Umkehrfunktion. g (y) = f (x) 1, x = g(y), Umkehrfunktion 1-1

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1 Umkehrfunktion Ist für eine stetig differenzierbare n-variate Funktion f : D R n die Jacobi-Matrix f (x ) für einen Punkt x im Innern des Definitionsbereiches D R n nicht singulär, so ist f lokal invertierbar, d.h. f bildet eine Umgebung U von x bijektiv auf eine Umgebung V von y = f (x ) ab. Die Umkehrfunktion g = f 1 ist auf V stetig differenzierbar, und es gilt für alle y V. g (y) = f (x) 1, x = g(y), Umkehrfunktion 1-1

2 Umkehrfunktion Ist für eine stetig differenzierbare n-variate Funktion f : D R n die Jacobi-Matrix f (x ) für einen Punkt x im Innern des Definitionsbereiches D R n nicht singulär, so ist f lokal invertierbar, d.h. f bildet eine Umgebung U von x bijektiv auf eine Umgebung V von y = f (x ) ab. Die Umkehrfunktion g = f 1 ist auf V stetig differenzierbar, und es gilt g (y) = f (x) 1, x = g(y), für alle y V. Man beachte, dass im Gegensatz zu einer univariaten Funktion aus der Invertierbarkeit von f (x) für alle x aus einer zusammenhängenden Menge D nicht notwendig die Injektivität auf dem gesamten Definitionsbereich folgt; eine globale Umkehrfunktion muss nicht existieren. Umkehrfunktion 1-2

3 Beweis: (i) Wählt man o.b.d.a. die Umgebung U von x als eine offene Teilmenge von D, auf der f nicht singulär ist (möglich aufgrund der Stetigkeit von det f ), so genügt es, neben der lokalen Injektivität von f (Existenz von g = f 1 ) die Differenzierbarkeit von g nur im Punkt y zu zeigen. Umkehrfunktion 2-1

4 Beweis: (i) Wählt man o.b.d.a. die Umgebung U von x als eine offene Teilmenge von D, auf der f nicht singulär ist (möglich aufgrund der Stetigkeit von det f ), so genügt es, neben der lokalen Injektivität von f (Existenz von g = f 1 ) die Differenzierbarkeit von g nur im Punkt y zu zeigen. Begründung: Umkehrfunktion 2-2

5 Beweis: (i) Wählt man o.b.d.a. die Umgebung U von x als eine offene Teilmenge von D, auf der f nicht singulär ist (möglich aufgrund der Stetigkeit von det f ), so genügt es, neben der lokalen Injektivität von f (Existenz von g = f 1 ) die Differenzierbarkeit von g nur im Punkt y zu zeigen. Begründung: Existenz von g (y ) = Stetigkeit von g im Punkt y Umkehrfunktion 2-3

6 Beweis: (i) Wählt man o.b.d.a. die Umgebung U von x als eine offene Teilmenge von D, auf der f nicht singulär ist (möglich aufgrund der Stetigkeit von det f ), so genügt es, neben der lokalen Injektivität von f (Existenz von g = f 1 ) die Differenzierbarkeit von g nur im Punkt y zu zeigen. Begründung: Existenz von g (y ) = Stetigkeit von g im Punkt y Anwendung des Resultates für beliebige Punkte x U an Stelle von x = Differenzierbarkeit von g an allen Punkten y V = f (U) = Stetigkeit von g auf V Umkehrfunktion 2-4

7 Beweis: (i) Wählt man o.b.d.a. die Umgebung U von x als eine offene Teilmenge von D, auf der f nicht singulär ist (möglich aufgrund der Stetigkeit von det f ), so genügt es, neben der lokalen Injektivität von f (Existenz von g = f 1 ) die Differenzierbarkeit von g nur im Punkt y zu zeigen. Begründung: Existenz von g (y ) = Stetigkeit von g im Punkt y Anwendung des Resultates für beliebige Punkte x U an Stelle von x = Differenzierbarkeit von g an allen Punkten y V = f (U) = Stetigkeit von g auf V Stetigkeit und Invertierbarkeit von f auf U, Stetigkeit von g auf V = Stetigkeit von g : y f (g(y)) 1 Umkehrfunktion 2-5

8 (ii) Invarianz des Resultates unter affinen Transformationen Betrachtung von p(x) = f (x ) 1 (f (x + x) y ) an Stelle von f Umkehrfunktion 2-6

