Fibonaccizahlen. elementar, schön und real. Bodo Werner. Department Mathematik Universität Hamburg. Tag der Mathematik 5.

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1 Fibonaccizahlen elementar, schön und real Bodo Werner Department Mathematik Universität Hamburg Tag der Mathematik 5. Juli 2008

2 Jahr der Mathematik Kalenderblatt der DMV

3 Geschichte Fibonacci I Leonardo da Pisa, genannt FIBONACCI ( (?)) Erster großer Mathematiker des christlichen Abendlandes!

4 Geschichte Fibonacci II Liber Abbaci (1202): Indisch-arabische Ziffern

5 Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Folge (F n ) F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1,..., F 9 = 34,... Rekursion: F n = F n 1 + F n 2, F 0 = 0, F 1 = 1. Formel von J. P. M. BINET ( ) F n = 1 (( ) n ( ) n ) 5, n = 0, 1, 2,...

6 Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Folge (F n ) F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1,..., F 9 = 34,... Rekursion: F n = F n 1 + F n 2, F 0 = 0, F 1 = 1. Formel von J. P. M. BINET ( ) F n = 1 (( ) n ( ) n ) 5, n = 0, 1, 2,...

7 Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Folge (F n ) F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1,..., F 9 = 34,... Rekursion: F n = F n 1 + F n 2, F 0 = 0, F 1 = 1. Formel von J. P. M. BINET ( ) F n = 1 (( ) n ( ) n ) 5, n = 0, 1, 2,...

8 Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Folge (F n ) F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1,..., F 9 = 34,... Rekursion: F n = F n 1 + F n 2, F 0 = 0, F 1 = 1. Formel von J. P. M. BINET ( ) F n = 1 (( ) n ( ) n ) 5, n = 0, 1, 2,...

9 Kaninchenvermehrung A I

10 Kaninchenvermehrung A II

11 Kaninchenvermehrung A III J n = A n 1, A n = A n 1 + J n 1 A n = A n 1 + A n 2.

12 Kaninchenfolge 0 1 1, 0 1, 0, 1 1, 0, 1, 1, 0 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0

13 Kaninchenfolge 0 1 1, 0 1, 0, 1 1, 0, 1, 1, 0 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0

14 Pflanzenwachstum A Achillea ptarmica Sumpf-Schafgarbe

15 Pflanzenwachstum B

16 X-Chromosom-Vererbung

17 F-Rechtecke I

18 F-Rechtecke II

19 F-Rechtecke III

20 F-Rechtecke IV

21 F-Rechtecke V

22 F-Rechtecke VI

23 F-Rechtecke VII

24 Dame Halma I

25 Dame Halma II

26 Dame Halma III

27 Dame Halma IV

28 Dame Halma V

29 Dame Halma VI

30 Dame Halma VII

31 Dame Halma VIII

32 Dame Halma IX

33 Dame Halma X

34 Dame Halma XI

35 Dame Halma XII

36 Dame Halma XIII

37 Dame Halma XIV

38 Dame Halma XV

39 Dame Halma XVI

40 Münzwurf Zufallsgeneratoren Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p n, bei n Münzwürfen niemals zweimal hintereinander Zahl zu werfen? Zahl:=1, Wappen:=0. Es gibt 2 n 0-1-Folgen der Länge n Wieviele Fibonacci-Sequenzen der Länge n Einsen hintereinander) gibt es? (keine zwei Antwort: F n+2, p n = F n+2 2 n

41 Münzwurf Zufallsgeneratoren Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p n, bei n Münzwürfen niemals zweimal hintereinander Zahl zu werfen? Zahl:=1, Wappen:=0. Es gibt 2 n 0-1-Folgen der Länge n Wieviele Fibonacci-Sequenzen der Länge n Einsen hintereinander) gibt es? (keine zwei Antwort: F n+2, p n = F n+2 2 n

42 Münzwurf Zufallsgeneratoren Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p n, bei n Münzwürfen niemals zweimal hintereinander Zahl zu werfen? Zahl:=1, Wappen:=0. Es gibt 2 n 0-1-Folgen der Länge n Wieviele Fibonacci-Sequenzen der Länge n Einsen hintereinander) gibt es? (keine zwei Antwort: F n+2, p n = F n+2 2 n

43 Phyllotaxis I Phyllotaxis, der Lehre von der Blattstellung bzw. allgemeiner von der Musterbildung bei Pflanzen. Leonardo da Vinci ( ) entdeckte Spiralmuster Charles Bonnet ( ): Parastichen (Spiralarme) Schimper (1830): Divergenzwinkel

