalgeometre heßt das, dass deser Term aufgrund der Krümmung der Koordnaten q j entsteht. In Polarkoordnaten taucht de Zentrpetalbeschleungung n der partellen Abletung von T nach der Wnkelkoordnate auf. Dabe st zu beachten, dass T nur für Inertalsysteme ene Bedeutung bestzt. Bs jetzt haben wr kenerle Bedngung an de Randbedngungen gestellt außer dass de von hnen verursachte Arbet be vrtuellen Verrückungen null sen soll. De Varablen q j können belebge Koordnaten sen, mt denen de Bewegung des Systems beschreben werden kann. Wenn de Randbedngungen jedoch holonom snd, dann können wr unabhängge Koordnaten q j fnden, de de Randbedngungen mplzt n den Transformatonsglechungen (1.38) enthalten. Ene belebge vrtuelle Verrückung δq j st dann unabhängg von δq k, und Gl. (1.52) kann nur dann erfüllt sen, wenn alle enzelnen Koeffzenten verschwnden, d ( T. q j ) T = Q j. (1.53) Insgesamt gbt es n solcher Glechungen. Wenn de Kräfte aus ener skalaren Potentalfunkton V hergeletet werden können, dann st F = V. In desem Fall können wr de verallgemenerten Kräfte als Q j = F. r = V. r schreben. Das st genau der Ausdruck für de partelle Abletung ener Funkton V (r 1, r 2,..., r N,t) nach q j, Q j V. (1.54) Damt wrd aus Gl. (1.53) ( ) d T (T V ) q. = 0. (1.55) j In deser Form snd de Bewegungsglechungen ncht auf konservatve Systeme beschränkt; das System st nur dann konservatv, wenn V ncht explzt von der Zet

23 22 1 De grundlegenden Prnzpen abhängt (vgl. S. 5). So we wr es her defnert haben, hängt das Potental V ncht von den verallgemenerten Geschwndgketen ab. Daher können wr enen Term mt V n de partelle Abletung von nach den q. j enfügen: d ( (T V ). q j ) (T V ) = 0. Wr defneren nun de Lagrange-Funkton L als L = T V ; (1.56) damt werden de Gln. (1.53) zu ( ) d L q. L = 0. (1.57) j Dese Bezehungen werden auch als Lagrange-Glechungen bezechnet. Für enen gegebenen Satz von Bewegungsglechungen gbt es kene endeutge Wahl der Lagrange-Funkton n dem Snn, dass de Gln. (1.57) auf de Bewegungsglechungen n dem gewünschten Satz von verallgemenerten Koordnaten führen. In den Aufgaben 8 und 10 wrd daher gezegt, dass wenn L(q,. q,t) ene gültge Lagrange- Funkton und F(q, t) ene belebge dfferenzerbare Funkton der verallgemenerten Koordnaten und der Zet snd, de Funkton L (q,. q,t) = L(q,. q,t) + df (1.57 ) ebenfalls ene Lagrange-Funkton st, de zu denselben Bewegungsglechungen führt. Oft st es auch möglch, wetere Lagrange-Funktonen zu fnden, de ncht aus deser Vorschrft entstehen (sehe Aufgabe 20). Glechung (1.56) ergbt stets ene korrekte Lagrange-Funkton für en konservatves System; se lefert aber ncht de enzge für deses System möglche Lagrange-Funkton. 1.5 Geschwndgketsabhängge Potentale und de Dsspatonsfunkton De Lagrange-Glechungen können auch dann n de Form von Gl. (1.57) gebracht werden, wenn kene Potentalfunkton V m üblchen Snn exstert, sofern de verallgemenerten Kräfte von ener Funkton U(q j, q. j ) gemäß Q j = U + d ( ) U q. (1.58) j abgeletet snd. In desem Fall folgen de Gln. (1.57) aus den Gln. (1.53), sofern de Lagrange-Funkton als L = T U (1.59)