9 (ii) Invarianz des Resultates unter affinen Transformationen Betrachtung von an Stelle von f vereinfachte Voraussetzungen: p(x) = f (x ) 1 (f (x + x) y ) p(0 n ) = 0 n, d.h. x, y 0 n = (0,..., 0), p (0 n ) = E mit E der Einheitsmatrix Umkehrfunktion 2-7

10 (ii) Invarianz des Resultates unter affinen Transformationen Betrachtung von an Stelle von f vereinfachte Voraussetzungen: p(x) = f (x ) 1 (f (x + x) y ) p(0 n ) = 0 n, d.h. x, y 0 n = (0,..., 0), p (0 n ) = E mit E der Einheitsmatrix Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Punkt 0 n = (1) p (x) E ϕ( x ), (2) p(x) = x + R(x), R(x) x ϕ( x ) mit ϕ(t) 0 für t 0 Umkehrfunktion 2-8

11 (ii) Invarianz des Resultates unter affinen Transformationen Betrachtung von an Stelle von f vereinfachte Voraussetzungen: p(x) = f (x ) 1 (f (x + x) y ) p(0 n ) = 0 n, d.h. x, y 0 n = (0,..., 0), p (0 n ) = E mit E der Einheitsmatrix Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Punkt 0 n = (1) p (x) E ϕ( x ), (2) p(x) = x + R(x), R(x) x ϕ( x ) mit ϕ(t) 0 für t 0 ( 0 R(x) ϕ( x ) R(x) = o(1) für x 0; verschiedene Funktionen ϕ in den Ungleichungen (1) und (2) können durch ihr Maximum, also eine gemeinsame Funktion, ersetzt werden ) Umkehrfunktion 2-9

12 (iii) Injektivität von p auf der Kugel U : x < δ: Umkehrfunktion 2-10

13 (iii) Injektivität von p auf der Kugel U : x < δ: wähle δ so, dass ϕ(δ) < 1/2 Umkehrfunktion 2-11

14 (iii) Injektivität von p auf der Kugel U : x < δ: wähle δ so, dass ϕ(δ) < 1/2 x, x U, p(x) = p( x), multivariater Mittelwertsatz = und 0 = u( x) u(x) = = ( x x) p ((1 t)x + t x) ( x x) dt }{{} (E+p (x t) E) (p (x t ) E)( x x) dt x x p (x t ) E x x = (1) ϕ( x t ) x x Umkehrfunktion 2-12

15 (iii) Injektivität von p auf der Kugel U : x < δ: wähle δ so, dass ϕ(δ) < 1/2 x, x U, p(x) = p( x), multivariater Mittelwertsatz = und 0 = u( x) u(x) = = ( x x) p ((1 t)x + t x) ( x x) dt }{{} (E+p (x t) E) (p (x t ) E)( x x) dt x x p (x t ) E x x = (1) ϕ( x t ) x x x t U = ϕ( x t ) < ϕ(δ) < 1/2 = x = x Umkehrfunktion 2-13

16 (iv) V = p(u) enthält die Kugel B : y < δ/4, ist also eine Umgebung von 0 n : Umkehrfunktion 2-14

17 (iv) V = p(u) enthält die Kugel B : y < δ/4, ist also eine Umgebung von 0 n : zeige dazu mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass die Abbildung S : x x p(x) + y einen eindeutigen Fixpunkt in der Kugel B : x δ/2 besitzt, d.h. x mit y = p(x) Umkehrfunktion 2-15

18 (iv) V = p(u) enthält die Kugel B : y < δ/4, ist also eine Umgebung von 0 n : zeige dazu mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass die Abbildung S : x x p(x) + y einen eindeutigen Fixpunkt in der Kugel B : x δ/2 besitzt, d.h. x mit y = p(x) verifiziere die notwendigen Voraussetzungen: Umkehrfunktion 2-16

19 (iv) V = p(u) enthält die Kugel B : y < δ/4, ist also eine Umgebung von 0 n : zeige dazu mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass die Abbildung S : x x p(x) + y einen eindeutigen Fixpunkt in der Kugel B : x δ/2 besitzt, d.h. x mit y = p(x) verifiziere die notwendigen Voraussetzungen: S( B) B: S(x) = (2) x (x + R(x) ) + y x ϕ( x ) + y }{{} p(x) (δ/2) ϕ(δ/2) +δ/4 = δ/2 }{{} ϕ(δ)<1/2 Umkehrfunktion 2-17

