Analysis 2. Prof. Dr. Linus Kramer SS getext von Julia Wolters

Transkript

1 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer SS 2010 getext von Julia Wolters

2

3 Inhaltsverzeichnis 9. Metrische und normierte Räume 1 10.Stetigkeit Offene Mengen und Kurven Differentialgleichung in Vektorräumen Lokale Extrema reeller Funktionen Integration, Satz vom lokalen Inversen, Taylorentwicklung 47 Stichwortverzeichnis iii i

4 Inhaltsverzeichnis Impressum Erstellt von Prof. Dr. Linus Kramer Vorlesungsseite: Verfasst in TEXon Mac OS X von Julia Wolters Korrigierte Fassung bis Kapitel 10, Stand: 13. Juli 2010 Korrekturen bitte per mail an julia.wolters@uni-muenster.de ii getext: Julia Wolters

5 9. Metrische und normierte Räume Idee: Wir wollen Abstände zwischen Punkten messen. Der Abstand soll eine reelle Zahl 0 sein (ohne Dimensionsangabe wie Meter...) Definition Sei X eine Menge. Eine Metrik auf X ist eine Abbildung d : X X R, (x, y) d(x, y). Dabei soll gelten: (M1) Für alle u, v X ist d(u, v) = d(v, u) 0 (symmetrisch und positiv) (M2) Es gilt d(u, v) = 0, wenn u = v (M3) Für u, v, w X gilt d(u, w) d(u, v) + d(v, w) (Dreiecksungleichung) Man nennt (X, d) dann einen metrischen Raum Beispiel a) X = R, d(u, v) = u v. Dann gelten (M1), (M2) und (M3) ist die Dreiecksungleichung der Betragsfunktion (1.8). Also ist R mit d(u, v) = u v ein metrischer Raum. { 1, falls u v b) X eine beliebige Menge. Setzte d(u, v) = 0, falls u = v. (M1) und (M2) gelten. Ist u = w d(u, w) = 0 d(u, v) + d(v, w) ( ). Ist u w d(u, w) = 1. Für alle v X gilt entweder v u oder v w, also folgt d(u, v) + d(v, w) 1 = d(u, w). Folglich gilt (M3) und d ist eine Metrik auf X. Man nennt d die diskrete Metrik auf X. c) X = R 2. Für u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ). Setze d(u, v) = u 1 v 1 + u 2 v 2 l 1 -Metrik auf R 2 oder Manhattan-Taxi-Metrik. (M1) und (M2) gelten. d(u, w) = u 1 w 1 + u 2 w 2 = u 1 v 1 + v 1 w 1 + u 2 v 2 + v 2 w 2 u 1 v 1 + v 1 w 1 + u 2 v 2 + v 2 w 2 = d(u, v) + d(v, w) 1

6 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME (u 1, u 2 ) (v 1, v 2 ) Abbildung 9.1.: Manhattan-Taxi-Matrik (M3) gilt. Also ist d eine Metrik auf R Beobachtung Ist (X, d) ein metrischer Raum und A X, dann ist A mit der Metrik d ebenfalls ein metrischer Raum, ein Unterraum Definition Sei (X, d) ein metrischer Raum, sei r > 0 und x X. Dann heißt B r (x) = {v X d(v, x) < r} der offene r-ball um x. In den drei Beispielen: a) B r (x) = (x r, x + r) offenes Intervall ( x ) X r r b) B r (x) = {x}, falls r 1 B r (x) = X, falls r > 1 c) B r (x) in der Taximetrik: r x r r r 2 getext: Julia Wolters

7 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer 9.5. Definition Sei J N eine unendliche Indexmenge, sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge in X mit Indexmenge J ist eine Abbildung J X, j x j (Folgenglied). Ist K J eine unendliche Teilmenge, dann heißt (x k ) k K Teilfolge der Folge (x j ) j J. Wir sagen, die Folge (x j ) j J konvergiert gegen x X, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es n N, so dass d(x, x j ) ε j J, j n In Beispiel a X = R, d(u, v) = u v liefert das genau den Konvergenzbegriff aus Analysis I für reelle Folgen Lemma Sei (X, d) metrischer Raum, (x j ) j J eine Folge in X. Die Folge konvergiert gegen x X genau dann, wenn gilt: Für jedes r > 0 gibt es ein n N, so dass x j B r (x) für alle j > n. Ebenfalls äquivalent dazu: Für jedes r > 0 liegen fast alle Folgenglieder x j in B r (x) Lemma (Eindeutigkeit des Grenzwertes) Eine Folge (x j ) j J x X. in einem metrischen Raum (X, d) konvergiert höchstens gegen ein Der eindeutige Grenzwert einer konvergenten Folge (x j ) j J wird (wie in Analysis I) geschrieben: lim j J x j = x Beispiel a): X = R, d(u, v) = u v. Das ist genau der Konvergenzbegriff aus Analysis I für reelle Folgen. Beispiel b): X mit diskreter Metrik. Konvergente Folgen sind genau die Folgen in X, die ab einem gewissen Index konstant sind. getext: Julia Wolters 3

8 9.8. Definition KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME (X, d) metrischer Raum (a i ) i I Folge. Dies heißt Cauchy-Folge, falls ε > 0 N N i, j I mit i Nundj N : d(a i, a j ) ε 9.9. Satz (X, d) metrischer Raum. Dann ist jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge Definition Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in X konvergiert. Beispiel: a) X = R, d(x, y) = x y ist vollständig, vgl. (3.2) a ) X = Q, d(x, y) = x y ist nicht vollständig, denn es gilt Folgen (a i ) rationaler Zahlen die (in R) gegen 2 konvergieren. b) Diskrete Räume sind vollständig. Falls (a i ) Cauchy-Folge in X, gilt für ε > 1 : N N, 2 so dass i, j I mit i N und j N: d(a, a j ) ε d(a 2 i, a j ) = 0, also a i = a j. c) R 2 mit Mannhattan Matrix ist vollständig. Achtung: (X, d) vollständig. Y X Unterraum nicht notwendig vollständig Definition (X, d) metrischer Räume. Eine Teilmenge A X heißt abgeschlossen in X, falls für jede Folge in A, die in X konvergiert, der Grenzwert in A liegt. Beispiel i), X sind immer abgeschlossen 4 getext: Julia Wolters

9 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer ii) u, v R, u < v, A = [u, v] ist abgeschlossen. Dann (a i ) in A i I gilt u a v. Insbesondere gilt für x := lim a, u x v (vgl. Ana I) x A. iii) A = (0, 1) = {x R 0 < x < 1} nicht abgeschlsosen, dann setzte a i = 1 2, I = N. Dann gilt lim a = 0 / A Satz (X, d) metrischer Raum i) Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. ii) Beliebige Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossene. Bemerkung Satz 9.12 falsch für beliebige Vereinigungen. Beispiel Für n N sei A n := [ 1, 1 ] 1 n n, n 2. A2 = { } 1 2, A3 = [ 1, 2 3 3],.... A = A n = (0, 1) nicht abgeschlossen. n Satz Sei (X, d) vollständiger metrischer Raum A X ist abgeschlossen A ist als Teilmenge vollständig. 1 Achtung Beispiel: X = (0, 1) R, d(u, v) = u v A = ( 0, 2] 1 X. Die Teilmenge A ist abgeschlossen in X (aber nicht in R!). Aber: A ist nicht vollständig. a n = 1, n 1 ist Cauchy-Folge in A, hat aber keinen 2 Grenzwert in A. Das ist KEIN Widerspruch zu Satz 9.13! Denn X ist selber gar nicht vollständig. Vollständigkeit ist eine innere Eigenschaft von metrischen Räumen. 1 Umformulierung: Sei (X, d) vollständiger metrischer Raum. Eine Teilmenge A X ist genau dann vollständig, wenn sie abgeschlossen ist in X. getext: Julia Wolters 5

10 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME Abgeschlossenheit ist eine Eigenschaft von Teilmengen eines metrischen Raumes, man muss dazu sagen: abgeschlossen in folgenden Raum Definition Sei V ein reeller Vektorraum (beliebiger, evt. unendlicher Dimension). Eine Norm auf V ist eine Abbildung : V R, v v. Dann soll folgendes gelten: (N1) v 0 für alle v V. v = 0 v = 0 (Nullvektor). (N2) Für alle v V, r R gilt v r = v r. Insbesondere gilt v = v. (N3) Für alle u, v V ist u + v u + v (Dreiecksungleichung) Das Paar (V, ) heißt normierter (Vektor)Raum. Beispiele a) V = R n, v = (v 1,..., v n ) R n, v 1 = n v k. Sogenannte l 1 -Norm auf R n. k=1 b) V = R n, v = = max { v 1,..., v n } ebenfalls Norm. Sogenannte l -Norm oder Supremumsnorm Satz Sei (V, ) ein normierter Vektorraum. Setze d(u, v) = u v. Das ist eine Metrik auf V. Jeder normierte Vektorraum ist also ein metrischer Raum und wir können nun über Konvergenz, Abgeschlossen, Cauchy-Folgen usw. in normierten Räumen sprechen Definition Ein normierter Vektorraum, der vollständig ist, heißt Banachraum 2. 6 getext: Julia Wolters

