6. Binäre Suchbäume. Binäre Suchbäume

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1 6. Binäre Sucbäume Natürlice binäre Sucbäume - Begriffe und Definitionen - Grundoperationen: Einfügen, sequentielle Suce, direkte Suce, öscen - Bestimmung der mittleren Zugriffskosten Balancierte Binärbäume AV-Baum - Einfügen mit otationstypen - öscen mit otationstypen - Höe von AV-Bäumen Gewictsbalancierte Binärbäume Positionssuce mit balancierten Bäumen (ösung des Auswalproblems) (C) Prof. E. am 6 - Binäre Sucbäume Def.: Ein natürlicer binärer Sucbaum B ist ein Binärbaum; er ist entweder leer oder jeder Knoten in B entält einen Sclüssel und: () alle Sclüssel im linken Unterbaum von B sind kleiner als der Sclüssel in der Wurzel von B (2) alle Sclüssel im recten Unterbaum von B sind größer als der Sclüssel in der Wurzel von B (3) die linken und recten Unterbäume von B sind auc binäre Sucbäume. Beispiel: 6 4 Grundoperationen: - Einfügen - direkte Suce - sequentielle Suce - öscen (C) Prof. E. am 6-2

2 Einfügen in binären Sucbäumen Neue Knoten werden immer als Blätter eingefügt y Suce der Einfügeposition: Ausseen des Baumes wird durc die Folge der Einfügungen bestimmt: reienfolgeabängige Struktur n Sclüssel erlauben n! versciedene Sclüsselfolgen Einfüge(x) ==> Einfügereienfolge : Einfügereienfolge 2: KANT, EIBNIZ, HEGE, HUME, OCKE, SOCATES, SPINOZA, DESCATES, CANAP, FEGE, PATON KANT x x < y y x x > y EIBNIZ, DESCATES, CANAP, HUME, SOCATES, FEGE, OCKE, KANT, HEGE, PATON, SPINOZA EIBNIZ DESCATES SOCATES CANAP HUME OCKE SPINOZA FEGE KANT PATON HEGE (C) Prof. E. am 6-3 Einfügen in binären Sucbäumen (2) class BinaryNode { BinaryNode lcild = null; BinaryNode rcild = null; Orderable key = null; /** Konstruktor */ BinaryNode(Orderable key) { tis.key = key; } } public class BinarySearcTree { private BinaryNode root = null;... public void insert(orderable key) trows TreeException { root = insert(root, key); } protected BinaryNode insert(binarynode node, Orderable key) trows TreeException { if (node == null) return new BinaryNode(key); else if (key.less(node.key)) node.lcild = insert(node.lcild, key); else if (key.greater(node.key)) node.rcild = insert(node.rcild, key); else trow new TreeException("Scluessel scon voranden!"); return node; }... } (C) Prof. E. am 6-4

3 Suce in binären Sucbäumen. Sequentielle Suce Einsatz eines Durclauf-Algoritmus (Zwiscenordnung) 2. Direkte Suce: Vorgeensweise wie bei Suce nac Einfügeposition Sucen eines Knotens (rekursive Version): /** ekursive Suce eines Scluessels im Baum */ public boolean searcec (Orderable key) { return searcec(root, key); } /** ekursive Suce eines Scluessels im Teilbaum */ protected boolean searcec (BinaryNode node, Orderable key) { if (node == null) return false; // nict gefunden if (key.less(node.key)) return searcec(node.lcild, key); // suce im linken Teilbaum if (key.greater(node.key)) return searcec(node.rcild, key); // suce im recten Teilbaum return true; // gefunden } (C) Prof. E. am 6-5 Sucen (2) Sucen (iterative Version): public boolean searciter (Orderable key) { BinaryNode node = root; do { if (node == null) return false; // nict gefunden if (key.less(node.key)) node = node.lcild; else if (key.greater(node.key)) node = node.rcild; else return true; } wile (true); } // suce im linken Teilbaum // suce im recten Teilbaum // gefunden (C) Prof. E. am 6-6

