Kapitel 2. Mathematik für Mikroökonomie

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1 Kapitel Mathematik für Mikroökonomie 1

2 Mathematik der Optimierung Ökonomische Theorien basieren auf der Annahme, dass die Agenten versuchen, den optimalen Wert einer Funktion zu wählen. Konsumenten maximieren Nutzen Produzenten maximieren Profit

3 Funktionen mit einer Variablen Der Manager einer Firma will den Profit maximieren: * f = f(q) (q) Maximum Profit von * bei q* q* Menge 3

4 Funktionen mit einer Variablen Der Manager variiert die Menge q um zu sehen wann der maximale Profit eintritt Eine Steigerung der Menge von q 1 nach q erhöht * = f(q) 0 q 1 q 1 q q* Menge 4

5 Funktionen mit einer Variablen Wenn die Menge über q* gesteigert wird, fällt der Profit Eine Mengensteigerung von q* nach q 3 führt zu einer Abnahme von * 3 = f(q) 0 q q* Menge q 3 5

6 Ableitungen Die Ableitung von = f(q) ist der Grenzwert von /q für sehr kleine Änderungen von q d dq df dq f ( q1 h) f ( q1) lim h0 h Der Wert hängt von q 1 ab. 6

7 Der Wert einer Ableitung in einem Punkt Wenn die Ableitung an der Stelle q = q 1 gebildet wird, schreibt man: d dq q q 1 In unserem vorherigen Beispiel, d dq qq 1 0 d dq qq 3 0 d dq qq* 0 7

8 Bedingung erster Ordnung für ein Maximum Damit eine Funktion mit einer Variablen ein Maximum in einem Punkt erreicht, muss die Ableitung in diesem Punkt Null sein. df dq qq* 0 8

9 Bedingung zweiter Ordnung Die Bedingung erster Ordnung (d/dq) ist eine notwendige Bedingung für ein Maximum aber keine hinreichende Bedingung. Wenn die Profitfunktion eine u-form Hätte, würde die Bedingung erster Ordnung zu q* führen, bei dem minimiert! wird. * q* Menge 9

10 Bedingung zweiter Ordnung Damit q* ein Optimum ist, muss also gelten, d 0 für q dq q* und d dq 0 für q q* Bei q*, muss d/dq fallen, also muss die Ableitung von d/dq bei q* negativ sein. Eine zweite Ableitung schreibt man: d dq d f oder dq oder Damit ist die Bedingung zweiter Ordnung für ein lokales Maximum: d f " ( q) qq dq * qq* f "( q) 0 10

11 Funktionen mit mehreren Variablen Viele Zielfunktionen von ökonomischen Agenten hängen von mehreren Variablen ab. Daher gibt es trade-offs. Die Abhängigkeit einer Variablen (y) von einer Reihe anderer (x 1,x,,x n ) schreibt man y f ( x, x,..., x 1 n ) 11

12 Partielle Ableitungen Die partielle Ableitung von y nach x1 schreibt man y x 1 f oder oder f x oder f 1 x 1 1 oder f x, 1 x..., x n lim h0 f ( x 1 h, x,..., x n ) h f ( x 1, x,..., x n ) Wenn man eine partielle Ableitung bildet, werden alle anderen x konstant gehalten ( ceteris paribus Annahme). 1

13 Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Eine zweite partielle Ableitung schreibt man ( f / xi ) x j Die Reihenfolge, in der zweite Ableitungen gebildet werden ist unwichtig für das Ergebnis (Young s Theorem). f ij x f j ji f x i f ij 13

14 Das totale Differential Angenommen y = f(x 1,x,,x n ), wenn alle x ein wenig variieren, dann wird der totale Effekt auf y gegeben durch dy f f dx1 dx... x x 1 f x n dx n dy f dx f dx f n dx n 14

