Maßtheorie. Wie interpretiert man Volumenmessung? Ziel :

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1 23 Maßtheorie Ziel : Entwicklung allgemeiner Konzepte, die es gestatten, z.b. Volumina und Oberflächen von Körpern R 3 sinnvoll zu definieren und zu berechnen; sinnvoll soll heißen : für den Einheitswürfel [0, 1] 3 erwartet man als Volumen 1! Wie interpretiert man Volumenmessung? Standpunkt : Volumenmessung ist eine Abbildung µ : {Teilmengen des R 3 } [0, ] mit gewissen Eigenschaften, z.b. : ( µ( = 0, µ A i = µ(a i für disjunkte Mengen ( abzählbare Additivität Flächenmessung ist eine Abbildung λ : {2 dim Mfkten R 3 } [0, ] mit o.g. Eigenschaften, wobei man µ und λ noch normiert, d.h. z.b. µ([0, 1] 3 = 1. Wir werden später sehen, dass durch diese Bedingung an µ tatsächlich eine geometrische Volumenmessung in R 3 festgelegt wird. 81

2 Analysis III 82 Zunächst wollen wir den allgemeinen Standpunkt ausbauen, d.h. Maße auf beliebigen Grundmengen X studieren. Vorbemerkung (technischer Art : (Reihen mit Gliedern [0, ] Seien a k [0, ] für k N. Dann ist { L } a k := sup a k : L N k=0 k=0 wohldefiniert in [0, ], und der Wert hängt nicht von der Anordnung ab. (Wert ggf. + Sei I eine beliebige abzählbare Indexmenge und a i [0, ] für i I. Dann setzt man a i := sup a j : J I, #J < = a σ(k [0, ] i I j J für eine beliebige Bijektion σ : N 0 I. Die Summe über die leere (Index-Menge ist =: 0. k=0 Definition 23.1 : (äußere Maße Sei X eine beliebige Menge. Eine Funktion µ : P(X [0, ] heißt ein Maß auf X, falls gilt : (i µ( = 0. (ii Für jede Teilmenge A von X und alle abzählbaren Familien (B i i I Mengen B i X gilt : Bemerkungen : A B i = µ(a µ(b i i I i I von (abzählbare Subadditivität σ- Subadditivität 1 µ(a = 0 : A heißt µ-nullmenge (abzählbare Vereinigungen von Nullmengen sind wieder Nullmengen 2 Aus (ii folgt die Monotonie : A B = µ(a µ(b (benutze (ii mit B 1 := B, B k :=, k 2 3 In (ii bedeutet abzählbar : # I < oder I = N.

3 Analysis III 83 4 In der Literatur nennt man eine Mengenfunktion µ mit (i, (ii ein äußeres Maß. Daraus konstruiert man ein Maß durch Einschränkung von µ auf ein gewisses Teilsystem M von P(X. Auf M ist µ dann abzählbar additiv : ( B n m für n N, B n B m = für n m = µ B n = µ(b n. Dazu später mehr. Beispiele : Sei X eine beliebige Menge i triviales Maß: µ 0 ii Dirac-Maß in a X : { 1, a A δ y (A = 0, a A Dann : δ a ( = 0 Seien A, B i X, A Fall 1 : a A δ a (A = 0 Fall 2 : a A B i δ a (B i = a B i für ein i ; also : 1 = δ a (A = δ a (B i n=1 δ a (B i iii Zählmaß: δ(a := # A (Anzahl der Elemente von A (also = +, wenn A keine endliche Teilmenge von X ist. Dass es sich um ein Maß handelt, ergibt sich aus folgender Übung : Sei ϕ : X [0, ] beliebig und für A X { } ϕ ρ (A := sup ϕ(x : E A, # E <. x E Für ρ 1 ist ϕ ρ das Zählmaß. Man zeige : Sei (B i i I eine abzählbare Familie von disjunkten Teilmengen von X. Dann gilt : ( ϕ ρ B i = ϕ ρ (B i, i I i I d.h. ϕ ρ ist sogar abzählbar additiv und damit ein Maß(?!. Als Spezialfall folgt, dass das Zählmaß ϕ ein Maß ist. Das nächste Beispiel wird uns etwas länger aufhalten. n=1

4 Analysis III 84 Das eindimensionale Lebesgue-Maß L 1 auf R Ziel : definiere ein Maß auf R, so dass Intervalle [a, b], (a, b, [a, b, (a, b] das gleiche Maß b a haben Idee : überdecke dazu A R möglichst gut mit Intervallen Definition 23.2 : Für A R ist das Lebesgue - Maß von A die Größe { L 1 (A := inf j I ( (b j a j [a j, b j ] j I } ist abzählbare Überdeckung von A. Satz 23.1 : (i L 1 ist ein Maß auf R. (ii L 1 (J = b a für beliebige Intervalle J mit Endpunkten a b in [, ]. (iii L 1 (A > 0 für offene A R, A. (iv L 1 ( = 0. Beweis : (i [ ε, ε] Def. = L 1 ( 2 ε ε 0 = L 1 ( = 0. Seien ε > 0, A R gegeben, und es gelte A n=1 B n mit Mengen B n R. Zu jedem n N wählen wir gemäß Definition (L 1 (B n = inf... eine abzählbare Überdeckung ([ ] a n i, bn i (I n = abzählbare Indexmenge von B n mit i I n L 1 (B n + 2 n ε i I n (b n i a n i Aus B n A i I n [ ] a n i, bn i folgt ( n=1 i I n [ ] a n i, b n i,.

