Lösungen der Übungsaufgaben TM II Dynamik

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1 L Lösungen der Übungsaufgaben TM II Dynamik Einleiung und Grundlagen Aufgabe a) ẋ() A cos B sin, ẋ. () A 2 sin B 2 cos 2 x() b) ẋ() C sin, ẋ. () C 2 cos 2 x() c) ẋ Ce cos Ce sin, ẋ. Ce 2 2 cos 2 sin d) ẋ e (A B A), ẋ. e (2A B A) a) r P a h, r Q a s() h, r S a s() l sin () h l cos () b) ṙ P, ṙ. P, ṙ Q ṡ(), ṙ. Q ṡ. (), ṙ S ṡ() l. cos (), ṡ. () l.. cos () l. 2 sin () ṙ. S l.. sin () l. 2 cos () c) G G l. sin (), M r Q G (a s())g, MT r Q MT G a) S T b) S. cos sin sin cos sin cos, SST cos sin., S. S T, ST S., S schiefsymmerisch

2 L 2 a) A T a ~ ( ) 2 sin a()d 2 cos Н 3, A. sin cos sin cos Н Н, ȧ 2( ), at [cos Н sin Н], sin cos, ȧ. cos sin b) Aa cos 2 sin, (Aa)T [ cos Н2 sin Н3 sin ] a T A T, AA aȧ T AA. r 3 sin 2 Н3( ) sin cos sin 2 Н 2( ) 2 3 a, Н( ) 3 3 3, at a, ~ a a a a, at ȧ,, A. A 6( )Н ( )( 3) 3,, d d A2 2 3( ) 2. cos 2 sin cos r a(r)dr m E r r 6( ) 3 a) m 2 hr2 b) m 2 hab c) m 2 hab 3 3

3 L 3 2 Geradlinige Bewegung eines Massenpunks Aufgabe a) a() a V R a() R b) v() v a V R s() v 2 a V R 2 c) a V 6.94 m s 2 a V a() a B B V a) a() a B (a B a V ) B B b) v() a B (a B a V ) B s() 2 a B 2 2 (a B a V ) B 2 a V v() c) Dauer des Manövers: 37.5s zurückgeleger Weg: 937.5m v max s() B B a) a (), v () v, s () v a 2 () a 2, v 2 () a 2 v 2, a() a 2 s 2 () a v 2 s 2 b) Dauer des Überholvorgangs: 5.53s dabei zurückgeleger Weg:33.7m s() a c) a m s 2 v() v s s v 2 s 2 T T

4 L 4 a) v A v, a A, v P v T T v T 3T, a P v T T v T 3T b) s A v, s P v 2T T 2 v 2T 3T 2, Zeipunk des Einholens: 4T b) v() v a 2T 2 a T T 2, s() v a 6T 3 a 3T T 3 c) T v 2a a) a(s) a s s a s s s b) v(s) v 2 2a s s s s s c) s v2 v2 2a Aufgabe 7 a) B 6s, s B 36m, 394s b) T 46s, v 8, 2 m s c) s() d d s B s B s B B T B T s B d2 d s B d s() d) T S 442s e) v * 32.3 m s a(s) Aufgabe 8 a) a(s) s L a b) v(s) v 2 a c) T.2356s L s2, a 66.7 m s 2,, F max 66.7kN a L s

5 L 5 3 Räumliche Punkbewegung Aufgabe a) v, r b). z x, y [m], 5 [m] [s], 5 [s] 2 2 a) v a) v a) r b) r v sin v cos. v sin. v d cos2 b) v 8 m s v cos v sin b) () v cos, () an ln c) r v cos b sin cos b sin sin a b cos b sin a b cos, v, v b cos cos. b sin sin. b cos sin. b sin cos. b cos. b sin. b sin. b) S mg cos c) g l cos b sin. c) v b. 2 sin 2. 2