11 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Beispiel R n mit der l 1 -Norm oder l -Norm ist ein Banachraum. Beweis: Sei (v j ) j J eine Folge von Vektoren, die Cauchy-Folge ist. v k = (v 1,j, v 2,j,..., v n,j ). Es gilt (für beide Normen) v k,l v k,m v l v m v l v m 1 Folglich ist die reelle Folge (v k,j ) j J eine Cauchy-Folge in R. Sei u k R ihr Grenzwert, sei u = (u 1,..., u n ). Beh: Die Folge der (v j ) j J konvergiert gegen u. Es sei ε > 0 gegeben. Wähle n 0 N so, dass v k,j u k ε für alle k = 1,..., n und alle n j n 0. Es folgt v j u 1 ε + ε ε = ε für j n n n n 0, v j u v j u 1 ε für j n 0. Damit sind (R n, 1 ) und (R n, ) Banachräume. 3 Beispiele [a, b] R B([a, b], R) = {f : [a, b] R f beschränkt}. Setze f = sup { f(x) x [a, b]} Supremumsnorm, vlg Analysis I. Das ist eine Norm und (B([a, b], R), ) ist vollständig, vlg. Analysis I. R([a, b], R) = {f : [a, b] R f Regelfunktion}. Nach Satz 5.11 ist (R([a, b], R), ) vollständig. C([a, b], R) = {f : [a, b] R f stetig} ist ebenfalls vollständig, vlg Kapitel 4 Übungsaufgabe Fazit: (B([a, b], R), ), (R([a, b], R), ) und (C([a, b], R), ) sind Banachräume Definition Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung h : V V R, (u, v) h(u, v) heißt bilinear, falls für alle u, v, w V, r R gilt: h(u + v, w) = h(u, w) + h(v, w), h(u, v + w) = h(u, v) + h(u, w) h(u r, v) = h(u, v r) = h(u, v) r h ist Bilinearform. Falls h(u, v) = h(v, u) für alle u, v, so heißt h symmetrische Bilinearform. Falls weiter gilt: h(u, u) 0 für alle u V und h(u, u) = 0 u = 0, dann heißt h inneres Produkt oder Skalarprodukt. 3 Später: R n ist bzgl. jeder Norm vollständig. getext: Julia Wolters 7

12 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME Beispiel V = R n, A = (a i,j ) n i,j 1, n n-matrix, Bilinearform ist genau dann symmetrisch, wenn die Matrix A symmetrisch ist, a ij = a ji für alle i, j, d.h. wenn A T = A. Beispiel 1 0 Die Einheitsmatrix E =... = A 0 1 n u i a ij v j = n u i v i Standardskalarprodukt auf R n i,j=1 i=1 h(u, u) = n u 2 i 0, i=1 n u 2 i = 0 genau dann, wenn alle u i = 0. Skalarprodukt. i= Definition und Satz Sei V ein reeller Vektorraum, sei h ein inneres Produkt / Skalarprodukt. Setze u = h(u, u). Behauptung Das ist eine Norm auf V. Das Paar (V, h) heißt Prä-Hilbert-Raum 4 Warum ist das eine Norm? u 0 und u = 0 genau dann, wenn u = 0. ( ) u r = h(u r, u r) = h(u, u)r 2 = h(u, u) r = u r. ( ) Fehlt noch die Dreieckungleichung. Dazu benötige wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung Satz (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) Sei h ein inneres Produkt auf V. Dann gilt für alle u, v V h(u, v) h(u, u) h(v, v) 8 getext: Julia Wolters

13 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Beweis, dass u = h(u, u) die Dreiecksungleichung erfüllt u + v 2 = h(u + v, u + v) = u 2 + v 2 + 2h(u, v) Beispiel Cauchy Schwarz Ungleichung u 2 + v u v = ( u + v ) 2 R n, h(u, v) = n u i v i (Standard-Skalarprodukt) i=1 u + v u + v Die zugehörige Norm ist eine l 2 -Norm, die euklidsche Norm u 2 = n Man nennt (R n, 2 ) einen (den) euklidschen Vektorraum. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für den R n besagt ( n ) 2 ( n u i v i i=1 Klassische Formulierung: Es gilt im R n i=1 i=1 u 2 i u 2 i ) ( n i=1 v 2 i ) u 1 u 2 u 1 n u 1 Folgerung: Alle drei Normen liefern den selben Begriff von Konvergenz, Abgeschlossenheit, Cauchy-Folgen, etc. Insbesondere ist der R n bzgl. aller drei Normen vollständig Definition Ein Vektorraum mit innerem Produkt, der vollständig ist in der zugehörigen Norm heißt Hilbert-Raum. Beispiel R n ist Hilbert-Raum mit dem Standard-Skalarprodukt. Hilbert-Räume sind also spezielle Banach-Räume. getext: Julia Wolters 9

14 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME Beispiel (R n, 1 ) Banach-Raum, aber kein Hilbert-Raum (es gibt keine Bilinearform zur 1 - Norm) Beispiel (Der Hilbert-Raum l 2 (R)) l 2 (R) ist die Menge aller reellen Folgen (a n ) n N, a n R mit der Eigenschaft Satz n a 2 n < i=0 l 2 (R) ist ein Hilbert-Raum mit innerem Produkt h(a, b) = a i b i mit a i = (a i ) i N, b = (b i ) i N. Beispiel l 2 (R), Folgen (a n ) R, h(a, b) = a n b n. Wir hatten gezeigt, l 2 (R) ist ein Vektorraum. n=0 Bleibt zu zeige l 2 (R) ist vollständig. Angenommen (a j ) j J ist eine Cauchy-Folge in l 2 (R). Jedoch ist eine reelle Folge (a k,j ) k N. Für jedes k N gilt (a k,l a 2 k,m a l a m 2 2) Folglich ist für jedes k N die Folge (a k,j ) j J eine Cauchy-Folge. Sei also b k = lim j J a k,j. Sei ε > 0 geben, sei n 0 N, so dass i=1 Grenzumgebung n k=0 a l a n 2 2 ε2 l, m n 0 a k,l a n,m 2 < ε l, m n 0 n b k a n,m 2 ε l, m n 0 k=0 dabei ist n beliebig. Nun lassen wir n laufen. Es folgt b k a k,m 2 ε m n 0 k=0 Insbesondere ist also b = (b k ) k N l 2 (R) und die Folge (a j ) j J konvergent gegen b. 10 getext: Julia Wolters

15 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Bemerkung Nicht jede Norm kommt von einem inneren Produkt. Das kann man so sehen: u 2 = h(u, u), so folgt: h(u + v, u + v) = h(u, u) + h(v, v) +2h(u, v) }{{}}{{}}{{} u+v 2 u 2 v 2 = h(u, v) = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2 ) d.h. aus der Norm kann man h gewinnen. Aber wenn man rechts zum Beispiel die l 1 -Norm auf R 2 einsetzt, so ist die linke Seite keine Bilinearform. getext: Julia Wolters 11

16

17 10. Stetigkeit Wir übertragen den Stetigkeitsbegriff für reelle Funktionen auf metrische Räume Definition (Stetigkeit) Seien (X, d x ), (Y, d y ) metrische Räume, f : X Y eine Abbildung. Wir sagen f ist stetig im Punkt x X genau dann, falls für jede Folge (x j ) j J in X mit Grenzwert lim j J x j = 0 gilt lim j J f(x j ) = f(x) = f(lim j J x j ) f vertauscht mit Grenzwertbildung Wenn f in jedem Punkt x X stetig ist, dann heißt f stetig. Wir setzen C(X, Y ) = {f : X Y f ist stetig} Beispiele 1. X R, Y = R mit Standartmetrik auf R. f : X Y ist stetige Funktion Stetigkeit im Sinne von Analysis I. 2. Sei (V, ) ein normierter Vektorraum. : V R ist stetig. lim j Ju j = u u = u u j + u j u u j + u j u j = u j u + u u j u + u u j = u j u + u u j u u u u j u u j }{{} 0 nach V orraussetzung 3. Sei (X, d) ein metrischer Raum, p X, f(x) = d(p, x), f : X R ist stetig. 13

