Der Balken als wichtiges Tragelement ist bereits aus TEMECHI (Statik) bekannt.

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1 13. Gerade Biegung Der Balken als wichtiges Tragelement ist bereits aus TEMECHI (Statik) bekannt. Seine Merkmale sind: aus: Prismatischer Stab mit beliebigen Querschnitt Gerade oder gekrümmte Achse Querschnittsabmessungen klein gegenüber der Länge Belastung durch Axial- und Querkräfte bw. Momente 1

2 Balken werden hauptsächlich auf Biegung beansprucht, axial- und Querkraftbeanspruchung sind meistens vernachlässigbar. In TEMECHI wurden Auflagerreaktionen und Schnittgrößen bestimmt, im Folgenden werden Spannungen und Verformungen des Balkens behandelt. Man unterscheidet: Reine Biegung: Das Biegemoment wird durch äußere Momente hervorgerufen. Es ist über dem Balken bereichsweise konstant Querkraftbiegung: Das Biegemoment wird durch Querkräfte bewirkt. Das Biegemoment ist über der Balkenlängsachse veränderlich M b Q M b Die Bestimmung der Spannungen ist ein statisch unbestimmtes Problem, u dessen Lösung die Verformungsbeiehungen herangeogen werden müssen. 2

3 Zur Bestimmung der Biegespannungen müssen folgende Voraussetungen getroffen werden: 1. Balkenbiegung ohne Verdrehung oder Kippen (gerade Biegung). 2. Es treten nur Normalspannungen in Schnitten senkrecht ur Balkenachse auf, d. h. es wirken keine usätlichen Schubspannungen (reine Biegung). 3. Die Querschnitte verdrehen sich, bleiben aber eben (Bernoulli-Hphothese). M b M b 4. Alle Punkte eines Querschnitts erfahren die gleiche Verschiebung in Biegerichtung, es tritt keine Dehnung auf 5. Es wird elastisch-isotropes Werkstoffverhalten angenommen. Der Elastiitätsmodul wird im Zug- und Druckbereich gleich angenommen. 3

4 Gerade oder einachsige Biegung liegt vor, wenn sich der Balken infolge der äußeren Belastung durchbiegt, sich aber nicht um die Längsachse verdreht oder kippt. q M F Smmetrielinien Lastebenen M S x F Balkenachse Das ist immer dann der Fall, wenn die durch die Lasten (Kräfte und Momente) aufgespannte Lastebene mit einer Smmetrieachse des Trägers usammenfällt. 4

5 13.1 Biegung bei konstantem Biegemoment Wird ein Balken allein durch Endmomente belastet, ist das Biegemoment über der Balkenlängsachse konstant (reine Biegung). Es treten in den Querschnittsflächen nur Normalspannungen in Richtung der Balkenachse auf. Aus der bekannten Beiehung wischen Querkraft und Biegemoment Q( x) = dm ( x) dx folgt, dass für konstantes Biegemoment die Querkraft Null wird. Somit treten auch keine Schubspannungen auf, die eine usätliche Verformung des Balken hervorrufen (querkraftfreie Biegung). Bei konstantem Biegemoment (reine Biegung) treten in einem Balken keine Querkräfte auf. 5 M b da A S x σ b M b

6 Spannungs-Verformungs-Beiehung Wird ein Balken unter der Wirkung eines positiven Moments gebogen, werden die oberen Fasern gestaucht, die unteren Fasern verlängert. Demufolge muss dawischen eine Faserschicht existieren, die ihre ursprüngliche Länge beibehält. Die neutrale Faserschicht ist diejenige Schicht, in der die Längsfasern eines Balkens bei Biegung keine Längenänderung erfahren. Dies lässt sich am Beispiel eines mit Markierungen versehenen Gummistabes bei Biegung nachweisen. M b M b Hier wird auch deutlich, dass die Vertikallinien sich war drehen, aber gerade bleiben. 6

7 Bei reiner Biegung mit konstantem Biegemoment wird jedes Balkenelement längs der Balkenachse gleich gekrümmt. Daher wird sich die ursprünglich gerade Balkenachse u einem Bogen um den Krümmungsmittelpunkt biegen. Im unverformten Zustand haben alle Fasern eines Balkenelements die gleiche Länge ds. Bei Biegung behält die neutrale Faser n ihre Ursprungslänge, alle anderen Fasern ändern ihre Länge. Mit ds = R dϕ folgt für die Dehnung ε einer Faser im Abstand von der neutralen Faserschicht: M b 0 dϕ R M b ε ( ) = ds( ) ds ds = ( R + ) dϕ R dϕ = R dϕ R n ds ds() Die Dehnung ε ist proportional um Abstand von der neutralen Faser und umgekehrt proportional um Krümmungsradius R. 7

