Bivariate Regressionsanalyse

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1 Universität Bielefeld 15. März 2005

2 Kovarianz, Korrelation und Regression

3 Kovarianz, Korrelation und Regression Ausgangspunkt ist folgende Datenmatrix: Variablen NI 1 x 11 x x 1k 2 x 21 x x 2k 3 x 31 x x 3k Statistische Einheiten NOBS x N1 x N2... x Nk

4 1. Kovarianz zwischen x i und x j : N 1 cov(x i, x j ) = (x i x i ) (x j x j ) N mit N 1 x i = (x i) N (1) (2) N 1 x j = (x j) (3) N Erklärung: Summe der korrespondierenden Abweichungen von ihrem Mittelwert. Die Werte der Kovarianz sind abhängig von der Skalierung der Variablen.

5 2. Produkt-Moment Korrelation zwischen x i und x j (Pearson Korrelation): r ij = cov(x i, x j ) s xi s xj (4) mit s xi = N 1 (x i x i ) 2 N (5) s xj = N 1 (x j x j ) 2 N Erklärung: Kovarianz zwischen x i und x j, dividiert durch das Produkt der Standardabweichungen. Die Werte des Korrelationskoeffizienten liegen zwischen 1 und +1. (6)

6 Korrelation als standardisiertes Zusammenhangsmaß: mit z i = 0 und s zi = 1 mit z j = 0 und s zj = 1 z i = x i x i s xi z j = x j x j s xj r xi x j = (xi x i )(x j x j ) N s xi s xj = 1 N zi z j

7 1. Jede der Variablen ist standardisiert. 2. Für jede Untersuchungseinheit wird das Produkt der Standardwerte z 1 und z 2 gebildet. 3. Die Produkte werden aufsummiert. 4. Die Summe wird durch N dividiert, d.h. es wird der Mittelwert der Produkte gebildet. Der Korrelationskoeffizient beschreibt die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen. Der Wertebereich liegt zwischen 1 und +1: 1: perfekter negativer Zusammenhang +1: perfekter positiver Zusammenhang

8 x j x i Graphische Darstellung einer positiven Korrelation

9 x j x i Graphische Darstellung einer negativen Korrelation

10 x j x i Graphische Darstellung einer 0-Korrelation

11 Eine Gerade, die den Zusammenhang zwischen den Variablen möglichst gut beschreibt, lät sich durch eine lineare Funktionsgleichung angeben: x j = a + bx i (7) a = Achsenabschnitt (Schnittpunkt der Geraden mit der y-achse) b = Steigung der Geraden Da aber kein perfekter linearer Zuammenhang zwischen x i und x j besteht, sind die Vorhersagewerte fehlerbehaftet: wobei gilt: ˆx j = a + bx i + e x j = ˆx j + e e = x j ˆx j

12 x j x j ˆx j x i x i

13 Die Güte der Approximation der x j -Werte durch die geschätzten Werte wird über eine quadratische Fehlerfunktion festgestellt: ˆx j = a + bx i + e e = ˆx j bx i a Q(e) := e 2 = (ˆx j bx i a) 2 Es wird die Gerade gesucht, bei der die Summe der quadrierten Abweichungen am kleinsten ist: e 2 i = f (a, b) Die Bestimmung der Werte für a und b, bei denen e 2 i minimal ist, erfolgt über partielle Ableitungen: ( e 2 i ) a = 0; ( ei 2) = 0 b

14 Der Regressionskoeffizient b ist demnach: b = Cov(x i, x j ) s 2 x i Danach läßt sich auch a berechnen: a = x j b x i

15 Beispiel: Variablen und Daten des ALLBUS 1994 Variable V175: Treimanberufsprestige-Skala Variable V176: Magnitudeberufsprestige-Skala Variable V261: Einkommen Variable V263: Haushaltsgröße

16 Univariate Statistik: Mittelwerte und Standardabweichungen Variable N x s x V ,903 11,234 V ,495 25,265 V , ,652 V ,482 1,335

17 Bivariate Statistik: Korrelationskoeffizienten V175 V176 V261 V263 V175 1,0000,8542,2500,0027 V176,8542 1,0000,2428,0243 V261,2500,2428 1,0000 -,3049 V263,0027,0243 -,3049 1,0000

18 80 Plot of V175 w ith V Treim anpres tige Magnitudeprestige

19 14000 Plot of V261 w ith V Einkom m en Haushaltsgroesse

20 Varianzzerlegung im linearen Regressionsmodell Die Summe der quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittel (Gesamtvariation) kann zerlegt werden in 1. die Summe der quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte von den Regressionswerten (nicht erklärte Variation) und in 2. die Summe der quadrierten Abweichungen der Regressionswerte vom arithmetischen Mittel (erklärte Variation)

21 x j x j } ˆx j x j { xj ˆx j x j x j ˆx j x i x i

22 1. Die Differenz x j x j ist die Abweichung des Meßwertes x j vom Mittelwert x j, der auch als zu erklärende Abweichung bezeichnet wird. 2. Die Differenz x j ˆx j ist die Abweichung des Meßwertes x j vom Wert der Regressionsgeraden ˆx j, der auch als nicht erklärte Abweichung bezeichnet wird. 3. Die Differenz ˆx j x j ist die Abweichung des Wertes der Regressionsgeraden ˆx j vom Mittelwerte x j, der auch als erklärte Abweichung bezeichnet wird.

23 x j x j = (ˆx j x j ) + (x j ˆx j ) GVar. = EVar. + NEVar. (xj x j ) 2 (xj x j ) 2 = (ˆxj x j ) 2 (xj x j ) 2 + (xj ˆx j ) 2 (xj x j ) 2 Gesamt-SAQ Gesamt-SAQ = erkl.-saq Gesamt-SAQ + n.-erkl.-saq Gesamt-SAQ 1 = r r 2 GV = EV + NEV

24 Der Vorhersagewert für die Variable x j ist der Mittelwert x j. Nach Auswertung der Information über die Variable x i, d.h. nach Bestimmung der Regressionsgeraden, wird der Regressionswert ˆx j berechnet. Die Gesamtabweichung zwischen Meß- und Vorhersagewert (Mittelwert) x j x j wird in einen erklärten Anteil (ˆx j x j ) und einen nicht erklärten Anteil (x j ˆx j ) zerlegt.

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