Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgaben zu den Kapiteln 7 und 8

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1 1 Lösuge ausgewählter Übugsaufgabe zum Buch Elemetare Stochastik (Spriger Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgabe zu de Kapitel 7 ud 8 Aufgabe zu Kapitel 7 Zu Abschitt 7.1 Ü7.1.1 Ω sei höchstes abzählbar, ud X, X 1,... seie darauf defiierte reellwertige Zufallsvariable. Zeige Sie, dass die X fast sicher gege X gehe, falls Kovergez i Wahrscheilichkeit vorliegt. Aders ausgedrückt: Kovergez i Wahrscheilichkeit ud Kovergez fast sicher sid i diesem Fall äquivalet. Lösug Wir schreibe Ω als Ω = {ω 1, ω 2,...} ud ehme P(ω i ) > 0 für alle i N a, da wir sost ohe Veräderug der Wahrscheilichkeite vo Ω zu Ω \ {ω i } übergehe köte. Aufgrud der Sätze ud reicht es zu zeige, dass lim i.w. X = 0 die Kovergez lim f.s. X = 0 impliziert. Wir wähle dazu ei beliebiges ω i Ω ud fixiere es. Wir zeige da, dass die Folge (X (ω i )) N gege 0 geht. Sei ei ε > 0 fixiert. Aufgrud der Kovergez i Wahrscheilichkeit geht die Wahrscheilichkeit P ({ X > ε}) für wachsedes gege 0. Das bedeutet isbesodere: Es existiert ei 0 N, so dass für alle 0 die Bedigug P ({ X > ε}) < P({ω i }) gilt. Damit ka ω i kei Elemet aus { X > ε} sei. Etspreched gilt X (ω i ) < ε für alle 0. Aufgrud der beliebige Wahl vo ε folgt somit lim X (ω i ) = 0. Ü7.1.2 X 1, X 2,... : Ω R seie Zufallsvariable, die ur die Werte 0 ud 1 aehme. Weiter sei p := P({X = 1}). Ma zeige, dass die X geau da i Wahrscheilichkeit gege die Nullfuktio gehe, we p 0 gilt. Lösug Wir betrachte die Folge X 1, X 2,... : Ω {0, 1} vo Zufallsvariable. Da geht X geau da i Wahrscheilichkeit gege die Nullfuktio, we für jedes ε > 0 die Wahrscheilichkeit P ( X 0 > ε) = P ( X > ε) gege Null geht. Weil X ur die Werte Null oder Eis aehme ka, ist die Aussage X > ε äquivalet zu der Aussage X = 1, also: Für jedes ε > 0 gilt lim P (X = 1) = 0, was gerade der Voraussetzug a die p i der Aufgabestellug etspricht. Dies zeigt die Äquivalez.

2 2 Ü7.1.3 X, X 1, X 2,... : Ω ] 0, + [ seie Zufallsvariable, ud es gelte X = lim i.w. X. Gilt da auch 1/X = lim i.w. 1/X? Lösug Die kurze Atwort lautet: Ja. Zu zeige ist doch die Aussage ( 1 ε > 0 δ > : P 1 ) X X ε δ. Zum Beweis seie ε > 0 ud δ > 0 vorgegebe. Wir wähle us weiter ei η > 0, sodass P ({X 2η}) = 1 δ 3 gilt. Im Hiterkopf behalte wir, dass X i.w. X gilt, also fide wir zu gegebeem ε ud δ ei ñ 0, sodass P ( X X ε) δ; speziell gilt dies für δ = δ 3. Auf dem Rest der Grudmege gilt X X < ε. Für diese Mege gilt außerdem X η sowie X η. Weil 1/X : Ω [η, ) gleichmäßig stetig ist, folgt die Aussage. Ü7.1.4 Gibt es eie zu Satz 7.1.2(iii) aaloge Aussage, we ma + durch ersetzt? Ü7.1.5 Es seie A, A 1, A 2,... Ereigisse i eiem Wahrscheilichkeitsraum. Zeige Sie, dass die Idikatorfuktioe χ A geau da gege χ A gehe, we P(A A) 0 gilt 1) Zu Abschitt 7.2 Ü7.2.1 Es gelte lim f.s. X = X. Wir fixiere u ei r > 0 ud bescheide X ud die X : Neue Zufallsvariable werde durch Y := mi{max{x, r}, r}, Y := mi{max{x, r}, r} deiiert. Zeige Sie, dass da lim f.s. Y = Y gilt. Ü7.2.2 Gibt es eie zu Satz 7.2.2(iii) aaloge Aussage, we ma + durch ersetzt? Ü7.2.3 Es seie A 1, A 2... Ereigisse. Fide Sie Bediguge dafür, dass lim f.s. χ A = 0 gilt. Zu Abschitt 7.3 Ü7.3.1 Ω = [0, 1] sei mit der Gleichverteilug versehe. Die Zufallvariable X seie defiiert durch { ω, we ugerade X (ω) := 1 ω, we gerade. Kovergiert die Folge (X ) N 1) Hierbei bezeichet die symmetrische Differez: A B := (A \ B) (B \ A).