8 Sett man das einachsige Hook sche Geset σ = E ε ein erhält man die durch die Balkenbiegung verursachte Biegespannung: σ ( ) = E ε ( ) b = E R Im Gegensat u den durch Längskräfte verursachten Normalspannungen sind bei Biegung die Spannung über der Balkenhöhe linear veränderlich. Druck (-) M b neutrale Faser σ () x Zug (+) Es handelt sich um eine rein geometrische Beiehung, die unabhängig von der Querschnittsform ist. 8

9 Kräftegleichgewicht am Balken Die in den Querschnittsflächen wirkenden Spannungen müssen den Schnittgrößen äquivalent sein. Bei reiner Biegung treten keine Längskräfte auf. Für die Normalkraft N gilt N = σ ( ) da A b Die Normalkraft verschwindet, wenn das Integral (Statische Moment) S = A da = 0 E = R A da Null wird. Das ist nur dann der Fall, wenn die -Achse gleicheitig Schwereachse ist. Daraus folgt Die neutrale Faserschicht geht durch den Flächenschwerpunkt des Querschnitts. Schwerpunktkoordinaten sind biegespannungsfrei.! = 0 9

10 Für das Biegemoment um die -Achse gilt das Momentengleichgewicht: M = σ b ( ) da Mit σ b( ) = E R M = E R A A folgt da = E 2 R A da Das Integral stellt das axiale Flächenträgheitsmoment beüglich der -Achse dar. I M = = A E R 2 I da Durch Einseten der Beiehung σ b ( ) = I σ ( ) b = 10 E R ergibt sich

11 Umstellen liefert die Biegespannung infolge eines Moments um die -Achse σ ( ) = Analog gilt für Biegung um die -Achse σ ( ) = b b M I M I mit mit I I = = A Das Voreichen der Biegespannung (Zug oder Druck) ergibt sich aus der Rechnung, wenn die Abstände und das Moment um die -Achse voreichengerecht, das Moment um die -Achse jedoch nach Voreichenkonvention negativ eingetragen wird. Mit den den Gleichungen lassen sich Spannungen in jedem Punkt eines Querschnitts berechnen, die durch Biegemomente um die Querachsen eines belasteten Trägers hervorgerufen werden. A da da da A σ b -M M S x

12 Beispiel: Biegemomentbelasteter Rechteckträger Gegeben: Gesucht: b = 5 mm, h = 30 mm, M = 30 Nm Biegespannungen b M h x Übung: Gegeben: Gesucht: Biegemomentbelastete Welle d = 20 mm, M = 40 Nm Biegespannungen d x M 12

13 Spannungsverteilung über dem Querschnitt Die Biegespannungen steigen linear von der neutralen Faserschicht um Rand hin an. Bei unsmmetrischen Querschnitten beüglich der Biegeachse treten die maximalen Spannungen in den Randfasern auf, die am weitesten von der neutralen Faserschicht und somit vom Flächenschwerpunkt entfernt sind. S o u M b neutrale Faser σ bo σ () x σ bu = σ bmax Die Biegerandspannungen ergeben sich mit den Randabständen o bw. u σ bo = M I o bw. σ bu = M I u 13

14 Die maximale Biegerandspannung tritt für den größeren der beiden Werte auf σ = M b max max I Die geometrischen Größen werden um axialen Widerstandsmoment W W = = I max beüglich der -Achse usammengefasst. Die Einheit ist [m 3, mm 3 bw. cm 3 ]. Analog ergibt sich für das Widerstandsmoment um die -Achse I max Damit folgt für die Biegerandspannungen um die - Achse M σ b max = W 14

15 bw. um die -Achse M σ bmax = W Mit dem Biegemoment M b und dem Widerstandsmoment W b ergibt sich die allgemeine Formulierung der Biegespannung σ b in der Randfaser σ b = M W b b Biegespannung ist gleich Biegemoment durch Widerstandsmoment. Die Gleichung wird als Biegespannungsformel beeichnet. Hierbei steht der Buchstabe b für Biegung, der bei der Berechnung durch den Index der betrachteten Biegeachse bw. ersett wird. Im Vergleicht u der allg. Definition einer Normalspannung σ = F/A entspricht das Biegemoment der Normalkraft und das Widerstandmoment der Querschnittsfläche. Für einfache Querschnitte sind die geometrischen Größen in Tabellen aufgeführt. 15