24 1.5 Geschwndgketsabhängge Potentale und de Dsspatonsfunkton 23 defnert st. U kann als verallgemenertes oder geschwndgketsabhängges Potental bezechnet werden. En solches Potental st ncht nur von ren akademschem Interesse; es fndet Anwendung be enem sehr wchtgen Typ von Kraftfeldern, nämlch den elektromagnetschen Kräften auf bewegte Ladungen. Mt Blck auf de enorme Bedeutung deses Gebets wollen wr her noch etwas verwelen. Wr betrachten ene elektrsche Ladung q mt der Masse m, de sch mt ener Geschwndgket v n enem ansonsten feldfreen Gebet bewegt, das von enem elektrschen Feld E und enem Magnetfeld B erfüllt wrd, de bede vom Ort und von der Zet abhängen. De Ladung spürt dann de Lorentz-Kraft F = q [ E + (v B) ]. (1.60) Sowohl E(x,y,z,t) als auch B(x,y,z,t) snd stetge Funktonen von Ort und Zet, de aus enem Skalarpotental φ(x,y,z,t) und enem Vektorpotental A(x,y,z,t) gemäß bzw. E = φ A t B = A (1.61a) (1.61b) abgeletet werden können. De Kraft auf de Ladung kann aus der folgenden geschwndgketsabhänggen potentellen Energe bestmmt werden: U = qφ qa. v. (1.62) De Lagrange-Funkton L = T U st somt L = 1 2 mv 2 qφ + qa. v. (1.63) Wenn wr nur de x-komponente der Lagrange-Glechungen betrachten, dann erhalten wr ( ) ( m x.. A x = q v x x + v A y y y + v A z φ z q z x + da ) x. (1.64) Das totale Dfferental von A x hängt mt der partellen Abletung von A x nach der Zet durch da x = A x t = A x t + v. A x A x + v x x + v A y y y + v A z z z (1.65) zusammen. Durch Kombnaton deser Glechungen erhalten wr de Bewegungsglechungen des Systems für de x-rchtung, m.. x = q [ E x + (v B) x ]. (1.66)

25 24 1 De grundlegenden Prnzpen Der komponentenwese Verglech von Gl. (1.66) mt Gl. (1.60) zegt, dass de beden Glechungen dentsch snd, folglch kann de Glechung für de Lorentz-Kraft aus den Gln. (1.61) und (1.62) abgeletet werden. Wenn ncht alle der auf das System wrkenden Kräfte aus enem Potental abletbar snd, können de Lagrange-Glechungen stets n der Form d ( L. q j ) L = Q j geschreben werden, wobe L we gewohnt das Potental der konservatven Kräfte enthält und Q j de Kräfte beschrebt, de ncht von enem Potental herrühren. Ene solche Stuaton legt oft vor, wenn Rebungskräfte auftreten. Rebungskräfte snd häufg proportonal zur Geschwndgket des Massenpunkts, sodass hre x-komponente de Form F R,x = k x v x bestzt. Rebungskräfte deses Typs können durch ene Funkton F, de Rayleghsche Dsspatonsfunkton, beschreben werden. Ihre Defnton st F = 1 ( 2 k,x v,x 2 + k,y v,y 2 + k,z v 2 ),z, (1.67) wobe de Summaton über alle Massenpunkte des Systems erfolgt. Aus deser Defnton folgt offenschtlch F R,x = F v x, oder symbolsch F R = v, F. (1.68) Man kann de Dsspatonsfunkton auch physkalsch nterpreteren. De vom System gegen de Rebung gelestete Arbet st dw R = F R.dr = F R. v = ( k x v 2 x + k y v 2 y + k z v 2 z ). Demnach st 2F der Antel an der Energedsspaton, der von der Rebung herrührt. De Komponente der verallgemenerten Kraft, de aus der Rebungskraft resultert, st Q j = F R,. r = v F. r = v F. r. q. [wegen Gl. (1.51)] j = F. q j. (1.69)