6 L 6 a) e.682 Ellipse mi Abschuss im Apogäum b) h max H 2km, h min 235km c) v.255 km s Aufgabe 7 v Aufgabe 8 M v e 2 2e cos a) Kreisbahn (e ) mi. Erde b) 42222km, v 3.7 km s Aufgabe 9 a) e.2 b) v A 6.3 km s, v B 5.5 km s c) v A.6 km s, v B.54 km s

7 L 7 4 Relaivbewegung eines Massenpunkes Aufgabe a) K. c) r K z, v K b) r K z, v K.. ż, a K ż.. ż, a K.. ż. a) v v R sin v F v R cos b) Aufreffwinkel 56.7 c) v F 2.5 km h a) v OK c) v BK v, K v R b) v BK v 2 d) v O a) b R sin 6 cos, arcsin 6 cos b) v rel R sin( ), S R cos( ) b v, r K R2 c) : v rel, S 2 8 : v rel, S 4 v P Aufgabe 7 ẋ R. R ẏ. R R a) raumfeses Koordinaensysem: m ż. ẋ. ẏ. mg, Bahnkurve (3)

8 L 8 ẋ. ẏ. b) beweges Koordinaensysem: m ż. c) Fall a) Bahnkurve (3), Fall b) Bahnkurve () Aufgabe 8 a) F TK m 2 R cos 2 R sin b) F F T F Z, N z mg c) R r N T mg, F E O, F Z m ma r( ) 2 m( 2 R cos r( ) 2 m 2 R sin, Bahnkurve (2), F C O

9 L 9 5 Kinemaik der Sarrkörperbewegung Aufgabe a) S KK b) S KK c) S KK K cos cos sin sin sin cos sin cos( ) sin( ) sin cos cos sin cos sin cos cos cos sin sin( ) cos( ). cos. sin sin. sin. cos sin.. cos sin cos sin sin cos sin cos a) y Achse is momenane Drehachse;, K.. sin, K. cos, K. cos. sin, K., K K.. momenaner Winkelgeschwindigkeisvekor: z an b) v A 4r cos2 sin s, v B 2r cos2 sin cos 2r sin s, v C 2r cos2 sin. cos. sin... sin. cos mi z 2s s, v D O a) Momenanpol: Berührungspunk Rad Fahrbahn b) Spurkurve: Fahrbahn; Polkurve: Radumfang c) Bereiche, in denen Speichen scharf abgebilde sind:. in der Nähe des Momenanpols (kleine Geschwindigkei) 2. wo der Geschwindigkeisvekor angenial zur Speichenrichung.verläuf 3v C R, r P R3, v A 6v C v C

10 L a) r O b) r P h an h an h cos 2, v O. h cos 2,. c) y h x2 h2 Aufgabe 7 a) v Q b) P v v Q v c) P P d) v Q P 2 v Q P 3 P v Q v

11 L Aufgabe 8 P 4 v 5 v A v 3 P P 2 Aufgabe 9 P 2 v D v A P v B P 3

12 L 2 6 Kineik der Sarrkörperdrehung Aufgabe L ma mr 2. 2 cos2 M A a) m S 2m, M 5m b) I 7 2 mr2, k r7 a) I CK ma2 2 2 c) S KK cos sin 5 5 sin cos, I CK b) I EK ma2 ma sin 2 2 cos 2 3 sin cos 5 3 sin cos 2 sin 2 5 cos 2 a) I Q,C ma b) I Z,C ma c) I ma2 O a) I O m a b) I O2 m 2 a c) I O ma Aufgabe 7 I O ma Aufgabe 8 a) I C ma b) I O ma

13 L 3 Aufgabe 9 I d I b I a I c Aufgabe I 2 mr2 Aufgabe I zz 3 mr2

14 L 4 7 Kreiselphänomene Aufgabe F L N a) Drehungen um A, B, C möglich; Drehungen um A und B sind sabil. b) Drehungen um B, C möglich; um C sabil. a) N 2 b) N 2 a) K b) Pr cos Pr sin C Pr sin C Pr cos, M OK Ga sin Ga cos Ga sin Ga cos. c) Pr Ga C Fahrrad kipp um Längsachse nach links

