methodenlehre ll ALM und Mehrfaktorielle ANOVA Mehrfaktorielle ANOVA methodenlehre ll ALM und Mehrfaktorielle ANOVA

Transkript

1 Das Allgemeine lineare Modell Post hoc Tests bei der ANOVA Mehrfatorielle ANOVA Thomas Schäfer SS Das Allgemeine lineare Modell (ALM) Varianz als Schlüsselonzept "The main technical function of research design is to control variance." (Kerlinger, 1973) z.b. bei Befragungen: oder bei Experimenten: 7,00 6,00 Die Logi des Experimentes: happ piness 5,00 4,00 3,00,00 1,00 Varianz ünstlich erzeugen Experimental vs. Kontrollgruppe Treatment vs. Nicht Treatment 0,00 material experience Thomas Schäfer SS 009 1

2 Das Allgemeine lineare Modell Thomas Schäfer SS Das Allgemeine lineare Modell Was Sie schon ennen: einfache lineare Regression Bei mehreren Präditoren: multiple Regression Präditor 1 Präditor usw. Schätert Thomas Schäfer SS 009 4

3 Das Allgemeine lineare Modell Und nun die Verallgemeinerung zum ALM Konreter Wert Fehler Thomas Schäfer SS Das Allgemeine lineare Modell Thomas Schäfer SS

4 Das Allgemeine lineare Modell Die Variable, die die Gruppen definiert, dient als Präditor! (z.b. Exp. Gruppe: 1, KG: 0) Thomas Schäfer SS Das Allgemeine lineare Modell Grundaussage Das bedeutet: Alle Verfahren (Varianzanalyse, t Test, Korrelation) beruhen auf ein und derselben Grundlage der Multiplen Regression...if you were going to a desert island to do psychology research and could tae only one computer program with you to do statistical i tests, you would want to choose multiple li l regression. (Aron & Aron, 00) Thomas Schäfer SS

5 Post hoc Tests (Einzelvergleiche) bei der ANOVA Ziel: Überprüfung spezifischer Mittelwertsunterschiede bei Fatoren mit mehr als ei Gruppen Problem: nach einer signifianten ANOVA mit mehr als Gruppen wissen Sie nicht, welche Gruppen sich voneinander unterscheiden; Sie haben lediglich ein overall Ergebnis vorliegen Bei der Berechnung einzelner t Tests würde sich aber der Alphafehler aufaddieren ( umulieren ) Lösung durch die post hoc Tests: Kontrolle des Gesamt α (für alle durchgeführten Tests) (man spricht von Alphafehler Korretur) Verfahren (Beispiele): Bonferroni Scheffé Newman Keuls Tuey Dunan Thomas Schäfer SS 009 Das Ergebnis ist ein p Wert pro Einzelvergleich 9 Post hoc Tests (Einzelvergleiche) bei der ANOVA Beispiel: ein Fator mit 3 Stufen Es gibt 3 mögliche Einzelvergleiche 1 3 Placebo Einfache D. Doppelte D Thomas Schäfer SS

6 Reapitulation ANOVA Untersuchte Fragestellung: Unterscheiden sich ei oder mehr Gruppenmittelwerte signifiant voneinander? F Test: Ist die Varianz der Gruppenmittelwerte höher, als rein durch Zufallsabweichungen zu erwarten? (e unterschiedlicher Werte sind, desto höher ist ihre Varianz) Thomas Schäfer SS Die Idee des F Tests Die gesamte Varianz der AV wird aufgeteilt in: Varianz ischen den Gruppen Abweichung der Gruppenmittelwerte t vom Gesamtmittelwert tüber alle Gruppen = systematische Varianz, erlärte Abweichung Varianz erhalb der Gruppen Abweichung der einzelnen Messwerte erhalb der Gruppen vom Gruppenmittelwert = unsystematische Varianz, nicht erlärte Abweichung, Fehlervarianz, Restvarianz Der F Test drüct ein Varianzverhältnis aus: ˆ F = systematische Varianz /Fehlervarianz σ Thomas Schäfer SS

7 Die Idee des F Tests 65 Beispiel: Wirung eines Mediamentes Besserung x A x B Gesamtmittel σˆσ F = 30 Placebo Mediament Thomas Schäfer SS Berechnung des F Wertes F df ˆ σ = = wobei und df = 1 df df = n ( x x ) = ( n = ( x x n i i in Gruppe ) 1) = N gesamt = +, wobei Gesamt = ( xi x ) : Quadratsumme : Anzahl der Gruppen x : Mittelwert der Gruppe n : Anzahl der Messwerte in Gruppe N: Gesamtanzahl der Messwerte x: Gesamtmittelwert Thomas Schäfer SS i 7

