Rückkopplung und Schwingung

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1 Sie werden in diesem Versuch die Rückkopplung von Verstärkern als ein Verfahren kennen lernen, die Verluste in elektrischen Schwingkreisen am ohmschen eitungswiderstand der Spule R so auszugleichen, dass stabile Eigenschwingungen entstehen. Um die sehr viel kleineren Verluste im Kondensator geht es in diesem Versuch nicht. Schriftliche VORbereitung: eiten Sie die Formeln für ω 0 ; Z(ω 0 ) und ω R ; Z(ω R ) in den Gleichungen () und (2) her. Bearbeiten Sie Aufgabe auf Seite 4. Bearbeiten Sie Aufgabe 2 auf Seite 5. Überlegen Sie sich Details zu der Messung und Auswertung des Parallelschwingkreises vor dem Experimentiertag (Siehe S. 5). - eibniz Universität Hannover,Juni 205 von 7

2 Verluste in elektrischen Schwingkreisen Im Resonanzfall wird die Schwingkreis-Impedanz Z(ω) ohmsch. Daraus ergibt sich beim Serienkreis die von R unabhängige Resonanzfrequenz ω 0 ( i, nicht kursiv, ist die imaginäre Einheit; i, kursiv steht für die Stromstärke): Z(ω 0 ) = Z R + Z + Z = R + iω 0 + iω R ω 0 = ; Z(ω 0 ) = R. () Für den Parallelkreis gilt ganz analog (zur Unterscheidung wird hier ω R statt ω 0 verwendet): Z(ω R ) = ω R = + = iω R + Z Z R + Z 2 = iω R + R R ω 2 R R2 l 2 ; Z(ω R) = R. (2) Hier sehen Sie zwei wichtige Unterschiede zwischen Serien- und Parallelkreis: Die Resonanzfrequenz hängt beim Parallelkreis vom Verlustwiderstand der Spule ab: ω R < ω 0. Die Impedanz des Parallelkreises hängt auch im Resonanzfall von und ab. Was bedeutet Rückkopplung? Rückkopplung bedeutet, dass das Ausgangssignal u a wieder am Verstärkereingang eingekoppelt wird, nachdem es ein Rückkopplungsnetzwerk durchlaufen hat: Eine Eingangsspannung u e wird mit dem Faktor A verstärkt, u a = A u e. u a wird nun auf ein Rückkopplungsnetzwerk k (-, -, R-Bauteile, Quarz, Tunneldiode) gegeben. Zwischen den Punkten x und z liegt danach die Spannung: k u a = k A u e. Abbildung : Rückkopplung 2 Der Verstärker Sowohl im Verstärker A als auch im Rückkopplungsnetzwerk k kommt es im Allgemeinen zu Phasenverschiebungen zwischen dem jeweiligen Eingangs- und dem Ausgangssignal. Wenn allerdings die Spannungen u e und k A u e in Phase sind, kann die rückgekoppelte Spannung das Eingangssignal verstärken; man spricht von positiver Rückkopplung (oder Mitkopplung). Angenommen wir verbinden jetzt die Punkte x und y in Abb.. Das rückgekoppelte Signal wird nun zum Eingangssignal. Ist k A <, dann ist auch k A u e < u e, und das Ausgangssignal wird kleiner, weil nicht genügend Spannung zurückgekoppelt wird. Ist andererseits k A >, so schaukelt sich das System auf wohin auch immer. Nur für den Fall k A = kann sich ein stationärer Zustand einstellen. - eibniz Universität Hannover,Juni von 7

3 06a R uckkopplung und Schwingung Abb. 2 zeigt den Verst arker, den Sie in diesem Versuch verwenden. Es handelt sich um einen Operationsverst arker in Elektrometerschaltung. Hier nicht eingezeichnet sind die Zuleitungen f ur die Versorgungsspannung. Die Verst arkung A dieses Verst arkers (s. auch Versuch 04) wird im Idealfall nur von dem Verh altnis der Widerst ande R und RN bestimmt: A= ua R =+. ue RN (3) Wird als Spannungsteiler R RN ein Drehpotentiometer verwendet, ist A stufenlos einstellbar. Abbildung 2: Operationsverst arker als Elektrometerverst arker (M) Test des Operationsverst arkers: Bauen Sie einen Elektrometerverst arker mit dem Verst arkungsfaktor A = 20 auf (Abb. 2). F uhren Sie einen Test Ihrer Schaltung durch: Bestimmen Sie R und RN mit einem Multimeter. Das Spannungsverh altnis A = ua/ue bestimmen Sie mit dem Oszilloskop. Als Eingangssignal (ue in Abb. 2) k onnen Sie eine Sinusspannung geeigneter Frequenz und Amplitude verwenden. (A) Ist Gl. (3) erf ullt? Abbildung 3: Das Bild zeigt einen R ohrenempf anger (ca. 925; Fa. Radiofrequenz GmbH, sp ater oewe-radio GmbH); damit das Ger at f ur den Fernempfang tauglich war, wurde eine R uckkopplung eingebaut. Das Ausgangssignal des Schwingkreises wurde verst arkt und ein einstellbarer Teil der Ausgangsspannung des Verst arker wieder dem Schwingkreis zugef uhrt. Auf diese Weise lies sich die G ute des Schwingkreises deutlich erh ohen. Allerdings konnten so auch eigenst andige Schwingungen erzeugt werden und das Ger at gab laute st orende Pfeifger ausche ab. c Dr. R udiger Scholz und Kim-Alessandro Weber - eibniz Universit at Hannover,Juni von 7

