Selected Optimization Problems in Passenger Transportation - Models, Complexity, and Algorithms

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1 Research Collection Doctoral Thesis Selected Optimization Problems in Passenger Transportation - Models, Complexity, and Algorithms Author(s): Böhmová, Kateřina Publication Date: 2016 Permanent Link: Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted This page was generated automatically upon download from the ETH Zurich Research Collection. For more information please consult the Terms of use. ETH Library

2 diss. eth no Selected Optimization Problems in Passenger Transportation Models, Complexity, and Algorithms A thesis submitted to attain the degree of Doctor of Sciences of ETH Zurich presented by Kateřina Böhmová Master of Science, UPC BarcelonaTech, Barcelona Bachelor of Science, Charles University, Prague born citizen of Czech Republic Accepted on the recommendation of Prof. Dr. Peter Widmayer examiner Dr. Matúš Mihalák co-examiner Prof. Dr. Juraj Hromkovič co-examiner 2016 ETH Zurich Maastricht University ETH Zurich

3 Abstract In this thesis we consider various optimization problems motivated by questions arising in passenger transportation. We propose abstract models, study the complexity of different variants of the problems, and design exact and approximation algorithms. In Chapter 1 we study an offline interval scheduling problem where every job has exactly one associated interval on every machine. To schedule a set of jobs, exactly one of the intervals associated with each job must be selected, and the intervals selected on the same machine must not intersect. We show that deciding whether all jobs can be scheduled is NP-complete already in various simple cases, including a variant with unit-length intervals where all intervals associated with the same job have a common point. For this particular setting we propose a deterministic 501/1000-approximation algorithm. We also show that in general it is NP-hard to maximize the number of scheduled jobs even if the given instance consists of only 2 machines, and we present a deterministic 2/3- approximation algorithm for this setting. In Chapter 2 we generalize the 2/3-approximation algorithm from Chapter 1 for more than 2 machines and for a much wider class of problems. We define a k-composed optimization problem P k to be composed from k maximization problems P 1,..., P k, defined over a common ground set S, where the feasible solutions of each P i are subsets of S that form an independence system. The goal is to find a set of disjoint feasible solutions for the k problems, maximizing the size of their union. We give examples of several NP-hard optimization problems that can be seen as such a k-composed problem. Then, given a ρ i -approximation algorithm for each P i, we present a black-box approximation framework for P k, which gives a (2/3) min i ρ i -approximation algorithm for k = 2, and ( k(k 1) ) min i ρ i -approximation algorithm for k 3. Our strategy is

4 ii simple, purely combinatorial and deterministic. In Chapter 3 we consider an offline car-sharing assignment problem with flexible drop-offs. There are n users, each specifies one or more driving demands, consisting of a pick-up location, drop-off location, and a time interval for which the car will be used. The goal is to assign the cars, initially located at given locations, to maximize the number of users with all their demands fulfilled. If every user has exactly one demand, we show that the problem is solvable in polynomial time. If every user has two demands: one demand for transfer from location A to a location B, and one demand for transfer from B to A, not necessarily in this order, we show that the problem becomes APX-hard. However, if all the travel times are zero, the problem is again solvable in polynomial time. In Chapter 4, motivated by fault-tolerance concerns in public transportation networks, we introduce sequence hypergraphs, where every hyperedge is defined as a sequence of vertices (imagine a directed path). We study the complexity of some classic algorithmic problems. In particular, we consider the problem of finding a minimum set of hyperedges that connects s to t (allows to travel from s to t), finding a minimum set of hyperedges whose removal disconnects t from s, or finding two disjoint sets of hyperedges, both connecting s to t. We show that many of these problems are APX-hard, even in acyclic sequence hypergraphs or with hyperedges of constant length. We then consider special settings and for some we get polynomial-time algorithms. For example, we show that if all the hyperedges are of length at most 2, these problems become polynomially solvable.