5 Analysis III 85 also nach Def. (L 1 (A = inf Summe der Intervall-Längen ( L 1 (A b n i a n i n=1 i I n { } L 1 (B n + 2 n ε = n=1 L 1 (B n + ε. n=1 n=1 Da ε > 0 beliebig ist, folgt : L 1 (A L 1 (B n. n=1 = L 1 ist Maß. Beachte : offene Teilmengen von R umfassen ein Intervall positiver Länge, also folgt (iii aus (ii Sei J = [a, b] mit a b R. Aus der Def. folgt : Z.z. ist : L 1 (J b a. ( b a i I (b i a i für jede höchstens abzählbare Überdeckung ([a i, b i ] i I von J. Dann folgt durch Bildung vom Infimum : b a L 1 (J. Fall 1 : # I < = ( gilt (vgl. Bild! a 2 b 2 a b a 1 b 1 Fall 2 : # I =, also z.b. : I = N. Sei ε > 0 gegeben. Vergrößere [a i, b i ] zu [a i ε i, b i + ε i ] mit ε i := 2 i ε. = J (a i ε i, a i + ε i J kompakt = N : J N (a i ε i, b i + ε i = J N [a i ε i, b i + ε i ]

6 Analysis III 86 Fall 1 angewendet auf diese letzte Inklusion ergibt gemäß ( (endl. Indexmenge b a N N (b i a i + 2 ε i (b i a i + 2ε, i I also gilt ( auch für die Indexmenge I, da ε beliebig. Ergebnis : L 1 ([a, b] = b a a b, a, b R. Die Monotonie von L 1 ergibt : L 1 ([a + ε, b ε] L 1 ((a, b L 1 ([a ε, b + ε] = L 1 ((a, b (b a 2ε, so dass auch L 1 ((a, b = b a. Für halboffene Intervalle schließt man analog, für unbeschränkte Intervalle J folgt aus der Definition bzw. Monotonie direkt L 1 (J = +. Später : entsprechende Konstruktion eines Maßes L n auf R n für alle n 1 L 3 ist die richtige Volumenmessung in R 3. Definition 23.3 : X sei beliebiger Grundraum, µ ein Maß auf X. a Für A X definiert man die Einschränkung von µ auf A durch (µ A(B := µ(a B, B X. Hierbei gilt : µ A ist ein Maß auf X! b A X heißt µ-messbar, wenn A jede Testmenge additiv zerlegt : µ(b = µ(b A + µ(b A B X Dieser Begriff wird eingeführt, um abzählbare Additivität auf disjunkten Mengen zu haben.

7 Analysis III 87 B \ A A B A B \ A B Bemerkungen : 1 Subadditivität = µ(b B=(B A (B A Deshalb muß man nur prüfen. µ(b A + µ(b A gilt immer! 2 offenbar :, X µ-messbar; µ-nullmengen sind µ-messbar! 3 C X beliebig; A µ-messbar = A (µ C-messbar 4 A µ-messbar Komplementregel X A µ-messbar. Satz 23.2 : (Eigenschaften messbarer Mengen / Operationen mit messbaren Mengen Sei µ ein Maß auf X, {A k } k N eine Folge µ-messbarer Mengen. Dann : (i A k, A k µ-messbar ( (ii A k A l =, k l = µ σ-additivität auf messbaren Mengen A k = µ(a k (iii Gilt A k A k+1 für alle k, so ist ( µ A k = lim µ(a k [0, ]. k (iv Sei µ(a 1 < (oder µ(a L < für ein L und A k A k+1 für alle k (oder für k L. Dann folgt ( µ A k = lim µ(a k. k

8 Analysis III 88 Beweis : (in 6 Schritten 1. Wir erinnern an die Messbarkeitsdefinition für A X ( µ(b µ(a B + µ(b A B X Also gilt für B X µ(b = µ(b A 1 + µ(b A 1 und (Messbarkeit von A 2, B A 1 als Testmenge in ( µ(b A 1 = µ ((B A 1 A 2 + µ ((B A 1 A 2 = µ(b = µ(b A 1 + µ ((B A 1 A 2 + µ ((B A 1 A 2 ( Es gilt : } (B A 1 {(B A 1 A 2 B (A 1 A 2 und (B A 1 A 2 = B (A 1 A 2 Monotonie = µ(b A 1 + µ ((B A 1 A 2 µ (B (A a A 2 Einsetzen in ( = µ(b µ (B (A 1 A 2 + µ (B (A 1 A 2, d.h. A 1 A 2 messbar. Induktion über n liefert : n A k messbar für alle n, d.h. endliche Vereinigungen messbarer Mengen sind messbar. 2. X (A 1 A 2 = (X A 1 (X A 2 messbar nach 1. messbar = A 1 A 2 messbar. ( Komplementregel Induktion über n liefert : n A k messbar für alle n, d.h. Schnitte von endlich vielen messbaren Mengen ist messbar.