4 3 -Oszillator mit Serienschwingkreis Der Serienschwingkreis ergibt ein resonanzfähiges Rückkopplungsnetzwerk (Abb. 4). Die Rückkopplung wird dabei durch den Strom durch das Netzwerk vermittelt. Denn die Eingangsspannung des Verstärkers ist der mit dem Strom phasengleiche Spannungsabfall u e = i Re ( i ist die Stromstärke!) am Widerstand R e. Im Resonanzfall ist die Impedanz des Kreises rein ohmsch und u a und u e sind damit in Phase. Abbildung 4: -Schwinger mit Reihenschwingkreis Aufgabe (vorher zu Hause): Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm zu u a = i R e + u + i R + u (Maschenregel) und zeigen Sie die Richtigkeit dieser Behauptung. Zeigen Sie weiter, dass sich daraus Bedingungen für eine stationäre Schwingung ergeben (Resonanzfrequenz ω 0, A min kompensiert gerade eben die Spulenverluste): u + u = 0 A min = + R R e (4) Z = Z ω 0 = (5) Z(ω 0 ) = R (6) Aus den Gln. (5) und (6) ergeben sich zwei Konsequenzen, die Sie hier experimentell überprüfen:. Die Resonanzfrequenz ω 0 ist allein durch und bestimmt und hängt nicht von R ab. 2. Aus Gl. (3) und Gl. (4) kann der wirksame Spulenwiderstand R bestimmt werden: A min = + R und A min = + R R = R e R R N R e R N. min min Experimente: Resonanzfrequenz ω 0 und wirksamer Spulenwiderstand R im Serienkreis Nach der Theorie wird die Resonanzfrequenz allein von und bestimmt (ω 0 = ). Wie gut ist diese Vorhersage erfüllt? Im Experiment vergrößern Sie R durch die Widerstände R D der Widerstandsdekade und untersuchen das Schwingverhalten für unterschiedliche R = R + R D. Messparameter: Re = 200 Ω; R /R N ist über ein 0 kω-potentiometer einstellbar; = 4,7 mh; die verfügbaren Werte für finden Sie am Arbeitsplatz. (M2) Bestimmen Sie R (ω = 0) mit dem Multimeter. (M3) Wählen Sie R D = 0 und fünf verschiedene Werte nf < < µf; bestimmen Sie damit jeweils die Werte von R (min) und R N (min), für die die Schwingung gerade einsetzen und bestimmen Sie ω 0. (M4) Mit = 0, µf messen Sie ω 0 als Funktion von R D (0 Ω < R D < 0 kω; 3 bis 4 verteilte Messpunkte in jeder Dekade); stellen Sie A so ein, dass der Verstärker nicht in die Sättigung gerät (woran sehen Sie das?). Auswertung: (A2) Wählen Sie eine angemessene Darstellung Ihrer Messwerte aus (M3) um ω 0 = ω 0 () zu prüfen. Welchen Exponenten α ergibt die nichtlineare Regression ω 0 = ( ) α. Ist α mit der Theorie vereinbar? - eibniz Universität Hannover,Juni von 7