16 aus M. Mar: Technische Mechanik, Anhang 16

17 Beispiel: Biegemomentbelasteter Trapeträger Gegeben: Gesucht: a = 15 mm, b = 10 mm, h = 30 mm, M = 50 Nm Zug- und Drucksspannung h e a b x M 17

18 Übung: Gegeben: Gesucht: Biegemomentbelastete Halbwelle d = 25 mm, M = 20 Nm Biegeug- und Biegedruckspannung e d x M 18

19 Biegung bei allgemeinen Querschnitten Lässt sich der Querschnitt eines Profils aus einfachen Teilflächen usammenseten, sind unächst die Schwerpunktskoordinaten und die Flächenträgheitsmomente I der Gesamtfläche u berechnen. Daraus ergibt sich das Widerstandsmoment mit dem maximalen Randabstand e W = I e Die Berechnung des Flächenträgheitsmoments der Gesamtfläche erfolgt mit dem Steiner-Sat, der für Widerstandsmomente nicht anwendbar ist. Der Grund liegt darin, dass sich die im Widerstandsmoment berücksichtigten Randabstände der Teilflächen i. allg. vom maßgebenden Randabstand der Gesamtfläche unterscheiden. Widerstandsmomente usammengesetter Flächen dürfen nicht aus den Widerstandsmomenten der einelnen Teilflächen gebildet werden! 19

20 Beispiel: Biegemomentbelasteter I-Träger Gegeben: Gesucht: b = h = 100 mm, t = 10 mm, s = 6 mm, M = 5 knm Biegespannung h t b s x M Die Querschnitte handelsüblicher Profile sind genormt. Die ugehörigen Querschnittswerte sind in Tabellen aufgeführt. 20

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24 13.2 Biegung bei veränderlichem Biegemoment Bei allg. Belastung eines Trägers durch Einelkräfte, Streckenlasten bw. Momente ist das Biegemoment als Schnittgröße nicht mehr konstant, sondern über der Balkenlängsachse veränderlich. Die Biegspannung ist daher nicht nur linear über der Balkenhöhe veränderlich, sondern hängt über das Biegemoment auch von x ab. Somit gilt σ ( x, ) = b M I ( x) Die maximalen Biegespannungen treten beim Träger mit konstantem Querschnitt an der Stelle maximalen Biegemoments auf. Damit folgt für die Randspannungen σ = b max max M W bw. oder σ ( x, σ 24 b = b max ) = M ( x) I max W M Im allgemeinen wird das Voreichen der max. Biegespannung (Zug oder Druck) bei der Auslegung biegebeanspruchter Bauteile nicht berücksichtig.

25 Biegemomenten- und Querkraftlinien (nach J. Adam: Festigkeitslehre) 16. Biegung 25

26 ... Biegemoment- und Querkraftlinien (Fortsetung) (nach J. Adam: Festigkeitslehre) 16. Biegung 26

27 Beispiel: T100-Träger mit Streckenlast Gegeben: Gesucht: L = 0,5 m, q = 60 N/mm Biegespannung q x L Die max. Biegespannung tritt bei L/2 an der Unterseite als Zugspannung auf. Übung: Gegeben: IPB120-Träger unter Streckenlast L = 1m, a = 0,5 m, q = 100 N/mm q L a x 27

28 13.3 Bemessung biegebeanspruchter Träger Die Festigkeitsbedingung für einen Balken mit konstantem Querschnitt lautet somit M b max σ b = σ ul W b mit dem Betrag des maximal auftretenden Biegemoments M bmax, dem Widerstandsmoment W b und der ulässigen Spannung σ ul für Biegung. Der Querschnitt mit der größten Beanspruchung wird als gefährdeter Querschnitt beeichnet. Stellt man die Festigkeitsbedingung um, erhält man die Tragfähigkeit M b ul σ ul W b d. h. das für den vorgegebenen Querschnitt max. ulässige Biegemoment, das an keiner Stelle des Trägers überschritten werden darf. 28

29 Anderseits erhält man mit dem erforderlichen Widerstandsmoment M b max Wb erf σ b ul eine geometrische Größe, die bei vorgegebenem Biegemoment ur Bemessung eines Trägers herangeogen werden kann. Mit W b =π d 3 /32 folgt für den erforderlichen Durchmessers eines Kreisquerschnitts 3 π d erf M b max 32 Mbmax d 3 erf 32 σ π σ Mit W b =b h 2 /6 folgt für die Querschnittsabmessungen eines Rechteckprofils h erf 6 M b σ ul bmax ul bw. Hierin ist h die Höhe und b die Breite des Rechteckquerschnitts. b erf 6 2 h M ul σ bmax ul 29

