Zinsratenmodelle in stetiger Zeit: Teil II

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1 Zisratemodelle i stetiger Zeit: Teil II Simoe Folty Vasicek Modell (1977) 1.1 Eiführug Vasicek schlug das folgede Modell für die risikofreie Zisrate r(t) vor, basiered auf der SDGL d r t α µ r t d t σ d W t. W t ist die Stadard Browsche Bewegug uter dem risikoeutrale Maß Q ud α, µ, σ > 0 Es ist auch uter dem Name Orstei Uhlebeck Prozess bekat. Das Schlüsselmerkmal ist die Mea-Reversio (mittlere Umkehrug) Struktur: D.h der Prozess hat jederzeit die Tedez, eie mittlere Wert azustrebe. Bedeutug der Kostate: µ lagristig erwartete risikofreie Rate σ lokale Volatilität α mea reversio speed Bemerkug: Für s > 0 ist r(t+s) gegebe durch r(t) ~N ( µ( 1 e -αs ) r(t) e -αs, Die Stadardabweichug ist σ α 1eαs ud für S erhalte wir die lagfristige Stadardabweichug: σ α ( 1 e-αs )) σ α 1.1 Bod - ud Optiospreise Bemerkug: Ma et eie Fuktio P(t,T) eie affie Fuktio, we sie vo der Form P(t,T) exp [ A(t,T) - B(t,T) X(t) ] ist. Theorem 1:

2 (a) Preise für Zerobods sid durch die folgede Formel gegebe: P(t,T) exp [ A(t,T) B(t,T) r(t) ] wobei gilt: B t,t 1eα Tt α A t,t B t,t Tt µ σ α σ 4α B t,t (b) Der Preis eier europäische Call Optio mit eiem Zerobod als Uderlyig (fällig zum Zeitpukt S) ud Ausübugspreis K zum Ausübugszeitpukt T (T<S) ist: V(t) P(t,S) Ф (d 1 ) K P(t,T) Ф (d ) wobei gilt: Ф (z) ist die kumulative Verteilugsfuktio eier stadardormalverteilte Zufallsvariable σ p σ α 1eα ST 1eα Tt α d 1 1 P t,s log σ p K P t,t σ p d d 1 σ p. Das Cox- Igersoll- Ross Modell (1985).1 Eiführug Cox, Igersoll ud Ross schluge das folgede Modell für die risikofreie Zisrate r(t) vor, basiered auf der SDGL: d r t α µ r t d t σ r t d W t W t ist die Stadard Browsche Bewegug uter dem risikoeutrale Maß Q ud α, µ, σ > 0 I dem ächste Theorem werde die Eigeschafte des Cox Igersoll Ross Modells agegebe. Zuvor muss ma die (ichtzetrale) Chi-Quadrat Verteilug eiführe: Defiitio: Seie Z 1,..., Z stadardormalverteilte Zufallsvariable.

3 Da gilt: Z i ~ χ () mit Freiheitsgrade. Die Dichtefuktio ist: f x x 1 x e Г für x 0, f x 0 für x 0, Г(z) ist die Gammafuktio Seie Z 1,..., Z ormalverteilte Zufallsvariable, die Erwartugswert µ i ud Variaz 1 habe. Gegebe sid zwei Parameter: ud der Nichtszetralitätsparameter λ > 0, wobei λ µ i Da gilt: Z i ~ χ (, λ). Die Dichtefuktio ist: exp 1 f x x λ j0 x j1 λ j j Г für x 0, f x 0 für x 0. j j! Theorem : (a) Die Laplace Trasformatio immt die affie Form P L (t, T, r, ν, ω) E Q [ exp ν r s d sω r T r(t) r]. t exp [A (t, T, ν, ω) B (t, T, ν, ω) r ], T a, wobei gilt: A (t, T, ν, ω) αµ σ γ ν e γ ν α Tt / log σ ω γ ν α e γ ν Tt 1 γ ν γ (ν) α σ ν B ( t, T, ν, ω) ω γ ν γ ν α e γ ν Tt 1 ν e γ ν Tt 1 σ ω γ ν α e γ ν Tt 1 γ ν (b) Wählt ma ν 1 ud ω 0 erhält ma de Preis des Zerobods: P (t, T, r) exp[ A Tt B Tt r], wobei gilt: A τ αµ σ γ e γ α τ/ log γ α e γτ 1 γ γ α σ