3 3 fast sicher, i Wahrscheilichkeit, i Verteilug? Ü7.3.2 lim i.v. X = X impliziert lim i.v. (X + c) = X + c für alle c R. Ü7.3.3 Ma sagt, dass eie für Elemetarereigisse sivoll formulierbare Eigeschaft fast sicher gilt, we es ei Ereigis N mit Wahrscheilichkeit 0 so gibt, dass alle icht i N gelegee Elemetarereigisse diese Eigeschaft habe. Nu seie X, X 1, X 2,... reellwertige Zufallsvariable, die alle auf dem gleiche Wahrscheilichkeitsraum defiiert sid. Wir setze voraus, dass die X für = 1,... fast sicher ichtegativ sid. Die X solle gege X koverget sei. Welche Art der Kovergez impliziert, dass auch X fast sicher ichtegativ ist: fast sicher, i Wahrscheilichkeit, i Verteilug? Ü7.3.4 Es seie X, X 1, X 2,... Zufallsvariable, ud F X, F X1, F X2,... seie die zugehörige Verteilugsfuktioe. Zeige Sie: We die X i Verteilug gege X gehe, so ist lim F X (x) = F X (x) für jedes x, bei dem F X stetig ist 2). Aufgabe zu Kapitel 8 Zu Abschitt 8.1 Ü8.1.1 Für N sei E R 2 die Kreisscheibe mit dem Radius 3. Bestimme Sie lim sup E ud lim if E. Lösug Es sei E die Kreisscheibe mit Radius 3. lim sup E = m m E = m R2 = R 2, de x R 2 ist i m E für jedes m N ethalte. lim if E = m m E = m E m = R 2. Ü8.1.2 Es sei (X ) eie Folge vo uabhägige Zufallsvariable, die alle geometrisch verteilt zum Parameter 0 < q < 1 sid. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass uedlich oft X + 1 gilt? Lösug Wir köe us diese Situatio als uabhägige Folge vo Abfrage eies Zufallsautomate vorstelle, der die geometrische Verteilug simuliert. Wir setze da E i := {i + 1, i + 2,... }, i N, ud iteressiere us u für die Wahrscheilichkeit, dass für uedlich viele die -te Abfrage i E liegt. Nach de Lemmata vo Borel-Catelli aus Abschitt 8.1 ist dafür der Wert der Reihe i=1 P(E i) zu ermittel. Der erste Schritt besteht u dari, P(E i ) = q 1 (1 q). =i+1 2) Die Umkehrug gilt übriges auch, das ist aber etwas schwieriger eizusehe.

4 4 zu bereche. Zuächst betrachte wir die zugehörige Partialsumme ud forme diese um, wobei wir die Gleichhug N k=0 = (1 qn+1 )/(1 q) verwede. ( M M ) i q 1 (1 q) = (1 q) q 1 q 1 =i+1 = (1 q) = (1 q) = q i q M =1 ( M 1 =0 =1 ) i 1 q q =0 ( 1 q M 1 q 1 ) qi 1 q Nu gehe wir zum Grezwert mit M über ud erhalte P(E i ) = q i, i N. Nu gilt P(E i ) = q i = 1 + q i = 1 q 1 q q = q 1 q <. i=1 i=1 i=0 Nach dem erste Teil des Lemmas vo Borel-Catelli (Lemma ) ist die gesuchte Wahrscheilichkeit also gleich Null (auf die Forderug der Uabhägigkeit hätte ma übriges verzichte köe). Ü8.1.3 Es sei (X ) eie Folge vo uabhägige Zufallsvariable, die alle expoetialverteilt zum Parameter λ > 0 sid. Wie groß ist ist die Wahrscheilichkeit, dass uedlich oft X gilt? Ü8.1.4 Es seie X : Ω R Zufallsvariable für N, ud sei die Mege derjeige ω Ω, für die X (ω) existiert. (Es darf ohe Beweis verwedet werde, dass ei Ereigis ist.) Beweise Sie: Ist P({ X q }) q für eie geeigete Zahl q ] 0, 1 [ ud alle, so hat Wahrscheilichkeit 1: Die Reihe X ist also fast sicher koverget. Ü8.1.5 Ei Affe versucht, de Text ELEMENTARE STOCHASTIK zu schreibe. Er ist uermüdlich (ud usterblich), ei Versuch dauert zeh Sekude. Bestimme Sie de Erwartugswert der Wartezeit, bis das zum erste Mal klappt. (Auf seier Schreibmaschie sid ur die Großbuchstabe ud das Leerzeiche, ud alle Taste habe die gleiche Wahrscheilichkeit, ageschlage zu werde.) Lösug Wir bestimme zuächst die Wahrscheilichkeit, dass der Affe eie richtige Buchstabe tippt: P(B) = 1/27, de es gibt 26 Buchstabe ud das Leerzeiche. We wir aehme, dass der Affe keie Buchstabe bevorzugt ud alle Buchstabe uabhägig voeiader produziert, köe wir die Wahrscheilichkeit bestimme, dass er ELEMENTARE STOCHASTIK tippt. p = P(ELEMENTARE STOCHASTIK) = (1/27) 21 = Es hadelt