9 Analysis III Gelte A l A k = für k l; setze B k := k A l messbar; A k+1 messbar B k+1 Testmenge = µ(b k+1 = µ(b k+1 A k+1 + µ(b k+1 A k+1 l=1 = µ(a k+1 + µ(b k k falls alle Maße <! = µ(b k+1 µ(b k = µ(a k+1 Also : ( n µ A k = µ(b n Teleskop-Summe = n 1 (µ(b k+1 µ(b k + µ(b 1 n 1 s.o. = µ(a 1 + µ(a k+1 = n µ(a k, d.h. n ( n µ(a k = µ A k n. Also gilt (ii für endliche Vereinigungen disjunkter Mengen. Es folgt (Monotonie ( n ( n µ(a k µ A k = µ(a k µ A k. gilt trivialerweise, also folgt (ii allgemein. Rechnung wurde unter der Annahme µ(a k < + direkt! k gemacht. Andernfalls gilt (ii 4 Sei A := und gelte k : A k A k+1 = A k+1 A k = A k+1 (X A k messbar, dann folgt nach (ii : ( µ A k ( = µ (A k A k 1 (ii = µ(a k A k 1 = lim n n µ(a k A k 1 =A n {}}{ (ii ( n = lim µ (A k A k 1 n = lim n µ(a n, wobei wir (ii für die disjunkten Mengen B k := A k A k 1 benutzt haben. Damit ist (iii bewiesen.

10 Analysis III Sei nun A k A k+1 und µ(a 1 <. Screibe A 1 = A k (iii + Subadd. = µ(a 1 µ (A 1 A k }{{} aufsteigend messbar ( A k + µ ( (A 1 A k ( = µ A k + lim µ(a 1 A n. n (+ A n messbar A 1Testmenge = µ(a 1 = µ(a 1 A n + µ(a 1 A n und wegen µ(a 1 < : Also : µ(a 1 A n = µ(a 1 µ(a 1 A n. µ ( A k + lim n µ(a 1 A n = µ Einsetzen in (+ : ( µ(a 1 µ = lim n µ(a n µ ( A k + µ(a 1 lim ( A k, A k + µ(a 1 lim n µ (A a A n }{{} =A n n µ(a n die umgekehrte Beziehung gilt wegen Monotonie. Es folgt (iv. 6. Zu beweisen bleibt noch (i, also Messbarkeit von A k, A k. Sei B X beliebig, o.e. µ(b <, da sonst ( ( µ(b µ B A k + µ (B A k trivial ist. Definiere B j := j A k. Beachte : µ-messbare Mengen sind µ B-messbar, d.h. (iii, (iv gelten für µ B. D.h. : µ (B A k + µ (B A k B j messbar nach 1. = ( ( µ B ( B k + (µ B (X B k }{{} absteigend ( ( (iii, (iv B j aufsteigend! = lim µ B (B k + lim µ B (X B k k k B k messbar bzgl. µ B = ( µ B (X = µ(b

11 Analysis III 91 = Gemäß A k ist µ - messbar. X A k = (X A k folgt die 2 te Behauptung aus (i. Bemerkungen : 1 Für konkrete Maße auf dem R n werden wir später ein sehr handliches Kriterium formulieren, mit dessen Hilfe sich Messbarkeit einer Menge bzgl. diser Maße schnell entscheiden läßt. Merke : Für vernünftige Maße (Volumenmessung in R n sind fast alle Mengen messbar, nicht-messbare Mengen lassen sich dort nur mit dem Auswahlaxiom konstruieren. 2 Sei X eine Menge, ϑ P(X heißt eine σ-algebra, falls : (i, X ϑ (ii A ϑ = X A ϑ (iii A n ϑ für n N = (es folgt : n=1 n=1 A n ϑ A n ϑ für A n ϑ. Ist µ ein Maß auf X, so folgt aus 23.3 : M := { } A P(X : A ist µ-messbar ist σ-algebra der µ-messbaren Mengen. Literatur : (Bauer In machen Büchern findet man folgenden Zugang zur Maßtheorie : (X, N, λ heißt Maßraum, falls N P(X eine σ-algebra ist und λ : N [0, ] eine Abbildung mit den Eigenschaften (i λ( = 0, ( (ii λ A n = λ(a n für A n, A m N paarweise disjunkt n=1 n=1 ( X, M, µ ist daher ein Maßraum. M ( Ist umgekehrt X, N, λ ein beliebiger Maßraum, so setzt man für A X µ(a := inf { } λ(b : A B, B N. µ ist dann ein Maß im Sinne von (Ich finde den Zugang über äußere Maße begrifflich einfacher.