20 (iv) V = p(u) enthält die Kugel B : y < δ/4, ist also eine Umgebung von 0 n : zeige dazu mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass die Abbildung S : x x p(x) + y einen eindeutigen Fixpunkt in der Kugel B : x δ/2 besitzt, d.h. x mit y = p(x) verifiziere die notwendigen Voraussetzungen: S( B) B: S(x) = (2) x (x + R(x) ) + y x ϕ( x ) + y }{{} p(x) (δ/2) ϕ(δ/2) +δ/4 = δ/2 }{{} ϕ(δ)<1/2 S( x) S(x) c x x mit c < 1: Abschätzung der Kontraktionskonstante durch c = max x B S Umkehrfunktion 2-18

21 (iv) V = p(u) enthält die Kugel B : y < δ/4, ist also eine Umgebung von 0 n : zeige dazu mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass die Abbildung S : x x p(x) + y einen eindeutigen Fixpunkt in der Kugel B : x δ/2 besitzt, d.h. x mit y = p(x) verifiziere die notwendigen Voraussetzungen: S( B) B: S(x) = (2) x (x + R(x) ) + y x ϕ( x ) + y }{{} p(x) (δ/2) ϕ(δ/2) +δ/4 = δ/2 }{{} ϕ(δ)<1/2 S( x) S(x) c x x mit c < 1: Abschätzung der Kontraktionskonstante durch c = max x B S S (x) = E p (x) = (1) c = 1/2 Umkehrfunktion 2-19

22 (v) q (0 n ) = E, q = p 1 : Umkehrfunktion 2-20

23 (v) q (0 n ) = E, q = p 1 : zu zeigen: q(y) = q(0 n ) }{{} 0 n +y + R(y) mit R(y) = o( y ) für y 0 Umkehrfunktion 2-21

24 (v) q (0 n ) = E, q = p 1 : zu zeigen: q(y) = q(0 n ) }{{} 0 n +y + R(y) mit R(y) = o( y ) für y 0 y = p(x) R(y) = q(y) y = x p(x) = (2) R(x) = o( x ) Umkehrfunktion 2-22

25 (v) q (0 n ) = E, q = p 1 : zu zeigen: q(y) = q(0 n ) }{{} 0 n +y + R(y) mit R(y) = o( y ) für y 0 y = p(x) R(y) = q(y) y = x p(x) = (2) R(x) = o( x ) noch x durch y abzuschätzen: y = p(x) = (2) x + R(x) x x ϕ( x ) (1 1/2) x für y B, x B Umkehrfunktion 2-23

26 Beispiel: prüfe die lokale Invertierbarkeit der Funktion ( ) ( ) ( x u xy f : = y v x/y ) im Punkt (x, y) = (2, 1) : Umkehrfunktion 3-1

27 Beispiel: prüfe die lokale Invertierbarkeit der Funktion ( ) ( ) ( x u xy f : = y v x/y ) im Punkt (x, y) = (2, 1) : Jacobi-Matrix f (x, y) = ( y x 1/y x/y 2 ) Umkehrfunktion 3-2

28 Beispiel: prüfe die lokale Invertierbarkeit der Funktion ( ) ( ) ( x u xy f : = y v x/y ) im Punkt (x, y) = (2, 1) : Jacobi-Matrix f (x, y) = Einsetzen der konkreten Koordinaten J f = f (2, 1) = ( y x 1/y x/y 2 ( det J = 4 0 = Umkehrfunktion g in Umgebung von ( ) ( ) u 2 = f (x, y) = 2 v ) ) Umkehrfunktion 3-3

29 Jacobi-Matrix im Punkt (u, v ) g (2, 2) = (J f ) 1 = 1 4 ( ) Umkehrfunktion 3-4

30 Jacobi-Matrix im Punkt (u, v ) g (2, 2) = (J f ) 1 = 1 4 ( explizite Bestimmung von g durch Auflösen der Ausdrücke für u und v nach x und y: ( ) ( ) x uv = g(u, v) = y u/v ) Überprüfung der Formel für g (2, 2) auf direktem Weg Umkehrfunktion 3-5