18 KAPITEL 10. STETIGKEIT Definition (Lipschitz-Stetigkeit) Seien (X, d x ), (Y, d y ) metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt Lipschitz- Stetig wenn gilt: L 0 : u, v X : d x (f(u), f(u)) L d x (u, v) Satz Seien X, Y, Z metrische Räume. Sei f : X Y und g : Y Z stetig. Dann ist g f stetig Beobachtung Ist X metrischer Raum, so bildet C(X, R) = {f : X R f stetig} einen reellen Vektorraum und einen Ring (eine reelle Algebra, vgl Beobachtung 4.3) f + g : x f(x) + g(x) f, g C(X, R), v R f r : x f(x) r sind stetig (10.1) f g : x f(x) g(x) Satz (ε δ-kriterium der Stetigkeit) Seien X, Y metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. Dann ist f stetig im Punkt x X, wenn gilt forallε > 0 δ > 0, so dassd X (x, u) δ d Y (f(x), f(u)) ε Beispiele X = Y = R, f(x) = x 2 ist stetig, aber nicht L-Stetig für ein L 0 (x + 1) 2 x 2 = 2x + 1 L(x + 1 x) = L 1. X = R n mit l 1 -, l 2 - oder l -Norm. Sei (t 1,..., t n ) R n, sei f(v) = n f k v k, (f : k=1 14 getext: Julia Wolters

19 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer X R Linearform ) a) In der l 2 -Norm: f(u) f(v) = = n (u k v k )t k k=1 n (u k v k ).t k k=1 n (u k v k ) t k k=1 f(u) f(v) u v 2 t 2 (CSU) b) In der l 1 -Norm: f(u) f(v) u v 1 t c) In der l -Norm In allen Normen ist f Lipschitzstetig. 2. X = C([a, b], ), ϕ : X R ϕ(f) = ϕ(f) ϕ(g) = n a f(u) f(v) u v t 1 (f(x) g(x))dx b a b a f(x)dx = also ist ϕ eine (b a)-l-stetige Abbildung. 3. X = Y = C([a, b], R) mit der -Norm. ψ(f) := x x a f(t)dt ψ(f)(x) ψ(g)(x) = x a f(x) g(x) dx b f(t) g(t)dt (x a) f g ψ(f) ψ(g) (b a) f g_ Also sind auch diese Abbildungen (b a)-l-stetig. Beachte: f und ψ sind lineare Abbildungen! a f g dx = f g (b a) getext: Julia Wolters 15

20 KAPITEL 10. STETIGKEIT Satz Es seien (V, V ) und (W, W ) normierte Vektorräume. Sei f : V W linear. Dann sind äquivalent: i) f ist stetig. ii) f ist L-Lipschitzstetig für ein L 0 iii) Es gibt L 0, so dass für alle v V gilt f(v) W L v V Satz und Definition Sei f : V W stetige lineare Abbildung zwischen zwei normierten Vektorräumen. Definiere f := sup{ f(v) W v V, v 1} (Nach Satz (10.8) wohldefiniert, denn falls v 1 f(v) L v L) heißt Operatornorm. Dann gilt v V : f(v) W f v V. L(V, W ) = {f : V W f : V W linear und stetig} Operatornorm f = sup { f(w) W v V, v V 1} Beispiel V = R n, W = R, f(v) = n t i v i i=1 L(R n, R) = R n. Wie sieht die Operatornorm { aus? } n (R n, 1 ), f = sup t i v i v v n n i=1 n t i v i t v i 1 f t. i=1 = t, dann Andere Abschätzung: Sei t 1 = t, v = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) f(v) = t 1 = t und V 1 = 1 f f, also f = t. (R n, ) Operatornorm von f ist f = t 1. (R n, 1 ) Operatornorm von f ist f = t 2. n t i v i i= Satz Seien (V, V ) und (W, W ) normierte Räume. Wenn W vollständig ist, dann ist L(V, W ) vollständig bzgl. der Operatornorm. 16 getext: Julia Wolters

21 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Korollar (Spezialfall W = R) Der Raum L(V, R) der stetigen Linearformen auf V (stetiger Dualraum von V ) ist immer vollständig, wenn V ein normierter Vektorraum ist Beispiel Eine unvollständige lineare Abbildung, V = {f : [0, 1] R f ist Polynomfunktion} mit -Norm. Betrachte D : V D, f f. Diese Abbildung ist linear und unstetig. Betrachte f n (x) = x n f = 1. D(f) = f = n x n 1 n f n 1. D(f n ) = n. Also kann es kein L 0 geben mit D(f n ) L f n = L D ist unstetig bzgl. -Norm Drei Lammata Lemma A Sei (V, V ) normierter Vektorraum, sei f : R n C linear. Dann ist f stetig bzgl. der 1 -Norm auf R n. Lemma B Sei eine beliebige Norm auf R n. Dann gibt es r > 0, so dass gilt: für alle v R n mit v 1 = 1 gilt v r. Lemma C Sei eine beliebige Norm auf R n. Dann ist (R n, ) id (R n, 1 ) stetig Theorem ( Hauptsatz über endlichdimensionale normierte Räume ) Seien (V, V ) und (W, W ) zwei normierte Vektorräume. Sei f : V W linear. Falls V endliche Dimension hat, dann ist f automatisch stetig. Insbesondere sind alle linearen Abbildungen zwischen endlich dimensionalen normierten Vektorräumen stetig. getext: Julia Wolters 17

22 Definition und Satz KAPITEL 10. STETIGKEIT Sei V ein Vektorraum mit zwei Normen a und b. Die Normen heißen äquivalent, wenn es Konstruktoren r, s > 0 gibt, so dass für alle v V gilt v a v b r und v b v a s Beispiel Wir haben im BSP (9.20) in R n gezeigt, u 1 u 2 u 1 n u 1 Diese drei Normen auf R n sind paarweise äquivalent. Satz Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen auf V äquivalent. Folgerung Alle Normen auf R n liefern den gleichen Konvergenzbegriff, die gleichen Cauchy-Folgen etc. Insbesondere ist jeder endlicher dimensionaler Vektorraum vollständig, d.h. ein Banachraum ist Definition Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wenn jede Folge in X eine konvergente Teilfolge hat, so heißt X konvergent (oder: X hat die Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft). Beispiel Sei X = [a, b] R, d(u, v) = u v. Nach 2.21 ist also [a, b] kompakt. X = [0, 1] Q, d(u, v) = u v. Ist nicht kompakt. Z.B. giibt es eine Folge in X, die gegen 1 konvergiert und 1 / X 2 2 X = R, d(u, v) = u v ist nicht kompakt. Z.B. (x n ) n N, x n = n. Jede Teilfolge (x j ) j J ist unbeschränkt, denn jede unendliche Teilmenge J N ist unbeschränkt. Also kann keine Teilfolge dieser Folgen konvergieren. 18 getext: Julia Wolters

23 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Satz Sei (X, d) metrischer Raum, sei A X Teilmenge. Wenn (A, d) kompakt ist, dann ist A abgeschlossen in X und vollständig. Insbesondere ist jeder kompakt metrische Raum vollständig Satz Seien X, Y metrische Räume, sei f : X Y stetig. Wenn A X eine kompakte Teilmengt ist, dann ist f(a) komapakt Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt Satz (Bolzano-Weierstraß in mehreren Variablen) Sei V ein endlich dimensionaler normierter Vektorraum. Dann ist A V kompakt, genau dann wenn A abgeschlossen in V ist und beschränkt (A ist beschränkt, falls es R > 0 gibt, mit B R (0) A) Korollar Sei (X, d) metrischer Raum, A X sei kompakt, f : X R sei stetig. Dann nimmt f auf A ein Minimum und ein Maximum an, dh. es gibt a, b A, so dass für alle c A gilt f(a) f(c) f(b). Beispiele für kompakte Mengen in R n Die (n 1)-Späre $ n 1 = {x R n x 2 = 1} $ 0 = {±1} R $ 1 = {(x, y) x 2 + y 2 = 1} $ 2 = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = 1} Die Sphären $ n sind alle kompakt, weil abgeschlossen und beschränkt im R m+1. 1 Umformulierung: Sei V eindlich dimensionaler Vektorraum. Dann ist A V genau dann kompakt, wenn A abgeschlossen und beschränkt. getext: Julia Wolters 19