12 Analysis III 92 Bis jetzt : alles sehr allgemein, nun betrachten wir Definition 23.4 : Maße auf metrischen Räumen Sei X ein metrischer Raum. (a Die σ-algebra B = B(X ist die kleinste σ-algebra in X, die alle offenen Mengen enthält. Die Elemente von B heißen : Borel-Mengen (Konstruktion von B s.u (b Ein Maß µ auf X heißt Borel-Maß, falls alle Borel-Mengen µ-messbar sind. (c Ein Borel-Maß auf X heißt (Borel-regulär, falls es zu jeder Menge A X eine maßgleiche Borel-Obermenge B gibt : µ(a = µ(b mit A B, B B. (d Ein Borel-reguläres Maß heißt Radon-Maß, wenn kompakte Mengen X endliches Maß haben. (e Eine Menge A X heißt σ-endlich bzgl. eines Maßes λ auf X, wenn man schreiben kann A = B k mit λ-messbaren Mengen B k, λ(b k <. Bemerkungen : (0 Die Volumenmessung im 3 ist z.b. ein Radon-Maß. (1 Borel-Mengen ˆ= alle Mengen, die sich aus offenen und abgeschlossenen Mengen durch abzählbare Vereinigungen, Schnitte und Differenzen sowie Iteration dieser Konstruktionen erzeugen lassen. Existenz von B : setze B := ϑ, ϑ = σ-algebra { offene Mengen in X} (P(X ist ein solches ϑ! (2 Borel (-regulär Maße und Radon-Maße bringen Messbarkeit und Topologie in Verbindung : offene/abgeschlossene Mengen sind messbar, für Radon Maße haben kompakte Mengen endliche Masse (3 Borel- und Radon-Maße kann man auch auf beliebigen topologischen Räumen definieren. (4 Für (e kann X irgendeine Menge sein, also nicht notwendig ein metrischer Raum. (5 Beschreibung der Borel-Regularität : Es gilt für ein Borel-Maß λ auf X : Beweis : λ Borel-regulär λ(a = inf{λ(b : B B, B A} für alle A X. = : = : klar! Sei A X gegeben. Zu n wähle B n B, B n A, λ(b n 1 n λ(a. Sei B := B n B. n=1 Dann : λ(b (B n λ(a 1 n, also λ(b λ(a. folgt aus A B.

13 Analysis III 93 6 Sprechweise : Sei X irgendeine Menge, λ ein Maß auf X. λ heißt reguläres Maß : Def. vgl. (5, gl. Rechnung! λ(a = inf{λ(b : B A, B λ -messbar} für alle A X für alle A X gibt es eine λ-messbare Menge C A mit λ(a = λ(c Indem man A n ersetzt durch maßgleiche λ-messbare Obermengen kann man zeigen bzw. die Aussage von 23.3 wie folgt verallgemeinern : ( {λ reguläres Maß, A n A n+1 für alle n } = λ(a n n λ A k Die A n müssen also nicht λ-messbar sein. Satz 23.3 : Sei λ ein Borel-reguläres Maß auf X und A X sei λ-messbar. Dann gilt : (i A Borel-Menge = λ A Borel-regulär (ii Beweis : λ(a < }{{} nicht notwendig Borel Definiere ν := λ A. Bemerkung 3 nach Definition 23.3 besagt : = λ A Radon-Maß, also speziell auch Borel-regulär. λ-messbare Mengen sind auch ν-messbar, also sind insbesondere alle Borel- Mengen ν-messbar und somit ist ν ein Borel-Maß. Im Fall λ(a < gilt : zu (i : ν(k = λ(a K λ(a < für alle kompakten Mengen K X. Sei A jetzt Borel-Menge. zu zeigen : ν ist Borel-regulär ( d.h. : Zu C X finde Borel-Menge D C mit ν(c = ν(d. bekannt : λ Borel-regulär = Borel-Menge E X mit λ(e = λ(a C und A C E. Setze D := E (X A = D Borel-Menge und C (A C (X A E (X A = D

14 Analysis III 94 sowie ν(d = λ(d A D A E nach Def. v. D λ(e = λ(a C = ν(c Die umgekehrte Richtung ν(d ν(c folgt aus C D, also gilt (. zu (ii : Sei A X nicht notwendig Borel-Menge, aber es gelte λ(a <. Zu zeigen ist wieder (. Zunächst existiert zu A eine maßgleiche Borel-Obermenge B (λ Borel-reguläres Maß. Da A λ-messbar ist, folgt : λ(b A = λ(b λ(a = 0 (beachte : B = A (B A sowie λ(b <! Für C X beliebig ist deshalb ν(c = λ(a C λ(b C = (λ B(C A λ-messbar, B C als Testmenge = λ ((B C A + λ ((B C A λ ((B C A + λ(b A }{{} =0 = λ ((B C A ν(c = ν(c = (λ B(C C X ν = λ B Nach (i ist λ B Borel-regulär, also folgt ( für ν. ν(k < für sogar alle K X ist klar. Satz 23.4 : Approximationssatz für Borel- und Radon-Maße a Sei X ein metrischer Raum und λ ein Borel-Maß. Ist B Borel-Menge mit λ(b <, so gibt es zu jedem ε > 0 eine abgeschlossene Menge C X mit C B und λ(b C < ε. b Sei λ ein Radon-Maß auf offene Menge U mit n. Ist B Borel-Menge, so findet man zu jedem ε > 0 eine B U und λ(u B < ε. Für Radon-Maße auf n gilt noch mehr

