Geometrische Figuren und Körper

Transkript

1 STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper Geometrishe Figuren und Körper Welhe Shreiweisen geen den Winkel β des neenstehenden reieks PQR rihtig wieder? β = Qrp β = rp β = PQR R β = QRP β = pq q p P r Q Mnuel ht ein Mnsrdenzimmer und möhte eine trpezförmige Wnd mit einer knlligen Fre streihen. ie Wnd ist m lng, die größere Höhe eträgt,60 m und die kleinere,0 m. Für wieviel Qudrtmeter ruht er Fre? K Von einem Rhomus kennt mn den Umfng u = 8 m und den Fläheninhlt = m. ) eshreie, wie mn die Länge der Rhomusseite und die Höhe h erehnen knn! ) Führe die Rehnungen us! K Nimm n, uf einem sehr großen Wereplkt sollen eine ufreht stehende erwhsene Person und eine liegende Husktze drgestellt werden. Wie groß wäre uf diesem Wereplkt der Mensh ungefähr, wenn die liegende Ktze smt Shwnz dort m lng wäre? m 0 m m 0 m m Gi den Umfng u und den Fläheninhlt des färigen Rehteks mit Hilfe der Vrilen, und uf jeweils zwei vershiedene rten n! 6 Vervollständige die Shrägrisse eines gerden dreiseitigen Prisms! Kennzeihne sihtre und unsihtre Knten so, dss sih in ildung eine Oersiht und in ildung eine Untersiht ergit! H 7 8 Wie groß ist der Winkel, den die Zeiger einer Uhr um 8:0 Uhr einshließen? Von einem Prllelogrmm kennt mn den Fläheninhlt = 6, m und die Länge der Seite = 7, m. ) erehne die Höhe h! ) Wie viele vershiedene Prllelogrmme knn mn zeihnen, die den gegeenen Fläheninhlt und die gegeene Seitenlänge esitzen? s ist Mthemtik Stndrdtrining Österreihisher undesverlg Shuluh GmH & o. KG I I Seite von 6

2 STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper H 9 ie im Koordintensystem ngegeenen Punkte und sind Ekpunkte eines im Gegenuhrzeigersinn eshrifteten Qudrts. Konstruiere ds Qudrt und gi die Koordinten seiner Ekpunkte n! ( ), ( ), ( ), ( ) y - x H K H K 0 Ein Trpez ist durh die Koordinten seiner Ekpunkte gegeen (Einheit m): ( ), (6 ), ( y ), ( ) ) Zeihne ds Trpez und gi die fehlende Koordinte von n! ) erehne den Fläheninhlt des Trpezes mit Hilfe der entsprehenden Formel! ) erehne den Fläheninhlt des Trpezes, indem du es in zwei rehtwinklige reieke und ein Rehtek teilst! Wie groß ist etw der ruttoruminhlt (= Gesmtvolumen) des rehts drgestellten Geäudes? Welher Näherungswert trifft m ehesten zu? 0 m 00 m 000 m m, m 9, m,6 m, m H Gi ohne zu messen n, o die ngegeenen Größen der Winkel α, β und γ in der neenstehenden Figur stimmen! α = 9 rihtig flsh 08 β = 9 γ = H Stell dir vor, du hst gerde irgendein rehtwinkliges reiek mit : = : konstruiert und im nshluss drn ein ähnlihes reiek mit dem Umkreisrdius r = 6 m. Gi den Konstruktionsgng für die reieke und n! s ist Mthemtik Stndrdtrining Österreihisher undesverlg Shuluh GmH & o. KG I I Seite von 6

3 STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper H Wie viele Symmetriehsen esitzt die Figur? Kreuze die rihtige ntwort n! keine eine zwei drei vier mehr ls vier Rehtek ( ) Gleihseitiges reiek Qudrt Kreis E Gleihshenkliges reiek F llgemeines reiek H Ordne den Figuren die rihtigen ezeihnungen zu: E F ) Gerdes dreiseitiges Prism: ) Gerdes vierseitiges Prism: ) Regelmäßiges fünfseitiges Prism: ) Regelmäßiges sehsseitiges Prism: ) Shiefes sehsseitiges Prism: 6) Shiefes dreiseitiges Prism: H K 6 Welhe der folgenden Formeln eignen sih zum erehnen des Umfngs des drgestellten Grundstükes? Kreuze n! u = e u = + + d + e u = + + d u = + e + ( + + d) d e d u = ( d + e) H K 7 er Quotient us Höhenuntershied h und wgrehter Entfernung w zweier Punkte und einer Strße, eines Hnges usw. git die Steigung zwishen den eiden Punkten und n. Wie lng muss h im Vergleih zu w sein, wenn die Steigung 00 % usmht? Kreuze n! s Hundertfhe s Zehnfhe h = w ie Frge ist sinnlos, weil 00 % Steigung edeutet, dss die Streke senkreht verlufen müsste. s w h H 8 Ein reiek ht die Seitenlängen = 6,9 m, = 9, m und =,0 m. Welhe der folgenden ehuptungen sind rihtig? Kreuze n! ntworte ohne zu zeihnen und zu messen! Für die Höhen des reieks gilt siher: h < h < h Für die Höhen des reieks gilt siher: h > h > h Für die Winkel des reieks gilt siher: α < β < γ Für die Winkel des reieks gilt siher: α > β > γ Mn knn ohne zu zeihnen und zu messen weder etws üer einen Längenvergleih der Höhen noh üer einen Größenvergleih der Winkel ussgen. s ist Mthemtik Stndrdtrining Österreihisher undesverlg Shuluh GmH & o. KG I I Seite von 6