4 e B τ γτ 1 γ α e γτ 1 γ (c) Gegebe r(0) r, hat r(t)/ k Q eie Nichtzetrale Chi - Quadrat Verteilug uter Q mit d αµ/σ Freiheitsgrade ud Nichtzetralitätsparameter λ Q, wobei gilt: λ Q 4αr 0 σ e αt 1 ud k Q σ 1e αt 4α (d) Gegebe r(0) r > 0, sei U if {t : r (t) 0} ( wobei if Ø ). Da gilt: αµ σ > Pr (U ) 1 ud αµ < σ > Pr ( U < ) 1 (e) Sei C der Preis zum Zeitpukt 0 eier europäische Call Optio auf Zerobods mit Fälligkeit U T + τ, eiem Ausübugsdatum T ud eiem Ausübugspreis K. Gegebe r(0) r, gilt: C P ( 0, T + τ, r) χ (d, λ 1 ; y 1 ) K P (0, T, r) χ (d, λ ; y ), wobei χ (d, λ; y) die kumulative Verteilugsfuktio der Nichtzetrale Chi-Quadrat Verteilug ist mit d Freiheitsgrade ud Nichtzetralitätsparameter λ. Die Iputs sid wie folgt berechet: d 4αµ σ, γ α σ, 8γ e γt r λ 1 σ e γt 1 γ γ α σ B UT e γt 1, 8γ e γt r λ σ e γt 1 γ γ α e γt 1, σ e γt 1 k 1 γ γ α σ B UT e γt 1, σ e γt 1 k γ γ α e γt 1, r* A UT log K B UT, y 1 r* / k 1, y r* / k. Der Multidimesioale Orstei- Uhlebeck Prozess Seie X 1 (t), X (t),..., X (t) uabhägige Orstei Uhlebeck Prozesse mit

5 d X i (t) - ½ α X i (t) dt + α d W i (t). Wir wisse bereits, dass X i (t) ~N ( X i (0) e -αt/, 1 e -αt ) Betrachte wir de Vektor X (t) ( X 1 (t),..., X (t) ). Der Quadrat Radius vo diesem Vektor Prozess ist R (t) X i t (1) Da gilt d R (t) X i t dx i t d X i t α X i t dt X i t α dw i t α dt α R t dt 4αR t d W t We wir θ 4α/σ ud 4αµ/σ wähle, erhalte wir r (t) R (t) / θ () Bemerkug: Betrachte Gleichuge (1) ud (). Da alle X i (t) mit der selbe idetische Variaz ormalverteilt sid, sehe wir, dass R (t) / [1 e -αt ] Nichtzetral Chi Quadrat verteilt ist mit Freiheitsgrade ud Nichtzetralitätsparameter λ 4αr(0) / [σ (e αt - 1)]. Für 4αµ/σ gazzahlig hat 4αr(t)/σ (1 e -αt ) eie Nichtzetrale Chi Quadrat Verteilug mit λ 4αr(0)/σ (e αt 1) 3. Vergleich zwische dem Vasicek ud dem CIR Modell Wir habe u Uterschiede ud Gemeisamkeite der beide Modelle herausgefude. Der Prozeß der risikofreie Zisrate r(t) hat zum Beispiel de gleiche Driftterm α(µ r(t)), aber sie habe verschiedee Volatilitätsfuktioe σ ud σ r t Zusätzlich wird die Parameterwahl uterschiedlich sei. Aus mathematischer qualitativer Sicht sid das zwei gaz uterschiedliche Modelle, die eie separate Aalyse verdiee. Es stellt sich aber die Frage, ob die Modelle Resultate liefer, die aus quatitativer Sicht bedeutsam uterschiedlich sid. I der folgede Tabelle sid Beispielparameterwerte, die wir beim Vergleich der beide Modelle verwede werde: Modell α µ σ Vasicek 0,06 0,5 0,0 CIR 0, ,3 0,08

6 3.1 Forward Rate Kurve die Volatilität vo r(t) uter dem CIR Modell approximiert die Volatilität uter dem Vasicek Modell, we r(t) µ CIR ; σ CIR µ CIR σ VAS Die Grezforward Rate sid uter dem Vasicek Modell: µ σ / α ud uter dem CIR Modell: µα (γ -α) / σ mit γ α σ Die Parameter sid so gewählt, dass die Grezrate gleich sid. α wurde so gewählt, dass die Form der Forward Rate Kurve beider Modelle i de Afagswerte gleich sid. Ma stellt fest, dass der Uterschied der beide Forward Rates Kurve für verschiedee Afagswerte r(0) jeweils sehr gerig (weiger als 0,1%) ist ud sich die Grezrate aufgrud der Parameterwahl etspreche. Die Modelle liefer hier also gleiche Resultate. 3.1 Optiospreise Geerelle Beobachtuge: Der Preis fällt, we K steigt steigt r(0) vo 0,0 zu 0,15 da fällt der Preis der Optio Vergleiche: für eiige Werte vo r(0) ud K sid die beide Modelle sehr ählich das Vasicek Modell hat beiahe immer wesetlich höhere Call Optiospreise für hohe K für r(0) 0,0 sid die Preise des Vasicek Modells geerell höher als die des CIR Modells, für r(0) 0,15 sid sie eher iedriger Ausblick: Zwei weitere Modelle wurde vo Ho ud Lee (1986) ud Hull ud White (1990) erforscht, die zu dem Merto bzw. Vasicek Modell korrespodiere. Diese Modelle werde i de ächste Vorträge utersucht. I beide Fälle köe aalytische Lösuge für Bod ud Optio Preise gefude werde.