Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke

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1 Kapitel 4: Dreieckslehre 4.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke (z.. Winkelsumme, Flächeninhalt, Kongruenz) 4. Winkelsumme im Dreieck Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180. Herleitung bzw. experimentelle egründung in der Schule: Durch Parkettierung experimentell Durch Punktspiegelung Durch Winkel an Parallelen edeutung+winkelsumme 1

2 Satz 4.1 Die Winkelsumme im n-eck beträgt (n-) 180. n = (n ) 180 (n ) 180 Winkelsumme

3 4.3 esondere Linien und Punkte im Dreieck Satz 4. (Satz vom Mittendreieck) Verbindet man die Seitenmitten eines Dreiecks, so liegen die Seiten des entstehenden Dreiecks parallel zu Seiten des usgangsdreiecks und sind halb so lang. eweis trivial mit Hilfe der Strahlensätze ( Übungen) eweis ohne Strahlensätze (Schule): usgangsdreieck, Mittendreieck. Spiegle das Mittendreieck an seinen Seitenmitten Ma, Mb, Mc.. ei Punktspiegelung gilt: ildstrecke Originalstrecke. Hinweis: Eigentlich wird so nur bewiesen, dass man, ausgehend von ein Dreieck erhält, dessen Mittendreieck ist. Es wäre zu zeigen, dass man - ausgehend von und dessen Mittendreieck - durch diese Spiegelung wieder zu gelangt. ' Ma' ' Mc' Mb' ' esondere Punkte im Dreieck 1

4 Satz 4.3 (esondere Linien im Dreieck, hat ein Dreieck eine Mitte?) In einem Dreieck schneiden sich a) die Mittelsenkrechten im Umkreismittelpunkt U; Dreieck spitzwinklig: U innerhalb des Dreiecks Dreieck rechtwinklig: U auf der längsten Dreiecksseite Dreieck stumpfwinklig: U außerhalb des Dreiecks b) die Winkelhalbierenden im Inkreismittelpunkt; c) die Seitenhalbierenden im Schwerpunkt S; dieser teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis :1; d) die Höhen im Höhenschnittpunkt. esondere Punkte im Dreieck

5 Umkreismittelpunkt Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die durch und gehen? Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die durch und gehen? Mittelsenkrechte von b a Ma Mittelsenkrechte von Mc c Der Mittelpunkt des Kreises, der durch alle Eckpunkte geht, ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Umkreismittelpunkt

6 Inkreismittelpunkt Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die die Seiten b und c berühren? Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die die Seiten a und c berühren? Winkelhalbierende Winkelhalbierende b a c Der Mittelpunkt des Kreises, der alle Seiten berührt, ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Inkreismittelpunkt

7 Höhenschnittpunkt Mittelsenkrechte Die Mittelsenkrechten von Dreieck gehen durch einen Punkt b h a c H h h b c a Mittelsenkrechte Die Höhen von Dreieck gehen durch einen Punkt Mittelsenkrechte Höhenschnittpunkt

8 Schwerpunkt Schwerpunkt M b s a S M c sb M a M b s a S M c s b M a s a und s b sind zwei Seitenhalbierende. Zeichne zu s a Parallelen durch, M b, M c und. Diese haben alle den gleichen bstand, sie teilen daher die Seitenhalbierende s b im Verhältnis :1 M b s c M a M b s c M a S sb s a S s b M c M c Zeichne zur Seitenhalbierenden s c Parallelen durch, M b, M a und. uch diese haben alle den gleichen bstand und teilen die Seitenhalbierende s b im Verhältnis :1. Damit müssen alle drei Seitenhalbierenden durch den gleichen Punkt S auf s b verlaufen..

9 Euler-Gerade Umkreismittelpunkt U, Schwerpunkt S und Höhen-Schnittpunkt H liegen auf einer Geraden. Diese heißt Euler-Gerade. Es ist SH = US. Fb Mb H S Fa U Ma geht durch Streckung mit Zentrum S und Streckfaktor -½ in M a M b M c über. Die Höhen von gehen dabei in die Höhen M a M b M c über. Fc Mc Diese sind die Mittelsenkrechten von. Damit geht H durch Streckung mit Zentrum S und Streckfaktor -½ in U über. Euler-Gerade

10 4.4 Kongruenzsätze Die Kongruenzsätze haben wir zu eginn als xiome in der folgenden Form vorausgesetzt: Stimmen zwei Dreiecke in den drei Seiten (sss), den zwei an eine Seite anliegenden Winkeln (wsw), zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws), zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (Ssw), überein, dann stimmen sie in allen Maßen überein. Kongruenzsätze 1

11 Wir haben in den vorangehenden Kapiteln gezeigt: Je zwei in allen estimmungsstücken übereinstimmenden Dreiecke können durch genau eine Kongruenzabbildung aufeinander abgebildet werden. Damit wird der Sachverhalt als richtiger Kongruenzsatz formuliert: Stimmen zwei Dreiecke in den drei Seiten (sss), den zwei an eine Seite anliegenden Winkeln (wsw), zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws), zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (Ssw), überein, dann können sie durch eine Kongruenzabbildung aufeinander abgebildet werden. Kongruenzsätze