15 Analysis III 95 Zusatz : (Radon-Maße auf n Sei λ ein Radon-Maß auf n. Dann gilt (i für jede Menge A n : λ(a = inf{λ(u : U A offen} (ii für jede λ-messbare Menge A : λ(a = sup{λ(k : K A kompakt} Beweisskizze von 23.4 : a ν := λ B ist endliches Borel-Maß (Bemerkung nach Def λ-messbare Mengen sind auch λ B-messbar; also sind alle Borel-Mengen λ B messbar; Endlichkeit : klar! 1. Setze F := {A X : dann zeige : A ist λ-messbar und zu jedem ε > 0 gibt es eine abgeschlossene Menge C ε mit C ε A und ν(a C ε < ε } F { abgeschlossene Teilmenge von X} klar! F ist stabil gegen abzählbare und F { offene Teilmengen von X} (beachte dazu : U offen = U = {x U : dist (x, X U 1/i} und {... 1 i } ist abgeschlossen 2. Sei F := {A F : X A F}. Zeige : F ist stabil bzgl. und F { offene Mengen } Insgesamt : b Jetzt : X = F ist σ-algebra { offene Mengen in X} = F B. Unsere Borel-Menge B aus Teil a gehört also zu F, was zu beweisen war. Bemerkung : Sei U m := {x Die Bildung von F ist nötig, da F nicht abgeschlossen bzgl. Bildung von Komplementen. n und B Borel-Menge sowie λ Radon-Maß. n : x < m} = U m B ist Borel-Menge mit λ(u m B λ(u m <. Hier geht ein, dass X = n ist. Andernfalls ist U m nicht notwendig kompakt! (und hat somit endliches Maß. Nach a gibt es eine abgeschlossene Menge C m mit C m U m B, λ((u m B C m = λ(u m C m B < ε2 m wobei ε > 0 beliebig vorgegeben ist. Die Mengen U m C m sind offen, also ist auch U := (U m C m offen. m=1

16 Analysis III 96 Es gilt (Wahl von C m, d.h. C m n B : B n C m = U m B U m C m Def.von U = m B = (U m B m=1 (U m C m = U, m=1 d.h. U offene Obermenge von B. Für das Maß von B U bekommt man ( µ(u B = µ (U m C m B m=1 µ ((U m C m B ε. m=1 = µ(b = inf {µ(v : V offen B} In der Praxis hat man es meistens mit Borel-Maßen oder sogar Radon-Maßen auf metrischen Räumen zu tun, und es stellt sich deshalb die Frage : Wie entscheidet man schnell, ob ein gegebenes Maß diese Eigenschaft hat? Satz 23.5 : Kriterium von Carathéodory Sei λ ein Maß auf dem metrischen Raum X. Gilt λ(a B = λ(a + λ(b A, B X, dist (A, B > 0 so ist λ ein Borel-Maß auf X. Beweis : Es genügt zu zeigen, dass alle abgeschlossenen Mengen C X messbar sind bzgl. λ, denn die messbaren Mengen bilden eine σ-algebra, und jede σ-algebra {abgeschlossene Mengen in X} umfaßt B. Für A X beliebig ist zu beweisen (bei fixierter abgeschlossener Menge C ( λ(a λ(a C + λ(a C. Dazu sei o.e. λ(a <. Für m sei dist (A, B := inf{d(x, y : x A, y B} C m := {x X : dist (x, C 1/m} (die äußere Parallelmenge von C im Abstand 1/m. Man bekommt C m, indem man um C einen Streifen der Breite 1/m legt.

17 Analysis III 97 Man bekommt C m, indem man um C einen Streifen der Breite 1 m legt. C A A C C m C C m = dist (A C m, A C 1 m Vor = ( λ(a C m + λ(a C = λ((a C m (A C Mon. λ(a, denn (A C m (A C A. Behauptung : ( lim λ(a C m = λ(a C m Setzt man dies in ( ein, so folgt (, also die Behauptungung. ad ( : Sei für k { } 1 R k := x A : k+1 < dist (x, C 1 k C k Man sieht : = A C = (A C m = λ(a C m Cm C Ist R k k=m λ(a C Vor. λ(a C m + λ(r k < so folgt (. k=m λ(r k Es gilt für j i + 2 dist (R i, R j > 0 m ( m λ(r 2k = λ ( m m λ(r 2k+1 = λ k=0 R 2k R 2k+1 k=0 Vor = +Ind. Mon. Mon. λ(a, λ(a = m λ(r k 2 λ(a < m