15 L 5 8 Kineik der allgemeinen Sarrkörperbewegung Aufgabe a) L CK 8 mr c) Änderung nur in der z Koordinae d) b) L CK 8 mr2 8 mr (2rN rmg) 2rT 2rT L C 2 mr2 L O 3 2 mr2 a) mv. R, 2 5 mr2. Rr b) v. g,. 5g 2r c) Rollen 2v 7g, v Rollen 5 7 v a) mv. mg F F S, 2 mr2. F F r Sr b) ẋ. 8 3 c m x 2 3 g b) v. g(sin cos ), v. 2 8 g sin c) arcan b) v. M A rm c) v. 3 g Aufgabe 7 a) v. g F s m,. F s r b) v g F s I m, s C 2 g F s m 2, F s r, r I C 2 I 2 C F s

16 L 6 9 Mehrkörpersyseme Aufgabe a) v 2 3v b) a 2 3a, s 2 3s v b a r a) f, v v 2 r. b) Zylinder: mv. S R mg sin N mg cos 2 mr2. Sr Rr Gewich: 2mv. 2 2mg 2S c). 2g (2 sin ) 7r d) k 3 sin 7 cos mg v S R N v 2 S S 2mg a). g 3l 2al 2 l 2 a 2 b) N 2 mg 2l2 3al l 2 a 2, a 2 3 l c). 3 2 g l a) v G 2v A R M A, b) Aufzug: m A v. A 2S 2S 2 m A g Gewich: m G v. G S 2 m G g Moor: M A S R S c) v. A 2M A gr(2m G m A ) R(m A 4m G ) S S S 2 S 2 S 2 d) Abwärsbewegung möglich, wenn m A 2m G, v. A abwärs 2m G m A 4m G m A g. e) M A gr(m A 2m G ). v A v G m A g m G g

17 L 7 b) R mv. N mg r b g v. v Hafen: vġ Kippen: v. g 2 c) N V g 4a M(2a b) 2m(a b) N H g 4a M(2a b) 2m(a b) mg r r R N N R v Aufgabe 7 a) ẋ r ẏ, ẋ. Fr 2 (m M)r 2 I N h R h Mg N v R v b) N, N 2, 2d a, N 2 R N 2 Aufgabe 8 a) ẋ. g 2 ( 2 2 ) b) Aufgabe 9 v. A 4 M A mr g Aufgabe ẋ m c 4g 75 3 sin Aufgabe a) 4 mr. 2M A R m 2 g b) M mgr A 4 a) 7 2 mẋ. 2F 3mg b) N m 4 (ẋ. 2g) c) unbegrenz

18 L 8 Kineik allgemeiner Syseme Aufgabe a) Krafsoß: p 3Ns; milere Seilkraf: S 75N b) v F.72 km h a) p 2mv, v L 2M 4M m v rel F F max 2 a) 2.28 s, v.225 m s, v 2.49 m s b) F 3N c) M 426Nm E M M 6m m() m exp Aufgabe 7 35, 3s Aufgabe 8 v rel 55 m s v rela g 2 a 2 2R g r arcan 2a a 2R Aufgabe 9 a 3, 27 m s 2 Aufgabe a) S(y) Mg y L b) S(y) M L v 2 gy c) S(y) Mg y L