12 4.5 Ähnliche Figuren und Ähnlichkeitssätze Definition 4.1 Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie in den Längenverhältnissen aller einander entsprechenden Linien und in allen einander entsprechenden Winkeln übereinstimmen. emerkung: Wir werden später (nach der ehandlung von zentrischen Streckungen) Ähnlichkeit mit Hilfe von Ähnlichkeitsabbildungen exakter definieren. Ähnliche Figuren 1

13 emerkung: Wir betrachten auch Figuren, die nicht nur durch Strecken begrenzt werden. Die Gleichheit von Längenverhältnissen gilt dann nicht nur für Längen von Strecken sondern auch für die Längen nicht geradliniger Linien (z.. Kreisbögen usw.) eispiel: Kreissektoren a α b k a α k b Um die Ähnlichkeit von Dreiecken nachzuweisen benutzt man häufig die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke. Man gewinnt sie unmittelbar aus den entsprechenden Kongruenzsätzen für Dreiecke. Ähnliche Figuren

14 Ähnlichkeitssatz entsprechender Kongruenzsatz Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie übereinstimmen in Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in den Verhältnissen der drei Seiten zwei Winkeln den Verhältnissen von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel den Verhältnissen von zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel den drei Seiten (sss) einer Seite und den anliegenden Winkeln (wsw) zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws) zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (Ssw) Ähnliche Figuren 3

15 4.6 Geometrische Orte Gegeben: Dreieck. Die Seite wird festgehalten. wird so bewegt, dass der Flächeninhalt, der Umfang, der Winkel γ unverändert bleibt. uf welcher Linie läuft? n welchem Ort befindet sich? Man nennt diese Kurven (Punktmengen) den geometrischen Ort der Punkte mit einer gewissen Eigenschaft. Geometrische Orte 1

16 ufgabe Definieren Sie die folgenden Kurven jeweils als geometrischen Ort : Der Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r. Die Mittelsenkrechte der Strecke. Die Winkelhalbierende des Winkels h f, h g h f, h g als Schenkel. mit den Halbgeraden Die Seitenhalbierende s c zur Seite c im Dreieck. Welche Definition einer Ellipse als Ortslinie ergibt sich aus der. Eigenschaft der eispiele der vorangehenden Seite? Geometrische Orte

17 4.7 Winkelsätze: Umfangwinkelsatz Satz 4.5 a) Die Umfangswinkel ( Peripherie-Winkel ) über einem Kreisbogen sind alle gleich groß (und ½ so groß wie der zugehörende Mittelpunktswinkel) b) Die Scheitel aller Dreiecke mit gleichem Winkel π bei über einer Strecke liegen auf einem Kreisbogen, der durch und verläuft. Kurz: Der geometrische Ort aller Punkte, für die die Strecke unter dem gleichen Winkel π erscheint, ist ein Kreisbogen durch die Punkte und. Sonderfall: Satz des Thales c) Der Winkel zwischen der Sehne und der Tangente in (Sehnen-Tangenten-Winkel) ist ebenso groß wie der Peripheriewinkel π (und ½ so groß wie der zugehörende Mittelpunktswinkel). Winkelsätze 1

18 4.7 Winkelsätze: Umfangwinkelsatz zu (a): α α π γ β λ ogen δ λ/ β π Zu (b) Sei K der Kreis über zum Winkel π aus (a). Für Punkte außerhalb des Kreises K ist der Winkel bei kleiner als π, für innerhalb von K größer als π. egründung? Winkelsätze Umfangswinkel = π = α + β Mittelpunktswinkel = λ α+γ = 180 β+δ = 180 λ = γ - δ = (180 -α) - (180 -β) = α + β Umfangswinkel = 1/ λ konstant! ndere Lagen des Punktes?

19 4.8 Flächensätze: Satzgruppe des Pythagoras Satz 4.6 Im rechtwinkligen Dreieck ist ein Kathetenquadrat so groß wie das Rechteck aus Hypotenuse und anliegendem Hypotenusenabschnitt, ist das Hypotenusenquadrat so groß wie die Summe der Kathetenquadrate, ist das Quadrat über der Höhe so groß wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. Flächensätze

20 c c c Der klassische eweis des Kathetensatzes D b a Das Quadrat über der Kathete wird durch Scherung in eine flächengleiches Parallelogramm überführt. Grundseite des Parallelogramms ist D,die Höhe ist ebenso lang wie die Seite. D q b a c Das Parallelogramm wird um 90 um die Ecke gedreht. q c Das Parallelogramm kann wieder durch Scherung in das flächengleiche Rechteck mit den Seitenlängen q und c überführt werden. b q D a c eweis Kathetensatz

21 Der klassische eweis des Satzes des Pythagoras aus dem Kathetensatz Der Satz des Pythagoras folgt unmittelbar aus der nwendung des Kathetensatzes auf die beiden Kathetenquadrate. b a b a eweis Pythagoras

22 eweis des Höhensatzes aus dem Satz des Pythagoras p a h = q b h = q p b a h + = ) ( q p q p + = q p pq q p + + = = pq pq h = eweis Höhensatz

23 nwendung des Höhensatzes: Umwandlung eines Rechtecks in ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal. ufgabe Gegeben ist ein beliebiges Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Gesucht ist ein flächengleiches Quadrat. Zur Strecke mit der Länge a+b wird der Thaleskreis K konstruiert und das Lot h in F c errichtet. hc Der Schnittpunkt von K mit H ist die Ecke eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Höhe h c. Es gilt h c = ab bzw. h c = ab b Fc a nwendung Höhensatz