Beschreibende Statistik

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1 Beschreibende Statistik Daten erfassen und ordnen 14. April 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn Grundlagen der Schulmathematik SoSe

2 Inhalt Datenkompetenz Beschreibende Statistik - Grundbegriffe - Beispiele Daten erfassen - Merkmalsarten - Vollerhebung und Stichprobe Daten ordnen - Häufigkeitsverteilung - Tabellen 2

3 Datenkompetenz in den 3

4 KMK-Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss (2003) Daten Zufall 4

5 KMK-Bildungsstandards für den Hauptschulabschluss (2004) Berechnen und interpretieren Häufigkeiten und Mittelwerte Außerdem: interpretieren Wahrscheinlichkeitsaussagen aus dem Alltag 5

6 KMK-Bildungsstandards Primarbereich (2004) 6

7 Beschreibende Statistik Nach wissenschaftlichen Methoden werden Daten gesammelt, geordnet, bearbeitet, z.b. geeignet zusammengefasst, dargestellt und analysiert. Explorative Datenanalyse (EDA): Ausforschung von Datenmengen auf interessante Erscheinungen oder Zusammenhänge 7

8 Statistische Aussagen Durch das Wort "statistisch" ti ti wird id ausgedrückt, dükt dass eine Aussage keine Aussage über Individuen oder einzelne, spezielle Dinge (Untersuchungseinheiten) g ist, sondern über eine große Menge (Grundgesamtheit) von Untersuchungseinheiten. Man interessiert sich für ein spezielles Merkmal (eine Eigenschaft) der Untersuchungseinheiten, und will eine Aussage machen, die Informationen darüber liefert, wie dieses Merkmal in der Population ausgeprägt ist. Es geht bei bi statistischen ttiti Aussagen also nicht darum welche, sondern wie viele Individuen eine bestimmte Ausprägung des Merkmals haben. 8

9 Beispiel 1: Arbeitslosenstatistik 2008 Merkmal arbeitslos mit den Ausprägungen ja oder nein Grundgesamtheit: alle zivilen Erwerbspersonen Arbeitslosenzahl: Absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung ja Arbeitslosenquote: Relative Häufigkeit der Ausprägung ja Arbeitslos "Arbeitslose" enquote = " z ivile Erwerbspersonen" ab Mai 2008 : 8,8%

10 arbeitslosenquote/dokumentation-bezugsgroesse-2008.pdf 10

11 Wie lässt sich die Arbeitslosenquote statistisch verändern? Arbeitslosenquote "Arbeitslose" = " zivile Erwerbspersonen" durch geeignete Festlegung der betrachteten Grundgesamtheit kann man den Nenner der relativen Häufigkeit i wahlweise vergrößern oder verkleinern: Wer zählt eigentlich zu den zivilen Erwerbspersonen? durch geeignete g Definition des Merkmals arbeitslos, also durch Festlegung der Kriterien für die Ausprägung ja, lässt sich die absolute Häufigkeit (Zähler) beeinflussen. Vorbereitung zur 1. Präsenzübung: Recherchieren Sie im Internet, wie die das Merkmal arbeitslos definiert i wird. Was fällt auf? 11

12 Vollerhebung oder Stichprobe? Die Menge aller für eine statistische Untersuchung relevanten Untersuchungseinheiten bildet die Grundgesamtheit. Wenn die Daten der gesamten Grundgesamtheit erhoben werden, spricht man von einer Vollerhebung. Vollerhebungen sind oft aufwändig, fehleranfällig, teuer und nicht immer durchführbar, deshalb werden häufig nur Teilmengen der Grundgesamtheit statistisch erfasst, d.h. eine Stichprobe erhoben, z.b. Mikrozensus, Wahlprognose, Schulleistungstest... 12

13 Wie erhält man Stichproben? zufällige Auswahlen die einfache Zufallsauswahl erlaubt den Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit ( repräsentative Stichprobe) bewusste Auswahlen die typische Auswahl einer Teilgesamtheit soll, gemessen am Erhebungszweck, ausreichende Informationen über ein Merkmal in einer Grundgesamtheit liefern ( Quoten- verfahren) willkürliche Auswahlen kein Plan bei der Wahl der Untersuchungseinheiten s h it z.b. Befragungen von Passanten einer belebten Einkaufsstraße zu Unterhaltungszwecken (Radio /TV) 13