5 Zusammenfassung In dieser Arbeit untersuchen wir verschiedene Optimierungsprobleme, die von Fragestellungen im Bereich der Personenbeförderung motiviert sind. Wir stellen formale Modelle vor, analysieren die Komplexität verschiedener Problemvarianten und entwerfen exakte sowie Approximationsalgorithmen. In Kapitel 1 untersuchen wir ein Offline-Schedulingproblem mit parallelen Maschinen, in dem jedem Auftrag genau ein Intervall auf jeder Maschine zugeordnet ist. Eine Menge von Aufträgen ist gültig, wenn für alle Aufträge genau ein zugeordnetes Intervall gewählt werden kann, sodass sich auf keiner Maschine die entsprechend gewählten Intervalle schneiden. Wir zeigen, dass das Problem zu entscheiden, ob für alle gegebenen Aufträge ein geeignetes Intervall gewählt werden kann, bereits in vielen einfachen Fällen NP-vollständig ist, selbst wenn die Intervalle Einheitslänge haben und alle Intervalle eines Auftrags mindestens einen gemeinsamen Punkt besitzen. Für diese spezielle Situation geben wir einen deterministischen 501/1000-Approximationsalgorithmus an. Weiterhin zeigen wir, dass es im Allgemeinen NP-schwer ist, die Anzahl gewählter Aufträge zu maximieren, selbst wenn lediglich zwei parallele Maschinen vorhanden sind. Für den Fall zweier paralleler Maschinen entwerfen wir einen deterministischen 2/3-Approximationsalgorithmus. In Kapitel 2 verallgemeinern wir den 2/3-Approximationsalgorithmus aus Kapitel 1 auf mehr als zwei Maschinen und auf eine weitere Klasse von Problemen. Dazu führen wir das Konzept eines k-zusammengesetzten Optimierungsproblems P k ein, das aus k Maximierungsproblemen P 1,..., P k über einer gemeinsamen Grundmenge S besteht, sodass die zulässigen Lösungen für P i Teilmengen von S sind, die ein Unabhängigkeitssystem bilden. Das Ziel besteht in der Auswahl einer Menge disjunkter Lösungen für die k Teilprobleme, deren Vereinigung maximale Kardi-

6 iv nalität hat. Wir zeigen Beispiele für verschiedene NP-schwere Optimierungsprobleme, die als k-zusammengesetztes Problem aufgefasst werden können. Weiterhin zeigen wir: Existiert für jedes Problem P i ein ρ i -Approximationsalgorithmus, dann existiert für P k ein einfacher, kombinatorischer, determinischer Approximationsalgorithmus mit Güte (2/3) min i ρ i, falls k = 2 ist, und mit Güte ( k(k 1) ) min i ρ i, falls k 3 ist. In Kapitel 3 betrachten wir ein Offline-Schedulingproblem, das von Car- Sharing mit flexiblen Fahrzeugrückgaben motiviert ist. Jeder Benutzer spezifiziert eine oder mehrere Anfragen, die den gewünschten initialen Ort des Fahrzeugs, den gewünschten Rückgabeort sowie ein Zeitintervall, in dem das Fahrzeug benutzt werden soll, beinhaltet. Das Ziel besteht darin, den Anfragen die Fahrzeuge so zuzuordnen, dass für möglichst viele Nutzer alle Anfragen erfüllt werden, die Anfragen untereinander kompatibel sind und die jeweils ersten erfüllten Anfragen die entsprechenden Fahrzeuge an vorgegebenen Orten abholen. Wir zeigen, dass dieses Problem in Polynomialzeit lösbar ist, wenn jeder Benutzer exakt eine Anfrage angibt. Weiterhin zeigen wir, dass das Problem APX-schwer wird, wenn jeder Benutzer zwei Anfragen angibt, je eine von A nach B und eine von B nach A (nicht notwendigerweise in dieser zeitlichen Reihenfolge). Sind dagegen alle Reisezeiten auf 0 gesetzt, dann ist das entstehende Problem erneut in Polynomialzeit lösbar. Motiviert durch Überlegungen zur Fehlertoleranz in Netzen des öffentlichen Verkehrs führen wir in Kapitel 4 Sequenz-Hypergraphen ein, in denen jede Hyperkante als Sequenz von Knoten (d.h. als gerichteter Pfad) definiert ist. Wir untersuchen die Komplexität einiger klassischer algorithmischer Probleme. Insbesondere betrachten wir die Probleme der Berechnung einer kleinstmöglichen Menge von Hyperkanten die zwei gegebene Knoten s und t verbindet (d.h., die es erlaubt von s nach t zu reisen), der Berechnung einer kleinstmöglichen Menge von Hyperkanten deren Entfernung s und t voneinander trennt (sodass kein st-pfad mehr existiert), und der Berechnung zweier disjunkter Mengen von Hyperkanten die beide s mit t verbinden. Wir zeigen, dass viele dieser Probleme APX-schwer sind, selbst in azyklischen Sequenz-Hypergraphen oder wenn die Hyperkanten konstante Länge haben. Für einige Spezialfälle werden wir Polynomialzeitalgorithmen angeben. Haben zum Beispiel alle Hyperkanten eine Länge von höchstens 2, dann sind alle oben genannten Probleme in Polynomialzeit lösbar.