Kapitel 24. Entwicklungen holomorpher Funktionen Taylor-Reihen (Potenzreihen und holomorphe Funktionen;

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1 Kapitel 24 Entwicklungen holomorpher Funktionen Reihenentwicklungen spielen in der Funktionentheorie eine ganz besodere Rolle. Im Reellen wurden Potenzreihen in Kapitel 5.2 besprochen, das komplexe Gegenstück wurde in Kapitel 7.2 behandelt. Auf die dort gelegten Grundlagen wird hier aufgebaut. 24. Taylor-Reihen (Potenzreihen und holomorphe Funktionen; Differentiation von Potenzreihen) Cauchys Beispiel aus Kapitel 3. zeigt, dass im Reellen selbst unendlich oft differenzierbare Funktion nicht unbedingt durch ihre Taylor-Reihe dargestellt werden. Auch diesbezüglich sieht die Situation in der komplexen Analysis anders aus, wie der vorliegende Paragraph zeigen wird. Zunächst sei jedoch an die wichtigste Potenzreihe, die geometrische Reihe erinnert: Beispiel. Man betrachte die Reihe (vgl. Kapitel 7.2) z n. Für die Partialsummen gilt N z n = zn+, falls z =. z 563

2 564 Kapitel 24: Entwicklungen holomorpher Funktionen Für z < ist lim N z N+ = 0, also folgt z n = für z <. z Für z ist {z n } keine Nullfolge, die geometrische Reihe divergiert. Nun soll die Ableitung dder Funktion /( z) mit Hilfe des Cauchy- Produktes für Reihen (Satz 5.3.) analysiert werden: Für z < ist = = z ( z) 2 z z = z n z n = n z k z n k k=0 = (n +)z n. Mit j = n + ist gezeigt ( z) = = jz j = 2 z j= nz n = n= (z n ). In Verallgemeinerung des Beispiels besagt der folgende Satz, dass durch Potenzreihen holomorphe Funktionen definiert sind und dass sich die Ableitung durch gliedweise Differentiation berechnen lässt (vgl. auch Satz..7). Satz 24.. (Differentiation von Potenzreihen) Besitzt eine Potenzreihe P (z) = a n(z z 0 ) n den Konvergenzradius r > 0, so ist dadurch in der Kreisscheibe B r (z 0 ) eine holomorphe Funktion f(z) mit f (z) = na n (z z 0 ) n n= als Ableitung gegeben. Diese Potenzreihe hat denselben Konvergenzradius wie P (z).

3 Kapitel 24: Entwicklungen holomorpher Funktionen 565 Beispiel. Man betrachte Es ist r = und f (z) = e z = n= z n n!. z n (n )! = k=0 z k k! = ez. Nach Satz 24.. sind durch Potenzreihen holomorphe Funktionen definiert. Umgekehrt stellt sich die Frage, ob holomorphe Funktionen immer als Potenzreihe, d.h. durch ihre Taylor-Reihe, dargestellt werden können. Satz Es sei f(z) holomorph für z z 0 <rmit z 0 C und r>0. Dann ist f eindeutig darstellbar durch eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt z 0 : a n (z z 0 ) n. Die Reihe konvergiert in B r (z 0 ), und die Koeffizienten sind gegeben durch a n = f (n) (z 0 ) n!. Bemerkungen. i) Nach Satz gilt für 0 <ρ<r a n = f(z) dz. 2πi (z z 0 ) n+ κ ρ (z 0 ) Hier kann κ ρ (z 0 ) auch durch einen beliebigen, einfachen geschlossenen Integrationsweg ersetzt werden, der im mathematisch positiven Sinne durchlaufen wird, ganz in B r (z 0 ) liegt und z 0 im Innern enthält.