30 Bei Trägern mit veränderlichen Querschnitten muss der kritische Querschnitt nicht mit dem Querschnitt des größten Biegemoments identisch sein. A M a 2 M (x=a) F 1 M max B 1 Querschnitt maximalen Biegemoments 2 Querschnitt maximaler Biegespannung x Bei einen Spannungsnachweis müssen daher i. allg. alle als kritisch in Frage kommenden Querschnitte überprüft werden. Hinweis: Spannungsüberhöhungen infolge Kerbwirkung an. B. an Querschnittsübergängen oder Bohrungen sind usätlich u beachten. 30

31 Beispiel: Auslegung eines Dreifeld-Gerberträgers mit Streckenlast Gegeben: q 0 = 8 kn/m, σ ul = 180 N/mm 2, Länge a = 0,5 m Gesucht: Erforderliche T-Profilträger q 0 q 0 q 0 A x G x G S a a a x A G B C 31

32 ... Fortsetung 32

35 Beispiel: Spannungsnachweis einer gelagerten Welle Gegeben: q = 25 kn/m, a = 0,15 m, c = 0,2 m, d = 20 mm, D = 25 mm Gesucht: Biegespannungen an den Stellen 1 und 2 q d D 1 c/2 c/2 a a 2 Übung: Wie ist der Durchmesser D u wählen, wenn statt der Streckenlast eine äquivalente Einelkraft angreift und die ul. Spannung σ ul = 180 N/mm 2 beträgt? 35

36 13.4 Verformung bei gerader Biegung Unter der Wirkung einer Biegebeanspruchung werden Körper gekrümmt. Die Durchbiegung ist Anhängig von den äußeren Lasten und den elastischen Eigenschaften des Materials. Zur Sicherstellung der Funktionsfähigkeit sind daher balkenförmige Bauteile auch gegen unulässig hohe Verformungen ausulegen Differentialgleichung der Biegelinie Die Achse eines unter Belastung gekrümmten Balkens wird als elastische Linie oder Biegelinie beeichnet. M M Die Biegelinie kann durch eine x Differentialgleichung beschrieben w(x) werden. Biegelinie 36

37 Die Durchbiegung w(x) ist über der Balkenlängsachse veränderlich und wird in -Richtung positiv geählt. Betrachtet man ein Bogenstück ds der Biegelinie, so ergibt sich deren Krümmung k allgemein als Kehrwert des Krümmungsradius ρ M 1 w k = = 3 ρ 2 2 (1 + w ) dϕ mit der 1. Ableitung der Durchbiegung dw w = ρ dx w(x) x und der 2. Ableitung w = 2 d w 2 dx Für kleine Verformungen ist die Neigung tan α = w = dw/dx < 1 und somit das Quadrat der 1. Ableitung w ds dx α dw

38 Damit vereinfacht sich die Krümmungsgleichung u 1 w = ρ Die 2. Ableitung der Biegelinie ist proportional ur Krümmung der Durchbiegung. Aus der Beiehung M σ = = E folgt mit I ρ 1 = ρ M E I die linearisierte Differentialgleichung der Biegelinie für kleine Verformungen w ( x) = M ( x) E I Das Produkt aus Elastiitätsmodul und Flächenträgheitsmoment E I wird als Biegesteifigkeit beeichnet. Je größer die Biegesteifigkeit, umso geringer ist die Durchbiegung. 38

39 Durch unbestimmte Integration erhält man die Neigung der Biegelinie M ( x) w ( x) = dx + c EI Nochmalige Integration liefert die Durchbiegung M ( x) w ( x) = dx + c1 dx + c EI 1 mit den Integrationskonstanten c 1 und c 2, die noch an die Randbedingungen angepasst werden müssen. Mit dem aus TMI bekannten Zusammenhang wischen der Belastungsfunktion und den Schnittgrößen M ( x) = Q( x) und q ( x) = Q ( x) ergeben sich weitere Beiehungen u den Ableitungen der Biegelinie. 39 2