44 Phyllotaxis II

45 Blütenblätter I

46 Blütenblätter II

47 Blütenblätter III

48 Blütenblätter IV

49 Blütenblätter V

50 Blütenblätter VI

51 Kiefernzapfen I

52 Kiefernzapfen II

53 Kiefernzapfen III

54 Spiralmuster (Parastichen) I

55 Spiralmuster (Parastichen) II 55 links- und 34 rechtsdrehende Spiralen

56 Spiralmuster (Parastichen) III

57 Goldener Schnitt: Definition

58 Goldener Schnitt Fortsetzung Kleine Goldene Schnittzahl ϕ = 1 ( ) 5 1 = Große Goldene Schnittzahl Φ = 1 ( ) = 1 + ϕ =

59 Fibonaccizahlen Goldener Schnitt (Forts.) Theorem Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen konvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl. F n 1 lim = ϕ. n F n Theorie der Kettenbrüche!!

60 Fibonaccizahlen Goldener Schnitt (Forts.) Theorem Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen konvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl. F n 1 lim = ϕ. n F n Theorie der Kettenbrüche!!

61 Fibonaccizahlen Goldener Schnitt (Forts.) Theorem Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen konvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl. F n 1 lim = ϕ. n F n Theorie der Kettenbrüche!!

62 Divergenz

63 Drehwinkel Drehwinkel ω (Gradmaß, Bogenmaß) ω = 1 entspricht 360 Grad oder 2π ω = 1 2 entspricht 180 Grad oder π ω = 3 4 entspricht 270 Grad oder 3 2 π Der goldene Winkel ω = ϕ entspricht 222,5 Grad = ϕ 360 Grad Der Komplementwinkel: 137,5 Grad

64 Drehwinkel Drehwinkel ω (Gradmaß, Bogenmaß) ω = 1 entspricht 360 Grad oder 2π ω = 1 2 entspricht 180 Grad oder π ω = 3 4 entspricht 270 Grad oder 3 2 π Der goldene Winkel ω = ϕ entspricht 222,5 Grad = ϕ 360 Grad Der Komplementwinkel: 137,5 Grad

65 Drehwinkel Drehwinkel ω (Gradmaß, Bogenmaß) ω = 1 entspricht 360 Grad oder 2π ω = 1 2 entspricht 180 Grad oder π ω = 3 4 entspricht 270 Grad oder 3 2 π Der goldene Winkel ω = ϕ entspricht 222,5 Grad = ϕ 360 Grad Der Komplementwinkel: 137,5 Grad

66 Drehwinkel Drehwinkel ω (Gradmaß, Bogenmaß) ω = 1 entspricht 360 Grad oder 2π ω = 1 2 entspricht 180 Grad oder π ω = 3 4 entspricht 270 Grad oder 3 2 π Der goldene Winkel ω = ϕ entspricht 222,5 Grad = ϕ 360 Grad Der Komplementwinkel: 137,5 Grad

67 Goldene Drehung

68 Orbit der goldenen Drehung Saatmaschine I

69 Orbit der goldenen Drehung Saatmaschine II

70 Orbit der goldenen Drehung Saatmaschine III

71 Orbit der goldenen Drehung Saatmaschine IV

72 Orbit der goldenen Drehung I

73 Orbit der goldenen Drehung II

74 Orbit der goldenen Drehung III

75 Orbit der goldenen Drehung IV

76 Orbit der goldenen Drehung V

77 Orbit der goldenen Drehung VI

78 Orbit der goldenen Drehung VII

79 Orbit einer Drehung um 122,29 Grad I

80 Orbit einer Drehung um 122,29 Grad II

81 Orbit einer Drehung um 122,29 Grad III

82 Zusammenfassung Die goldene Drehung führt zu einer optimalen Packung.

83 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) I

84 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) II

85 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) III

86 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) IV

87 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) V

88 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) VI

89 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) VII

90 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) VIII

91 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) IX

92 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) X

93 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XI

94 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XII

95 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XIII

96 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XIV

97 Schlussbemerkung Das beschriebene mathematische Modell erklärt die auftretenden Spiralmuster. Aber es muss keineswegs richtig sein.

98 Hippasos - Euklid - Irrationalität von Φ I

99 Hippasos - Euklid - Irrationalität von Φ II

100 Hippasos - Euklid - Irrationalität von Φ III

101 Hippasos - Euklid - Irrationalität von Φ IV

102 Hippasos - Euklid - Irrationalität von Φ V

103 Hippasos - Euklid - Irrationalität von Φ VI

104 Hippasos - Euklid - Irrationalität von Φ VII

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