18 Analysis III 98 Das Lebesgue - Maß L n auf n ist für geometrische Anwendungen wie Volumenmessung das wichtigste Maß. Die Konstruktion ist analog zu der von L 1 nur mit Quadern statt Intervallen. Definition 23.5 : Für A n sei { L n (A := inf Q i : i I (Qi i I ist höchstens abzählbare Überdeckung von A durch abgeschlossene Quader Q i das sogenannte Lebesgue-Maß von A. (genauer: n-dim. Lebesgue-Maß Hier : Q = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ], Q := (b 1 a 1... (b n a n. Elementarvolumen } Bemerkungen : 1 L n ist ein Maß auf Beweis wie für L 1 ; Einzelheiten Übungen! n. 2 In der Definition kann man genauso offene Quader W = (a 1, b 1... (a n, b n oder teilweise offene Quader W benutzen, vorausgesetzt man setzt immer W := Produkt der Kantenlängen. Begründung : A Q i, Q i = abgeschlossener Quader. Sei ε > 0 gegeben; bilde nun mit später zu definierendem ε i wenn W i := ( a i 1 ε i, b i 1 + ε i... ( a i n ε i, b i n + ε i, Q i = [a i 1, b i 1]... [a i n, b i n] dann folgt : und gemäß A W i mit offenen Quadern W i W i = j=1 n ( b i j a i n j + 2ε i j=1 n ( b i j a i j + 2ε i ; j=1 ( b i j a i j + 2 εi 2 n 1 max j=1...n {1, bi j a i j} n 1

19 Analysis III 99 folgt W i Q i + 2 i ε, wenn man von ε i verlangt Insgesamt : 2ε i 2 n 1 max j=1...n {1, bi j ai j }n 1 2 i ε W i Q i + ε, so dass inf{ W i :... W i offen...} = inf{ Q i :... Q i abgeschlossen...}. 3 Ist Q ein Quader und zerlegt man diesen durch Schnitte mit achsenparallelen Hyperebenen in Teilquader Q 1,..., Q N, so gilt : Q = N Q i Q 4 Q 3 Q 1 Q 2 = bei der Definition von L n (Akann man mit Quadern (sogar Würfeln! arbeiten, deren Kantenlängen unterhalb einer beliebig kleinen vorgegebenen Schranke liegen : { L n (A = inf Qi : i I (Qi i I ist Quaderüberdeckung von A mit Quadern (oder Würfeln der Kantenlänge δ Q }. 4 Für Quader Q (abgeschlossen, offen, halboffen gilt stets L n (Q = Q Beweis : wie für L 1!

20 Analysis III 100 Satz 23.6 : (Eigenschaften von L n (i Für jede Menge A n gilt L n (A = inf{l n (U : U offen A}. (ii L n ist ein Radon-Maß. (iii Translationsinvarianz : L n (b + A = L n (A b n, A n (iv Homogenität vom Grad n : L n (r A = r n L n (A r 0, A n (v Seien r 1,..., r n und T (x = (r 1 x 1,..., r n x n. Dann gilt : L n (T (A = r 1... r n L n (A. (beachte : det T = r 1... r n Beweis : (i für L n (A = klar! Sei also L n (A <. Nach Bemerkung 2 im Anschluß an Definition 23.5 gilt : zu jedem ε > 0 gibt es offene Quader (P j j A P j =: U und L n (A + ε j=1 U ist offen mit L n (U P j L n (A + ε. j=1 mit P j. j=1 Da umgekehrt offenbar L n (A L n (U gilt, folgt (i. (ii Sei K n kompakt = Quader Q mit K Q = L n (K L n (Q = Q <. Mit Carathéodory s Kriterium zeigen wir, dass L n Borel-Maß ist : Seien A, B Sei ε > 0 gegeben n mit dist (A, B > 0. O.E. L n (A B <, sonst ist nichts zu zeigen. = Quaderüberdeckung von A B mit Quadern Q j der Kantenlängen δ (wird später fixiert mit Q j L n (A B + ε j=1 Sei J definiert durch j J Q j (A B. Dann ist auch (Q j j J Überdeckung von A B.

21 Analysis III 101 Sei δ = 1 2 dist (A, B. n A B Dann ist für Q j, j J, entweder Q j A und Q j B = oder umgekehrt. Sei J 1 := {j J : Q j A }, J 2 := {j J : Q j B } = J = J 1 J 2, J 1 J 2 =, (Q j j J1 ist Überdeckung von A, (Q j j J2 ist Überdeckung von B = L n (A + L n (B Q j + Q j j J 1 j J 2 = Q j j J L n (A B + ε = L n (A + L n (B L n (A B, und die umgekehrte Ungleichung folgt aus der Monotonie. Nachzuweisen : Borel-Regularität von L n Sei A n beliebig. Nach (i gibt es eine Folge U i offener Mengen mit B := U k A, L n (A = lim k Ln (U k. U k ist Borel-Menge (also messbar, B A, mit L n (B L n (U k k L n (A, d.h. L n (B L n (A. Die umgekehrte Ungleichung gilt trivial, also ist B maßgleiche Borel-Obermenge zu A. (iii (Q j j J abzählbare Quaderüberdeckung von A = (b + Q j j J abzählbare Quaderüberdeckung von b + A außerdem (iv ist Spezialfall von b + Q j = Q j, da die Kantenlängen gleich sind = L n (A = L n (b + A. (v Sei (Q j Quaderüberdeckung von A = (T Q j ist Quaderüberdeckung von T A mit T Q j = r 1... r n Q j, j J denn ist j J Q = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ],