4 566 Kapitel 24: Entwicklungen holomorpher Funktionen ii) Ist f in einer offenen Menge U holomorph, z 0 U, sokonvergiert die Taylor-Reihe in der größten Kreisscheibe um z 0, die noch in U liegt. Typisches Beispiel. Für z U = C {, 2} sei 3 ( z)(2 + z). Gesucht sind die Koeffizienten der Taylor-Reihe um z 0 = i, die nach Bemerkung ii) für z i < 2 konvergiert. C i 2 2 Abbildung 24.: Zur Taylorreihe von f um i. Die Koeffizienten können im Prinzip nach Bemerkung i) berechnet werden, es gilt aber auch (vgl. die Partialbruchzerlegung aus Kapitel 2.3) 3 ( z)(2 + z) = z + 2+z. Für z i < 2 gilt z i i <, und mit Hilfe der geometrischen Reihe findet man z = i (z i) = i z i i = i z i n. i

5 Kapitel 24: Entwicklungen holomorpher Funktionen 567 Analog gilt wegen (z i)/(2 + i) < 2+z = 2+i +(z i) = 2+i = 2+i z i n ( ) n. 2+i + z i 2+i Man erhält die Taylor-Entwicklung um z 0 = i ( i) n+ +( )n (z i) n. (2 + i) n+ =a n 24.2 Laurent-Reihen (holomorphe Funktionen auf Kreisringen; Haupt- und Nebenteil einer Laurent-Reihe; Singularität; gelochte Kreisscheibe; Charakterisierung von isolierten Singularitäten) Betrachtet man Funktionen wie g(z)z, g(z) holomorph, so ist der Punkt z = 0 von besonderer Bedeutung und bietet sich als Entwicklungspunkt einer Reihenentwicklung an. Die Funktion f ist jedoch in diesem Punkt nicht definiert, f ist nicht holomorph auf einer Kreisscheibe um 0. Es ist f jedoch holomorph auf Kreisringen um den Nullpunkt. Diese Situation soll nun studiert werden: Bei der Entwicklung von f sind dann negative Potenzen mitzunehmen, man spricht von der sogenannten Laurent -Entwicklung der Funktion. Im obigen Beispiel etwa werden die Exponenten in der Taylor-Entwicklung von g um eins vermindert werden. Im Folgenden sei für 0 r <r 2 und für z 0 C A r,r 2 (z 0 ) := {z C : r < z z 0 <r 2 }. P.A. Laurent, ; Le Havre.

6 568 Kapitel 24: Entwicklungen holomorpher Funktionen Definition Mit a k C, k Z und z 0 C heißt a k (z z 0 ) k := a n (z z 0 ) n + k= a n (z z 0 ) n n= eine Laurent-Reihe um den Entwicklungspunkt z 0. Es heißt weiter a n (z z 0 ) n der Nebenteil (oder der Regulärteil) und a n (z z 0 ) n n= der Hauptteil der Laurent-Reihe. Konvergenz einer Laurent-Reihe? Bei der Frage nach der möglichen Konvergenz einer Laurent-Reihe ist zunächst zu beachten, dass der Nebenteil eine Potenzreihe im üblichen Sinne ist. Es sei angenommen, dass diese die im Konvergenzkreis B r2 (z 0 ) konvergiere. Zur Analyse des Hauptteils setzt man w =(z z 0 ). Mit dieser Substitution kann der Hauptteil geschrieben werden als a n (z z 0 ) n = n= a n w n. Dies wiederum ist eine Potenzreihe in w, man nehme an, sie konvergiere für w <ρ, also für n= z z 0 > ρ =: r.

7 Kapitel 24: Entwicklungen holomorpher Funktionen 569 Ist nun 0 < r < r 2, so konvergiert die Laurent-Reihe also auf dem Kreisring A r,r 2 (z 0 ). Ist r = r 2, so kann die Reihe höchstens für z = r = r 2 konvergieren, ist r >r 2, so kann die Reihe nirgends konvergieren. Satz Für eine Laurent-Reihe gilt eine der drei folgenden Alternativen: i) Die Reihe konvergiert nicht. ii) Die Reihe konvergiert für gewisse Punkte einer Kreislinie um z 0. iii) Die Reihe konvergiert auf einem Kreisring um z 0. Kann eine auf einem Kreisring holomorphe Funktion durch eine Laurent-Reihe dargestellt werden? Satz Es sei f holomorph auf einem Kreisring A r,r 2 (z 0 ), 0 r <r 2, z 0 C. Dann ist f auf A r,r 2 (z 0 ) eindeutig darstellbar als Laurent-Reihe (Laurent-Entwicklung um den Entwicklungspunkt z 0 ) a k (z z 0 ) k, k= wobei die Koeffizienten für alle k Z gegeben sind durch (r <ρ<r 2 ) a k = f(z) dz. 2πi (z z 0 ) k+ κ ρ (z 0 )