4 STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper H 9 Welhe Zeihnungen stellen kein Netz einer regelmäßigen vierseitigen Pyrmide dr? 0 ie drei drgestellten reieke, und hen denselen Fläheninhlt. egründe diese ehuptung! egründe mit Hilfe neenstehender Figur, dss mn die Flähendigonlen des Quders mit Hilfe folgender Formeln erehnen knn: d = + d = + d = + d d d K Gegeen ist ein gleihshenkliges reiek mit = =,7 m und α = 70. Ein zweites reiek ht die Seiten = = 9, m und γ =. Sind die eiden reieke ähnlih? egründe deine ntwort! K Im reiek mit = 6,0 m und = 6,8 m ist γ ein stumpfer Winkel. entworte die Frge und egründe deine ntwort! ) Üer welhem Wert muss die Länge von liegen? ) Unter welhem Wert muss die Länge von liegen? Zeihne ein reiek mit spitzen Winkeln ei und! Errihte üer der Seite ein Rehtek so, dss die zu prllele Rehtekseite durh den Ekpunkt des reieks verläuft! egründe mit Hilfe der Zeihnung die Rihtigkeit der Fläheninhltsformel = h! In der Figur rehts sind in einem Würfel EFGH die Winkel ε = zwishen der Grundknte und der Flähendigonle sowie der Winkel ω = G zwishen der Rumdigonle G und der Flähendigonle gekennzeihnet. Welher der eiden Winkel ist größer? egründe deine ntwort entweder mit eigenen Worten oder mit Hilfe von Zeihnungen! E H F G s ist Mthemtik Stndrdtrining Österreihisher undesverlg Shuluh GmH & o. KG I I Seite von 6

5 LÖSUNGEN ZU EN STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper Geometrishe Figuren und Körper 6 β = rp, β = PQR = 8, m ) Für den Umfng des Rhomus gilt: u = Für die Seitenlänge gilt lso: = u : Für den Fläheninhlt des Rhomus gilt: = h Um die Höhe zu erhlten, muss mn dher durh dividieren: h = : ) = 7 m; h = m. m Nimmt mn z n, dss die Ktze in Wirklihkeit. 60 m lng und die Person.,80 m groß ist, dnn eträgt die Größe der Person uh uf dem Plkt ds reifhe der Ktzenlänge, lso. m. Umfng u = ( ) + oder u = ( + ) Fläheninhlt = ( ) oder = ( 0 + von 0 ) ) h = : = 8, m ) elieig viele 9 Siehe Figur links unten; ( ), ( ), (6 ), (0 ) y y - x I x II Siehe Figur rehts oen ) ie fehlende y-koordinte von muss sein. ( ) ( ) ) = ( + ) h us der Zeihnung knn mn lesen: = 0 m, = m, h = 8 m = (0 + ) 8 = 6 m ) Trpez = reiek I + Rehtek + reiek II = = = = 6 6 m 000 m V = V Quder + V dreiseitiges Prism Ü: : = : = Genuer:,,6, +,,,6 : 9,7 + 98,7 = 78, 000 m rihtig: ; flsh:, s ist Mthemtik Stndrdtrining Österreihisher undesverlg Shuluh GmH & o. KG I I Seite von 6

6 LÖSUNGEN ZU EN STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper Konstruktion des rehtwinkligen reieks mit = m und = m.. Konstruktion des Umkreismittelpunktes U dieses reieks; U ist uh Umkreismittelpunkt des reieks (U = U... Strekzentrum).. Zeihnen des Umkreises mit dem Rdius r = 6 m.. Verindungen von U mit den Ekpunkten,, mit dem Umkreis shneiden reiek. keine: F; eine: E; zwei: ; drei: ; vier: ; mehr ls vier: ) ; ) F; ) E; ) ; ) ; 6) u = + + d; u = + e + ( + + d) h = w Für die Höhen des reieks gilt siher: h > h > h ; Für die Winkel des reieks gilt siher: α < β < γ und Fläheninhlt des reieks: = h ; lle drei reieke hen diesele Seite = und die gleihe Höhe h. ie Grund- zw. ekflähendigonle d ist igonle des Rehteks mit den Seiten und. ie Seitenflähendigonle d ist igonle des Rehteks mit den Seiten und. ie Seitenflähendigonle d ist igonle des Rehteks mit den Seiten und. Jede Rehteksdigonle knn mn ls Hypotenuse eines rehtwinkligen reieks uffssen, dessen Ktheten von den Seiten des Rehteks geildet werden. Nh dem Lehrstz des Pythgors gelten dher die ngeführten eziehungen. ie eiden reieke sind ähnlih, d in eiden reieken einnder entsprehende Winkel gleih groß sind (70,, ). ) >, m (wäre ds reiek rehtwinklig, dnn wäre =, m) ) <,8 m (es muss die reieksungleihung gelten: < + ) Möglihe ntwort (Ô Skizze rehts): ie Höhe h teilt ds Rehtek E in zwei kleinere Rehteke FE und F. ie reiekseiten und sind igonlen dieser Rehteke und E hlieren dher die jeweilige Rehteksflähe. s reiek ht somit den hlen Fläheninhlt des h Rehteks E. E = h gilt, folgt = h. F ε > ω Möglihe egründung: ie Grundflähe des Würfels ist ein Qudrt. er Winkel zwishen der igonle und der Seite des Qudrts ist groß. ie Rumdigonle des Würfels ist igonle eines (nihtqudrtishen) Rehteks (GE). er Winkel zwishen der längeren Rehtekseite () und der igonle (G) ist immer kleiner ls. ndere möglihe egründung: Qudrt : Rehtek GE ( > G): ε = ω < E G s ist Mthemtik Stndrdtrining Österreihisher undesverlg Shuluh GmH & o. KG I I Seite 6 von 6