26 1.6 Enfache Anwendungen der Lagrange-Glechungen 25 En Bespel herfür st das Stokessche Gesetz für ene Kugel mt Radus a, de sch mt ener Geschwndgket v n enem Medum der Vskostät η bewegt und dabe ene Rebungskraft F R = 6πηav erfährt. De Lagrange-Glechungen mt Dsspaton lauten d ( L. q j ) L + F. q j = 0 ; (1.70) es snd folglch zwe skalare Funktonen L und F nötg, um de Bewegungsglechungen zu erhalten. 1.6 Enfache Anwendungen der Lagrange-Glechungen De vorgen Abschntte zegen, dass uns für Systeme, für de man ene Lagrange- Funkton defneren kann, d.h. für holonome Systeme mt Kräften, de von enem gewöhnlchen oder verallgemenerten Potental herletbar snd, ene recht bequeme Methode zur Verfügung steht, de Bewegungsglechungen aufzustellen. Den Lagrange-Formalsmus erhelten wr aus dem Bestreben, de Zwangskräfte aus den Bewegungsglechungen zu elmneren. Während wr deses Zel errechten, haben wr noch vele wetere Vortele realsert. Wenn wr de Bewegungsglechungen n hrer ursprünglchen Form aus Gl. (1.19) aufstellen, so müssen wr mt velen vektorellen Kräften und Beschleungungen umgehen. Be dem Verfahren nach Lagrange brauchen wr ledglch zwe skalare Funktonen T und V, was de Stuaton erheblch verenfacht. Wr können nun en Standardverfahren für alle Probleme der Mechank erstellen, auf de der Formalsmus von Lagrange anwendbar st. Dazu müssen wr nur T und V n verallgemenerten Koordnaten ausdrücken, aus hnen L blden und n Gl. (1.57) ensetzen, um de Bewegungsglechungen zu erhalten. De benötgte Transformaton von T und V von kartesschen auf verallgemenerte Koordnaten errechen wr durch Anwendung der Transformatonsglechungen (1.38) und (1.45 ). So st T m Allgemenen durch 1 T = 2 m v 2 = 1 2 m ( j r. q j + r t gegeben. Wenn man de Entwcklung durchführt, zegt sch schnell, dass T n verallgemenerten Koordnaten de Form. T = M 0 + M j j q j j,k ) 2 M jk. q j. q k (1.71)

27 26 1 De grundlegenden Prnzpen bestzen muss, wobe M 0, M j und M jk Funktonen von r und t und damt von q und t snd. En Verglech zegt, dass und M 0 = 1 2 m ( r t ) 2, r M j = m t. r, (1.72) r M jk = m. r. q k De knetsche Energe enes Systems kann daher stets als Summe dreer homogener Funktonen der verallgemenerten Geschwndgketen geschreben werden, T = T 0 + T 1 + T 2, (1.73) wobe T 0 ncht von den verallgemenerten Geschwndgketen abhängt, T 1 lnear und T 2 quadratsch n hnen st. Wenn de Transformatonsglechungen de Zet ncht explzt enthalten, was möglch st wenn de Randbedngungen unabhängg von der Zet (skleronom) snd, dann st nur der letzte Term n Gl. (1.71) von null verscheden und T st mmer ene homogene quadratsche Form n den verallgemenerten Geschwndgketen. Wr wollen nun enge enfache Bespele für deses Verfahren betrachten. 1. En enzelner Massenpunkt m Raum a) Kartessche Koordnaten b) Zwedmensonale Polarkoordnaten 2. De Fallmaschne nach Atwood 3. Zetabhängge Randbedngungen: ene Perle auf enem roterenden Draht 1. Bewegung enes enzelnen Massenpunkts a) Behandlung n kartesschen Koordnaten. De n Gl. (1.53) benötgten verallgemenerten Kräfte snd offenschtlch F x, F y und F z. Damt wrd T = 1 2 m(. x 2 + ẏ2 + ż2), T x = T y = T z = 0, T T = mẋ, ẋ T = mẏ, ẏ = mż, ż