8 Was ist neu bei der mehrfatoriellen ANOVA? Die Gesamtvarianz wird aufgelärt durch die Wirung mehrerer Fatoren (man spricht von Haupteffeten) und dem spezifischen Zusammenwiren der Fatoren untereinander (Interation genannt) Thomas Schäfer SS Was ist neu bei der mehrfatoriellen ANOVA? Die Anzahl von Fatoren (also UVs) und die Anzahl der eweiligen Fatorstufen (also Ausprägungen) wird durch das fatorielle Design angegeben Beispiele: Ein x 3 Design hat Fatoren, der erste Fator hat Fatorstufen, der eite 3 Ein x x Design hat 3 Fatoren, alle mit Fatorstufen Daraus ist auch die Anzahl der resultierenden Versuchsbedingungen ersichtlich (z.b. x 3 = 6, x x = 8) Thomas Schäfer SS

9 Mehrfatorielle Varianzanalyse Analyse einzelner Fatoren (Haupteffete) wie bei einfatorieller Varianzanalyse, z.b. bei ei Fatoren A (mit Ausprägungen), und B (mit m Ausprägungen): F A B A = F B = df A = 1 df B = m 1 Über alle m Gruppen berechnet Analyse von Interationen (bei ei Fatoren, A und B): F A B A B = df A B = ( 1)(m 1) ( total = A + B + A B + within ) Thomas Schäfer SS Zweifatorielle Varianzanalyse: Berechnung der total = ( xil x ) df df A A A = 1 B und df = m 1 m l = n ( x. l x ) n i = n m( x. x ) m l = ( x x = ( n 1) = N m m l m l n i l il l ) : Quadratsumme : Anzahl Ausprägungen, Fator A m: Anzahl Ausprägungen, Fator B x l : Mittelwert der Gruppe l n l : Anzahl der Messwerte in Gruppe l N: Gesamtanzahl der Messwerte x : Gesamtmittelwert. : Zusammenfassungvon Fatorstufen A B = gesamt Thomas Schäfer SS A B 9

10 Zweifatorielle Varianzanalyse: Berechnung der Notation (am Beispiel der ) m = ( x n l i il x l ) ein beliebiger Messwert weicht ab vom Mittelwert in seiner Gruppe (davon gibt es m) ) Diese quadrierte Differenz bilden Sie für: eden Messwert i (davon gibt es immer n) ede Fatorstufe l des. Fators (davon gibt es m) ede Fatorstufe des 1. Fators (davon gibt es ) Thomas Schäfer SS Beispiel: 3 Design. Fator Placebo Einfache D. Doppelte D. 1. Fator Männer Frauen Thomas Schäfer SS

11 Beispiel: 3 Design Arten von Interationen Depressivität" " Placebo Geschlecht weiblich 10 männlich einfache Dosis doppelte Dosis Psychopharmaon Die Interation verstect sich im nichtgleichsigen Verlauf der Linien Thomas Schäfer SS F Verteilung Thomas Schäfer SS

12 F Werte in Statistisoftware Schreibweise: F A (.., ) = (p = ) Thomas Schäfer SS Effetgrößen bei der mehrfatoriellen ANOVA Effetgröße Eta Quadrat: Anteil der Gesamtvarianz, der durch einen Effet (Haupteffet b. Interation) aufgelärt wird Effet η = gesamt = A + B + A B + gesamt Partielles Eta Quadrat: Anteil der möglichen aufzulärenden Varianz, der auf einen Effet zurücgeht (alle anderen Effete sind auspartialisiert) η P = Effet Effet + Interpretation: Konvention nach Cohen Thomas Schäfer SS

13 Powerbestimmung bei der eifatoriellen ANOVA Thomas Schäfer SS ANOVA als Spezialfall des ALM Wissen wir nichts über eine Person, dann ist der Mittelwert auf Y der beste Schätzer für ihren Y Wert. Der Fehler ist natürlich sehr groß. Thomas Schäfer SS

14 ANOVA als Spezialfall des ALM Kennen wir den Wert der Person auf der Variable X (Fator 1), önnen wir ihren Wert auf der Variable Y durch die Regression von Y auf X genauer schätzen. Der Fehler wird leiner. (Mit den Residuen ann diese Vorhersage für den nächsten Fator wiederholt werden, usw.) X 1 Thomas Schäfer SS Varianzanalyse einige Variationen F Test für Messwiederholungen Fixed vs. Random Factors (random factors: Fatorenstufen werden zufällig gezogen) Multivariate ANOVA (MANOVA) Kontrastanalyse Thomas Schäfer SS