15 Notwendige Bedingung für ein Maxiumum Eine notwendige Bedingung für ein Maximum der f(x 1,x,,x n ) ist das dy = 0 für jede Kombination kleiner Änderungen in den x. Das kann nur sein wenn: f1 f... fn An dieser Stelle hat die Funktion einen kritischen Punkt aber diese Bedingung ist nicht hinreichend für ein Maximum. Daher betrachten wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f. 0 15

16 Bedingung zweiter Ordnung Funktion mit einer Variablen y=f(x): Eine notwendige Bedingung folgt aus dy/dy=f (x)=0. Um sicher zu sein, dass der gefundene Punkt ein Maximum ist betrachten wir nun Bewegungen von diesem Punkt weg. Das totale Differential gibt: dy=f (x)dx. Bei einem Maximum muss dy für kleine Erhöhungen von x fallen. Um die Veränderungen in dy zu sehen, betrachten wir die zweite Ableitung von y: d y d[ f '( x) dx] dx dx f "( x) dx dx f "( x) dx Damit d y< 0 muss f (x)dx < 0 und da dx >0 muss f (x) < 0. 16

17 Bedingung zweiter Ordnung Funktion mit mehreren Variablen y=f(x 1, x ): Bedingungen erster Ordnung für ein Maximum sind y/x 1 = f 1 = 0 y/x = f = 0 Damit dieser Punkt ein Maximum ist, muss y abnehmen, wenn wir uns in jede mögliche Richtung von diesem kritischen Punkt entfernen. (Berg-Analogie) f 1 und f müssen am kritischen Punkt abnehmen, aber zusätzliche Bedingung müssen auch für die partiellen Kreuzableitungen gelten. 17

18 Bedingung zweiter Ordnung Das totale Differential von y ist dy = f 1 dx 1 + f dx Das Differential dieser Funktion ist d y = (f 11 dx 1 + f 1 dx )dx 1 + (f 1 dx 1 + f dx )dx d y = f 11 dx 1 + f 1 dx dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx Aus Young s theorem folgt, f 1 = f 1 und d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx Damit diese Gleichung für alle dx 1 und dx kleiner Null ist, müssen f 11 und f negativ sein. Falls weder dx 1 noch dx Null ist, so ist d y < 0 nur wenn f 11 f - f 1 > 0 18

19 Bedingung zweiter Ordnung f 11 f - f 1 > 0 Ist diese Bedingung und f 11 <0 erfüllt, ist die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen (Hesse Matrix) negativ definit und die Zielfunktion konkav. Eine solche Funktion liegt immer unterhalb jeder Ebene, die die Funktion tangiert. Die Extensions in SN, S. 81 zeigen, wie sich diese Bedingungen zweiter Ordnung für mehr als zwei Variablen verhalten. 19

20 Maximierung unter Nebenbedingung Wenn sich eine (implizite) Nebenbedingung zu einer Wahlvariablen auflösen lässt, so kann man einfach in die Zielfunktion substituieren. Oft ist das jedoch nicht möglich. Eine allgemeine Methode um eine Maximierung unter Nebenbedingung durchzuführen ist der Lagrange Multiplikator Ansatz. Angenommen wir suchen Werte x 1, x,, x n, die y = f(x 1, x,, x n ) u.d.n. g(x 1, x,, x n ) = 0 maximieren. 0

21 Der Lagrange Ansatz Die Lagrange Multiplikator Methode impliziert L = f(x 1, x,, x n ) + g(x 1, x,, x n ) wobei der Lagrange Multiplikator ist. Wenn die Nebenbedingung erfüllt ist, dann ist L = f da g(x 1, x,, x n ) = 0. Daher können wir statt der kritischen Werte von f hier auch die von L suchen. 1

22 Der Lagrange Ansatz Bedingungen erster Ordnung (BeOs): L /x 1 = f 1 + g 1 = 0 L /x = f + g = 0... L /x n = f n + g n = 0 L / = g(x 1, x,, x n )= 0

