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1 Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme Prof. Dr.-Ing. Martin Otter (DLR) 9. Vorlesng Veranstaltet vom Lehrsthl für Elektr. Antriebssysteme nd Leistngselektronik (Prof. Kennel), TU München Dozent: Prof. M. Otter: Tel / , Web-Seite: M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 1 Inhalt der 9. Vorlesng 1. Einführng in die Modellierng nstetiger Systeme 2. Erstellng nstetiger Systemmodelle 3. Test z nstetigen Systemen 4. Abtastsysteme (synchrone Sprachelemente) Rechnerübng M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 2

2 1. Einführng in die Modellierng nstetiger Systeme Fragestellng der nächsten Vorlesngsstnden: Wie werden Systeme modelliert nd simliert, die nstetig bzw. nicht-differenzierbar sind? y Beispiele für einfache Unstetigkeiten : nstetige Eingangsfnktionen (z.b. Sprngfnktion ) Abtastsysteme (digitale Regler) Lose Hysterese Beispiele für strktrvariable Systeme : ideale Diode idealer Thyristor Colomb Reibng Kpplng basierend af Colomb Reibng i y t M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 3 Wenn genügend gena modelliert wird, treten keine Unstetigkeiten af! Unstetigkeiten ergeben sich immer as vereinfachten Annahmen. Vorteil: Alle nachfolgenden Überlegngen werden nicht benötigt. Nachteile: Wesentlich längere Rechenzeiten, da die Integratoren die sehr genaen Modellteile (z.b. sehr steile Kennlinien, zsätzliche Dynamikteile) simlieren müssen, d.h. die Schrittweite mss so klein gewählt werden, dass eine "steile" Kennlinie gt geng approximiert wird. Erhöhter Afwand m die Modellparameter der sehr genaen Modellteile z bestimmen. M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 4

3 Beispiel: detailliertes Diodenmodell i i ideales Diodenmodell (10-50 mal schnellere Simlation) i M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 5 Der Anwender sollte zerst verschen nstetige Modelle mit vorhandenen Bibliotheken abzhandeln. Beispiel: Modelica.Electrical.Analog.Ideal (ideale elektrische Schalter) i M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 6

4 Beispiel: Kpplng nd Bremse as der Modelica.Mechanics.Rotational Bibliothek Das Eingangssignal definiert die Anpreßkraft der Kpplng bzw. der Bremse Cltch.mode bzw. Brake.mode = 2: Kpplng/Bremse ist nicht aktiv = 1: Vorwärtsgleiten = 0: Haften (keine Relativbewegng) = -1: Rückwärtsgleiten M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 7 Beispiel: Atomatikgetriebe mit 6 Kpplngen Kpplng Planetengetriebe Modelica Model M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 8

5 Erstellen von Modelica Bibliothekselementen einfach für nstetige Systeme, schwieriger für strktrvariable Systeme (z.b. Reibkpplng) Grndkenntnisse zr Ereignisbehandlng werden benötigt. Generell: Die Modellierng von nstetigen nd strktrvariablen Systemen ist eine der Stärken von Modelica im Vergleich z anderen Simlationssystemen! M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 9 2. Erstellng nstetiger Systemmodelle Schwierigkeiten bei der Integration von nstetigen Systemen: Integratoren setzen vorassetzen, dass die Differentialgleichngen keine Unstetigkeiten enthalten, da die Lösng drch Taylor-Reihenentwicklng, d.h. drch Polynome n-ter Ordnng, approximiert wird (Polynome sind stetig nd differenzierbar). Bei Unstetigkeiten Integratoren mit fester Schrittweite Integratoren mit variabler Schrittweite sehr kleine Schrittweite notwendig in der Nähe der Unstetigkeit sehr kleine Schrittweite (z.b. Schrittweite = 1.e-10 s) m Unstetigkeit drch Polynome z approximieren -> grobe Approximation + große Rechenzeit M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 10

6 Standard-Lösngsstrategie (Cellier 1979) (1) Integration an einer Unstetigkeit anhalten. (2) Die nstetige Änderng drchführen. (3) Die Integration ne starten. D.h. während der kontinierlichen Integration sind die Modelle immer stetig nd differenzierbar. Zeitpnkte an denen die Integration angehalten wird, werden als Ereignisse (englisch: event) bezeichnet. Hinweis: An Ereignispnkten werden die Ergebnisse in Dymola zweimal gespeichert: Wert der Variablen wenn die Integration angehalten wird. Wert der Variablen wenn die Integration ne gestartet wird. M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 11 Beispiel: y Modelica: y = if > 0 then 1 else -1; stetige Fortsetzng zr Detektierng des Umschaltpnktes y, 6 7 y t Ereignis Ein Modell behält solange den gewählten if-zweig bei, bis der Zeitpnkt der Änderng der if- Bedingng detektiert wrde Integratorschritte M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 12

