Logik. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Aussage

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1 Logik Die Logik ist in der Programmierung sehr wichtig. Sie hilft z.b. bei der systematischen Behandlung von Verzweigungen und Schleifen. z.b. if (X Y und Y>0) then Oder beim Beweis, dass ein Algorithmus korrekt ist. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Aussage Den Begriff der Aussage kennen wir schon von den Gleichungen her. Eine Aussage P ist eine Behauptung die wahr oder falsch ist (W/F) (zumindest in der zweiwertigen Logik) z.b. 29 ist eine Primzahl Mit Hilfe der Operatoren und/oder lassen mehrere Aussagen zu einer neuen Aussage zusammensetzen (zusammengesetzte Aussage) z.b. die Sonne scheint und ich habe Hunger morgen scheint die Sonne oder wir gehen ins Kino Eine Aussage lässt sich mit Hilfe eines dritten Operator verneinen: z.b. ich fahre heute nicht nach Zürich Genauer: Aussage P: ich fahre heute nach Zürich ; (nicht P): es ist nicht so, dass ich heute nach Zürich fahre Lesen Sie das Beispiel 2.1 Seite 26 und lösen Sie die Aufgaben 2.1 p. 37 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

2 Wahrheitstafel Eine zusammengesetzte Aussage mit den Operatoren und, oder, nicht ist ebenfalls wahr oder falsch. Der Wahrheitswert hängt vom Wahrheitswert der einzelnen Elementaraussagen an Der Wahrheitswert einer zusammengesetzte Aussage lässt sich mit Hilfe einer Wahrheitstafel feststellen. Diese gibt den Wahrheitswerte für alle W/F-Kombinationen der Elementaraussagen an. Lesen Sie die Wahrheitstafeln auf p für (nicht P), (P und Q) sowie (P oder Q). Bemerkung: W(ahr) oder W(ahr) = W(ahr) heisst, dass in der Logik (P oder Q) bedeutet: P ist wahr oder Q ist wahr oder beides Und nicht wie in der Umgangssprache: entweder oder z.b. ich trinke Espresso oder Kaffee Lesen wir das Beispiel 2.2 p. 27 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block 6-3- Logisch äquivalent (gleichwertig) Zwei zusammengesetzte Aussagen heissen logisch äquivalent, falls sie für jede W/F-Kombination der Elementaraussagen denselben Wahrheitswert besitzen. (in der Wahrheitstafel identische Spalten haben) Lesen Sie Beispiel 2.3 wo bewiesen wird, dass (nicht (P und (nicht Q))) logisch äquivalent ist zu ((nicht P) oder Q) Vergleichen Sie die beiden zusammengesetzten Aussagen ((nicht P) oder Q) und (nicht (P und (nicht Q))) am Beispiel von: P: es regnet Q: ich bleibe zuhause Lösen Sie die Aufgabe 2.2 p. 37 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

3 Implikation und Kontraposition Eine bedingte Aussage (oder Implikation) hat die Form wenn P dann Q z.b. wenn es regnet, dann wird die Strasse nass Wird geschrieben als (P Q) Lesen Sie die Wahrheitstafel von (P Q) auf Seite 29 oben Man hat festgelegt, dass wenn P falsch ist, dann ist (P Q) in jedem Fall wahr. Was im normalen Sprachgebrauch im ersten Moment unlogisch scheint. Aber die bedingte Aussage stimmt ja auch, wenn es nicht regnet. Die Aussage ((nicht Q) (nicht P)) heisst Kontraposition (oder Gegenposition). Sie ist logisch äquivalent zur Implikation (P Q) Formulieren Sie die Kontraposition zu wenn es regnet, dann wird die Strasse nass Ist sie gleichwertig? Lesen Sie den Beweis via Wahrheitstafel Tabelle 2.6 auf Seite 29 unten Ist die Aussage wenn es nicht regnet, dann wird die Strasse nicht nass logisch äquivalent zur ersten? Nein: nicht P nicht Q ist nicht logisch äquivalent zu P Q. Die Strasse kann z.b. von einer Strassenputzmaschine nass sein. nicht Q nicht P ist hingegen logisch äquivalent zu P Q. Lösen Sie die Aufgabe p Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Prädikat Ein Prädikat ist eine Behauptung, welche Variablen enthält, z.b. eine Gleichheitsaussage (vergl. Gleichungen) Ihr Wahrheitswert hängt von Wert der Variablen ab Nebst den logischen Operatoren nicht, und, oder gibt es bei Prädikaten zwei so genannte Quantoren: x: für alle Variablenwerte von x, z.b. alle Katzen haben Schwänze x: es gibt einen Variablenwert, z.b. es gibt eine Katzenart ohne Schwanz Lesen Sie die Beispiele p Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

