3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I)

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1 3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I) 31 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen einer Variablen Definition 31 Es sei M R, f : M R und a M Wenn der Funktionsgrenzwert f(x) f(a) x a x a = g R existiert, so ist f differenzierbar in a und g ist die Ableitung von f in a Man schreibt dann g = f (a) Bemerkung 32 Mit h = x a kann man im Grenzwert x durch h + a ersetzen und erhält f(x) f(a) f(a + h) f(a) = x a x a h 0 h Beispiel 33 Definition 34 Ist f : M R differenzierbar in a M, so ist der Graph der Funktion die Tangente von f in a T f,a : R R, T f,a (x) = f(a) + f (a)(x a) Satz 35 Ist f : M R differenzierbar in einem Punkt a M, so ist f auch stetig in a Beweis 19

2 3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I) Definition 36 Ist f in allen Punkten a M differenzierbar, so sagt man: f ist differenzierbar (in M) Die Funktion f : M R, f (a) = x a f(x) f(a) x a heißt Ableitung von f Für jedes a M heißt die Abbildung df(a) : R R, df(a)(h) = f (a) h Differential von f in a Beispiel 37 Satz 38 (Rechenregeln für Ableitungen) Es sei M R und f, g : M R seien in a M differenzierbare Funktionen Dann sind auch die Funktionen f ± g, f g und f g (falls g(a) 0) differenzierbar in a und es gilt: (i) (f ± g) (a) = f (a) ± g (a), (ii) (f g) (a) = f (a) g(a) + f(a) g (a), (iii) ( f g ) (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) (g(a)) 2, (iv) für c R ist (cf) (a) = c f (a) 20

3 32 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen mehrerer Variablen Satz 39 Es sei M R, f : M R sei differenzierbar in einem Punkt a M und g : f(m) R sei differenzierbar in f(a) Dann ist g f differenzierbar in a und es gilt die Kettenregel (g f) (a) = g (f(a)) f (a) Beispiel 310 Definition 311 (Ableitungen höherer Ordnung) Es sei M R, f : M R sei differenzierbar mit der Ableitung g(x) = f (x) Ist g differenzierbar, so ist g (x) = f (x) die zweite Ableitung von f Gegebenenfalls erhält man durch weiteres Ableiten die n-te Ableitung f (n) (x) von f 32 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen mehrerer Variablen Definition 312 Es sei n N, M R n, f : M R, a = (a 1, a 2,, a n ) M und j {1, 2, 3,, n} Wenn der Funktionsgrenzwert f(a 1, a 2,, a j 1, a j + h, a j+1,, a n ) f(a) h 0 h existiert, so ist f in a partiell differenzierbar in Richtung x j Ableitung von f in a in Richtung x j Man schreibt Beispiel 313 g = f x j (a) = f(a) x j = xj f(a) = f xj (a) = g R und g ist die partielle 21

4 3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I) Definition 314 Ist f in allen Punkten a M partiell differenzierbar in Richtung x j, so heißt f partiell differenzierbar in Richtung x j Ist f in allen Punkten a M partiell differenzierbar in alle Richtungen x 1, x 2,, x n, so heißt f partiell differenzierbar Bemerkung 315 Beim Berechnen einer partiellen Ableitung sind die Komponenten x k, k j als (konstante) Parameter zu verstehen, und man leitet einfach wie gewohnt nach x j ab Beispiel 316 Definition 317 Es sei n N, M R n, f : M R und a M Wenn ein Vektor c = (c 1, c 2,, c n ) R n existiert, so dass h 0 f(a + h) f(a) n k=1 h kc k h dann heißt f (total) differenzierbar in a und c = f (a) = Df(a) = f(a) heißt Ableitung von f in a Ist f in allen Punkten a M differenzierbar, so heißt f differenzierbar auf M Satz 318 (i) Wenn f differenzierbar ist, dann ist f auch partiell differenzierbar und für x M ist ( f c = (c 1, c 2,, c n ) = (x), f (x),, f ) (x) x 1 x 2 x n (ii) Wenn f partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen stetig sind, dann ist f differenzierbar = 0, Definition 319 Ist f : M R differenzierbar in x M, so heißt der Vektor ( f c = (c 1, c 2,, c n ) = (x), f (x),, f ) (x) x 1 x 2 x n aus Definition 317 und Satz 318 Gradient von f in x Ist f : M R differenzierbar in allen x M, dann ist die Ableitung von f gegeben durch die Abbildung f : M R n Beispiel

5 33 Ableitungen höherer Ordnung in mehreren Variablen Bemerkung 321 Der Gradient steht immer senkrecht auf den Niveaulinien und zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs von f Definition 322 Ist f : M R differenzierbar, so ist für jedes x M die Abbildung df(x) : R n R, n f df(x)(h 1, h 2,, h n ) = (x) h k = f x1 h 1 + f x2 h f xn h n = f(x) h x k das Differential von f in x k=1 Satz 323 (vgl Satz 35) Ist f differenzierbar, so ist f auch stetig 33 Ableitungen höherer Ordnung in mehreren Variablen Definition 324 Ist f : M R differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen g i = df dx i : M R (i = 1, 2,, n) ebenfalls differenzierbar, dann ist f zweimal differenzierbar und man kann die zweiten Ableitungen dx i dx j = dg j dx i in der Hesse-Matrix anordnen: Beispiel 325 H f (x) = dx 2 1 dx 1 dx 2 dx 1 dx n dx 2 dx 1 dx 2 2 dx 2 dx n dx ndx 1 dx ndx 2 dx 2 n Satz 326 (Satz von Schwarz) Ist f : M R zweimal differenzierbar, so ist i, j {1, 2,, n} : dx j dx i = d2 f dx i dx j 23

6 3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I) 34 Exakte Vektorfelder Definition 327 Es sei n N, M R n und g : M R n ein Vektorfeld g heißtexaktes (oder konservatives) Vektorfeld (oder exakte Differentialform), wenn es eine Funktion f : M R gibt, so dass g = f Satz 328 Es sei n N und M R n Ein Vektorfeld g : M R n ist genau dann exakt, wenn für alle i, k {1, 2,, n} mit i k gilt dg i dx k = dg k dx i Im Fall n = 2 ist ein Vektorfeld g insbesondere genau dann exakt, wenn Beispiel 329 dg 1 dx 2 = dg 2 dx 1 24