7 Relationen, wie > 0, triggern atomatisch Ereignisse m Unstetigkeiten nmerisch "saber" abzhandeln. Mit smooth(i, expr) kann definiert werden, dass "expr" stetig (i = 0) bzw. i-mal stetig differenzierbar ist (i > 0). Es wird dann kein Ereignis asgelöst. Wenn "expr" differenziert wird, kann wiederm ein Ereignis asgelöst werden, wenn die Differenzierbarkeitsordnng nicht mehr asreicht. Beispiel: y = smooth(1, if >= 0 then ^2 else ^3); Explizit kann ein Ereignis immer mit dem noevent() Operator abgeschaltet werden. Beispiel: y = if noevent( > 10^-10) then 1/ else 1/ 10^-10; Wenn der noevent(..) Operator hier nicht verwendet werden würde, könnte bei der Iteration zr Sche des Ereignispnktes eine Division drch Nll aftreten. Also ist der Operator hier zwingend notwendig. M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 13 Eine Variable y ist immer der rechte Grenzwert nd pre(y)ist immer der linke Grenzwert an einer nstetigen Stelle! y, y = y(t + ) y Ereignis t pre(y) = y(t - ) M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 14

8 Fnktionen, bei denen die Ableitng nicht überall definiert ist, bereiten in jedem Simlationssystem Schwierigkeiten (Abbrch der Simlation wegen "Division drch Nll", "singläres System", "keine Konvergenz",...). Beispiel (Drckverlst af Grnd trblenter Strömng): y if x 0 then x else x Ableitng ist bei x = 0 nendlich! Dies ist sowieso nphysikalisch nd kommt von einer z starken Vereinfachng (Krve mss in der Nähe von Nll genaer modelliert werden, so dass Ableitng endlich ist). M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 15 Beispiel: model twopoint parameter Real w=5, A=1.5; Real, y1, y2; eqation = A*Modelica.Math.sin(w*time); y1 = if > 0 then 1 else -1; y2 = if noevent( > 0) then 1 else -1; end twopoint; Integrator = DASSL, 50 Asgabepnkte M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 16

9 Detektierng eines Ereignisses erfordert Schprozess (= Zstandsereignis, bzw. state event) Effizienzsteigerng: smooth() Operator, wenn keine Unstetigkeit vorliegt. Beispiel: y = smooth(1, if >= 0 then ^2 else ^3); Zeitabhängige Relationen der Form: time >= discrete_expression time < discrete_expression führen nicht z einem Schprozess nd der Integrator passt die Schrittweite atomatisch so an, dass der Zeitpnkt des Ereignisses gena getroffen wird (time ist die aktelle Zeit nd steht als vordefinierte Variable überall zr Verfügng). Beispiel: y = if time >= 5 then 5 else 0; M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 17 Beispiele: Zsammenstellng der Modelica Sprachelemente für Relationen nd logische Operatoren Relationen in Modelica: > >= < <= == Logische Operatoren in Modelica: or and not y = if x > 0 and x < x_high then x else if x > x_high/2 then 2*x else x_high; if x > 0 and x < x_high then y = x; elseif x > x_high/2 then y = 2*x; else y = x_high; end if; M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 18

10 3. Test z nstetigen Systemen y model F1 extends Modelica.Blocks.Interfaces.SISO; // in SISO werden, y deklariert eqation -2 end F1; y y = 2 model F2 extends Modelica.Blocks.Interfaces.SISO; //, y eqation end F2; M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng Abtastsysteme (synchrone Sprachelemente) In Modelica 3.3 vom Mai 2012 wrden nee Sprachelemente eingeführt m Abtastsysteme präzise z beschreiben (basiert af synchronen Sprachen wie Lstre, SCADE). Diese Vorgehensweise ist wesentlich besser nd mächtiger als die Emlation von Abtastsystemen mit Sprachelementen in früheren Modelica Versionen. Diese synchronen Sprachelemente werden von Dymola 2014 (von Mai 2013) nterstützt. In OpenModelica werden diese Sprachelemente noch nicht nterstützt. M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 20

11 Modelica_Synchronos Bibliothek Um die synchronen Sprachelemente bentzerfrendlich einzsetzen, wird eine nee Bibliothek für periodische nd nicht-periodische Abtastsysteme zr Verfügng gestellt (ist bei Dymola 2014 dabei): M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 21 Clocks (Uhren) Neer Basisdatentyp: Clock Variablen die mit einer Clock assoziiert sind, haben nr bei einem Clock-Tick einen Wert, nd sind ansonsten ndefiniert. r(t i ) c(t i ): Clock r(t i ): Variable die mit c assoziiert ist. c(t i ) t time t 0 t 1 t 3 t 2 Ähnlich z Real, Integer, Boolean, gibt es inpt/otpt Clock connectors (in Modelica_Synchronos.Clocks.Interfaces): connector ClockInpt = inpt Clock; connector ClockOtpt = otpt Clock; M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 22

