Kapitel 1 Beschreibende Statistik

Transkript

1 Beispiel 1.5: Histogramm (klassierte erreichte Punkte, Fortsetzung Bsp. 1.1) Höhe , erreichte Punkte Dr. Karsten Webel 24

2 Beispiel 1.5: Histogramm (Fortsetzung) Klasse a i H(a i ) h(a i ) Breite Höhe [0;6) 52 52/92 0, /552 0,094 [6;7) 22 22/92 0, /92 0,239 [7;8,5) 9 9/92 0,098 1,5 9/138 0,065 [8, 5;10) 8 8/92 0,087 1,5 8/138 0,058 [10;11] 1 1/92 0, /92 0,011 Dr. Karsten Webel 25

3 Beispiel 1.5: empirische Verteilungsfunktion (Fortsetzung Bsp 1.1) F 92 (x) , erreichte Punkte Dr. Karsten Webel 26

4 Beispiel 1.5: empirische Verteilungsfunktion (Fortsetzung) 0 für x < 0 h(0) = 2/92 für 0 x < 0,5 F 92 (x) = h(0) + h(0,5) = 4/92 für 0,5 x < 1 h(0) + h(0,5) + h(1) = 8/92 für 1 x < 1,5.. h(0) + h(0,5) h(10,5) = 91/92 für 10,5 x < 11 1 für x 11 Dr. Karsten Webel 27

5 Definition 1.6: nominales, ordinales & metrisches Skalenniveau Die Skalierung eines Merkmals X heißt nominal, wenn seine möglichen Ausprägungen keiner natürlichen Rangfolge unterliegen, ordinal, wenn seine möglichen Ausprägungen einer natürlichen Rangfolge unterliegen, deren Abstände sich nicht sinnvoll interpretieren lassen, metrisch, wenn seine möglichen Ausprägungen einer natürlichen Rangfolge unterliegen, deren Abstände sich sinnvoll interpretieren lassen. Dr. Karsten Webel 28

6 Definition 1.6: nominales, ordinales & metrisches Skalenniveau (Fortsetzung) Metrisch skalierte Merkmale lassen sich weiter wie folgt unterteilen: Intervallskala Verhältnisskala Absolutskala Nullpunkt willkürlich natürlich natürlich Maßeinheit willkürlich willkürlich natürlich Dr. Karsten Webel 29

7 Definition 1.7: empirische Verteilungsfunktion Gegeben sei ein mindestens ordinal skaliertes Merkmal X mit den möglichen Ausprägungen a 1,a 2,...,a k. Werden n Merkmalsausprägungen von X beobachtet, so heißt die Funktion F n (x) = a i x h(a i ) (x R) empirische Verteilungsfunktion des Merkmals X. Dr. Karsten Webel 30

8 Satz 1.8: Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion a) Die empirische Verteilungsfunktion ist monoton nicht fallend. b) Die empirische Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. c) Es gilt: lim F n(x) = 0 und lim F n(x) = 1. x x Dr. Karsten Webel 31

9 Beispiel 1.9: schlechte Grafiken Quelle: Indopendent 212, 03. Juni Dr. Karsten Webel 32

10 Beispiel 1.9: schlechte Grafiken (Fortsetzung) Quelle: EnergieLive 8/09. Dr. Karsten Webel 33

11 Beispiel 1.9: schlechte Grafiken (Fortsetzung) Quelle: Douglas et al. (2009), Acute Computer-related injuries treated in US emergency departments, , Am J Prev Med 37 (1), Dr. Karsten Webel 34

12 Bemerkung 1.10: Fazit zur grafischen Darstellung von Daten Säulen-, Balken- und Kreisdiagramm für nominal, ordinal und metrisch skalierte Merkmale geeignet empirische Verteilungsfunktion für ordinal und metrisch skalierte Merkmale geeignet Histogramm nur für metrisch skalierte Merkmale geeignet Vorsicht bei der Interpretation von relativen Häufigkeiten weitere Details: Sauerbier, T. (2009), Statistiken verstehen und richtig präsentieren, Oldenbourg, München. Dr. Karsten Webel 35

13 Lagemaße

14 Definition 1.11: arithmetisches Mittel Für ein metrisch skaliertes Merkmal X mit den beobachteten Ausprägungen x 1,x 2,...,x n heißt arithmetisches Mittel von X. x a = 1 n n i=1 x i Dr. Karsten Webel 37

15 Beispiel 1.12: (Fortsetzung Bsp. 1.1) Für die erreichten Punkte aus der Statistik Klausur vom ergibt sich folgende durchschnittliche erreichte Punktzahl: x a = 1 92 Offensichtlich gilt auch: (9, ) = 4,864. x a = , , = 4, 864. Dr. Karsten Webel 38

