Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Kinder in einer Reihe zu platzieren, z.b. für n = 5? Für n = 2 gibt es 2 Möglichkeiten.

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1 n-faultät Wie viele Möglicheiten gibt es, n Kinder in einer Reihe zu platzieren, z.b. für n? Für n gibt es Möglicheiten. Für n 3 hat das 3. Kind 3 Möglicheiten, die beiden restlichen Plätze önnen jeweils auf Weisen besetzt werden. Insgesamt gibt es 3 6 Möglicheiten. Für n 4 hat das 4. Kind 4 Möglicheiten, die restlichen 3 Plätze önnen jeweils auf 3 6 Weisen besetzt werden. Insgesamt gibt es Möglicheiten. Für n ergeben sich Möglicheiten. Für das Produt 3 4 schreiben wir ürzer! und allgemein: 3 n ) n n! Es gilt die reursive Beziehung: n! n n )!, d. h. die Berechnung einer Faultät ann auf die Berechnung der Faultät einer leineren Zahl zurücgeführt werden. facultas, lat. Möglicheit, Fülle recurrere, lat. zurüclaufen

2 Binomialoeffizient. Wie viele Wege führen von A nach D? A B C D. Herr M. will seine 4 Kinder für ein Gruppenfoto in einer Reihe anordnen. Wie viele Möglicheiten bestehen für das. Kind, wie viele Möglicheiten verbleiben für das. Kind? Wie viele Möglicheiten der Platzierung gibt es insgesamt? 3. Eine Münze wird n-mal geworfen. Wie viele Möglicheiten gibt es, dass genau -mal eine Zahl auftritt? a) n, b) n 4, c) n 4, 3 d) n, e) n, 3 f) n 0, 4 Die Anzahl der Möglicheiten wird mit n ) lies: n über ) bezeichnet. a) Für n, önnen alle Möglicheiten ohne Schwierigeit aufgeschrieben werden Zahl, Wappen 0):, 0, 0, 0, 0) 0,, 0, 0, 0) b),, 0, 0) 0,, 0, ) Für n 4, erhalten wir einen tieferen Einblic in die Zusammenhänge, wenn wir uns zunächst die beiden Einsen als verschieden vorstellen, z.b. als und. Gesucht ist also die Anzahl aller Muster:,, 0, 0) 0,, 0, ) Die Anzahl der Muster ist sofort zu erennen, wenn man bedent, dass anfänglich für 4 Plätze möglich sind und für anschließend nur noch 3. 4 In welcher Beziehung steht nun die in b) gesuchte Anzahl zur Anzahl dieser Muster? Die Anzahl der Muster muss doppelt so groß sein, da,, 0, 0) den Mustern,, 0, 0) und,, 0, 0) entspricht, desgleichen, 0,, 0) den Mustern, 0,, 0) und, 0,, 0) usw. 4 Damit ergibt sich: 4 3 6

3 Urnenmodell In einer Urne befinden sich nummerierte Kugeln. Wie viele Möglicheiten gibt es, mit einem Griff die Reihenfolge ist also unerheblich) der Urne drei Kugeln zu entnehmen? 4 3 Einige der Möglicheiten sind: {, 4, } {,, 4} {, 3, } Die geschweiften Mengen-Klammern deuten an, dass es uns nicht auf die Reihenfolge anommt. Die drei Kugeln önnten wir auch einzeln ziehen. Die gesuchte Anzahl beträgt: ) 3 0. Dies ist die Anzahl aller 0--Folgen der Länge mit genau 3 Einsen. Zwischen diesen 0--Folgen und den 3-elementigen Teilmengen gibt es eine direte Entsprechung, z. B.: 0,, 0,, ) {, 4, },, 0,, 0) {,, 4}, 0,, 0, ) {, 3, },, 3, 4, ) bedeutet: in der Teilmenge enthalten. Allgemein gilt: Einer Urne mit n Kugeln werden mit einem Griff Kugeln entnommen. ) n Hierzu gibt es Möglicheiten. 3