4 öscen in binären Sucbäumen öscen ist am kompliziertesten Fall : x ist Blatt y x z y z Fall 2/3: x at leeren linken/recten Unterbaum x z z Fall 4: x at zwei nict-leere Unterbäume Heranzieen des größten Sclüssels im linken Unterbaum (g l ) oder des kleinsten Sclüssels im recten Unterbaum (k r ) y g l x k r - Alternative: Jeder zu löscende Knoten wird speziell markiert; bei Suc- und Einfügevorgängen wird er gesondert beandelt z y k r z (C) Prof. E. am 6-7 öscen in binären Sucbäumen (2) HUME FEGE OCKE DESCATES HEGE KANT SPINOZA PATON CANAP EIBNIZ SOCATES ösce (OCKE) FEGE DESCATES HEGE CANAP ösce (DESCATES) ösce (FEGE) HUME HUME PATON HUME PATON KANT SPINOZA KANT SPINOZA EIBNIZ SOCATES EIBNIZ SOCATES (C) Prof. E. am 6-8

5 Binäre Sucbäume: Zugriffskosten Kostenmaß: Anzal der aufgesucten Knoten bzw. Anzal der benötigten Sucscritte oder Sclüsselvergleice. Kosten der Grundoperationen - sequentielle Suce: - Einfügen, öscen, direkte Suce Bestimmung der mittleren Zugriffskosten (direkte Suckosten) - Mittlere Zugriffskosten z eines Baumes B erält man durc Berecnung seiner gesamten Pfadlänge P als Summe der ängen der Pfade von der Wurzel bis zu jedem Knoten K i. - mit n i = Zal der Knoten auf Stufe i gilt P( B) = i n i und n i = n i = i = - Die mittlere Pfadlänge ergibt sic zu p = P / n - Da bei jedem Zugriff noc auf die Wurzel zugegriffen werden muß, erält man = gesamte Knotenzal z = p + = -- ( i+ ) n n i i = n P( B) = Stufe( K i ) i = Beispiel: 2 3 (C) Prof. E. am 6-9 Binäre Sucbäume: Zugriffskosten (2) Maximale Zugriffskosten - Die längsten Sucpfade und damit die maximalen Zugriffskosten ergeben sic, wenn der binäre Sucbaum zu einer linearen iste entartet Stufe Höe: = l max + = n - Maximale mittlere Zugriffskosten: n ( n + ) ( n + ) z -- max = ( i+ ) n = n = = O( n) 2n 2 i = Minimale (mittlere) Zugriffskosten: können in einer fast vollständigen oder ausgeglicenen Baumstruktur erwartet werden - Gesamtzal der Knoten: 5 2 < n Höe = log 2 n + - Minimale mittlere Zugriffskosten: z min log 2 n (C) Prof. E. am 6 -

6 Binäre Sucbäume: Zugriffskosten (3) Durcscnittlice Zugriffskosten - Extremfälle der mittleren Zugriffskosten sind wenig aussagekräftig: - Wie groß sind z und bei n=, 3, 6 min z max,...? - Differenz der mittleren zu den minimalen Zugriffskosten ist ein Maß für Dringlickeit von Balancierungstecniken Bestimmung der mittleren Zugriffskosten - n versciedene Sclüssel mit den Werten, 2,..., n seien in zufälliger eienfolge gegeben. Die Warsceinlickeit, daß der erste Sclüssel den Wert i besitzt, ist /n (Anname: gleice Zugriffswarsceinlickeit auf alle Knoten) - Für den Baum mit i als Wurzel eralten wir z n () i = -- (( z n i + ) ( i ) + + ( z n i + ) ( n i) ) - Die ekursionsgleicung läßt sic in nict-rekursiver, gesclossener Form mit Hilfe der ar- moniscen Funktion H n = -- darstellen. i i = - Es ergibt sic z n = 2 3 = 2 ln(n) - c. n ( n + ) H n n i i - n - i z i Knoten Knoten z n i z n - elative Merkosten: z n z min 2ln( n) c 2ln( n) c = = 2ln( 2) =,386 log 2 ( n) log 2 ( n) (C) Prof. E. am 6 - Balancierte Binärbäume Der ausgeglicene binäre Sucbaum verursact für alle Grundoperationen die geringsten Kosten Perfekte Balancierung zu jeder Zeit kommt jedoc ser teuer. Einfüge () - In welcem Maße sollen Strukturabweicungen bei Einfügungen und öscungen toleriert werden? Balancierte Bäume - Ziel: scneller direkten Zugriff mit z max O( log 2 n) sowie Einfüge- und öscoperationen mit logaritmiscen Aufwand - Heuristik: für jeden Knoten im Baum soll die Anzal der Knoten in jedem seiner beiden Unterbäume möglicst gleic gealten werden - Zwei untersciedlice Vorgeensweisen: () die zulässige Höendifferenz der beiden Unterbäume ist bescränkt (=> öenbalancierte Bäume) (2) das Verältnis der Knotengewicte der beiden Unterbäume erfüllt gewisse Bedingungen (=> gewictsbalancierte Bäume) (C) Prof. E. am 6-2