5 (A3) Stellen Sie den Zusammenhang ω 0 = ω 0 (RD) grafisch dar. Bestimmen Sie daraus, bis zu welchem Wert von R D Ihr Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage ω 0 = const. vereinbar ist (Toleranz 5 %). -Oszillator mit Parallelschwingkreis Auch die Parallelschaltung eines Kondensators und einer Spule ergibt ein resonanzfähiges Rückkopplungsnetzwerk. Hier vermittelt die Spannung u am Netzwerk die Rückkopplung. Denn diese ist gerade die Eingangsspannung des Verstärkers. u e = u = Q c (7) Zusammen mit der Knotenregel können Sie, analog zum Serienkreis, Bedingungen für eine stationäre Schwingung Abbildung 5: -Schwinger mit Parallelschwingkreis ableiten: Die Resonanzfrequenz ω R stellt sich ein, wenn bei A = A min gerade die Verluste kompensiert werden: ω R = A min = + R (8) 2 = ω0 2 R2 2 < ω 0 (9) Z(ω R ) = R Auch hier ergeben sich experimentell zu überprüfende Konsequenzen:. Die Minimalverstärkung A min hängt hier, anders als beim Serienkreis, von und ab. 2. Anders als beim Serienkreis existiert eine Obergrenze für den zulässigen Spulenwiderstand R, die von der Wahl der Größen und abhängt. Aufgabe 2 Begründen Sie: Aus Gl. (9) folgt R <. Rechnen Sie nach: Für = 4,7 mh und = 00 nf gilt R < 27 Ω?. Was geschieht im Fall R 27 Ω? Experimente: Dieser Versuchsteil hat einen erhöhten Schwierigkeitsgrad: Sie müssen sich Details der Messung und Auswertung vor dem Experimentiertag zu Hause überlegen. Aufbau, Messungen und Auswertungen ähneln allerdings dem Experiment zum Serienkreis. Die Theorie sagt, dass die Resonanzfrequenz neben und von R bestimmt wird (ω R = ). Wie 2 gut ist diese Vorhersage erfüllt? Im Experiment vergrößern Sie R wieder durch Widerstände der Widerstandsdekade R D und untersuchen das Schwingverhalten für unterschiedliche R = R + RD. Variieren Sie dabei R D : Ω und wählen Sie = 00 nf (Wie kommt man auf diese Werte?). (M5) Bestimmen Sie ω R = ω R (R ). (A4) Stellen Sie den Zusammenhang graphisch dar. (A5) Beschreiben Sie ein geeignetes Messverfahren (R k = 200 Ω, = 4,7 mh, = 00 nf). (M6) Testen Sie Gl. (9) ( = SI4,7mH) durch geeignete Werte von und eine geeignete Variation von R. (0) - eibniz Universität Hannover,Juni von 7

6 (M7) Weisen Sie nach, dass die minimale Verstärkung A min von und abhängt, wie von Gl. (8) behauptet. Wählen Sie dazu geeignete Messparameter. (A6) Stellen Sie jeweils Ihre Messwerte und die theoretische Vorhersage aus (M6) und (M7) graphisch dar. Wie gut ist die Vorhersage erfüllt? Theoretischer Anhang Reihenschwingkreis Bezugsgröße ist der Strom durch das Netzwerk. Die Stromstärke i durch alle Bauteile ist bei einer Reihenschaltung identisch. Schreiben Sie also die Spannungen der Masche in ihrer Abhängigkeit von i auf:. Maschenregel für den Rückkopplungszweig: u a = i R e + u + i R + u. 2. Verstärkerwirkung: u a = A u e = A i R e. 3. Def. der Kapazität und der Induktivität: u = Q 3. und 2. in. einsetzten: u = Q = i ; u = i. A i R e = i R e + Q + i R + i A i R e = i R e + Q + i R + 2 i 2 0 = 2 i 2 + (R e A R e + R ) i + i. () Gl. () beschreibt die gedämpfte Schwingung der Stromstärke i. Der zweite Term auf der rechten Seite bewirkt die Dämpfung (proportional zu ersten Ableitung). Für die stationäre Schwingung muss A = A min so eingestellt werden, dass (R e A min R e + R ) = 0 gilt: A min = + R. Damit vereinfacht sich die DG zu 2 i R e + i = 0 mit der ösung i(t) = I 0 sin(ω 0 t + ϕ); ω = : u a = A min u e = A min i(t) R e = ( ) a R i(t) R e = I 0 (R e + R ) sin(ω 0 t + ϕ). R e Parallelschwingkreis Bezugsgröße ist der Spannung am Netzwerk. Schreiben Sie also alle Ströme am Knoten in Abhängigkeit von der Spannung u auf: 4. Knotenregel für den Rückkopplungszweig: i K = i + i. 5. Verstärkerwirkung: i K = u a u (A ) = u. 6. Def. der Kapazität und der Induktivität: u = Q u = Q = i ; u = i + i R. - eibniz Universität Hannover,Juni von 7

7 6. und 5. in 4. einsetzten: u (A ) = u (A ) + i i = u u u = i ( + i R u (A ) = 2 u 2 ( R 0 = 2 u 2 + (A ) ) u + ) ( (A ) + u ( R (A ) u ) u. ) R (2) Gl. (2) ist die DG für ( eine gedämpfte Schwingung der Eingangsspannung u e = u. Für die stationäre Schwingung muss gelten R (A ) min ) = 0 und damit A min = + R. Die DG. ( ) vereinfacht sich zu 2 u u = 0 mit der ösung: u (t) = U 0 sin(ω R t + ϕ); ω R = 2. iteratur [] ehrbücher (auch Schulbücher der Sek. II): Stichpunkte: Schwingkreise, Meißner-Schaltung [2] Portis, A.M.; Young, H.D. (980): Berkeley Physik Kurs 6, Physik und Experiment Vieweg Verlag [3] Tietze, U.; Schenk,. (202): Halbleiter- Schaltungstechnik Springer Verlag - eibniz Universität Hannover,Juni von 7