19 L 9 Energiemehoden Aufgabe Poenialfunkion: V() Mm, v.2 km s a) y R, x 2R, y 2 x b) T 5 8 mẋ2, U 4mgx c 4 x2, E 5 8 mẋ2 4mgx c x2 4 a) y 3R, x 2R, y 3 2 x b) T mẋ2, U 4mgx sin 9 8 cx2, E mẋ2 4mgx sin 9 8 cx2 a) Einzelperson: P P 84W; Gesamleisung: P 5.52kW b) P A 5.52kW,.36 a) v 2 2g(L H) b) v max 2g(L H) m c g2 c) L mg c gm 2c (L H) a) v B g(s 2h) b) y(x) 2(s 2h) x2 c) w 2 s 2h s 3 2 2sh 8h 2, v C g(s w) Aufgabe 7 a) h 2 4 v2 g b) s v 7 m 2 c c) v 7 Aufgabe 8 a) n 3 6 I O M R 2 b) n 4 I O M R 2

20 L 2 Aufgabe 9 a) W 2 mgs b) v 2gs c) s 2s v v Aufgabe a) L 2 mg 2 c ( ) 2 sc gm( ) b) s (( )s )s 2l)

21 L 2 2 Soßprobleme Aufgabe a) gerade, exzenrisch, gla, elasisch b) 2 l v a) v 2 v, 3 v l b) p 2 mv c) Punk mi dem Absand l vom Soßende des Sabes. 3 a) 2 8. s b) 98.8% c) 4.9 v Kugel 2 v, Kreuz 3 2l v a) s 2 3 l b) s 5 l p B 3 ma Aufgabe 7 a) p L 3ls l2 2l 2 6ls 6s 2 p, Lagersoß Null bei s l 3 b) s 3 l Aufgabe 8 a) b) 27.3 Aufgabe 9 a) v x Aufgabe v 2 sin, v x2 v 2 sin b) L 28Nms; L wenn B.6m.

22 L 22 3 Schwingungen Aufgabe.. 2l. () l(). g sin, nichlinear, parameererreg l() a) Duffing Schwinger: Freiheisgrad, nichlinear, erzwungen Van der Pol Schwinger: Freiheisgrad, nichlinear, frei b) 3 Freiheisgrade, linear, erzwungen c) Freiheisgrad, nichlinear, parameererreg a) Energiequelle: beweger Bogen; Schwinger: Saie; Schaler: Reibung b) Energiequelle: Zufluss; Speicher: Schale; Schaler: Abfluss/Gewich a) Energiequelle: Baerie; Schwinger: Klöppel; Schaler: Konak a).. mgs I C ms 2, mgs I C ms 2 b) l red I C ms s c) I l min 2 Cm d).. 3g 2l a) s 9 2 a, I C 8ma2 b) T 4.6 a g c) A 5 a) x, ẋ.~ ẋ ~ x ~ b),,..~ g l ~

23 L 23 4 Freie Schwingungen Aufgabe a).. c I, c b) I I.58kgm 2 a) m c b) x() v m c sin c m c) v 3g m c a) ẋ. c 4m x b) c 2 m a) ẋ. 4c 7m x b) 2 c 7m a) g r b) 6.28 rad s, r.8m c) rad s a) schwach gedämpf b) x() ẋ() 3. m s c) T 5s, f.2hz,.2566 rad s,.647, D.3 Aufgabe 7 Aufgabe 8 a).. 4 m d. 2 m c linear, frei, gedämpf b) m 2cm 4d2, D 2 cm d2 c) () 3 e sin 3 Aufgabe 9 a).. 3 d T mb 2. 3 c T mb 2 b) d T 2 3 3c T mb2 c).9, D.435, 3.37 Aufgabe a),2, () Ae Be b) () 2 e Be

24 L 24 5 Erzwungene Schwingungen Aufgabe a) ẋ. m d ẋ 2c m x m c u b) x() u 2 2 c) R.35m a) ẋ. 4c m x F m cos b) 2 c m a) y() u 2 2 sin sin b) relaiver Fehler: 5.26% e 2 2 cos a) ẋ. c M x U M cos N U 2 b) c 64.6 kn m max. Ampliude:.385m Schwebungsfrequenz:.385Hz a) ẋ. 2c x 2c 3m 3m r cos b) Resonanz bei 2c 3m c) r 2.7r