24 KAPITEL 10. STETIGKEIT D n = {x R n x 2 1} n-dimensionale Vollkugel (n-ball oder n-scheibe) allgemeiner: v R n, r > 0. Vollkugel vom Radius r mit Mittelpunkt v. B r (v) = {w R n v w 2 r} Sind das ebenfalls kompakte Mengen? Der n-würfel I n = {x R n 0 x i 1, i = 1,..., n} ist ebenfalls kompakt. Nicht kompakt in R n : z.b. ist jeder Untervektorraum V R n mit v {0} nicht kompakt. Denn: wähle v V, v 0, die Menge {v, 2v, 3v,...} ist unbeschränkt. Fazit: lineare Abbildungen zwischen endlich dimensionalen normierten Vektorräumen sind immer stetig. stetige lineare Abbildungen sind sogar Lipschitz-stetig. Auf R n sind alle Normen äquivalent, alle liefern den gleichen Konvergenzbegriff. abschlossen und beschränkte Mengen im R n haben die Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft. Im unendlich Dimensionalen gilt dies nicht Definition und Satz Sei X eine Menge, f : X X. Ein Punkt x X heißt Fixpunkt von f, wenn gilt f(x) = x. Viele Gleichungen lassen sich als Fixpunktgleichungen umschreiben. Man interessiert sich dann für die Existenz, Eindeutigkeit und die Berechnung von Fixpunkten. Beispiel (Brouwers-Fixpunktsatz) Ist f : D m D m stetig, dann hat f mindestens einen Fixpunkt. Spezialfall m = 1: f : [ 1, 1] [ 1, 1]. Zwischenwertsatz liefert einen Punkt x [ 1, 1] mit f(x)x. Beispiel X = R f(x) = x 2, zwei Fixpunkte: 0,1 g(x) = x + 1 hat keinen Fixpunkt 20 getext: Julia Wolters

25 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Satz (Banachs Fixpunktsatz) Sei (X, d) vollständiger metrischer Raum, sei f : X X Lipschitz-Stetig mit L < 1 (dh. für alle u, v X gilt d(f(u), f(v)) L d(u, v)). Dann hat f genau einen Fixpunkt. Bemerkung Der Beweis liefert einen Algorithmus, den Fixpunkt näherungsweise zu berechnen, mit Kontrolle über den Fehler. Wähle x 0 X, iteriere f(x n ) = x n+1. Diese Folge konvergiert gegen den Fixpunkt x und es gilt d(x n, x) L n R 1. Dabei ist L die Lipschitz-Konstante 1 L und R = d(x 0, f(x 0 )). (Gegen-)Beispiele: X = R f(x) = x 2 ist nicht Lipschitz-stetig. g(x) = x + 1 ist 1-Lipschitz-stetig g(u) g(v) = (u + 1) (v + 1) = u v, aber nicht L-Lipschitz-stetig für ein L < 1 getext: Julia Wolters 21

26

27 11. Offene Mengen und Kurven Ein offenes Intervall (a, b) R hat folgende Eigenschaft: für jedes x (a, b) gibt es ein ε > 0, so dass (x ε, x + ε) (a, b) Definition Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Menge U X heißt offen in X, wenn folgendes gilt: Bemerkung x U ε > 0 : B ε (x) = {y X d(x, y) < ε} U Die leere Menge ist offen (in X)! X ist offen in X. Es gibt die Menge, die in X sowohl offen, als auch abgeschlossen sind (so genannte abgeschloffene Mengen ) Es gibt Mengen in X, die weder offen noch abgeschlossen sind! z.b. Q R ist nicht offen oder abgeschlossen Satz über offene und abgeschlossene Mengen Sei X metrischer Raum, sei U X Teilmenge. Dann sind äquivalent (i) U X ist offen in X (ii) X \ U = {x X x / U} ist abgeschlossen in X Beispiel Q R ist weder abgeschlossen noch offen. (X, d) metrischer Raum. Dann sind die Teilmengen, X offen in X. B r (x) = {y X d(x, y) < r} ist stets offen in X. X = [0, 1] [2, 3]. X ist abgeschlossen in R. A = [0, 1] X und U = x \ A = [2, 3] sind abgeschlossen in R und in X. Folgerung: In X sind A und U abgeschloffen. Vorsicht: [2, 3] ist offen in X = [0, 1] [2, 3], aber nicht in R. 23

28 11.4. Satz KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN Sei (X, d) metrischer Raum. Dann sind beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte von offenen Mengen in X wieder offen in X Satz Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume und sei f : X Y eine Abbildung. Dann sind äquivalent: i) f ist stetig. ii) Für jede abgeschlossene Menge A Y ist f 1 (A) X abgeschlossen. iii) Für jede offene Menge U Y ist f 1 (U) X offen Definition und Satz Sei (X, d) ein metrischer Raum, sei Z X beliebige Teilmenge. Der Abschluss von Z in X ist Z = {A X A abgeschlossen in X und A Z} Diese Menge Z enthält Z, Z Z und ist nach (9.12) abgeschlossen in X. Ist A X abgeschlossene Menge und gilt Z A, so folgt Z A, dh. Z ist die kleinste abgeschlossene Menge in X, die Z enthält. Beispiele =, X = X, allgemein: wenn A X abgeschlossen ist, dann gilt A = A. X = R, Z = Q Z = Q = R (weil jede reelle Zahl Grenzwert einer Folge in Q ist). X = R, Z = (0, 1) ÜA Z = [0, 1]. Satz Der Abschluss von Z in X besteht genau aus allen Grenzwerten von Folgen in Z, die (in X) konvergieren. 24 getext: Julia Wolters

29 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Satz Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume, f : X Y eine Abbildung. Dann sind äquivalent: (i) f ist stetig. (ii) Für jede Teilmenge S X gilt f(s) f(s) Definition Eine Teilmente I R heißt offenes Intervall, wenn sie von der Form I = (a, b) = {x R a < x < b} I = (a, ) = {x R a < x} I = (, a) = {x R x < a} I = (, ) = R ist. In den letzten beiden Fällen spricht man manchmal von unendlihen Intervallen. Wenn I von der Form I = [a, b] = {x R a x b} I = [a, ) = {x R a x} I = (, a] = {x R x a} I = (, ) = R ist, heißt I abgeschlossenes Intervall Offene / abgeschlossene Intervalle sind offen / abgeschlossen in R im Sinn der Definition aus Kapitel 9 und 11. Sei X ein metrischer Raum. Eine (stetige) Kurve in X ist eine stetige Abbildung c : I X, wobei I R ein offenes oder abgeschlossenes Intervall ist. Beispiel a) I = R, c : I R stetige reelle Funktion. b) X = V normierter Vektorraum, z.b. X = R 2 mit 2 -Norm. Seien u, v V. c(t) = v t + u(1 t), t I = R, c(0) = u, c(1) = v. c(t) liegt auf der affinen Geraden durch u und v. getext: Julia Wolters 25

30 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN u c(t) v Abbildung 11.1.: Beispiel c) f : I R stetige Abbildung, c(t) = (t, f(t)) R 2 = X. Anschauliche Vorstellung: ein Punkt wandert - abhängig von der Zeit t - duch den Raum X zum Zeitpunkt t befindet der Punkt sich bei c(t) X. Was ist die normierte Geschwindigkeit von c? Idee: t 0 I fester Zeitpunkt. Vergeleicht c(t 0 +h) mit c(t 0 ) für h klein. Wir interessieren uns für 1 h (c(t 0 + h) c(t 0 )) betrachte Übergang h 0. Damit diese Formel sinnvoll wird, nehmen wir an, dass X ein normierter Vektorraum ist Definition Sei V ein normierter Vektorraum, sei I R offenes Intervall, sei c : I V eine Kurve. Sei t 0 I. Wir sagen c ist differenzierbar in t = t 0 wenn gilt: es gibt eine stetige Funktion p : ( ε, ε) V mit p(h) = 1 h (c(t 0 + h) c(t 0 )) h 0 Dabei ist ε > 0 so gewällt, dass (t 0 ε, t 0 + ε) I. Die Ableitung oder Geschwindigkeitsvektor in t 0 ist dann p(0) = lim h (c(t 0 + h) c(t 0 )). Diese Schreibweise bedeutet: für jede Nullfolge 1 (h j ) j J, h j 0, gilt lim j J h j (c(t 0 + h j ) c(t 0 )) = p(0). Man sieht dann c(t 0 ) = p(0) = 1 lim (c(t h 0 h 0 + h) c(t 0 )). Das ist wieder ein Vektor, c(t 0 ) V, der Geschwindigkeitsvektor oder Tangentialvektor der Kurve c zum Zeitpunkt t 0. Wenn c in jedem t 0 I differentierbar ist, heißt c differenzierbare Kurve. Wenn die Kurve c : t c(t) stetig ist, heißt c stetig differenzierbare Kurve oder C 1 -Kurve. h getext: Julia Wolters