7 k-balancierter Binärbaum Def.: Seien (x) und (x) die linken und recten Unterbäume eines Knotens x. Weiterin sei (B) die Höe eines Baumes B. Ein k-balancierter Binärbaum ist entweder leer oder es ist ein Baum, bei dem für jeden Knoten x gilt: B ( l ( x) ) B ( r ( x) ) k k läßt sic als Maß für die zulässige Entartung im Vergleic zur ausgeglicenen Baumstruktur auffassen Prinzip MOSKAU B ( l ( ) ) B ( r ( ) ) = B ( l ( ) ) B ( r ( ) ) = DUBIN B ( l ( ) ) B ( r ( ) ) = B ( l ( MOSKAU) ) B ( r ( MOSKAU) ) = (C) Prof. E. am 6-3 AV-Baum benannt nac russiscen Matematikern: Adelson-Velski und andis Def.: Ein -balancierter Binärbaum eißt AV-Baum -> Balancierungskriterium: B ( l ( x) ) B ( r ( x) ) Konstruktionsprinzip: - und seien AV-Bäume der Höe und. Dann sind die nacfolgend dargestellten Bäume auc AV-Bäume: Sucoperationen wie für allgemeine binäre Sucbäume (C) Prof. E. am 6-4

8 AV-Baum: Wartungsalgoritmen Wann und wo ist das AV-Kriterium beim Einfügen verletzt? - Es kann sic nur die Höe von solcen Unterbäumen verändert aben, deren Wurzeln auf dem Sucpfad von der Wurzel des Baumes zum neu eingefügten Blatt liegen - eorganisationsoperationen lassen sic lokal begrenzen; es sind öcstens Knoten betroffen Def.: Der Balancierungsfaktor BF(x) eines Knotens x ergibt sic zu BF(x) = ( (x)) - ( (x)). Knotendefinition class AVNode { int BF = ; AVNode lcild = null; AVNode rcild = null; Orderable key = null; /** Konstruktor */ AVNode(Orderable key) { tis.key = key; } } (C) Prof. E. am 6-5 Einfügen in AV-Bäumen Sobald ein BF(x) durc eine Einfügung verletzt wird, muß eine ebalancierung des Baumes durc sog. otationen durcgefürt werden. - Ausgangspunkt der otation ist der näeste Vater des neu eingefügten Knotens mit BF = Dieser Knoten dient zur Bestimmung des otationstyps. Er wird durc die von diesem Knoten ausgeende Kantenfolge auf dem Pfad zum neu eingefügten Knoten festgelegt. otationstypen Es treten vier versciedene otationstypen auf. Der neu einzufügende Knoten sei X. Y sei der bezüglic der otation kritisce Knoten - der näeste Vater von X mit BF = + 2. Dann bedeutet: - : X wird im recten Unterbaum des recten Unterbaums von Y eingefügt (inksrotation) - : X wird im linken Unterbaum des linken Unterbaums von Y eingefügt (ectsrotation) - : X wird im linken Unterbaum des recten Unterbaums von Y eingefügt (Doppelrotation) - : X wird im recten Unterbaum des linken Unterbaums von Y eingefügt (Doppelrotation) Die Typen und sowie und sind symmetrisc zueinander. (C) Prof. E. am 6-6

9 Einfügen in AV-Bäumen (2) neuer Sclüssel nac Einfügung nac ebalancierung ectsrotation (C) Prof. E. am 6-7 Einfügen in AV-Bäumen (3) neuer Sclüssel nac Einfügung nac ebalancierung inksrotation Doppelrotation (C) Prof. E. am 6-8

10 Einfügen in AV-Bäumen (3) neuer Sclüssel nac Einfügung nac ebalancierung -2 Doppelrotation (C) Prof. E. am 6-9 Einfügen in AV-Bäumen (4) Balancierter Unterbaum nac Einfügung ebalancierter Unterbaum otationstyp (ectsrotation) B 3 x4 x 2 B 3 x4 +3 B 3 otationstyp (inksrotation) B B 3 B 3 (C) Prof. E. am 6-2