14 Beispiel 2: Geburtenstatistik 2005 Merkmal Geburtsmonat mit den Ausprägungen Januar, Februar, oder Dezember Grundgesamtheit: alle in der BRD im Jahr 2005 Geborenen Häufigkeitsverteilung der Geburtsmonate: Gesamtheit der relativen Häufigkeiten aller Geburtsmonate (Angaben in %) Jan Feb Mär Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez 8,4 7,8 8,3 8,1 8,3 8,5 9,0 9,0 8,8 8,2 7,7 8,0 Sind die Abweichungen von der Gleichverteilung il 1 / 12 8,3% Zufall? Datenquelle: 14

15 15

16 Beispiel 3: Altersaufbau BRD VorausberechnungBevoelkerung/VorausberechnungBevoelkerung.psml 16

17 Zensus 2011 Die Europäische Union plant für das Jahr 2011 einen gemeinschaftsweiten Zensus. Bei einem Zensus handelt es sich um eine Ehb Erhebung, die ermittelt, wie viele Menschen in einem Land, in einer Stadt leben, wie sie wohnen und arbeiten. Eine EU-Verordnung vom 9. Juli 2008 verpflichtet die Mitgliedstaaten der Europäischen Union, dazu Daten anhand eines festgelegten Katalogs von Merkmalen im Jahr 2011 zu erheben. Damit werden die Ergebnisse EU-weit vergleichbar sein. In Deutschland hatten sich die Regierungsparteien bereits auf eine Teilnahme am Zensus 2011 in ihrem Koalitionsvertrag vom 11. November 2005 geeinigt. i 17

18 Eine Übersicht der Grundbegriffe 18

19 Daten erfassen Bei der Erfassung von Daten werden Ausprägungen eines interessierenden Merkmals registriert. Daten sind also beobachtete Werte eines Merkmals {x 1,, x n }. Dabei ist das Verfahren zur Beobachtung festgelegt, z.b. 19

20 Messung von Größen Beispiel Körpergröße: Distanz von der Fußsohle bis zum Scheitel in aufrechter Körperhaltung (ohne Schuhe, aufrecht stehend, Kopf gerade) möglichst morgens messen. Beispiel Körpergewicht: Mithilfe einer Waage wird das Körpergewicht, genau genommen die Körpermasse, gemessen. Bei der Messung von Größen handelt es sich um die Erfassung quantitativer Merkmale. 20

21 Antworten bei einer Umfrage 21

22 Arten von Merkmalen - Skalen Quantitative Merkmale Qualitative ti Merkmale kann man nicht nur anordnen, sondern Rechenoperationen sind möglich, z.b. Bestimmung des arithmetischen Mittels ( metrische Skala). ) kann man klassifizieren ( Nominalskala ) oder der Reihenfolge nach ordnen ( Ordinalskala ). Jedes Merkmal hat zwei oder mehr Ausprägungen. Um diese Ausprägungen messen zu können, benötigen wir eine Skala. Je nach Art des Merkmals lassen sich seine Ausprägungen durch eine Nominalskala, Ordinalskala oder metrische Skala messen. 22

23 Arten von Merkmalen Beispiele Merkmal Ausprägung At Art Geschlecht Studienfächer Entfernung zur Uni MW M,W Mathematik, Physik, Weglänge in km nominal skaliert nominal skaliert metrisch skaliert Mathematiknote 1,2,3,4,5,6 ordinal skaliert 23

24 Leistungsbewertung g durch Noten Schulgesetz NRW 48(3) (1) Die Note sehr gut soll erteilt werden, wenn die Leistung den Anforderungen im besonderen Maße entspricht. (2) Die Note gut soll erteilt werden, wenn die Leistung den Anforderungen voll entspricht. (3) Die Note befriedigend soll erteilt werden, wenn die Leistung im Allgemeinen den Anforderungen entspricht. (4) Die Note ausreichend soll erteilt werden, wenn die Leistung zwar Mängel aufweist, aber im Ganzen den Anforderungen noch entspricht. (5) Die Note mangelhaft soll erteilt werden, wenn die Leistung den Anforderungen nicht entspricht, jedoch erkennen lässt, dass die notwendigen Grundkenntnisse vorhanden sind und die Mängel in absehbarer Zeit behoben werden können. (6) Die Note ungenügend soll erteilt werden, wenn die Leistung den Anforderungen nicht entspricht und selbst die Grundkenntnisse so lückenhaft sind, dass die Mängel in absehbarer Zeit nicht behoben werden können. Schulnoten sind keine quantitativen Merkmale. Auch aus pädagogischen Gründen sollte nicht mit ihnen gerechnet werden! 24