22 Analysis III 102 so gilt Es folgt T Q = [α 1, β 1 ]... [α n, β n ] mit α k β k, {α k, β k } = {r k a k, r k b k }. L n (T A r 1... r n L n (A ( Ist ein r i = 0, so gilt,,= direkt (vgl. nachfolgende Bem.. Sind alle r i 0, so setze ( 1 Sx := x 1,..., 1 x n. r 1 r n Es gilt ( für S statt T und T A statt A, d.h. L n (S(T A 1 r 1 1 r n L n (T A. Gemäß S T = Id folgt die Behauptung. Folgerung : A {x n : x k = c} für ein k {1,..., n}, c = L n (A = 0 n 1 A denn : nach Translation o.e. c = 0. Sei T (x = (x 1... x k 1 0 x k+1... x n = T A = A und L n (T A = 0 L n (A = 0. Bemerkung : hier zunächst L n (A <, da sonst Term der Form 0 auftritt; falls L n (A = = betrachte A m = A {x : x m} Wir bemerken, dass L n weitgehend durch die Aussagen von Satz 23.7 eindeutig festgelegt wird.

23 Analysis III 103 Satz 23.7 : Eindeutigkeit von L n L n ist das einzige Maß λ auf n mit (i Translationsinvarianz : λ(b + A = λ(a b n, A (ii Additivität auf Quadern : Für disjunkte Quader n gilt λ(q 1 Q 2 = λ(q 1 + λ(q 2 (iii Normierung : λ([0, 1] n = 1 (iv Regularität : λ(a = inf{λ(u : A U offen } A n n Beweis : - Bemerkung : (i, (ii, (iv legen L n bis auf einen Faktor α 0 fest. Es ist α = λ([0, 1] n. Unser geometrisches Maß L n sollte invariant gegenüber Drehungen sein, denn Drehungen verändern ja anschaulich das Volumen nicht. Das läßss t sich sehr einfach beweisen, wenn man L n mit Hilfe von Kugelüberdeckungen charakterisiert. Zur Vorbereitung dient ein Topologisches Lemma : Sei U n offen. Dann gilt U = W i mit abgeschlossenen achsenparallelen Würfeln W i, deren Inneres paarweise disjunkt ist. Beweis : Sei m und F m := 2 m n = {2 m (l 1,..., l n : l i } induziert Zerlegung von n in abzählbar viele, abgeschossene, achsenparallele Würfel der Kantenlänge 2 m. Definiere nun folgende Mengen: W := {W i : i I } Menge der Würfel aus F, die ganz in U liegen I oder #I < ; U 1 := U Wi i I offen W 1 := {W 1 i : i I 1 } Menge der Würfel aus F 1, die ganz in U 1 liegen I 1 oder #I 1 < ;

24 Analysis III 104 induktiv: U m+1 := U m ( W := W j i U = W m+1 := {W m+1 i Wi m, i I m : i I m+1 } Würfel aus F m+1, die ganz in U m+1 liegen j,i I j System von Würfeln mit paarweise disjunktem Inneren es gilt: j=0 W j i i I j Wir benutzen das topologische Lemma zum Beweis von Maßtheoretisches Lemma : Sei U n offen und beschränkt. Dann gibt es abzählbar viele, paarweise disjunkte, abgeschlossene Kugeln B i U mit ( L n (U = L n B i = L n (B i Bemerkung : Es gilt im allgemeinen nicht U = B i sondern nur L n ( U die Kugel B i schöpfen U nur bis auf eine L n -Nullmenge aus. B i = 0, d.h. Beweis : Wir schreiben nach dem vorigen Lemma U = W i mit Würfel W i, deren Inneres paarweise disjunkt ist, α i = Kantenlänge W i, a i = Mittelpunkt von W i. a i B i = Innenkugel zu W i um a i mit Radius α i 2 W i = achsenparallele Würfel um a i in B i mit Kantenlänge α i n W i W i B i = L n ( B i > L n ( W i = ( αi n n = n n/2 L n (W i

25 Analysis III 105 Ersetze B i durch eine etwas kleinere konzentrische Kugel B i mit L n (B i > n n/2 L n (W i. Beachte : die B i sind jetzt disjunkt! Außerdem sei B i abgeschlossen. Dann gilt einerseits ( L n o disj. Inneres W i = L n ( W o i = L n (W i L n (U, da W i U, und andererseits L n ( Also folgt o W i L n (U wegen der Monotonie. > L n (U = L n (W i, so dass die Reihe rechts konvergiert. Sei U 1 := U, U 2 := U 1 m B i offen, wobei m später gewählt wird. Es gilt : U 2 = i=m+1 s.o. = L n (U 2 = W i m (W i B i i=m+1 = [ i=m+1 Es ist n n/2 L n (W i L n /(B i < 0 L n (W I + m (L n (W i L n (B i ln(w i + m n N/2 L n ] m (W i ln(b i + (1 n N/2 L n (W i. = [...] + m ( 1 n n/2 L n (W i < { i=m+1 L n (W i + n n/2 L n } m ( (W 1 ln(b n n/2 L n (W }{{} i <0 Da die Reihe konvergiert, gibt es ein N 1 mit {...} < 0 m N 1. Sei m = N 1 und U 2 mit diesem m definiert. Dann ist i1 L n (U 2 m (1 n n/2 L n (W i ( 1 n n/2 L n (U 1. Definiere rekursiv offene Mengen U 1 U 2 U 3... (wiederhole die Konstruktion mit U 2, statt U 1, usw.!