40 Für den Fall konstanter Biegesteifigkeit lässt sich dann vorteilhaft schreiben Belastungsfunktion EI w ( x) = q( x) Querkraft Biegemoment EI EI w ( x) = q( x) dx + k1 = Q( x) w ( x) = [ q( x) dx + k1] dx + k2 = M ( x) Neigung Durchbiegung EI w ( x) = M ( x) dx + c EI w( x) [ M ( x) dx + c dx + c = 1 1 ] 2 Die Integrationskonstanten werden aus den Randbedingungen der Struktur ermittelt. Bei bekannter Momentenlinie sind die geometrischen Randbedingungen Durchbiegung und Neigung an den Rändern einuseten, bei unbestimmten Sstemen usätlich die in TMI bereits behandelten statischen Randbedingungen Moment und Querkraft. 40

41 Randbedingung geometrisch statisch Lagerungsart Gleitlager, Gelenklager Smbol Durchbiegung w Neigung w Moment M w Querkraft Q w 0 i. a. 0 0 i. a. 0 Führung i. a. 0 0 i. a. 0 0 Freies Ende i. a. 0 i. a Einspannung 0 0 i. a. 0 i. a. 0 41

42 Beispiel: Träger mit Einellast Gegeben: F = 5 kn, L = 0,5 m, EI = Nmm 2 Gesucht: Biegelinie w(x) und Neigung w (x) w(x) L F x w w 42

43 Übung: Träger mit Endmoment Gegeben: M = 1 knm, L = 0,5 m, EI = Nmm 2 Gesucht: Biegelinie w(x) und Neigung w (x) L x M 43

44 Beispiel: Stat. unbest. gelagerter Träger Gegeben: Gesucht: Streckenlast q, Biegesteifigkeit EI, Länge L Biegelinie w(x) und Neigung w (x) w (x) L q x 44

45 Die Randbedingungen stellen ein lineares Gleichungssstem dar. Löst man. B. die stat. Randbedingung nach k 2 auf und sett den Ausdruck in die geom. Randbedingung ein, erhält man die noch unbekannten Integrationskonstanten: q Einseten in die Differentialgleichungen liefert 45

46 Die Integration der Differentialgleichungen kann nur in Bereichen mit stetigem Funktionsverlauf erfolgen. Jeder Stetigkeitsbereich eines Balkens muss für sich in der lokalen Koordinate integriert werden. Die usätlichen Integrationskonstanten müssen dann aus den Übergangsbedingungen ermittelt werden a x 1 F x 2 b w(x 1 =0) = 0 w(x 2 =b) = 0 w(x 1 =a) = w(x 2 =0) w (x 1 =a) = w (x 2 =0) Randbedingungen Übergangsbedingungen Neben den beiden Randbedingungen ergeben sich für jeden Teilbereich usätlich wei Übergangsbedingungen. Bei m Teilbereichen sind also 2m Integrationskonstanten u ermitteln. Bei statisch unbestimmt gelagerten Trägern verdoppelt sich der Aufwand. Bei Trägern mit mehreren Teilbereichen wird der rechnerische Aufwand schnell unverhältnismäßig groß und ist in der Praxis kaum noch durchführbar. 46

47 Beispiel: Mittig belasteter Zweifeld-Träger Gegeben: Gesucht: A Kraft F, Biegesteifigkeit EI, Länge a Biegelinie w(x) und Neigung w (x) F 1 2 B x 1 a x 2 a 47

50 Für einfache Grundlastfälle sind die Biegelinien in Tabellen usammengestellt. (aus J. Berger: Techn. Mechanik für Ingenieure) 50

51 Superposition Kompliierter Belastungsfälle lassen sich oft aus den in Tabellen aufgeführten Grundlastfällen durch Überlagerung (Superposition) ableiten. Superpositionsprinip: Querkräfte, Momente und Verformungen eines durch mehrere Kräfte belasteten Sstems ergeben sich aus der Summe der durch die Einelkräfte verursachten Querkräfte, Momente und Verformungen. F 1 F 2 = F 1 + F 2 w = w 1 + w 2 w 1 w 2 Das Superpositionsprinip gilt nur bei kleinen Verformungen und für lineares Materialverhalten (Hook sches Geset), was in der Festigkeitslehre meist utrifft. 51

52 Beispiel: Träger mit Streckenlast Gegeben: Gesucht: q Streckenlast q = 2 kn/m, Steifigkeit EI = Nmm 2, Länge, a = 0,5 m Durchbiegung w 1 für x < 3a und w 2 für x = 4a 3a a x 52

53 ... Fortsetung: Träger mit Streckenlast Übung: Gegeben: Gesucht: Träger mit Strecken- und Einelkraftlast q = 2 kn/m, F = 3 kn, EI = Nmm 2, a = 0,5 m Durchbiegung w 1 für x < 3a und w 2 für x = 4a q 3a a F x 53