11 Einfügen in AV-Bäumen (5) otationstyp ( ist symmetrisc) Balancierter Unterbaum nac Einfügung ebalancierter Unterbaum B 3l x 3 x4 B 3r B 3l x3 x4 +3 B 3r () B 3l x 3 inksrotation von / x 3 + ectsrotation von / x 3 B 3r x4 +3 () x2 x 3 B 3l x 3 B 3r B 3l B 3r (C) Prof. E. am 6-2 öscen in AV-Bäumen öscen eines Blattes bzw. eines MOSKAU andknotens ( max. Son) ösce () - Höenreduzierung ändert Balancierungsfaktoren der Vaterknoten - ebalancierung für UB der Vorgängerknoten mit BF = +/- 2 TOKIO - ggf. fortgesetzte ebalancierung (nur möglic für Knoten mit BF = +/- 2 auf dem Weg vom zu löscenden Element zur Wurzel) öscen eines Knotens (Sclüssel x) mit 2 Sönen kann auf öscen für Blatt/andknoten zurückgefürt werden - x wird ersetzt durc kleinsten Sclüssel y im recten Unterbaumbaum von x (oder größten Sclüssel im linken Unterbaum) - fürt zur Änderung des Balancierungsfaktors für v (Höe des linken Unterbaums von v at sic um reduziert) y x v z y v z v v (C) Prof. E. am 6-22

12 öscen in AV-Bäumen (2) Bis auf Symmetrie treten nur 3 Fälle auf: Fall : öscen in v In diesem Fall pflanzt sic Höenerniedrigung nict fort, da in der Wurzel das AV-Kriterium erfüllt bleibt. -> kein ebalancieren erforderlic. Fall 2: öscen in Die Höenerniedrigung von pflanzt sic ier zur Wurzel in fort. Sie kann auf diesem Pfad eine ebalancierung auslösen. Fall 3: öscen in -2 Für die Beandlung dieser Situation ist der linke Unterbaum in größerem Detail zu betracten. Dabei ergeben sic die 3 Unterfälle: (C) Prof. E. am 6-23 öscen in AV-Bäumen (3) Fall 3a: x4-2 B 3-2 B 3 - ectsrotation fürt zur Erfüllung des AV-Kriteriums - Unterbaum beält ursprünglice Höe - keine weiteren ebalancierungen erforderlic Fall 3b: x4-2 B B ectsrotation reduziert Höe des gesamten UB von nac - Höenreduzierung pflanzt sic auf dem Pfad zur Wurzel in fort und kann zu weiteren ebalancierungen füren. (C) Prof. E. am 6-24

13 öscen in AV-Bäumen (5) Fall 3c: x6-2 x 6-2 B B 3 B B Doppelrotation (-> Höenerniedrigung) - ggf. fortgesetzte ebalancierungen (C) Prof. E. am 6-25 öscen in AV-Bäumen (6) ebalancierungsscritte beim öscen:. Suce im öscpfad näesten Vater mit BF = Füre otation im gegenüberliegenden Unterbaum dieses Vaters aus. Im Gegensatz zum Einfügevorgang kann ier eine otation wiederum eine ebalancierung auf dem Pfad zur Wurzel auslösen, da sie in gewissen Fällen auf eine Höenerniedrigung des transformierten Unterbaums fürt. Die Anzal der ebalancierungsscritte ist jedoc durc die Höe des Baums begrenzt Beispiel-öscvorgang: MOSKAU TOKIO ösce () MOSKAU TOKIO MADID MADID (C) Prof. E. am 6-26

14 MOSKAU TOKIO MADID MOSKAU MADID TOKIO (C) Prof. E. am 6-27 Höe von AV-Bäumen Balancierte Bäume wurden als Kompromiß zwiscen ausgeglicenen und natürlicen Sucbäumen eingefürt, wobei logaritmiscer Sucaufwand im sclectesten Fall gefordert wurde Für die Höe b eines AV-Baumes mit n Knoten gilt: log 2 ( n) + b,44 log 2 ( n + ) - Die obere Scranke läßt sic durc sog. Fibonacci-Bäume, eine Unterklasse der AV-Bäume, erleiten. Definition für Fibonacci-Bäume (Konstruktionsvorscrift) - Der leere Baum ist ein Fibonacci-Baum der Höe. - Ein einzelner Knoten ist ein Fibonacci- Baum der Höe. - Sind B und B -2 Fibonacci-Bäume der Höe und -2, so ist B = B, xb, 2 ein Fibonacci-Baum der Höe - Keine anderen Bäume sind Fibonacci- Bäume B B 2 B 3 B 4 n = n = n 2 =2 n 3 =4 n 4 =7 n 5 =2 (C) Prof. E. am 6-28