28 1.6 Enfache Anwendungen der Lagrange-Glechungen 27 und de Bewegungsglechungen lauten d (mẋ) = F x, d (mẏ) = F y, d (mż) = F z. (1.74) Wr snd damt weder be den ursprünglchen Newtonschen Bewegungsglechungen gelandet. b) Behandlung n zwedmensonalen Polarkoordnaten. Nun müssen wr T durch r. und θ. ausdrücken. De Transformatonsglechungen (1.38) lauten n desem Fall enfach x = r cosθ und y = r snθ. In Analoge zu Gl. (1.46) snd de Geschwndgketen durch. x = r. cosθ r θ. snθ und. y = r. snθ + r θ. cosθ. De knetsche Energe T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ2 ) lässt sch damt als T = 1 2 m [. r 2 + (r. θ) 2] (1.75) schreben. Ene alternatve Herletung von Gl. (1.75) ohne Weglassen der z- Koordnate st möglch, wenn man beachtet, dass de Komponenten der Geschwndgket n Polarkoordnaten folgendermaßen angegeben werden können: r. entlang r und r θ. n der Rchtung senkrecht zu r, de wr durch den Enhetsvektor ˆθ bezechnen. Somt st das Quadrat der Geschwndgket n Polarkoordnaten, r. 2 + (r θ). 2. Mthlfe der Bezehung dr = ˆr dr + r ˆθ dθ + ˆk dz für den dfferentellen Ortsvektor dr n Zylnderkoordnaten unter der Enschränkung z = 0 (ˆr und ˆθ snd de Enhetsvektoren n r- und θ-rchtung) erhalten wr de Komponenten der verallgemenerten Kraft aus der Defnton Gl. (1.49) Q r = F. r r = F. ˆr = F r, Q θ = F. r θ = F.r ˆθ = rf θ, da de Abletung von r bezüglch θ (aufgrund der Defnton ener Abletung) en Vektor n Rchtung ˆθ st (Abb. 1.6). Es gbt her zwe verallgemenerte Koordnaten und deshalb zwe Lagrange-Glechungen. De Abletungen, de n der Glechung für r auftreten, snd T r = mr. θ 2, T r. = m r., d ( T. r ) = m.. r,

29 28 1 De grundlegenden Prnzpen Abbldung 1.6 De Abletung von rr nach θ. und de Glechung selbst lautet m.. r mr. θ 2 = F r, wobe der zwete Term de Zentrpetalbeschleungung beschrebt. Für de Glechung n θ snd de benötgten Abletungen T θ = 0, T θ. =. mr2 θ, d sodass wr für de Glechung erhalten d (mr 2. ) θ = mr 2 θ.. + 2mr r. θ. = rf θ. (mr 2 θ. ) = mr 2.. θ + 2mr. θ, De lnke Sete deser Glechung st gerade de Abletung des Drehmpulses nach der Zet und de rechte Sete das angewendete Drehmoment. Somt haben wr weder de Drehmpuls-Glechung (1.26) mt L = mr 2 θ. und N (e) = rf θ hergeletet. 2. De Fallmaschne nach Atwood (Abb. 1.7) st en Bespel für en konservatves System mt holonomen skleronomen Randbedngungen (de Rolle soll masselos sen und sch ohne Rebung drehen). Offenschtlch gbt es her nur ene unabhängge Koordnate x; de Lage des zweten Gewchts st durch de Randbedngung bestmmt, dass de Länge des Sels zwschen den Gewchten glech l st. De potentelle Energe st V = M 1 gx M 2 g(l x) ; de knetsche Energe st T = 1 2 (M 1 + M 2 )ẋ2. Wenn wr bede Glechungen kombneren, erhalten wr de Lagrange-Funkton L = T V = 1 2 (M 1 + M 2 )ẋ2 + M 1 gx + M 2 g(l x). r.

30 1.6 Enfache Anwendungen der Lagrange-Glechungen 29 Abbldung 1.7 De Fallmaschne nach Atwood. Es gbt her nur ene Bewegungsglechung, de de Abletungen L x = (M 1 M 2 )g enthält. Folglch st und L ẋ = (M 1 + M 2 )ẋ (M 1 + M 2 ).. x = (M 1 M 2 )g oder.. x = M 1 M 2 M 1 + M 2 g. Das st das bekannte Ergebns, das auch auf elementare Wese erhalten werden kann. Deses trvale Bespel zegt besonders deutlch, dass de Zwangskräfte her de Selspannung nrgends m Lagrange-Formalsmus erschenen. 3. Ene auf enem roterenden Draht n enem kräftefreen Raum gletende Perle. Der Draht soll n desem Bespel gerade sen und n der xy-ebene legen, während er glechförmg um de z-achse rotert. Deses System soll als enfaches Bespel für ene zetabhängge Randbedngung denen; de Transformatonsglechungen enthalten her de Zet explzt, x = r cos ωt (ω = Wnkelgeschwndgket der Rotaton), y = r snωt (r = Entfernung von der Rotatonsachse auf dem Draht). Obwohl wr T (her glech L) auf dem glechen Wege fnden könnten, der uns zu Gl. (1.71) geführt hatte, st es enfacher, Gl. (1.64) drekt zu verwenden. Wr drücken de Randbedngung durch de Bezehung θ. = ω aus und erhalten T = 1 2 m(. r 2 + r 2 ω 2).