31 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Beispiel Wie vorher u, v V, c(t) = v t + u (1 t). c(t 0 + h) c(t 0 ) = v ( t 0 + h t 0 ) + u( 1 t 0 h 1 + t 0 ) = (v u) h p(h) = v u = const ist stetig in h = 0. Diese Kurve ist C 1 -Kurve, c(t 0 ) = v u für alle t 0 I. Die Geschwindkeit ist konstant Satz Ist V = R n (mit beliebiger Norm), c : I R n Kurve, c(t) = (c 1 (t, c 2 (t),..., c n (t)), dann ist c differenzierbar 1 in t 0 genau dann, wenn die n reellen Funktionen c 1,..., c n es sind. Für die Geschwindkeit gilt dann Beispiel c(t 0 ) = (c 1(t 0 ),..., c n(t 0 )) V = R 3, I = R, c(t) = (cos(t), sin(t), t). Geschwindigkeit Geschwindigkeit : ZweiteAbleitung : c(t) = ( sin(t), cos(t), 1) c = ( cos(t), sin(t), 0) Die zweite Ableitung einer (zweimal differenzierbaren) Kurve ist die Beschleunigung (momentane Änderung der Geschwindigkeit) Rechenregeln für Kurven und ihre Ableitungen (i) Sind c, d : I V differenzierbare Kurven, so ist c+d : t c(t)+d(t) differenzierbar mit c + d = c + d. (ii) Sind c : I V differenzierbare Kurve, f : I R differenzierbare Funktion, so ist c f : t c(t) f(t) differenzierbar und c f = cf + cf (iii) Sind I 1, I 2 offene Intervalle, f : I 1 I 2 differenzierbare Funktion, c : I V differenzierbare Kurve, so ist c f : t c(f(t)) differenzierbar und c f = ( c f)+f. Beachte den Unterschied zwischen (ii) und (iii). (iv) Ist c : I V differenzierbare Kurve, f : V W linear und stetig, so ist f c : t f(c(t)) differenzierbar mit c f = f c. 1 oft auch nur diff bar 2 Die Größe von c ist ein Maß der Krümmung der Kurve. Genauer der Anteil von c senkrecht zu c ist die Krümmung. getext: Julia Wolters 27

32 Definition KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN Ist c : [a, b] C stetige Kurve und sei c auf (a, b) differenzierbar. Wir sagen, c ist auf [a, b] differenzierbar, wenn es ε > 0 gibt und wenn sich c auf das offene Intervall (a ε, b + ε) differenzierbar fortsetzen lässt Definition Sei c : [a, b] V stetig differenzierbar. Die Länge der Kurve c ist L(c) = b a c(t) dt Physikalische Interpretation Wir integrieren die Geschwindigkeit über dem Zeitraum der Bewegung auf und erhalten so die zurückgelegte Strecke. Beispiel u, v V fest gewählt, c(t) = v(1 t) + u(t), c(t) = u v 1 0 c(t) dt = Das ist genau der Abstand von u und v. 1 0 u v dt = u v Satz (Umprarametrisierung von Kurven) Sei c : [a, b] V stetig differenzierbare Kurve. Sei f : [a, b] [a, b] bijektiv, monoton steigend und stetig differenzierbar. Erinnerung an die Analysis 1 L(c) = L(c f) f : (a, b) R differenzierbar in t (a, b). Bedeutet: es gibt eine stetige Funktion p : ( ε, ε) R mit p(h) = (f(t + h) f(t)) 1 h (11.1) 28 getext: Julia Wolters

33 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Für h = 0 und p(0) liefert genau die Ableitung f (t) = p(0) = lim h 0 (f(t + h) f(t)) 1 h. Wir schreiben (11.1) um: p(h) h = f(t + h) f(t) (p(h) p(0)) h + f (t)h = f(t + h) f(t) λ(h) h + f (t)h = f(t + h) f(t) { p(h) p(0) falls h 0 λ(0) = 0 und λ(h) = (p(h) p(0)) falls h < 0 λ ist stetig auf ( ε, ε) Definition Sei (V, ) ein normierter Vektorraum und sei U V offen. Sei f : U R stetig. Sei u U. Wähle ε > 0 so, dass B ε U. Wir sagen, f ist differenzierbar in u, wenn gilt: f(t + h) f(t) = λ(h) h + g(h) Dabei soll g : V R linear und stetig sein, λ : B ε (0) R sei stetig und λ(0) = 0. Interpretation der Gleichung g ist lineare Approximation für die Differenz f(t + h) f(t). Lemma Die Bedingungen liegen die lineare Abbildung g eindeutig fest. Wir schreiben g = df(u) : V R und nennen df(u) die Ableitung oder das Differential von f im Punkt u. Erinnerung L(V, R) = {g : V R g linear und stetig } ist der Dualraum von V, L(V, R) = V. Also ist df(u) ein Element von V. Wenn f in jedem Punkt u U differenzierbar ist, heißt f differenzierbar auf U. Dann ist u df(u) eine Abbildung U V. Falls diese Abbildung stetig ist, heißt f stetig differenzierbar auf U. Erinnerung Die Norm auf V ist die Operatornorm df(u) = sup { df(u)(v) v V, v 1}. Es gilt df(u)(v) df(u) v. getext: Julia Wolters 29

34 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN Beispiel V = R, U = (a, b) offenes Intervall, f : (a, b) R, t (a, b) Ableitung f (t) ist relle Zahl. Die zugehörige lineare Abbildung ist df(t)(v) = f (t) v, v R d.h. df(t) = [v f (t)v] Satz Sei V normierter Vektorraum, U V offen, sei f : U R (stetig) differenzierbar. Sei c : (a, b) U V eine (stetig) differenzierbare Kurve. Dann ist f c : (a, b) R (stetig) differenzierbar und (f c) (t) = df(c(t))( c(t)) Wichtige Spezialfälle dieser Rechnung c(t) = u + v t, u U V, v V, c(0) = v Ist f : U R (stetig) differenzierbar, ergibt sich (f c) (0) = df(u)(v) = D v f(u) Richtungsableitung von f in Richtung v (am Punkt u U). D v f(u) = lim t f(u + vt) f(u) t Noch spezieller: V = R n mit Standard-Basis e 1,..., e n, e k = (0,..., 0, 1, 0,... 0) k te Stelle df(u)(e k ) = D ek f(u) = f x k (u) k te partielle Ableitung von f = lim t 0 f(u + e k t) f(u) t Beispiel V = U = R 3, u = (u 1, u 2, u 3 ), f(u) = u 2 1 u 1 u 2 + u 2 3 f(u + h) f(u) = (u 1 + h 1 ) 2 u 2 1 (u 1 + h 1 )(u 2 + h 2 ) + u 1 u 2 + (u 3 + h 3 ) 2 u 2 3 = 2u 1 h 1 + h 2 1 u 2 h 1 u 1 h 2 h 1 h 2 + 2u 3 + h 2 3 = 2u 1 h 1 u 2 h 1 u 1 h 2 + 2u 3 h }{{} 1 + h 2 1 h 1 h 2 + h 2 3 }{{} df(u)(h) λ(h) h 30 getext: Julia Wolters

35 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Problem mit dem hinteren Term! Wenn das richtig ist, erhalten wir Satz f (u) x 1 = 2u 1 u 2 f (u) x 2 = u 1 f (u) x 3 = 2u 3 Sei V ein normierter Vektorraum, sei U V offen. Sei C 1 (U, R) = {f : U R f ist stetig differenzierbar } Dann ist C 1 (U, R) ein Vektorraum und Ring. Dabei gilt für f, g C 1 (U, R) und r R d(f + g)(u) = df(u) + dg(u) d(r f)(u) = r df(u) d(f g)(u) = f(u) dg(u) + g(u) df(u) Definition und Lemma Ist V ein normierter Vektorraum, α : V R linear un dstetig. Dann ist α stetig differenzierbar mit dα(u)(v) = α(v) u, v V Im R n = V stetze x k (u) = u k, u = (u 1,..., u n ) R n für k = 1,..., n. Damit ist x k : R n R linear. Man nennt die x k Koordinatenfunktion. Ihre Differentiale sind also die Ableitungen dx k (u)(v) = v k v = (v 1,..., v n ) Lemma Ist U R n offen, f C 1 (U, R), so gilt df(u) = f x 1 (u)dx 1 + f x 2 (u)dx f x n (u)dx n getext: Julia Wolters 31