4 Negation (Verneinung) von Quantoren Prädikate mit Quantoren lassen sich verneinen z.b. nicht ( x (P(x)): es ist nicht wahr, dass es ein x gibt, so dass P(x) wahr ist nicht ( x (P(x)): es ist nicht wahr, dass P(x) für alle x wahr ist Für ein beliebiges Prädikat P(x) gelten die folgenden logischen Äquivalenzen: nicht ( x (P(x)) x (nicht (P(x)) nicht ( x (P(x)) x (nicht (P(x)) Beispiel1: P(x) = Am Ort x auf dem Mond hat es Wasser x P(x): es gibt einen Ort mit Wasser nicht ( x (P(x)): es gibt keinen Ort auf dem Mond mit Wasser x (nicht (P(x)): alle Orte auf dem Mond haben kein Wasser Beispiel2: P(x) = Die Katzenart x hat einen Schwanz x P(x): alle Katzenarten haben Schwänze nicht ( x (P(x)): nicht alle Katzenarten haben Schwänze x (nicht (P(x)): es gibt eine Katzenart ohne Schwanz Lesen Sie das Beispiel 2.9 Seite 31 Lösen Sie die Aufgabe p b) sollte heissen: die keine Schnurrhaare hat Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Beweisverfahren Beweisverfahren werden bei der Entwicklung und Prüfung von Algorithmen verwendet. Ein mathematischer Satz lässt sich häufig als logische Implikation (P Q) schreiben z.b. sind α,β,γ die Innenwinkel eines Dreiecks, dann gilt: α+β+γ =180 o Ein Beweis kann auf 3 Arten erfolgen: P(x) ist wahr dann ist auch Q(x) wahr (direkter Beweis) Q(x) ist falsch dann ist auch P(x) falsch (Beweis durch Kontraposition) P(x) ist wahr und Q(x) ist falsch führt zu einem Widerspruch (Beweis Durch Widerspruch) Lesen Sie die Beispiele p Lösen Sie die Aufgabe 2.7 Seite 38 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

5 2.4 Vollständige Induktion Die vollständige Induktion ist ein elegantes Beweisverfahren für mathematische Sätze, welche von einer natürlich-zahligen Variablen abhängen z.b n = n (n+1)/2 Sie dient auch beim Beweis der Korrektheit eines Algorithmus mit Schleifen Lesen Sie das Beispiel zur Berechnung des grössten Elements einer Liste p. 34 oben Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion ist selber wieder ein Algorithmus. Sei P(n) ein Prädikat in Abhängigkeit einer natürlichen Zahl n Und sei P(1) wahr Wenn wir beweisen können, dass für eine beliebige natürliche Zahl i falls P(i) wahr ist auch P(i+1) wahr ist Dann ist P(n) für jede natürliche Zahl wahr. Beginnen Sie mit P(1) = wahr und durchlaufen Sie die vollständige Induktion bis P(7) Lesen Sie die Beispiele p Lösen Sie die Aufgaben Seite Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Korrektheit von Algorithmen Die Korrektheit eines Algorithmus wird bewiesen, indem sämtliche Kombinationen von Variablenwerten vor, während und nach ausführen des Algorithmus untersucht werden. Dabei setzen wir nicht jeden Variablenwert einzeln, sondern arbeiten mit Prädikaten in Form von Behauptungen über die Variablen vor, während und nach der Ausführung des Algorithmus {P}A{Q} bedeutet: wenn das Prädikat P zu Beginn des Algorithmus A wahr ist (Vorbedingung) dann ist am Ende des Algorithmus das Prädikat Q wahr (Nachbedingung. {P}A{Q} ist selber wieder ein Prädikat. Der Algorithmus A ist also korrekt, wenn für jede mögliche Kombination der Anfangswerte P und jede Soll-Kombination der Ausgangswerte Q {P}A{Q} wahr ist Lesen Sie die Aufgabe 1 p. 41 P: x=x 1 und y=y 1 (konkrete Eingabewerte) Q: z = x 1 -y 1 (gewünschte Ausgangswerte) Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

6 Beweis bei Aneinanderreihungen, Verzweigungen Falls ein Algorithmus eine Aneinanderreihung von Anweisungen enthält, so zerlegen wir ihn in Segmente A 1, A 2,, A n und beweisen eine Kette von Behauptungen: {P}A 1 {Q 1 }, {Q 1 }A 2 {Q 2 },, {Q n-1 } A n {Q} wobei die Nachbedingung eines Segments die Vorbedingung des nächsten ist. Lesen Sie Aufgabe 2 p. 41 Bei einer Verzweigung: if Bedingung then Anweisungen1 else Anweisungen2 Müssen 2 Beweise geführt werden: 1. {P und Bedingung wahr}anweisungen1{q} 2. {P und Bedingung falsch}anweisungen2{q} Lesen Sie die Aufgabe 3 p. 43 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Beweis bei Schleifen Der Beweis einer Schleife erfolgt mittels vollständiger Induktion Lesen Sie die Aufgabe 4 p Der Beweis einer while-do oder repeat-until-schleife ist schwieriger als einer forto-do-schleife, weil zusätzlich bewiesen werden muss, dass der Algorithmus beendet wird, d.h. nicht endlos weiterläuft. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

7 Aufgaben bis zur nächsten Präsenz Lesen Sie das Skript nochmals durch. Lösen Sie die darin angegebenen Übungen aus dem Buch fertig. Lesen Sie Haggarty Kap. 2 Markieren Sie im Taschenbuch der Mathematik die behandelten Formeln mit Leuchtstift Bei Problemen Mail an m2@kmu-dir.ch oder epeter@fernfachhochschule.ch Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Ziele Die Studierenden kennen die Bedeutung der Begriffe Aussage und Wahrheitswert Sie kennen die logischen Operatoren nicht, und, oder, mit deren Hilfe sich zusammengesetzte Aussagen konstruieren lassen Sie können die Wahrheitstafel zu einer zusammengesetzte Aussage aufstellen und damit entscheiden, ob zwei zusammengesetzte Aussagen logisch äquivalent (gleichwertig) sind Sie kennen den Begriff der bedingten Aussage und der Kontraposition Sie kennen den Begriff Prädikat sowie die zwei Quantoren (Quantor- Operatoren) für alle x und es existiert x. Sie kennen die verschiedenen Beweisverfahren und können sie anwenden: direkter Beweis, Beweis durch Kontraposition, Beweis durch Widerspruch Sie kennen die Beweismethode der vollständigen Induktion und können sie anwenden Sie kennen die Anwendung der Beweisverfahren auf die Prüfung der Korrektheit von Algorithmen Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

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