12 Erzegng von Clock-Signalen Modelica_Synchronos.ClockSignals.Clocks.PeriodicRealClock Der Asgang dieses Blocks ist periodisch aktiv (Clock-Werte werden in Dymola als tre dargestellt) parameter Modelica.SInits.Time period; ClockOtpt y; eqation y = Clock(period); Neer Operator, m ein Clock-Signal z erzegen) M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 23 Modelica_Synchronos.ClockSignals.Clocks.Sampler.SbSample Der Asgang dieses Blocks ist bei jedem factor Tick vom Eingang aktiv (hier: jede 0.3 s) parameter Integer factor; ClockInpt ; ClockOtpt y; eqation y = sbsample(,factor); Neer Operator m Signal z sb-sampeln M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 24

13 Umwandlng zeit-kontinierlicher in zeit-diskrete Signale Modelica_Synchronos.RealSignals.Sampler.SampleClocked SampleClocked: zeit-kontinierlich zeit-diskret (tastet Signal an Clock-Tick ab) = = RealInpt ; RealOtpt y; ClockOtpt clock; eqation y = sample(,clock); Neer Operator m zeit-kontinierliches Signal z sampeln M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 25 Wenn bei einem Clock-Tick das abztastende Signal nstetig ist (hier: bei t = 0.3 s), wird der Wert des Signals krz vor Aftreten des Ereignisses als Abtastwert verwendet (also der links-seitige Grenzwert). Hierdrch können zwischen zeit-kontinierlichem nd zeit-diskreten Teilen keine algebraischen Schleifen aftreten (wie dies ach in Wirklichkeit af Grnd der endlichen Rechenzeit zr Aswertng der zeit-diskreten Gleichngen nicht möglich ist), da alle Eingänge z zeit-diskreten Teilen dadrch als bekannt angesehen werden. M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 26

14 Modelica_Synchronos.RealSignals.Sampler.Hold Hold: zeit-diskret zeit-kontinierlich (hält zeit-diskretes Signal) Vor dem ersten Tick der Clock von Eingang, wird der Asgang y af einen Anfangswert gesetzt (hier: hold.y_start = 0.0). parameter Real y_start; RealInpt (start=y_start); RealOtpt y; eqation y = hold(); Neer Operator m zeit-diskretes Signal z halten =, < Vor dem ersten Tick der Clock von, gibt hold() den Startwert,.start, zrück (hier:.start = y_start) M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 27 Clock-Inferenz Wenn eine zeit-diskrete Variable nicht explizit einer Clock zgeordnet ist, wird die Zordnng implizit mit den folgenden Regeln definiert: 1. Jede Variable nd jede Gleichng ist entweder zeit-kontinierlich oder zeit-diskret. 2. Jede zeit-diskrete Variable ist eindetig einer Clock zgeordnet. 3. Jede zeit-diskrete Gleichng ist eindetig einer Clock zgeordnet. 4. Mit Asnahme der Argmente der Umwandlngsoperatoren (sample(), hold(), sbsample(),...) sind alle Variablen einer zeit-diskreten Gleichng zeit-diskret nd sind derselben Clock zgeordnet. Beispiel 1: d = sample(, clock); 0 = 2*wd + 3*d; 0 = 3*wd + 5*yd: y = hold(yd); ist zeit-kontinierlich (da Eingangsargment von sample(..)) d ist zeit-diskret mit Clock clock (da Asgangsargment von sample(..)) wd ist zeit-diskret mit Clock clock (da wd in derselben Gleichng wie d) yd ist zeit-diskret mit Clock clock (da yd in derselben Gleichng wie wd) M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 28

15 Beispiel 2: d1 = sample(1, clock); d2 = sample(2); yd = d1 + d2; d1 ist zeit-diskret mit Clock clock (da Asgangsargment von sample(1,clock)) yd nd d2 sind zeit-diskret mit Clock clock (da yd,d2 in derselben Gleichng wie d1) Hinweis: Eine clock mss beim sample-operator nr dann angegeben werden, wenn das Asgangsargment sonst nicht eindetig einer Clock zgeordnet werden kann. M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 29 Beispiel 3: d1 = sample(1, clock1); d2 = sample(2, clock2); yd = d1 + d2; // clock1 clock2 // error d1 ist zeit-diskret mit Clock clock1 (da Asgangsargment von sample(1,clock1)) d2 ist zeit-diskret mit Clock clock2 (da Asgangsargment von sample(2,clock2)) Fehler, da in der dritten Gleichng zwei Variablen nterschiedlichen Clocks zgeordnet sind (Regel: alle Variablen in einer zeit-diskreten Gleichng müssen derselben Clock zgeordnet sein) M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 30