5 5 sich also um ei Beroulliexperimet mit sehr kleier Erfoglswahrscheilichkeit p. Der Erwartugswert der Azahl der Versuche bis zum erste Erfolg ist gleich 1/p (Vgl. Abschitt 6.3). Dauert u ei Versuch 10 Sekude, so folgt, dass die mittlere Wartezeit 1/p 10 s = s = Jahrmilliarde. Zu Abschitt 8.2 Ü8.2.1 Zeige Sie, dass für die Gültigkeit des schwache Gesetzes die Uabhägigkeit der X 1, X 2,... wesetlich ist. Lösug We wir die Voraussetzug uabhägig weg lasse, so köe wir z.b. X i = X für alle i wähle. Damit ist X1+...+X = X = X, ud we X icht gerade kostat ist, so geht dies icht gege E(X). Ü8.2.2 Nutze Sie die Tschebyscheff-Ugleichug aus, um das folgede Problem zu löse: Wie viele Versuche muss ma mache, um eie ubekate Wahrscheilichkeit p bis auf eie Fehler vo 0.02 so zu bestimme, dass das Ergebis mit 95 Prozet Wahrscheilichkeit verlässlich ist Ü8.2.3 Das Itegral 1 X(x) dx soll mit eiem Mote-Carlo-Verfahre bestimmt 0 werde: Als Ergebis wird X(x 1 )+ +X(x ) vorgeschlage, wobei die x 1,..., x uabhägig ud gleichverteilt i [ 0, 1 ] sid. Wie muss ma wähle, um das Itegral bis auf eie Fehler vo höchstes 0.01 ud mit eier Sicherheit vo 0.99 dadurch bestimme zu köe. (Achtug: Das Ergebis hägt vo X ab.) Lösug Wir defiiere us eie eue Zufallsvariable Y := 1 i=1 X(x i). Offebar gilt E(Y ) = 1 X(x)dx, also erhalte wir mithilfe der Tschebyscheff- 0 Ugleichug: ({ i=1 P X(x i) 1 0 }) X(x)dx < ε = P ({ Y E(Y ) < ε}) 1 σ2 (Y ) ε 2, ud mit ε = 0.01 ud der geforderte Wahrscheilichkeit vo 0.99 erhalte wir die Ugleichug 1 σ2 (Y ) , was umgstellt ach σ(y ) gerade σ 2 (Y ) ist. Wir müsse also so wähle, dass die Variaz σ 2 (Y ) kleier als ist. Zu Abschitt 8.3 Ü8.3.1 Zeige Sie, dass für die Gültigkeit des starke Gesetzes die Uabhägigkeit der X 1, X 2,... wesetlich ist. Lösug Wir kostruiere ei Beispiel mit Zufallsvariable, die icht uabhägig voeiader sid ud zeige, dass das starke Gesetz da icht gilt. Wähle de Wahrscheilichkeitsraum (Ω, E, P ) mit Ω = {0, 1}, E = P(Ω) ud P ({0}) =

