Theorie des Glücksrads auf der schiefen Ebene 1/6

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1 Teorie des Glücksrads auf der sciefen Ebene 1/6 Das Glücksrad auf der sciefen Ebene Von der Idee zur Teorie WOLFGANG RIEMER Abstract Beim Dreen eines Roulettes auf einer sciefen Ebene erlebt man alle Facetten bescreibender und beurteilender Statistik Die Erebnisse sind ebenso verblüffend wie die Tatsace, dass es elint, die Warsceinlickeiten zu berecnen Sie erweisen sic in ewissem Sinn als materialunabäni Im Ramen der Interalrecnun erscließt das sciefe Roulette den Beriff der Warsceinlickeitsdicte und mact sein Dreen zu einem viele Aspekte vernetzenden Leuctturmexperiment der Stocastik - von Klasse 6 bis zum Abitur 1 Idee Rotationssymmetrisce Glücksräder nutzt man enau wie Spielewürfel, um Zufallsscwankunen relativer Häufikeiten um Laplace-Warsceinlickeit zu studieren Lässt man aber wie in Abbildun 1 eine Haarklemme auf einer sciefen Ebene um einen Pin rotieren, erält man ein Glücksrad, das - im Geensatz zu rotationssymmetriscen - spannende Fraen aufwirft und zum Spekulieren (Aufstellen von Hypotesen) einlädt Es sort in allen Klassen (und Lererkolleien) für Verblüffun und ist damit als Einstie in die (bescreibende und die beurteilende) Statistik ebenso eeinet wie als experimenteller Höepunkt am Ende eines Stocastik-Kurses Jedermann ist felsenfest davon überzeut, dass der Pin auf unten lieenden Feldern warsceinlicer steen bleibt als auf öer lieenden - am warsceinlicsten auf Feld 6 (unten), am unwarsceinlicsten auf Feld 1 (oben) Das alt bis vor kurzem auc für den Autor - und liet an der alleenwärtien Gravitation, die bekanntlic alles nac unten ziet Abbildun zeit typisce Scätzunen für ein Glücksrad mit secs Feldern und Steiun 10% Erebnis Völli überrascend treten aber die Felder 1 und 6 leic warsceinlic (mit je p=1/6) auf, ist für die Warsceinlickeit der anderen Felder die Drerictun entsceidend Die berauf -Felder ( und 4 bei Rotation im Urzeiersinn) sind leic warsceinlic, ebenso die berab - Felder 3 und 5 Die Warsceinlickeiten der aufwärts-abwärts Partner -3 und 4-5 eränzen sic je zu 1/3 Damit eribt sic bei abwecselnder Rotationsrictun auc bei scief estellten Glücksrädern (bis ca 30% Steiun) eine Gleicverteilun der secs Felder (!) Bei einseitier Rotation lassen sic die Warsceinlickeiten beliebier Sektoren in Abänikeit von der Neiun berecnen Dabei ewinnt der sperrie Beriff der Warsceinlickeitsdicte eine uneante Erlebnisqualität

2 Teorie des Glücksrads auf der sciefen Ebene /6 Abb 1: Glücksrad mit secs Feldern Eine Haarklemme rotiert durc Anscnippen um einen Pin Geenüberlieende Felder aben die Auensumme 7- enau wie ein Spielewürfel Bedruckte DIN A6 Klebeetiketten soren für einen ebenen Unterrund und leicartie Klemmen (mit konvexer Seite in Beweunsrictun) arantieren normierte Versucsbedinen Abb : Gescätzte Warsceinlickeiten (Hypotesen) von vier Lererinnen und Lerern Hennin (ein Pysiker) vermutet eine Abänikeit von der Drerictun 3 Teorie Diese verblüffenden Erebnisse, die jeden statistiscen Test besteen, sollen im Folenden mit plausiblen Anname und wenien pysikaliscen Grundvorstellunen beründet werden Ein konkreter Unterrictsan findet sic bei RIEMER (017) 31 Haft- und Gleitreibun auf der sciefen Ebene Eine Masse m besitzt das Gewict f = m Auf einer sciefen Ebene mit Neiunswinkel α wird diese Gewictskraft emäß Abb 3 zerlet in eine Normalkomponente f n = m cos(α) senkrect zur Ebene und eine Hanabtriebskraft f = m sin(α ) Abb 3: sciefe Ebene mit Neiun α Der Hanabtrieb muss kleiner sein als die enteenesetzte Gleitreibun Abb 4: Der Scwerpunkt der Nadel rotiert auf einem Kreis Der Drewinkel wird von der tiefsten Position aus im Urzeiersinn emessen