16 Einfacher Abtastregelkreis Mit den sample nd hold Blöcken, werden die Grenzen des Abtastreglers markiert. Eine Clock mss nr an einer Stelle definiert sein (hier: bei sampleclock), da drch Clock-Inferenz alle anderen Variablen des Reglers ach dieser Clock zgeordnet werden. Im Abtastregler können rein algebraische Blöcke (wie feedback ) oder zeitdiskrete Blöcke (wie PI, siehe Folgefolie) verwendet werden. M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 31 Voriger Wert eines zeit-diskreten Signals Modelica_Synchronos.RealSignals.NonPeriodic.UnitDelay UnitDelay liefert den Wert vom Eingang vom letzten Clock Tick. Beim ersten Clock Tick wird der Asgang y af einen Startwert gesetzt (hier: nitdelay.y_start = -0.5). = parameter Real y_start; RealInpt (start=y_start); RealOtpt y; eqation y = previos(); Beim ersten Clock Tick gibt previos() den Startwert,.start, zrück (hier:.start = y_start) Neer Operator für Wert vom vorigen Tick (Hinweis: pre(..) ist für zeit-kontinierliche, previos(..) für Clock Signale!) M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 32

17 Zeit-diskreter PI-Regler Modelica_Synchronos.RealSignals.Periodic.PI parameter Real kd "Gain"; parameter Real Td "Time constant"; RealInpt ; RealOtpt y; otpt Real x(start=0) "State"; eqation x = previos(x) + /Td; y = kd*(x + ); = + =kd + M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 33 Sb- nd sper-sampeln von Signalen RealSignals.Sampler.SbSample RealSignals.Sampler.SperSample RealSignals.Sampler.SperSampleInterpolated M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 34

18 Kaskadenregler Alternative 1 Mit den sample, hold nd spersample Blöcken werden die Grenzen der Abtastregler markiert. Eine Clock mss nr an einer Stelle definiert sein (hier: bei sample1), da drch Clock-Inferenz alle anderen Variablen einer Clock zgeordnet werden können. Die Clock von sper.y (= fast controller) hat eine Periode von s Da sper.factor = 5, ist die Clock von sper. 5-Mal langsamer nd deswegen hat der slowcontroller eine Periode von 0.01 s. M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 35 Kaskadenregler Alternative 2 Es wird eine clock mit s Periode nd eine 5-Mal langsamere Clock, also mit einer Periode von 0.01 s, definiert. Beim sper Block wird kein factor definiert. Stattdessen mss dieser factor drch Inferenz ermittelt werden (y = spersample(), nd die Clock von ist 5-Mal langsamer als die Clock von y, dann mss factor = 5 sein. Diese Inferenz erfordert i.a. die Bestimmng der exakten rationalen Lösng von linearen Gleichngssystemen mit Integer Koeffizienten). M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 36

19 Diskretisierte zeit-kontinierliche Systeme zeit-kontinierlicher PI Regler (Modelica.Blocks.Continos.PI) Jedes zeit-kontinierliche Modell kann drch Markieren mit sample/hold Blöcken in ein zeit-diskretes Modell mgewandelt werden. Hierbei wird die Partition mit der in der Clock definierten Integrationsmethode vom letzten zm aktelle Clock-Tick integriert. M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 37 Hierdrch können nicht-lineare physikalische Modelle sehr komfortabel in einem Abtastregler eingesetzt werden. Zm Beispiel ach inverse Modelle, wie dem folgenden Antriebsstrang (der als Vorsteerng in einer Regelng eingesetzt werden könnte) gewünschter Last-Sollwinkel (zeit-kontinierlich) gewünschter Last-Sollwinkel gefiltered (zeit-diskret) Motor-Sollmoment (zeit-diskret) Abtastregler-Vorsteerng Motor-Sollwinkel (zeit-diskret) M. Otter: Objektorientierte Modellierng mechatronischer Systeme, 9. Vorlesng 38

20 Modelica_DeviceDrivers Bibliothek Freie Modelica Bibliothek vom DLR für Hardware Treiber (in Dymola 2014 dabei) Unterstützng für Windows nd Linx Realtime Synchronisierng, UDP, CAN, Shared Memory, Joystick, Tastatr, etc. Generisches Packaging System, z.b: m 8 Boolean af 1 Integer z packen. Für UDP, CAN, shared memory

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