4 Binomialoeffizient Fortsetzung c) d) e) f) oder ) oder 3 ) ) ) 0 ) n Die Ausdrüce heißen Binomialoeffizienten, da sie bei der Berechnung des Binoms a+b) n auftreten. Sie önnen übersichtlich im pascalschen Dreiec Blaise Pascal angeordnet werden: n n n n ) ) ) ) ) ) n 0 Für Binomialoeffizienten gilt die reursive Beziehung: ) n ) n + ) n Wenn n Plätze mit Einsen belegt werden sollen, so ann auf dem.platz eine Eins stehen - und dann sind die restlichen n Plätze mit Einsen zu belegen, oder auf dem.platz steht eine Null - dann sind die restlichen n Plätze mit Einsen zu belegen. ) ) n, 0, n ) n 4. Eine Münze wird -mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass genau 4-mal Zahl oben liegt? 0 0 4

5 Binomialoeffizient Ergänzung Binomialoeffizienten sind die Lösung für viele Abzählprobleme. ist die Anzahl aller 0--Folgen der Länge mit genau 3 Einsen, z.b., 0, 0, 0,, 0,, 0) oder 0,, 0, 0, 0,,, 0). Interpretiere die 0--Folgen als Wege, die in A beginnen, 0 bedeutet eine waagerechte Strece, eine senrechte. Zeichne den Punt B ein, in dem die Wege enden. Schreibe an jeden Gitterpunt die Anzahl der ürzesten Wege, die in A beginnen und zu dem Gitterpunt führen. Welche Zusammenhänge sind zu erennen? A

6 Binomialoeffizient Lösung B A Die reursive Beziehung: ) n ) n + ) n bedeutet hier, dass sich die Anzahl der Wege zu einem Gitterpunt als Summe der Wege zu zwei benachbarten Gitterpunten ergibt. 6

7 n-faultät Wie viele Möglicheiten gibt es, die Zahlen a), b),, 3 c),, 3, 4,, 6 auf die 6 Plätze zu verteilen? Für das Produt schreiben wir ürzer 6! und allgemein: 3 n ) n n! lies: n-faultät n! ist die Anzahl der Möglicheiten Permutationen), n Elemente in einer Reihe anzuordnen, zu permutieren. 7

8 Binomialoeffizient lies: über sei die Anzahl aller 0--Folgen der Länge mit genau 3 Einsen, z.b., 0,, 0, 0, 0,, 0). ) n sei die Anzahl aller 0--Folgen der Länge n mit genau Einsen. Offensichtlich ist. ), 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0) Um zu ermitteln, ersetzen wir in den Folgen mit genau einer zunächst eine 0 durch eine. Wenn wir eine 0 durch eine ersetzen würden, wäre die Anzahl der Möglicheiten im Duneln.,, 0, 0, 0, 0, 0, 0), 0,, 0, 0, 0, 0, 0),, 0, 0, 0, 0, 0, 0), 0,, 0, 0, 0, 0, 0) Es entstehen 7 Folgen. Ersetzen wir nun die durch eine, so liegen nur noch 7 Daher gilt 7.,, 0, 0, 0, 0, 0, 0), 0,, 0, 0, 0, 0, 0) verschiedene Folgen mit zwei Einsen vor. Um zu ermitteln, ersetzen wir in den Folgen mit zwei Einsen eine 0 durch eine 3.,, 3, 0, 0, 0, 0, 0), 3,, 0, 0, 0, 0, 0) 3,,, 0, 0, 0, 0, 0) Es entstehen Folgen. Ersetzen wir nun die 3 durch eine, so liegen nur noch verschiedene Folgen mit drei Einsen vor.

9 Binomialoeffizient Um zu ermitteln, ersetzen wir in den Folgen mit zwei Einsen eine 0 durch eine 3.,, 3, 0, 0, 0, 0, 0), 3,, 0, 0, 0, 0, 0) 3,,, 0, 0, 0, 0, 0) Es entstehen 7 6 Folgen. Ersetzen wir nun die 3 durch eine, so liegen nur noch verschiedene Folgen mit drei Einsen vor. Etwas einprägsamer: ) ! 3!! n ) n!! n )! Die Anzahl der0--folgen der Länge n mit Einsen beträgt n ). Eine 0/-Münze wird 0-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass genau -mal die erscheint? GTR 0 ncr MATH PRB engl.: n choose r, dt.: n über r) 9