36 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN Beispiel Jetzt rechnen wir Beispiel (11.17) nochmal. f : R n R; f(u) = f(u 1, u 2, u 3 ) = u 2 1 u 1 u 2 + u 2 3 f(u) = x 1 (u) 2 x 1 (u)x 2 (u) + x 3 (u) 2 = df(u) = 2x 1 (u)dx 1 x 1 (u)dx 2 x 2 (u)dx 2 + 2x 3 (u)dx 3 Weiter folgt aus dem Lemma: = 2u 1 dx 1 u 1 dx 2 u 2 dx 1 + 2u 3 dx 3 f (u) x 1 = 2u 1 u 2 f (u) x 2 = u 1 f (u) x n = 2u Definition (Gradient einer reellen Funktion) Ist U R n offen und f : U R (stetig) differenzierbar, so heißt der Vektor der Gradient von f in U. f(u) = ( f x 1 )(u),..., f x n (u)) Zum Beispiel f(u) = u 2 1 u 1 u 2 + u 2 3 Erinnerung f(n) = (2u 1 u 2, u 1, 2u 3 ) Auf R n ist u, v = u 1 v u n v n, u, v R n das Standardskalarprodukt. Damit gilt: df(u)(v) = < f, v > df(u)(v) = f f (u) dx 1 (v) + + (u) dx x 1 }{{} n (v) x n }{{} = f(u), v =v 1 v n 32 getext: Julia Wolters

37 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Abbildung 11.2.: Die Niveaulinen Beispiel V = U = R 2 f(u 1, u 2 ) = cos(u u 2 2) Die Kettenregel gilt (nächstes Kapitel). U V offen, f : U R differenzierbar. Ist nun g : R R auch differenzierbar, so gilt Für f(u 1, u 2 ) = cos(u 2 1, u 2 2) erhalten wir d(g f)(u) = g f((u))df(u) df(u 1, u 2 ) = sin(u u 2 2)(2u 1 dx 1 + 2u 2 dx Theorem Sei U R n offen, f : U R stetig. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent: (i) f ist stetig differenzierbar. (ii) u U f (u) := lim t 0 f(u+e k t) f(u) t x k sind stetig auf U. Wenn (i) oder (ii) gilt, ist df(u) = n Definition k=1 f x k (u)dx k k = 1,..., n und diese n Funktionen f x k getext: Julia Wolters 33

38 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN Sei X ein metrischer Raum, f : X R eine reelle Funktion. Wir sagen, f hat ein Maximum (bzw. Minimum), im Punkt x X, falls f(y) f(x) (bzw f(y) f(x)) y X gilt. Ist f(y) < f(x) (bzw f(y) > f(x)) y x, so hatf in x ein striktes Maximum (bzw. Minimum). Wenn f in x ein Maximum (bzw. Minimum) auf B ε (x) hat, für ε > 0, so spricht man von einem lokalen Maximum (bzw. Minimum) Satz Sei V ein normierter Vektorraum, U V offen und f : U R stetig differenzierbar. Wenn f in u ein (lokales) Extremum hat, dann gilt df(u) = Beispiele a) U = V = R 2, f(u 1, u 2 ) = u u 2 2 Partielle Ableitungen: f C 1 f (u) x 1 = 2u 1 f (u) x 2 = 2u 2 df(u) = 2u 1 dx 1 2u 2 dx 2 df(u) = 0 u 1 = u 2 b) U = V = R 2, f(u 1, u 2 ) = cos(u u 2 2) (Abbildungen 11.2) 34 getext: Julia Wolters

39 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer f (u) x 1 = sin(u u 2 2)2u 1 f (u) x 2 = sin(u u 2 2)2u 2 df(u) = 2 sin(u u 2 2)(u 1 dx 1 + u 2 dx 2 ) df(u) = 0 u u 2 2 = k π, k Z Diese Punkte bilden konzentrische Kreise um (0, 0) mit Radius r = kπ, k N Ein Punkt u U heißt kritischer Punkt der differenzierbaren Funktion f, falls gilt df(u) = 0. c) U = V = R 2, f(u 1, u 2 ) = u 2 1 u 2 2 df(u) = 2u 1 dx 1 2u 2 dx 2 kritischer Punkt in (0, 0) f(0, 0) = 0 f(ε, 0) = ε 2 > 0 f(0, ε) = ε 2 < 0 f hat in (0, 0) kein lokales Extremum. Fazit Kritische Punkte sind Kandidaten für lokale Extrema. Aus df(u) = 0 folgt noch nicht, dass ein Extremum vorliegt. getext: Julia Wolters 35

40 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN Erinnerung an Analysis I f (t) = 0 f (t) < 0 lokales Maximum liegt vor. Wenn wir das verallgemeinern wollen auf Funktionen f : U R müssen wir vektorwertige Funktionen ableiten können, wie zum Beispiel df : U L(V, R) Was bedeutet dann aber f > 0 oder f < 0? 36 getext: Julia Wolters

41 12. Differentialgleichung in Vektorräumen Definition Seien V, W normierte Vektorräume, U V offen, f : U W stetig. Sei u U. f heißt differenzierbar in U, falls ex ε > 0 gibt mit B ε (u) = U und eine stetige Abbildung λ : B ε (0) w mit λ(0) = 0 und stetige lineare Abbildung g : V W gibt, so dass für alle h B ε V gilt: f(u + h) f(u) = g(h) }{{} linear Approx. + λ(h) h }{{} Fehler g ist hierdurch eindeutig bestimmt. g = Df(u). Falls f in jedem u U differenzierbar istm so heißt f differenzierbar. Das liefert die Abbildung Df : U L(V, W ) L(V, W ) ist normiert (Operatornorm). Falls Df stetig ist, so heißt f stetig differenzierbar Einordnung 1. f : (a, b) R differenzierbar t (a, b) f (t) R; Df : (a, b) L(R, R) = R Df(t)(x) = f (t) x 2. c : (a, b) W Kurve t (a, b), c(t) W, W = R Dc : (a, b) L(R, W ) = W Dc(t) : R W, x x c(t) 3. U V offen, f : U R = W Differential df(u) : V R linear Df(u) = df(u) 37

42 KAPITEL 12. DIFFERENTIALGLEICHUNG IN VEKTORRÄUMEN Beispiel Sei f : V W linear und stetig. für alle u V ist Df(u) = f Beispiel V = W = C([0, 1], R) mit (u V, u = sup{ u(t) : t [0, 1]}), f : V V, f(u) = u 2, f(u)(t) = u(t) u(t), t [0, 1] stetig, denn u 2 = u 2 f(u + h) f(u) { = (u + h) 2 u 2 = 2uh + h 2. 1 h2, h 0 h Sezte λ(h) = 0, sonst stetig. ZZ : λ(h) 0 für h 0. λ(h) = h 2 h Daher f(u + h) f(u) = 2uh + h 2 = Df(u) = V V ; h 2u Satz = h 2uh g(h) linear + λ(h) h Seien V, W normierte Vektorräume. U V offen. Falls f, g : U W differenzierbar in u U und r R, so sind auch (f + g) und (rf) differenzierbar mit D(f + g)(u) = Df(u) + Dg(u) D(rf)(u) = rdf(u) Daher ist C 1 (U, W ) = {f : U W f stetig differenzierbar} ein Vektorraum, Satz Ist U R n offen, f : U R m stetig. Schreibe f(u 1,..., u n ) = (f 1 (u 1,..., u n ),..., f n (u 1,..., u n )). Die Funktion f ist stetig dfiferenzierbar genaz dann, wenn alle Funktionen f k : U R es sind Korollar Ist U R n offen, f : U R m stetig, so ist f genau dann stetig differenzierbar, wenn die Ableitungen f k f k (u + e l t) f k (u) (u) = lim x l t 0 t 38 getext: Julia Wolters