23 Der Lagrange Ansatz Diese Bedingungen können für x 1, x,, x n und gelöst werden. Die gefundenen x werden die Nebenbedingung erfüllen und den Wert von L und somit f maximieren. Der Lagrangemultiplikator gibt den Schattenpreis der Nebenbedingung an. Jede Maximierung unter Nebenbedingung hat ein duales Problem. Z.B. kann man in der Konsumententheorie statt der Maximierung des Nutzens u.d.n. der Budgetrestriktion auch das minimale Budget suchen, welches einen vorgegebenen Nutzenlevel erreicht. 3

24 Maximierung unter linearer Nebenbedingung Angenommen, wir möchten x 1 und x so wählen, dass y = f(x 1, x ) unter der linearen Nebenbedingung c - b 1 x 1 - b x = 0 maximiert wird. Die Lagrange Multiplikator Methode: L = f(x 1, x ) + (c - b 1 x 1 - b x ) Die Bedingungen erster Ordnung sind f 1 - b 1 = 0 f - b = 0 c - b 1 x 1 - b x = 0 4

25 Maximierung unter linearer Nebenbedingung Um ein Maximum sicherzustellen, benötigen wir erneut das zweite totale Differential d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx Nur die Werte von x 1 und x, die die Nebenbedingung erfüllen, können Alternativen zum kritischen Punkt sein Das totale Differential der Nebenbedingung ist -b 1 dx 1 - b dx = 0 dx = -(b 1 /b )dx 1 Dieses sind die erlaubten relativen Veränderungen in x 1 und x. 5

26 Maximierung unter linearer Nebenbedingung Aus den Bedingungen erster Ordnung f 1 /f = b 1 /b, erhält man dx = -(f 1 /f ) dx 1 Da d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx können wir für dx substituieren und bekommen d y = f 11 dx 1 -f 1 (f 1 /f )dx 1 + f (f 1 /f )dx 1 oder d y = f 11 f -f 1 f 1 f + f f 1 [dx 1 / f ] Daher muss für d y < 0 gelten dass f 11 f -f 1 f 1 f + f f 1 < 0 6

27 Maximierung unter linearer Nebenbedingung f 11 f -f 1 f 1 f + f f 1 < 0 Ist diese Bedingung erfüllt, so ist die Funktion quasikonkav. Das Set aller Punkte für die die Funktion Werte oberhalb einer bestimmten Konstante annimmt, ist konvex. 7

28 Konkavität und Quasi-Konkavität am Beispiel y=(x 1 x ) k 8

29 Konkavität und Quasi-Konkavität am Beispiel y=(x 1 x ) k Hier x 1,x,k>0, und für jeden Wert von k ist diese Funktion quasi-konkav. Quasi-Konkavität ist eine ordinale Eigenschaft, sie ist robust gegenüber monotonen Transformationen (da diese eine ordinale Ordnung nicht beeinträchtigen). Die Funktion ist allerdings nur konkav wenn k<1/ und sonst konvex (für k>1/). Konkavität oder Konvexität sind kardinale Eigenschaften, monotone Transformationen können die Eigenschaft zerstören. 9

30 Schlussendlich Der Umhüllenden-Satz (Envelope Theorem): Angenommen y = f(x 1, x n,a) dann gilt im Optimum y* dy da f dx1 f dx... x da x da * 1 f x n dxn da f a f a Der Satz von den Impliziten Funktionen: Gegeben eine implizite Funktion f(x,y)=0, dann folgt aus dem totalen Differenzial 0 = f x dx + f y dy oder: dy dx f f x y 30

31 Schlussendlich Eine Funktion f(x 1,x, x n ) nennt man homogen vom Grad k genau dann, wenn f(tx 1,tx, tx n ) = t k f(x 1,x, x n ) Wenn k = 1, führt eine Verdopplung aller Argumente zu einer Verdopplung des Wertes der Funktion. Wenn k = 0 fürt eine Verdopplung aller Argumente zu keiner Änderdung des Wertes der Funktion. Eine homothetische Funktion entsteht durch eine monotone Transformation einer homogenen Funktion. 31