3 Teorie des Glücksrads auf der sciefen Ebene 3/6 Letztere ziet nac unten und verursact bei latter Oberfläce ein Abrutscen der Masse Ir enteenesetzt wirkt die Gleitreibun f =, die proportional ist zur Normalkraft f n f n Der Proportionalitätsfaktor (<1) ist der Gleitreibunskoeffizient, eine dimensionslose Materialkonstante, die von der Oberfläcenstruktur der Unterlae und der Masse abänt Je rauer die Oberfläcen, desto rößer ist Wenn die Gleitreibun f und der Hanabtrieb f leic roß sind, dann rutsct eine sic beweende Masse mit konstanter Gescwindikeit Das ist enau dann der Fall, wenn ilt f = f, also m sin( α) = m cos( α) bzw = tan(α ) Ist daeen tan( α ) <, wird eine rutscende Masse ebremst und bleibt dann irendwann steen In diesem Bereic muss das Glücksrad arbeiten Der Zeier soll ja auc berab zwiscen den Sektoren 3 und 5 one Fixierun durc den Pin analten können Tatsäclic kann man durc Rutscversuce bestimmen ist die Steiun (in Prozent), bei der ein rutscender Zeier erade noc zu steen kommt Für Haarklemmen auf latten Klebe-Etiketten erält man 0 3 Man sollte also mit Glücksrad Steiunen zwiscen 5% und 5% arbeiten Da die Form der Haarklemme (latt/ewellt, mit/one Boppel ) das Rutscveralten beeinflussen kann, empfielt es sic, bei Klassenexperimenten nur leicartie Klemmen aus einer Packun (vl Abb 1) zu verwenden 3 Verlust von Beweunsenerie durc Gleitreibun Wenn man den Zeier emäß Abbildun 4 als Punktmasse deutet, die vom Tiefpunkt ( = 0 ) aus im Urzeiersinn auf einem Kreis mit Radius r um den Ursprun rotiert, dann verliert er bei jeder Vollumdreun durc Gleitreibun die Enerie E = Gleitreibun We = f π r Dabei absorbiert jedes der secs Felder den leicen Eneriebetra, denn die Gleitreibun ist überall leic 33 Verlust von Beweunsenerie durc Umwandlun in Laeenerie Unten, in der Mitte des Feldes 6 bei = 0, at der Zeier die Laeenerie 0 Oben, in der Mitte des Feldes 1 bei = π, ist seine Laeenerie Emax = r f, denn er at sic een den Hanabtrieb f um die Strecke r nac oben bewet Allemein at der Zeier in der durc ekennzeicneten Position die Laeenerie E ( ) = (1 cos( )) r pot f Beim We von 1nac (in Abb 4 berauf) eröt sic die Laeenerie um (cos( 1) cos( )) r f Diese Eröun der Laeenerie wird durc eine zusätzlice Verrinerun der kinetiscen Enerie (Reduktion der Gescwindikeit) erkauft 34 Gesamtänderun der Beweunsenerie Insesamt verrinert sic die Beweunsenerie auf dem We von 1nac um

4 Teorie des Glücksrads auf der sciefen Ebene 4/6 ( 1) r f + (cos( 1) cos( )) f 4 Warsceinlickeit Wenn man annimmt, dass die Warsceinlickeit, mit der der Zeier im Kreisboen von 1nac steen bleibt, proportional ist zu dem Betra, um den die Beweunsenerie beim Überstreicen dieses Kreisboens abnimmt, erält man ( 1) r f + r (cos( 1) cos( )) f P( 1; ) = πr f (*) ( 1) tan( α) cos( ) cos( 1) = π π Dabei wurde die Bezieun f f m sin( α ) tan( α) = = enutzt m cos( α) Die Warsceinlickeit dafür, dass der Zeier berauf (bei Rectsdreun in der linken Hälfte des Glücksrades) steen bleibt, eribt sic in diesem Modell zu 1 tan( α) P ( berauf ) = P(0; π ) = + π 1 Die Abweicun von ist proportional zur Steiun tan(α ) Bei der maximal zulässien Steiun mit tan( α ) =, bei der Zeier überall erade noc sicer stoppt, erält man damit unabäni vom verwendeten Material 1 1 P ( berauf ) = + 818% π Materialabäni ist nur die maximal mölice Neiun, bei der sic diese Warsceinlickeit eribt Für ein Glücksrad wie in Abbildun 1 mit = 0 3 lassen sic die Warsceinlickeiten für beliebie Steiunen mitilfe von (*) berecnen Abbildun 5 zeit Erebnisse, die durc Experimente ut bestätit werden Teorie Realität (je n=100) Steiun 5% 10% 15% 0% 5% 30% 53% 105% 159% 50% unten 6 167% 167% 167% 167% 167% 167% 16% 153% 171% 169% berauf 4 190% 13% 36% 59% 8% 304% 189% 9% 60% 66% 190% 13% 36% 59% 8% 304% 189% 5% 48% 63% oben 1 167% 167% 167% 167% 167% 167% 167% 174% 168% 157% berab 3 144% 11% 98% 75% 5% 9% 147% 106% 7% 58% 5 144% 11% 98% 75% 5% 9% 147% 113% 8% 88% links 553% 606% 659% 71% 765% 818% rects 447% 394% 341% 88% 35% 18% Abb 5: Warsceinlickeiten der secs Felder des Glücksrades aus Abb 1 berecnet mit = 0 3 und relativen Häufikeiten zum Verleic 5 Versucsbedinunen Beim Experiment zälten nur Scnipser, bei denen der Zeier vor Stillstand mindestens zwei volle Umdreunen absolvierte Dann aben weder Startposition noc Scnipptecnik einen Einfluss auf die Warsceinlickeit Wenn man nämlic inreicend kräfti scnippt ist die Streuun der (vermutlic normalverteilten) Startenerie ser roß und das, was für die letzte Runde unten bei = 0 als Restenerie