15 Gewictsbalancierte Sucbäume Gewictsbalancierte oder BB-Bäume (bounded balance) Zulässige Abweicung der Struktur vom ausgeglicenen Binärbaum wird als Differenz zwiscen der Anzal der Knoten im recten und linken Unterbaum festgelegt Def.: Sei B ein binärer Sucbaum mit linkem Unterbaum und sei n (n l ) die Anzal der Knoten in B ( ). - ρ(b) = (n l )/(n) eißt die Wurzelbalance von B. - Ein Baum B eißt gewictsbalanciert (BB(α)) oder von bescränkter Balance α, wenn für jeden Unterbaum B von B gilt: α <= ρ (B ) <= - α B K B at n Knoten at n l Knoten (C) Prof. E. am 6-29 Gewictsbalancierte Sucbäume (2) Parameter α als Freieitsgrad im Baum - α = /2: Balancierungskriterium akzeptiert nur vollständige Binärbäume - α < /2: Strukturbescränkung wird zunemend gelockert Welce Auswirkungen at die ockerung des Balancierungskriteriums auf die Kosten? Beispiel: Gewictsbalancierter Baum in BB (α) für α = 3 / JUPITE MAS PUTO ebalancierung - ist gewärleistet durc eine Wal von α <= - 2 /2 - Einsatz derselben otationstypen wie beim AV-Baum EDE NEPTUN MEKU SATUN UANUS VENUS Kosten für Suce und Aktualisierung: O (log 2 n) (C) Prof. E. am 6-3

16 Positionssuce mit balancierten Bäumen Balancierte Sucbäume - sind linearen isten in fast allen Grundoperationen überlegen - ösung des Auswalproblems bzw. Positionssuce (Suce nac k-tem Element der Sortierreienfolge) kann jedoc noc verbessert werden Def.: Der ang eines Knotens ist die um eröte Anzal der Knoten seines linken Unterbaums - Blattknoten aben ang Verbesserung bei Positionssuce durc Auf- NIOB name des angs in jedem Knoten EISEN ZINK Beispiel für AV- Baum: ASEN A- GON B CHO BEI JOD FUO SEEN NEON XENON ZINN (C) Prof. E. am 6-3 Positionssuce (2) angzalen erlauben Bestimmung eines direkten Sucpfads im Baum für Positionssuce nac dem k-ten Element - Position p := k; beginne Suce am Wurzelknoten - Wenn ang r eines Knotens = p gilt: Element gefunden - falls r > p, suce im linken UB des Knotens weiter - r < p => p := p - r und Fortsetzung der Suce im recten UB Wartungsoperationen etwas komplexer Änderung im linken Unterbaum erfordert anganpassung aller betroffenen Väter bis zur Wurzel (C) Prof. E. am 6-32

17 Zusammenfassung Binäre Sucbäume - Einfügen / direkte Suce durc Baumdurcgang auf einem Pfad - eienfolgeabängigkeit bezüglic Einfügeoperationen - sequentielle Suce / sortierte Ausgabe aller Elemente: Inorder-Baumtraversierung ( O (n)) - minimale Zugriffskosten der direkten Suce O (log n); mittlere Kosten Faktor,39 sclecter Balancierte Sucbäume zur Sicerstelleung günstiger Zugriffskosten - öenbalancierte Bäume (z.b. k-balancierte Binärbäume) - gewictsbalancierte Bäume (BB-Bäume) AV-Baum: -balancierter Binärbaum - Mitfüren eines Balancierungsfaktors B in Baumknoten (zulässige Werte:,, oder ) - dynamisce ebalancierung bei Einfüge- und öscoperationen (Falluntersceidungen mit untersciedlicen otationen) - Anzal der ebalancierungsscritte durc Höe des Baumes begrenzt - maximale Höe für Fibonacci-Bäume:,44 log (n) scnelle Positionssuce über Mitfüren des angs von Knoten (C) Prof. E. am 6-33 Zusammenfassung: istenoperationen auf versciedenen Datenstrukturen Operation sequent. iste gekettete iste balancierter Baum mit ang Suce von K i Suce nac k-tem Element Einfügen von K i öscen von K i öscen von k-tem Element sequentielle Suce (C) Prof. E. am 6-34