6 6 P ({1}) = 1 2. Es sei X eie Zufallsvariable ud X 1 = X 2 = = X = X Kopie. Es ist leicht achzuprüfe, dass der Erwartugswert ud die Streuug vo X existiere. Es ist E(X) = = 1 X1+ +X 2, aber = X = X {0, 1}, also liegt für keie Kovergez gege de Erwartugswert vor. Damit ist gezeigt, dass die Uabhägigkeit der Zufallsvariable wesetlich ist. Ü8.3.2 Ageomme, es existiert der Erwartugswert vo X 6. Was lässt sich da über P ( X 1 + +X / ε ) aussage? (Vgl. de Beweis vo Satz ) Ü8.3.3 Folger Sie aus dem starke Gesetz: Ist E ei Ereigis im Wahrscheilichkeitsraum (Ω, E, P) ud erzeugt ma uabhägige Abfrage aus Ω gemäß P, so kovergiert der Ateil der ω, die i E liege, fast sicher gege P(E). Zu Abschitt 8.4 Ü8.4.1 Beweise Sie, dass die Voraussetzug der Uabhägigkeit im zetrale Grezwertsatz wesetlich ist. Lösug Für eie Folge (X ) N idetisch wie X verteilter Zufallsvariable, für die Erwartugswert E(X) ud Variaz σ 2 0 existiere ud die icht stadardormalverteilt sid, kovergiere die Zufallsvariable (X X E(X))/ σ i Verteilug gege X ud icht gege die Stadarormalverteilug. Der zetrale Grezwertsatz gilt also icht mehr, we ma die Forderug der Uabhägigkeit weglässt. Ü8.4.2 Es soll gezeigt werde, dass gilt: lim e k=0 k k! = 1 2. Tipp: Betrachte Sie eie Folge X 1, X 2,... vo uabhägige Zufallsvariable, die alle poissoverteilt zum Parameter 1 sid. Bestimme Sie u de Grezwert lim P({X X 0}) auf zwei verschiedee Arte: eimal durch Awede des zetrale Grezwertsatzes ud eimal durch exaktes Bereche vo P (X X 0). Dabei muss ma sich dara erier, was herauskommt, we ma zwei Poisso-Verteiluge miteiader faltet. Ei aalytischer Beweis der Behauptug scheit schwieriger zu sei. Ü8.4.3 Das schwache Gesetz besagt doch: We Erwartugswert ud Streuug für X existiere, so gehe die Mittelwerte uabhägiger Kopie i Wahrscheilichkeit gege eie kostate Zufallsvariable (kostater Wert = E(X)). Zeige Sie, dass dieses Ergebis auch eie Folgerug aus dem zetrale Grezwertsatz ist. (Vorbereited ist dazu zu beweise: Gehe Zufallsvariable i Verteilug gege eie Kostate, so liegt sogar Kovergez i Wahrscheilichkeit vor.)

7 7 Ü8.4.4 Eie Zufallsvariable X sei poissoverteilt zum Parameter 4, ud die Zufallsvariable X 1, X 2,... seie uabhägige Kopie. Wie groß ist (approximativ) die Wahrscheilichkeit, dass X X 1000 zwische 3.9 ud 4.1 liegt? Zu Abschitt 8.5 Ü8.5.1 Wir betrachte eie Zufallsspaziergäger auf Z. Er startet bei Null, ud im jeweils ächste Schritt geht er mit gleicher Wahrscheilichkeit eie Schritt ach liks oder rechts. Folger Sie aus dem Satz vom iterierte Logarithmus, dass er mit Wahrscheilichkeit Eis jedes z Z uedlich oft besuche wird. Ü8.5.2 Stimmt die Aussage i der vorige Aufgabe auch da och, we die Wahrscheilichkeit für liks gleich p ud für rechts gleich 1 p ist ud p vo 0.5 verschiede ist? Ü8.5.3 Zeige Sie, dass das starke Gesetz der große Zahle eie Folgerug des Satzes vom iterierte Logarithmus ist. Lösug Aus dem Teil (i) des Satzes vom iterierte Logarithmus (Satz 8.5.1) ud der Defiitio vo lim sup folgt sofort ɛ > 0 0 N 0 : X X E(X) σ 2 log log 1 + ɛ, d.h. über jeder vorgegebee ɛ-umgebug um de Limes superior (= 1) liege ur edlich viele Folgeglieder. Völlig aalog schließe wir aus Teil (ii) des Satzes ud der Defiitio vo lim if ɛ > 0 0 N 0 : X X E(X) σ 2 log log (1 + ɛ). Wir stelle beide Gleichuge um ud fasse sie zusamme: ɛ > 0 0 N 0 : 2 log log σ (1 + ɛ) X X 2 log log E(X) σ (1 + ɛ). Um u das starke Gesetz der große Zahle zu zeige, zeige wir, dass mit Wahrscheilichkeit 1 X X E(X) 0 Es bleibt ur och zu zeige, dass 2 log log 0 für.

8 8 Dafür geügt es, die Ugleichug log() 1/4 zu zeige, de damit hätte ma sofort 2 log log 2 log 2 1/4 0 für. Nu also zum Beweis vo log() 1/4. Zuächst erier wir us a die Darstellug der Expoetialfuktio als Potezreihe, d.h. e x = k=0 xk /k!. Daraus köe wir sofort die Abschätzug e x x 4 /4! ablese, ud durch Eisetze vo x = 1/4 erhalte wir e 1/4 /4!, ud Logarithmiere ergibt da sofort die gewüschte Ugleichug log() 1/4 (bis auf eie Kostate).

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