43 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer existieren und stetige Funktionen f k x l bilden, 1 k m, 1 l n Kettenregel Seien X, Y, Z normierte Vektorräume. Sei U X offen, V Y offen und seien f : U V und g : V Z (stetig) differenzierbar. Dann ist g f : U Z (stetig) differenzierbar und es gilt D(g f)(u) = (Dg)(f(u)) Df(u) Höhere Ableitungen Ist U V offen, V, W normierte Vektorräume, f : U W eine stetige differenzierbare Abbildung. Df : U L(V, W ); u Df(u). Ist diese Abbildung ihrerseits wieder differenzierbar, so erhalten wir in u U D(Df)(u) L(V, L(V, W )). Für v, v V erhalten wir einen Vektor w W D(Df)(u)(v)(v ) = w Man schreibt D(Df) =: D 2 f, D(D(Df)) =: D 3 f,... Das sind Abbildungen von U nach L(V, L(V, W )), L(L(V, L(V, W ))) usw. Die k-mal stetig differenzierbare Funktionenen von U nach W bilden einen Vektorraum C k (U, W ). Der Durchschnitt C k (U, W ) = C (U, W ) heißt Raum der glatten Funktionen. k=1 Wir betrachten die 2. Ableitunge D 2 f(u) genauer: Wir können D 2 f(u) als Abbildung V V W betrachten, (v, v ) D 2 f(u)(v)(v ) = w. Diese Abbildung ist linear in v und in v. D 2 f(u) ist eine bilineare Abbildung V V W Beispiel V = W = R, U = (a, b) R, f : U R C 2 -Funktion, 1. Ableitung f (t) R, f (t) R. Für v, v V = R ist Df(t) = [v f (t) v] L(R, R) und D 2 f(t) : R R R [(v, v ) f (t) v v ] L(R, L(R, R)) }{{} bilineare Abbildung Die Hesse-Matrix Sei U R n, f : U R, C 2 -Funktion. ( f f(u) = (u),..., f ) (u) = (g 1,..., g n ) x n x n getext: Julia Wolters 39

44 KAPITEL 12. DIFFERENTIALGLEICHUNG IN VEKTORRÄUMEN Df(u)(v) = D 2 f(u)(v, w) = = n k=1 n k,l=1 n k,l=1 f x k (u)v k v = (v 1,..., v n ) x l f x k (u)v k w l w = (w 1,..., w n ) Die Hesse-Matrix von f ist die n n-matrix 2 f (u) x 1 x 1 Hf(u) =. 2 f (u) x n x 1 Dann gilt D 2 f(u)(v, w) = (w 1,..., w n ) Hf(u) Beispiel a) f(u 1, u 2 ) = u u 2 2 f f f(u) = (2u 1, 2u 2 ), (u) = 2u 1, (u) = 2u 2 x 1 x 2 ( ) 2 0 Hf(u) = f x l x k (u)v k, w l v 1 v n 2 f (u) x 1 x n. 2 f (u) x n x n R. b) f(u 1, u 2 ) = u 2 1 u 2 2 f f f(u) = (2u 1, 2u 2 ), (u) = 2u 1, (u) = 2u 2 x 1 x 2 ( ) 2 0 Hf(u) = 0 2 c) f(u 1, u 2 ) = u u 1 u 2 u 2 2 f(u) = (2u 1 + u 2, 2u 2 + u 1 ) Hf(u) = ( ) getext: Julia Wolters

45 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Lemma Sei r > 0, U := {(u 1, u 2 ) R 2 : u 1 < r und u 2 < r} R 2, f : U R C 2 -Funktion. Dann gilt 2 f (0, 0) = 2 f (0, 0) x 1 x 2 x 2 x Theorem (Satz von Schwarz) Sei V normierter Vektorraum, U V offen, f : U R C 2. Dann gilt für alle u U, v 1, v 2 V : D 2 f(u)(v 1, v 2 ) = D 2 f(u)(v 2, v 1 ). Korollar U R n offen, f : U R C 2 u U ist Hf(u) symmetrisch Anwendung (Potentiale) Falls U R n offen, f : U R C 2, dann f : U R n C 1 Vektorfeld. Umgekehrt: Gegeben g : U R n C 1. Gibt es dann Umkehrfunktion f : U R mit f = g. Beispiel Falls ein f existiert, so gilt f x 1 x 2 (u) = g(u 1, u 2 ) = (u 1, 2u 1 u 2 ) h(u 1, u 2 ) = (u 2 1, 2u 1 u 2 ) 2 f x 2 x 1 (u) g i x j (u) = g j x i (u) Im Beispiel g 1 (u) = 0, g 2 (u) = 2u 2, h 1 = 2u 2, h 2 (u) = 2u 2 x 2 x 1 x 2 x 1 Hier kann es eine Stammfunktion geben Satz f(u 1, u 2 ) = u 1 u 2 2 Sei U R n offen, g : U R n C 1. Ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Stammfunktion f : U R (d.h. f = g) ist das g i (u) = g j (u) für alle u U und x j x i i j, i, j n. getext: Julia Wolters 41

46 KAPITEL 12. DIFFERENTIALGLEICHUNG IN VEKTORRÄUMEN Bemerkung Ob die Bedingung hinreichend ist hängend von der Gestalt von U ab. Für U = B r (u 0 ). Zum Beispiel ist die Bedingung hinreichend. Bemerkung In R 3 definiere für C 1 -Funktion g : R 3 R 3 die Rotation g 3 g 2 x 2 x 3 g 1 rot(g) = g 3 ( rot(g) = xg ) x 3 x 1 g 2 g 1 x 1 x 2 Die notwendige Bedingung lautet dann: g = f rot(g) = 0 Das führt in der sogenannten klassischen Vektoranalysis. Der moderne Blickwinkel ist es, sogenannte Differentialformen zu Betrachten Analysis IV. 42 getext: Julia Wolters

47 13. Lokale Extrema reeller Funktionen Lemma Sei r > 0, ϕ : ( r, r) R C 2. Dann ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ (0)t + t 0 ϕ (s)(t s)ds Korollar Falls ϕ (0) = 0 und ϕ (0) < 0, so hat ϕ in t = 0 ein lokales Maximum Korollar Falls ϕ in t = 0 ein Maximum hat, so folgt ϕ (0) = 0 und ϕ(0) 0. (Denn, falls ϕ (0) > läge ein Minimum vor.) Satz Sei V normierter Vektorraum. U V offen, f : U R C 2 -Funktion, die im Punkt u U ein lokales Maximum (bzw. Minimum) hat. Dann gilt df(u) = 0 und für alle v V D 2 f(u)(v, v) 0 (bzw 0) Beispiel ( ) 2 0 f : R 2 R 2, f(u 1, u 2 ) = u 2 1 u 2 2. Hf(u) =, u R u = (0, 0) ist der einzige kritische Punkt. Nach Satz 13.2 kein Extrempunkt, denn Hf(0)(e 1, e 2 ) = 2 > 0 und Hf(0)(e 2, e 2 ) = 2 < 0. 43

48 KAPITEL 13. LOKALE EXTREMA REELLER FUNKTIONEN Satz V normierter Vektorraum, U V offen, f : U R C 2 -Funktion, u U kritischer Punkt, d.h. df(u) = 0. Wenn es ein δ > 0 gibt, so dass D 2 f(u)(v, v) δ, v V mit v = 1, dann hat f in u ein lokales Maximum Lemma Ist V endlich dimensionaler normierter Vektorraum f : U R C 2 (U V offen) und gilt für ein u U D 2 f(u)(v, v) < 0 v V mit v 0, dann gibt es δ > 0, so dass D 2 f(u)(v, v) δ v V mit v = Satz Sei V endlich dimensional normierter Vektorraum, U V offen, f : U R C 2 -Funktion, u U kritischer Punkt. Wenn für alle v V mit v 0 gilt D 2 f(u)(v, v) < 0, so hat f in u ein striktes lokales Maximum Definition Sei V ein (endlicher) R-Vektorraum. Eine symmtrische Bilinearform h : V V R heißt positiv definit, wenn h(v, v) > 0 v V mit v 0. Positiv semidefinit heißt h(v, v) 0 v V. Entsprechend negativ definit, bzw. negativ semidefinit Zusammenfassung Sei u kritischer Punkt. Dann ist D 2 f(u) negativ definit hinreiches Kriterium für lokales Maximum. D 2 f(u) negativ semidefinit notwendiges Kriterium. Entsprechend für positiv... und Minimum. Beispiel U = R 2, f(u 1, u 2 ) = cosh(u 1 ) + sin(u 2 ) 1 1 cosh(t) = 1 2 (et + e t ), sinh(t) = 1 2 (et e t ) 44 getext: Julia Wolters

49 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Satz Sei h eine symmetrische Bilinearform auf R n, sei, das Standardskalarprodukt, { v, w = n 1 k = l v k w k. Dann gibt es eine Orthonormalbasis b 1,..., b n des R n (d.h. b k, b l = k=1 0 k l ) { dk k = l und Zahlen d 1,..., d n, so dass h(b k, b l ) =. Man sagt: h,, sind gleichzeitig 0 k l diagonalisierbar. Offensichtlich ist h genau dann positiv definit (semidefinit), wenn alle d i > 0 (d i 0) sind. getext: Julia Wolters 45

