Abstrakter Datentyp (ADT): Besteht aus einer Menge von Objekten, sowie Operationen, die auf diesen Objekten wirken.

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1 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen/ Einfache Beispiele Abstrakter Datentyp (ADT): Besteht aus einer Menge von Objekten, sowie Operationen, die auf diesen Objekten wirken. Datenstruktur (DS): Realisierung eines ADT (als Algorithmus/Programm) Ziel: Organisation der Objekte im Speicher derart, dass die Operationen effizient ausführbar sind.

2 Prioritätswarteschlange /1 Beispiel: Prioritätswarteschlange (Priority Queue) Die Objekte sind Mengen von Elementen eines Grundtyps T, auf dem eine vollständige Ordnung ( ) definiert ist. T können z.b. Integers, Strings sein. Folgende Operationen gehören zum ADT Priority Queue. Create (S): Erzeugt leere Menge S. Insert (S, x): Fügt Element x vom Typ T zu S hinzu (S S {x}). Maximum (S): Gibt das größte Element aus S aus. Extract-Max (S): Gibt größtes Element x von S aus und entfernt es aus S (S S - {x}).

3 Prioritätswarteschlange /2 Datenstruktur: HEAP ( S = n) Create (S): Lege leeren Heap an. Maximum(S): Gebe A[1] aus. Insert (S, x): Extract-Max (S): Zeit O (log (n)) Zeit O (1) A [n +1] x; füge x an der richtigen Position auf dem Weg A [n + 1] A [1] ein. Maximum (S); A [1] A [n]; Heapify (n-1, 1) für Insert, Extract-Max, für Create, Maximum.

4 Nutzen von Datenstrukturen Bereitstellung von Operationen auf Objekten, die in einem Algorithmus häufig genutzt werden. Beispiel: Falls eine Prioritätswarteschlange implementiert ist, kann man einfach folgende Variante von Heapsort beschreiben: Eingabe: x 1,..., x n Für i =1,..., n : Insert (S, xi); Für i =1,..., n : Gebe Extract-Max(S) aus.

5 Stack (Stapel, Keller) /1 ADT: Operationen: Create (S): Erzeugt eine leere Menge S. Stack-Empty: Liefert den Wahrheitswert von S = Ø. Push (S, x): Fügt x in S ein. Pop (S): Liefert das zuletzt in S eingefügte Element und löscht es dann aus S.

6 Stack / 2 Datenstruktur: Array A, Integer-Variable TOP Create (S): Erzeuge leeres Array A. TOP 0. Push (S,x): TOP TOP + 1; A [TOP] x. Pop (S): Falls TOP =0 gebe Fehlermeldung aus ( Underflow ) sonst TOP TOP -1 return A [TOP + 1] Zeit: O (1) pro Operation

7 Schlange (Queue) /1 ADT: Create (S): Erzeugt eine leere Menge S. Enqueue (S, x): Dequeue (S): Fügt x zu S hinzu. Entfernt das am längsten in S befindliche Element und gibt es aus.

8 Schlange /2 Datenstruktur: Array A, Integer Variablen TAIL and HEAD Create (S): Erzeuge Array A; HEAD 1; TAIL 1. Enqueue (S, x): A[TAIL] x; Falls TAIL = n, dann TAIL 1 sonst TAIL TAIL + 1. Dequeue (S): Gebe A[HEAD] aus; Falls HEAD = n, dann HEAD 1 sonst HEAD HEAD + 1 Zeit: O (1) pro Operation (Bem: Overflow und Underflow Erkennung ist noch zu ergänzen Übungen.)

9 Schlange /3 Situationen bei der Darstellung der Schlange als Ring : HEAD = TAIL: Schlange ist leer oder voll; HEAD < TAIL: A[HEAD] A[TAIL - 1] bilden die Schlange; HEAD > TAIL A[HEAD] A[n] A[1] A[TAIL - 1] und TAIL > 1: bilden die Schlange; HEAD > TAIL=1: A[HEAD] A[n] bilden die Schlange;

10 Lineare Listen / 1 ADT: Create(L): Legt leere Liste L an. Im folgenden sei L die Liste a 1,..., a n. Insert (x, p, L): Delete (x, L): Search (x, L): Füge x zwischen a p und a p + 1 ein, falls p = n ist, hinter a p bzw., falls p = 0 ist, vor a 1. Entfernt das erste a p mit x = a p aus L, falls ein solches a p in L ist. Gebe (i, a i ) für das kleinste i mit a i = x aus. Falls es nicht existiert, gebe gibt es nicht aus.

11 Lineare Listen /2 Für die folgenden Operationen wird vorausgesetzt, dass die Position k von a p bekannt ist. Next (p, L): Prev (p, L): Falls p = 0: Gebe a 1 aus. Falls p n: Gebe nil aus. Falls 0 < p < n: Gebe a p+1 aus. Falls p 1: Gebe nil aus. Falls p > n + 1: Gebe nil aus. Falls 2 < p n + 1: Gebe a p-1 aus.

12 Lineare Listen /3 Datenstruktur: Doppelt verkettete Liste Beispiel: L (9, 16, 4) Nil (L) dummy KEY nil PREV NEXT In diesem Fall ist Nil (L) =1, LENGTH (L) = 3.

13 Lineare Liste /3 Insert (x, p, L): Falls p < 0 oder p > LENGHT (L) ist, gebe Fehlermeldung aus. Sonst: KEY [NEW] x; Laufe von Nil (L) aus mit Hilfe der next-zeiger bis zur Position k von a p. NEXT [NEW] NEXT [k]; PREV [NEXT [k]] NEW; NEXT [k] NEW; PREV [NEW] k.

14 Lineare Liste /4 Beispiel: Insert (8,2,L) ergibt: Nil (L)

15 Lineare Liste / 5 Laufzeiten: Create, Next, Prev benötigen konstante Zeit. Insert (x, p, L), Delete (x, L) benötigen Zeit O(p). Search (x, L), Delete (x, L) benötigen Zeit O (LENGTH (L)) im worst case. Falls x = a p ist, benötigen sie Zeit O (p).

16 Über den Nutzen guter Datenstrukturen: Topologisches Sortieren /1 G = (V, E) gerichteter Graph. Eine Nummerierung v 1,... v n der Knoten von S heißt topologische Nummerierung von G, falls für jedes i gilt: Die Vorgänger von v i haben kleinere Nummer als v i. Satz: G kann topologisch nummeriert werden, genau dann wenn G kreisfrei (azyklisch, ein acyclic, directed graph, DAG ) ist.

17 Topologisches Sortieren / 2 Datenstruktur: Array A [1:n], A[i] enthält Integer V(i) und Zeiger auf lineare Liste L(i), Queue Q. Algorithmus: (1) Initialisiere die Datenstruktur wie folgt: Jedes V(i) enthält den Ingrad von i, L(i) die Nachfolger von i (d.h. alle j mit (i, j) E), und Q enthält alle Quellen von G. (2) Solange Q ist: (a) Gebe j = Dequeue (Q) aus. (b) Durchlaufe L(j), für jedes i in L(j) subtrahiere eine 1 von V(i); falls V(i) = 0 wird: Enqueue (Q,i).

18 Topologisches Sortieren / 3 Laufzeit: (1) Initialisierung: O (n + m) (2) Schleifendurchlauf für j = Dequeue (Q): 0 (1 + L(j) ) Gesamtzeit: O (n + m + Σ 1 j n ( L (j) +1) = O (n + m) Satz: Topologisches Sortieren benötigt Zeit O (n + m)

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