26 Analysis III 106 mit L n (U k+1 ( 1 n n/2 L n (U k Es gilt in jedem Schnritt : U k+1 = U k endlich viele, abgeschlossene, disjunkte Kugeln U k. Sei {K l } l eine Abzählung der disjunkten, abgeschlossenen Kugeln, die in jedem Schritt entfernt werden = U = U k K l l=1 k = L n (U L n (U k + L n (K l. l=1 Mit folgt denn L n (U k ( 1 n n/2 k 1 L n (U 1 k 0 L n (U = L n (K l, l=1,, ist wegen K l U und der Disjunktheit von K l trivial. Mit Hilfe des vorstehenden Lemmas beweisen wir jetzt Satz 23.8 : (weitere Eigenschaften von L n (i Für A (ii Für f : n gilt L n (A = inf{ L n (B i : n B i Kugeln mit A B i }. n mit f(x f(y L x y ist L n (f(a L n L n (A, A n (iii Ist T : n S, so gilt für A n eine Isometrie, also T x = x + Sx mit einer orthogonalen Abbildung n : L n (T A = L n (A. (iv Ist L : n n linear und A n, so ist L n (LA = det L L n (A. (v Ist m < n, so sind m dim Untermannigfaltigkeiten von n L n -Nullmengen. (Aus (v folgt u.a., dass es in (i egal ist, ob die Kugel offen oder abgeschlossen sind. Bemerkung : Hier zeigt sich der Vorteil, Maße auf P( n zu definieren und nicht nur auf gewissen σ-algebren M. Man hätte dann nämlich zu zeigen, ob in (ii f(a M gilt für A M.

27 Analysis III 107 Beweis von Satz 23.8 : (i L n (A = Sei zunächst A offen und beschränkt Lemma = disjunkte, abgeschlossene Kugeln B i A,, mit L n (A = L n ( B i C := A B i ist L n -Nullmenge = zu ε > 0 gibt es eine Würfelüberdeckung C Zu W j bilde die Umkugel B j mit Radius 1 2 diam W j. W j j=1 Wegen der Homogenität von L n folgt (beachte : L n (W j = ( diam W j n n mit L n (W j < ε. L n (Bj = L n (B 1 (1 2 diam W n n n/2 j = ωn 2 n Ln (W j, wobei ω n := L n (B 1. Damit ist L n (Bj ω n2 n n n/2 ε. j=1 j=1 Die Kugeln B i bilden zusammen mit den Kugeln B j eine Überdeckung von A und daher L n (A L n ( B i + L n (Bj L n (A + ε 2 n n n/2 ω n. J=1 Wegen der Beliebigkeit von ε folgt die Behauptung. A beliebig : überdecke A durch offene Quader Q i bis auf ein ε und benutze den ersten Beweisteil für Q i. (ii o.e. L > 0 und L n (A < ; für B r (x n ist f(b r r(x B Lr (f(x. Man wähle eine Kugelüberdeckung A B ri (x i mit L n (B ri (x i L n (A + ε und = f(a L n (f(a B Lri (f(x i Homog. + Translationsinv. = L n (B Lri (f(x i L n L n (B ri (x i L n (L n (A + ε. Wegen der Beliebigkeit von ε > 0 folgt die Behauptung.

28 Analysis III 108 (iii Da wir bereits Translationsinvarianz wissen, sei T o.e. eine orthogonale Abbildung, also T x T y = x y. Aus (ii folgt L n (T A 1 n L n (A = L n (A = L n (T 1 (T A L n (T A, da auch T 1 orthogonal. (iv Sei L linear. Dann gilt ( Polarzerlegung der Linearen Algebra L = O 1 DO 2 mit orthogonalen Abbildung O 1, O 2 und einer Diagonalmatrix r 1 0 D =... 0 r n Es folgt L n (L(A = L n (0 1 (DO 2 (A = L n (DO 2 (A früheres Ergebnis = r 1... r n L n (0 2 (A = r 1... r n L n (A = det L L n (A. (v Sei M eine Untermannigfaltigkeit von Zu zeigen : L n (M = 0 Q ( ε, ε n mit dim = n 1. 0 n 1 a f(0 V U M U = offene Umg. von 0in n, V = offene Umg. von Q := f(0 in f : U V Diffeomorphismus mit f(0 = a und f(u Q = Quader in n 1 n, n 1 = M V = f(q f(q ( ε, ε = L n (f(q Lip(f n L n (Q ( ε, ε Lip(f n const ε Da ε > 0 beliebig ist, folgt L n (f(q = 0 = L n (f(u n 1 = 0 = L n (M V = 0.