50

51 14. Integration, Satz vom lokalen Inversen, Taylorentwicklung Definition Sei V ein Banachraum. Eine Abbildung c : [a, b] V heißt beschränkt, wenn c([a, b]) V beschränkt ist, dh. wenn es r > 0 mit c(t) r für alle t [a, b] gibt. Sei B([a, b], V ) = {c : [a, b] V c beschränkt }. Das ist ein reeller Vektorraum und normiert durch c := sup{ c(t) t [a, b]} Satz B([a, b], V ) ist vollständig bzgl. und C([a, b], V ) = {c : [a, b] V c stetig } ist ein abgeschlossener (und deswegen vollständiger) Unterraum Definition Sei V ein Banachraum. Eine Funktion c : [a, b] V heißt Stufenfunktion, wenn es eine Zerlegung Z = {a = a 0 <... < a k = b} gibt, so dass c auf den Teilstücken (a j, a j+1 ) konstant ist. Klar: die Stufenfunktionen bilden einen Untervektorraum Step([a, b], V ). von B([a, b], V ). Eine Regelfunktion ist eine beschränkte Funktion c : [a, b] V, die ein Grenzwert einer Folge von Stufenfunktionen ist (bzw. ). Mit anderen Worten: Die Regelfunktionen sind der Abschluss von Step([a, b], V ) in B([a, b], V ). Schreibe R([a, b], V ) = {c : [a, b] V c Regelfunktion } = Step([a, b], V ) 47

52 KAPITEL 14. INTEGRATION, SATZ VOM LOKALEN INVERSEN, TAYLORENTWICKLUNG Satz Es gilt C([a, b], V ) R([a, b], V ), jede stetige Funktion ist eine Regelfunktion Definition Sei Z = {a = a 0 <... < a n = b} und sei c eine Stufenfunktion zu Z, c(t) = c j falls a j < t < a j+1. Setze b a n 1 c(t)dt := c j (a j+1 a j ) j=0 Kurze Überlegung Wenn man die Zerlegung Z verfeinert (metrische Stützstellen) ändert sich am Ergebnis der Summe nichts. Also hängt das Ergebnis gar nicht von der Zerlegung ab. Weiter ist Step([a, b], V ) V, c b a c(t)dt b a n 1 j=0 c(t)dt offensichtlich linear und Lipschitz-stetig. c j (a }{{} j+1 a j ) c (b a) c Ist c R([a, b], V ) und (c n ) n J eine Folge von Stufenfunktionen mit lim c c n n J = 0, so ist (c n ) n J eine Cauchy-Folge, also ist b a c n (t)dt eine Cauchyfolge in V. b b Wir definieren c(t)dt = lim c n (t)dt a n J a Das geht, weil V ein Banachraum ist. Die linke Seite hängt nicht von der gewählten Funktion c n ab: Ist c Step([a, b], V ) mit c c ε, so ist c n c 2 ε für alle hinreichend großen n J. Es folgt c(t)dt c n (t)dt b b 2 ε(b a), also c(t)dt c(t)dt 2ε(b a). Das zeigt, dass das Integral nur von c abhängt und nicht von der gewählten Funktion (c n ) n J. Fazit b Die Abbildung c c(t)dt ist eine Lipschitz-stetige lineare Abbildung R([a, b], V ) V, a b b c(t)dt c(t) dt c (b a). a a a a 48 getext: Julia Wolters

53 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Lemma Seien V, W Banachräume, F : V W linear und stetig, c : [a, b] ( V eine Regelfunktion. b b ) Dann ist F c : [a, b] W Regelfunktion und F (c(t))dt = F c(t)dt Satz Ist c : [a, b] V stetig, t 0 [a, b], so ist f(t) := c(s)ds eine C 1 -Kurve und f(t) = c(t). t 0 Folgerung Ist c : [a, b] V eine C 1 -Funktion, so gilt c(v) c(u) = a t v u a c(s)ds für alle u, v [a, b] Satz (Mittelwertsatz der Integralrechnung in Vektorräumen) Seien V, W Banachräume. U V offen, sei f : U W eine C 1 -Funktion. Sei u U und v V so, dass u + v s U für alle s [0, 1]. Dann gilt f(u + v) f(u) = 1 Df(u + v s)(v)ds = 1 Df(u + v s)ds (v) Satz Sei V normierter Vektorraum, U V offen, f : U R eine C k -Funktion. Dann gilt für alle {1,..., k} = {l 1,..., l k } und alle v 1,..., v k V. D k f(u)(v 1,..., v k ) = D k f(u)(v i1,..., v ik ) Satz (Taylors Formel / Taylorentwicklung) Sei V normierter Vektorraum, U V offen, f : U R eine C k+1 -Funktion. Sei u U, v V so, dass {u + vt 0 t 1} gilt. Dann gilt f(u+v) = f(u)+df(u)(v)+ 1 2 D2 f(u)(v, v)+ 1 6 D3 f(u)(v, v, v) k! Dk f(u)(v,..., v) +R }{{} k+1 (u)(v) k mal getext: Julia Wolters 49

54 KAPITEL 14. INTEGRATION, SATZ VOM LOKALEN INVERSEN, TAYLORENTWICKLUNG und das Restglied ist Addendum R k+1 (u, v) = 1 0 (1 t) k D k+1 f(u + vt)(v,..., v)dt k! Taylorentwicklung von f im Punkt u bis zum k-ten Grad Für R l+1 (u, v) gibt es metrische Formeln R l+1 (u, v) 1 k! sup { D k+1 f(u + vt) 0 t 1 } v k+1, denn D k+1 f(u + vt)(v,..., v) D k+1 f(u + vt) v k+1 1 Andere Form des Restgliedes R k+1 (u, v) = (k + 1)! Dk+1 f(u)(v,..., v)+λ(v) v k+1. Dabei ist λ stetig auf ε-kugel B ε (0) und λ(0) = Satz (Die von Neumannsche Reihe) Sei V ein Banachraum, f : V V linear und stetig mit f < 1. Dann konvergiert die Neumannsche Reihe f k (f k = f... f k mal f 0 = id V ) k 0 gegen eine stetige lineare Abbildung g und g(id V f) = (id V f)g = id V d.h. f k = (id V f) 1 k=0 (vgl. geometrische Reihe) Satz Sei V ein Banachraum, sei GL(V ) = {f : V V f linear und stetig und f hat stetiges Inverses } Dann ist GL(V ) L(V, V ) offen, GL(V ) ist eine Gruppe, das Multiplizieren und Invertieren ist stetig. 1 1 Solche Gruppen werden auch Topologische Gruppen genannt. 50 getext: Julia Wolters

55 Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer Satz ( Spezieller Satz vom lokalen Inversen ) Sei V ein Banachraum (z.b. R n ), U V offen mit 0 U, f : U V stetig differenzierbar, f(0) = 0 und Df(0) = id V. Dann gibt es R > 0, ein C 1 -Funktion g : B R (0) V mit g f = id auf einer offenen Kugel B R(0). In einer kleinen Umgebung von 0 hat f eine Inverse, die ebenfalls C 1 ist: DIe Gleichung f(x) = y hat Lösungen, wenn g nahe genug bei 0 liegt Theorem (Satz vom lokalen Inversen) Seien V, W Banachräume, sei U V offen und f : U W eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei u U ein Punkt, an dem Df(u) : V W ein stetiger Isomorphismus (mit stetigen Inversen) ist. Dann gibt es R; R > 0; eine stetig differenzierbare Funktion g : B R (f(u)) V so, dass g f(v) = v für alle v B R(u) gilt: f hat nahe u ein C 1 -Inverse. Bemerkung Man kann zeigen: f C k -Funktion g C k -Funktion. (zeige: Invertieren in GL(u) ist C.Funktion) Satz über impliziete Funktion Seien V 1, V 2, W Banachräume, V = V 1 V 2. Sei U V offen, f : U W eine C 1 -Funktion, u = (u 1, u w ) U. Betrachte A : V 2 W, v 2 Df(u)(0, v w ). Wenn A ein Isomorphismus mit stetigen Inversen ist, so gibt es U 1 V 1 offen, u 1 U 1 und g : U 1 V 2 C 1 -Funktion mit (i) g(u 1 ) = u 2 (ii) f(x, g(x)) = f(u) = const (iii) nahe u sind alle (x, y) U von der Form (x, y) = (x, g(x)). Man sagt: y = y(x) ist (nahe u) impliziet durch f(x, y) = f(u) = const definiert Beispiel V Hilbertraum mit Skalarprodukt, (z.b. V = R n, v w = n k=1 v j w k ), U V offen, f : U R eine C 1 -Funktion, u U Punkt mit df(u) 0 (also insb. kein lokales Extremum). getext: Julia Wolters 51