5 Teorie des Glücksrads auf der sciefen Ebene 5/6 E rest nac mereren Umdreunen modulo πr f noc übri bleibt, ist tatsäclic leicverteilt über dem Intervall 0 E < π f ) Und das rectfertit die Anname [ rest der Proportionalität zwiscen der Warsceinlickeit eines Sektors und der von im absorbierten Beweunsenerie im Abscnitt 4 6 Warsceinlickeitsdicte Ween (*) eribt sic für das Glücksrad auf der sciefen Ebene ( 1) tan( α) cos( ) cos( 1) 1 tan( α) P( 1; ) = = cos( ) π π π x x Die Warsceinlickeit, dass der Zeier im Intervall ( 1; ) steen bleibt, lässt sic damit durc Interation der Warsceinlickeitsdicte 1 tan( α) p ( ) = (1 + sin( )) für 0 < π bestimmen π Sie ist zusammen mit der Verteilunsfunktion P( t) t t 1 cos( t) tan( α) p( ) d = + der Abbildun 6 zu entnemen π π = 0 1 Abb 6: Warsceinlickeitsdicte p (blau) und Verteilunsfunktion P (rot) für tan( α ) = π 3π Die Dicte p at ir Maximum bei x = und ir Minimum bei x = Wo es am steilsten berauf et, bleibt der Zeier also an warsceinlicsten, wo es am steilsten berab et, am unwarsceinlicsten änen Und das entsprict dann doc wieder unserer Alltaserfarun Die in Abbildun dokumentierte Felintuition resultiert also aus der unbewussten Übertraun des Veraltens bei roßen Steiunen auf kleine Das Glücksrad darf eben nict zu stark eneit sein Dann aber stimmt die Teorie

6 Teorie des Glücksrads auf der sciefen Ebene 6/6 7 Resümee Die Warsceinlickeiten der Sektoren eines Glücksrades auf einer sciefen Ebene tan(α) mit Neiunswinkel α änt nur ab vom Verältnis, also von dem Faktor, um den die Steiun tan(α ) kleiner ist als die maximale Steiun, bei der eine auf der Ebene rutscende Masse erade noc zum Steen kommt Die Warsceinlickeit, dass der Zeier berauf steen bleibt eribt sic zu 1 tan(α) P (berauf ) = + π (Damit könnte man aus relativen Häufikeiten und Steiun auc scätzen) Starposition und Scnipptecnik aben bei kräftiem Scnippen keinen Einfluss auf die Warsceinlickeiten Wer experimentieren, aber nict basteln möcte, kann sciefe Glücksräder wie in Abb 1 zum Selbstkostenpreis beim Autor anfordern oder notfalls auc Bierdeckel auf einer sciefen Unterlae zweckentfremden wie in Abbildun 7 Auswertunsvorlaen und Daten findet man unter wwwriemer-koelnde Literatur RIEMER, W (017) Das eiernde Glücksrad ein Sprunbrett in die Statistik MNU 70 () Dr Wolfan Riemer Auust-Bebel-Straße Puleim wriemer@arcorde Der Autor arbeitet als Facleiter am Studienseminar in Köln, ist Gründunsmitlied des Geoebra-Instituts Köln/Bonn und Arcimedes-Preisträer