31 Jacobi-Matrix im Punkt (u, v ) g (2, 2) = (J f ) 1 = 1 4 ( explizite Bestimmung von g durch Auflösen der Ausdrücke für u und v nach x und y: ( ) ( ) x uv = g(u, v) = y u/v ) Überprüfung der Formel für g (2, 2) auf direktem Weg g (u, v) = 1 2 ( v/u u/v 1/ uv u/v 3 ) Umkehrfunktion 3-6

32 Jacobi-Matrix im Punkt (u, v ) g (2, 2) = (J f ) 1 = 1 4 ( explizite Bestimmung von g durch Auflösen der Ausdrücke für u und v nach x und y: ( ) ( ) x uv = g(u, v) = y u/v ) Überprüfung der Formel für g (2, 2) auf direktem Weg g (u, v) = 1 2 ( v/u u/v 1/ uv u/v 3 ) Übereinstimmung für (u, v) = (2, 2) Umkehrfunktion 3-7

33 Beispiel: komplexe Exponentialfunktion z = x + iy e z = u + iv, reelle Darstellung: f (x, y) = ( u v ) = ( e x cos y e x sin y ) mit der Jacobi-Matrix ( f (x, y) = e x cos y sin y sin y cos y ) Umkehrfunktion 4-1

34 det f (x, y) = e 2x > 0 = lokale Existenz einer Umkehrfunktion g (ein Zweig des komplexen Logarithmus) mit der Ableitung g (u, v) = ( f (x, y) ) ( ) 1 = e x cos y sin y sin y cos y Umkehrfunktion 4-2

35 det f (x, y) = e 2x > 0 = lokale Existenz einer Umkehrfunktion g (ein Zweig des komplexen Logarithmus) mit der Ableitung g (u, v) = ( f (x, y) ) ( ) 1 = e x cos y sin y sin y cos y keine globale Umkehrfunktion wegen f (x, y + 2πk) = f (x, y), k Z Periodizität = unendlich viele Urbilder für jeden Punkt (u, v) (0, 0) Umkehrfunktion 4-3

36 Beispiel: Polarkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r = x 2 + y 2 partielle Ableitung des Radius nach der Koordinate x: r x = x x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 = x r = cos ϕ Umkehrfunktion 5-1

37 Beispiel: Polarkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r = x 2 + y 2 partielle Ableitung des Radius nach der Koordinate x: r x = x x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 = x r = cos ϕ Paradox: r = x/ cos(ϕ) = r x = 1 cos(ϕ) Umkehrfunktion 5-2

38 Beispiel: Polarkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r = x 2 + y 2 partielle Ableitung des Radius nach der Koordinate x: Paradox: r x = x x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 = x r = cos ϕ r = x/ cos(ϕ) = r x = 1 cos(ϕ) Grund: Bei den Berechnungen der partiellen Ableitungen werden nicht die gleichen Variablen konstant gehalten: In der ersten Gleichung ist y konstant und bei der zweiten ϕ Umkehrfunktion 5-3

39 skalare Ableitungsregel dy dx = i.a. falsch für partielle Ableitungen: ( ) dx 1 dy x u (u x ) 1 korrekte Berechnung für eine Bijektion (x, y) (u, v) mit Hilfe der Jacobi-Matrix: ( ) ( ) ( (u, v) (x, y) = ux u y (x, y), v x v y (u, v) = xu x v ux u = y y u y v v x v y ) 1 Umkehrfunktion 5-4

40 im betrachteten Beispiel (x, y) (r, ϕ) = ( cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ ) Umkehrfunktion 5-5

41 im betrachteten Beispiel (x, y) (r, ϕ) = ( cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ ) Inverse partielle Ableitungen nach x und y: ( ) ( cos ϕ sin ϕ (r, ϕ) 1 r sin ϕ 1 = r cos ϕ (x, y) = rx r y ϕ x ϕ y ) Umkehrfunktion 5-6

42 im betrachteten Beispiel (x, y) (r, ϕ) = ( cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ ) Inverse partielle Ableitungen nach x und y: ( ) ( cos ϕ sin ϕ (r, ϕ) 1 r sin ϕ 1 = r cos ϕ (x, y) = rx r y ϕ x ϕ y ) insbesondere: r x = cos ϕ Umkehrfunktion 5-7

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