Wege, Pfade und Kreise

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1 Wege, Pfade und Kreise ef.: in Weg ist eine olge von Knoten (v 1, v2,..., vk), so dass {vi,vi+1} für alle 1 i<k. er bstand zwischen zwei Knoten ist die Länge des kürzesten Weges zwischen diesen Knoten. in Weg heißt einfach, wenn {vi,vi+1} {vj,vj+1} für alle 1 i<j<k nalog für gerichtete raphen ef.: in Pfad ist ein Weg (v1, v2,..., vk), so dass vi vj für alle 1 i<j k. ef.: in Kreis ist ein einfacher Weg (v 1, v2,..., vk), so dass vi vj für alle 1<i<j<k und v1=vk. 1

2 Zusammenhang ef.: in ungerichteter raph ist zusammenhängend, wenn es für alle u,v V einen Pfad von u nach v gibt. ef.: in gerichteter raph ist stark zusammenhängend, wenn es für alle u,v V einen Pfad von u nach v und einen Pfad von v nach u gibt. in gerichteter raph ist schwach zusammenhängend wenn sein ungerichteter raph zusammenhängend ist. ie (Zusammenhangs-)Komponenten eines raphen sind seine maximalen zusammenhängenden Teilgraphen. 2

3 äume ef.: in aum ist ein zusammenhängender kreisfreier raph. in Knoten eines aums v heißt latt, wenn deg(v)=1. in Wald ist ein raph, dessen Komponenten äume sind. Satz: In jedem aum gilt = V -1. eweis: Widerspruch (durch nnahme es gäbe ein kleinstes egenbeispiel) - Jeder aum mit mehr als zwei Knoten enthält mindestens zwei lätter - urch ntfernen eines latts in einem aum mit mehr als zwei Knoten erhält man wieder einen aum Wenn man eine Kante aus einem aum entfernt, ist der resultierende raph nicht zusammenhängend. äume sind gerade noch zusammenhängend. 3

4 raphtraversierung L K I J J K L I [asgupta, Papadimitriou, & Vazirani, 2006] llgemeiner Traversierungsalgorithmus (Startknoten s) Z={s} While u Z, v V\Z: {u,v} Z=Z {v} ndwhile 4

5 Tiefensuche xploriere die Nachbarschaft der jüngsten Knoten in Z Implementierung mit ilfe eines Stapelspeichers (stack): LIO - Push: nicht betrachtete Knoten in der Nachbarschaft des obersten lements - Pop: falls alle Knoten in der Nachbarschaft des obersten lements bereits betrachtet wurden Lineare Laufzeit: O( V + ) bei Verwendung einer djazenzliste I J I K L J 5

6 reitensuche xploriere die Nachbarschaft der ältesten Knoten in Z Implementierung mit ilfe einer Warteschlange (queue): IO Vordringen in benen - ie k. bene besteht aus allen Knoten, deren kürzester bstand zu u k beträgt. - Spannbaum aus kürzesten Wegen Lineare Laufzeit S S 6

7 Traversierung: nwendungen inden aller von s erreichbaren Knoten inden aller Zusammenhangskomponenten Knotenbezeichnung (pre,post) - pre: push-zeitpunkt, post: pop-zeipunkt (a) I J K L Test auf Kreisfreiheit (b) enthält einen Kreis Traversierung liefert eine Rückkante 2,3 1,10 I J 6,7 4,9 5,8 14,17 12,21 13,20 K 15,16 11,22 23,24 L 18,19 7

8 reitensuche: nwendungen inden des kürzesten Weges zwischen zwei Knoten Test auf ipartitheit ef.: in raph (V,) ist bipartit, wenn es zwei disjunkte Mengen V1 und V2 gibt, so dass V=V1 V2 und e V1 und e V2 für alle e. ist bipartit enthält keinen Kreis ungerader Länge - von links nach rechts: indirekter eweis durch 2-ärbung der Knoten (adjazente Knoten dürfen nicht dieselbe arbe haben) - von rechts nach links: konstruktiv durch 2-ärbung der Knoten mit ilfe einer reitensuche 8

9 erichtete raphen (1) Terminologie in Knoten v heißt Quelle, wenn sein ingangsgrad indeg(v)=0. in Knoten v heißt Senke, wenn sein usgangsgrad outdeg(v)=0. inden des kürzesten Weges zwischen zwei Knoten reitensuche Test auf Kreisfreiheit reiten- oder Tiefensuche 2,11 1,16 12,15 3,10 13,14 4,7 8,9 5,6 9

10 erichtete raphen (2) Topologische Sortierung (Linearisierung) ef: ine topologische Sortierung eines gerichteten raphen =(V,) ist eine bijektive bbildung f:v {1,2,..., V }, so dass f(u)<f(v) für alle (u,v) gilt. besitzt eine topologische Sortierung ist kreisfrei - von links nach rechts: indirekter eweis - von rechts nach links: konstruktiv mit ilfe einer Tiefensuche, topologische Sortierung in umgekehrter post-reihenfolge - Jede Kante im Tiefensuchebaum führt zu einem Knoten mit geringerem post-index 10

11 erichtete raphen (3) Test auf starken Zusammenhang ef.: en transponierten raph T eines gerichteten raphen erhält man durch Transponierung der djazenzmatrix. - Umkehrung aller Kanten reiten- oder Tiefensuche ausgehend von beliebigem Knoten s in und T - ist stark zusammenhängend eide Traversierungen liefern alle Knoten inden aller starken Zusammenhangskomponenten ie starken Zusammenhangskomponenten eines raphen bilden einen kreisfreien gerichteten raphen Tiefensuche ausgehend vom Knoten einer Senkenkomponente liefert alle Knoten dieser Komponente in solcher Knoten hat maximalen post-index nach Tiefensuche in T lgorithmus von Kosaraju (1978) 11

12 lgorithmus von Kosaraju (a) (b) I J L K,,,,I J,K,L,, Tiefensuche in T einschl. post-markierung While V Tiefensuche in ausgehend vom Knoten mit höchstem post-index Resultierende Knotenmenge stellt eine Komponente dar und kann entfernt werden ndwhile,,i J,K,L I J K L 12

13 Zusammenfassung olgende Probleme sind sowohl in ungerichteten als auch in gerichteten raphen in linearer Zeit lösbar (O( V + ) bei Verwendung von djazenzlisten): Testen auf Kreisfreiheit Testen auf ipartitheit inden aller Zusammenhangskomponenten inden kürzester Wege inden einer topologischen Sortierung eines gerichteten raphen rweiterung von reitensuche für gewichtete raphen ijkstras lgorithmus (für positive Kantengewichte) ellman & ord lgorithmus 13