25 Daten ordnen: Listen, Häufigkeiten und Tabellen 25

26 Datenmaterial ordnen am Beispiel des Notenspiegels einer Klassenarbeit Name Note Alexander 2 Anna 1 Annika 4 Bettina 2 Christopher 3 Zuordnung Untersuchungseinheit Merkmalsausprägung noch sichtbar Urliste: 2,1,4,3,5,2,6,1,4,4,3,5,2,3,3,4,3,3,5,2 Geordnete Urliste: 1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,6 Strichliste II IIII IIIII IIII II I II Häufigkeiten der Ausprägungen sichtbar 26

27 Häufigkeitsverteilung am Beispiel des Notenspiegels einer Klassenarbeit (n = 20) Klasse 8 Note Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit 0.1 0,2 0,35 0,2 0,1 0,05 Zum Vergleich von Häufigkeitsverteilungen g eines Merkmals, das in verschiedenen Grundgesamtheiten erhoben wurde, eignen sich relative Häufigkeiten. relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit n 27

28 Klasseneinteilung bei vielen Daten eines quantitativen Merkmals Schüler-Daten eines GK Mathematik zur Körpergröße (n = 49): 173 cm, 162 cm, 168 cm, Körpergrößen [1,6 [, m ; 1,7 m) 17 [1,7 m ; 1,8 m) 25 [1,8 [, m ; 1,9 m) 5 [1,9 m ; 2,0 m) 2 Anzahl der Schüler Bei einer großen Anzahl von Merkmalsausprägungen eines quantitativen Merkmals fasst man diese aus Gründen der Übersichtlichkeit zu Klassen zusammen. Eine solche Klassenbildung ld kann schon bei der Datenerhebung stattfinden. 28

29 rechts offene Intervalle Klasseneinteilung mit gleich breiten Klassen Klassen sind häufig Körpergrößen Anzahl der Schüler [x0 ; x1) [1,6 [, m ; 1,7 m) 17 [x1; x2) [1,7 m ; 1,8 m) 25 [x2; x3) [1,8 [, m ; 1,9 m) 5 [x3; x4) [1,9 m ; 2,0 m) 2 gleiche Klassenbreite b i = 10 cm Die Klassenbreite b i erhält man als Differenz der Intervallgrenzen b i = x i x i-1 i 29

30 Klasseneinteilung mit unterschiedlich breiten Klassen Gehaltsstatistik eines mittelständischen Betriebes Klassenmitte Gehaltsklassen Anzahl der Mitarbeiter [1000 ; 1400 ) 8 [1400 ; 1600 ) 10 [1600 ; 1800 ) 10 [1800 ; 2000 ) 10 [2000 ; 3000 ) 2 Die Klassenmitte m i = ½(x i + x i-1 ) repräsentiert die jeweilige Klasse. 30

31 Daten übermitteln mit Tabellen Daten einer Urliste werden in einer Tabelle übersichtlich h zusammengefasst. Informationsverlust bei Klasseneinteilungen quantitativer Merkmale. Tabellen sollten kurze, treffende Überschriften und präzise Benennungen der Spalten bzw. Zeilen enthalten. Tabellen sachgerecht zu erstellen und zu lesen ist (für Schüler) nicht trivial. 31

32 Prozentangaben in Tabellen (aus ZAP Hessen Realschule 2006) Vorsicht: Änderung der Bezugsmengen 43% der Jungen, aber nur 37% der Jugendlichen insgesamt, planen eine betriebliche Berufsausbildung. Bei der ersten Prozentangabe 43% handelt es sich um eine bedingte relative Häufigkeit: Anteil der Jungen, die eine betriebliche Berufsausbildung planen. 32

33 Wichtige Begriffe Daten erfassen: Grundgesamtheit Vollerhebung vs. Stichprobe Merkmal / Merkmalsausprägung quantitativ ordinal nominal Daten ordnen: Strichliste, Urliste Relative und absolute Häufigkeit Häufigkeitsverteilung Klasseneinteilung 33

34 Exkurs: Quotenverfahren Auswahl der Untersuchungsobjekte durch Interviewer (häufig in kommerzieller Meinungs- und Marktforschung) Repräsentativität hinsichtlich der Quotenmerkmale Strick: Einführung in die beurteilende Statistik. Schroedel 1998, S.13 34