8 570 Kapitel 24: Entwicklungen holomorpher Funktionen Bemerkungen. i) Wieder können die a k auch durch Integration über einen einfachen, geschlossenen Intergrationsweg berechnet werden, der ganz in A r,r 2 (z 0 ) liegt und im positiven Sinne durchlaufen wird. ii) Eine Taylor-Reihe ist eine Laurent-Reihe mit a n n N. =0für alle Beispiel. Es sei wieder 3 ( z)(2 + z) = z + 2+z. C i A,2 (0) 2 Abbildung 24.2: f ist holomorph auf A,2 (0). Mit z 0 = 0 ist f holomorph auf A,2 (z 0 ). Wie oben sieht man mit Hilfe der Konvergenz der geometrischen Reihe und wegen z, z/2 < auf A,2 (0) (man beachte: Auf A,2 (0) ist z und /( z) kann nicht als konvergente geometrische Reihe geschrieben werden.): z = z z = z n, z 2+z = 2 + z 2 = 2 z n ( ) 2 n.

9 Kapitel 24: Entwicklungen holomorpher Funktionen 57 Die Laurent-Reihe von f(z) um 0 ist demnach für < z < 2: z n ( ) n + 2 n+ zn. n= Mit Hilfe von Satz können Singularitäten einer Funktion charakterisiert werden. Notation. Zu z 0 C, r>0, bezeichne B r(z 0 ) die gelochte Kreisscheibe vom Radius r um z 0 : B r(z 0 ) := {z C : 0 < z z 0 <r}. Definition Ist f auf B r(z 0 ) definiert und differenzierbar, so heißt z 0 eine isolierte Singularität von f. Dabei muss f nicht in z 0 definiert sein. Beispiel. Die Funktion, z C {, 2,i}, ( z)(2 + z)(z i) hat isolierte Singularitäten in den Punkten z =,z 2 = 2, z 3 = i. Im folgenden werden stets isolierte Singularitäten betrachtet, deren Charakterisierung lautet: Definition Es sei f auf B r(z 0 ) differenzierbar. i) Der Punkt z 0 heißt hebbare Singularität, wenn der Hauptteil der Laurent-Reihe um z 0 verschwindet. ii) Der Punkt z 0 heißt Pol der Ordnung p, p N, wenn der Hauptteil der Laurent-Reihe um z 0 von der Form ist p a n (z z 0 ) n, a p =0. n= Die Funktion f heißt in diesem Fall meromorph.

10 572 Kapitel 24: Entwicklungen holomorpher Funktionen iii) Der Punkt z 0 heißt wesentliche Singularität, wenn der Hauptteil der Laurent-Reihe um z 0 unendlich viele nicht-verschwindende Glieder hat. Beispiele. i) Es sei sin(z), z 0 =0. z Dann ist f zwar in z 0 nicht definiert, es gilt aber: sin(z) z = z z z3 3! + z5 5!... = z2 3! + z5 5!.... Der Hauptteil der Laurentreihe um 0 verschwindet, sin(z)/z lässt sich durch den Wert holomorph in den Nullpunkt fortsetzen (hebbare Singularität). ii) Es sei 3 ( z)(2 + z), z C {, 2}. Hier sind z = und z 2 = 2 Pole der Ordnung. iii) Es sei (z i) 3, z C {i}. In diesem Beispiel ist z 0 = i ein Pol der Ordnung 3. iv) Es sei Es gilt e z, z C {0}. (z ) n =+ n! n= also ist z 0 = 0 eine wesentliche Singularität. n! z n,