16 Bemerkung 1.13: Gegeben sei ein metrisch skaliertes Merkmal X mit den möglichen Ausprägungen a 1,a 2,...,a k. Werden n Merkmalsausprägungen von X beobachtet, so gilt: x a = k h(a i ) a i. i=1 Dr. Karsten Webel 39

17 Beispiel 1.14: erfasste Straftaten in Städten des Ruhrgebietes mit mehr als Einwohnern (Quelle: PKS 2008, Stadt EW Straftaten Stadt EW Straftaten Bochum Essen Dortmund Gelsenkirchen Duisburg Krefeld Düsseldorf Oberhausen = in 1000 (gerundet) zum Dr. Karsten Webel 40

18 Beispiel 1.15: erreichte Punkte bei der Statistik Klausur vom in klassierter Form (Fortsetzung Bsp. 1.5) Klasse a i [0; 6) [6; 7) [7; 8,5) [8,5; 10) [10, 11] H(a i ) Dr. Karsten Webel 41

19 Definition 1.16: gewichtetes arithmetisches Mittel Für ein metrisch skaliertes Merkmal X mit den beobachteten Ausprägungen x 1,x 2,...,x n und den zugehörigen Gewichten g 1,g 2,...,g n, die die Bedingungen g i 0 für alle i = 1,...,n und n g i = 1 i=1 erfüllen, heißt n x ga = g i x i i=1 gewichtetes arithmetisches Mittel von X. Dr. Karsten Webel 42

20 Beispiel 1.17 (Fortsetzung Bsp & 1.15) : a) Verwende in Beispiel 1.14 g i = EW i EW j j mit EW j = j g 1 = 0,113; g 2 = 0,176; g 3 = 0,149; g 4 = 0,173 g 5 = 0,173; g 6 = 0,078; g 7 = 0,072; g 8 = 0,066 x ga = 0, , , = 51798,53 > 44716,88 = x a Dr. Karsten Webel 43

21 Beispiel 1.17: (Fortsetzung) b) Verwende in Beispiel 1.15 g 1 = 52 92, g 2 = 22 92, g 3 = 9 92, g 4 = 8 92, g 5 = x ga = 5 h(a i ) m i mit m i = Klassenmitte von a i i=1 = , ,5 = 4,927 > 4,864 = x a. Dr. Karsten Webel 44

22 Beispiel 1.18: Die Universität Virginia teilte im Jahr 1984 mit, dass die Absolventen des Bachelor-Studiengangs Rhetorik und Kommunikation ein durchschnittliches Einstiegsgehalt von Dollar hatten. Dr. Karsten Webel 45

23 Beispiel 1.18: (Fortsetzung) R. Sampson (Houston Rockets) Dr. Karsten Webel 46

24 Bemerkung 1.19: Durchschnitte nicht teilbarer Merkmale (Quelle: Statistisches Jahrbuch 2008) In Deutschland betrug am die durchschnittliche Größe eines Haushalts 2,08 Personen, die durchschnittliche Kinderzahl pro Frau 1,36, die durchschnittliche Anzahl MP3-Player pro Haushalt 0,31 und die durchschnittliche Anzahl PKWs pro Haushalt 1,02. Dr. Karsten Webel 47

25 Beispiel 1.20: erzielte Noten bei der Statistik Klausur vom (Bachelor, n = 92) 1,7; 5,0; 4,0; 4,0; 1,7; 5,0; 4,0; 5,0; 4,0; 3,0; 4,0; 5,0; 4,0; 5,0; 4,0; 5,0; 1,0; 5,0; 3,7; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 3,7; 5,0; 3,0; 4,0; 2,3; 4,0; 4,0; 2,3; 4,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 2,7; 5,0; 5,0; 5,0; 1,7; 3,7; 2,7; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 2,0; 5,0; 3,3; 5,0; 4,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 4,0; 5,0; 3,3; 4,0; 5,0; 2,3; 5,0; 3,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0; 2,0; 4,0; 5,0; 4,0; 5,0; 2,7; 5,0; 5,0; 5,0; 4,0; 5,0; 2,7; 4,0; 5,0; 4,0. Dr. Karsten Webel 48

26 Definition 1.21: Median Es sei X ein mindestens ordinal skaliertes Merkmal mit den beobachteten Ausprägungen x 1,x 2,...,x n. Weiter bezeichnet x (i) die i-te der Größe nach aufsteigend sortierte beobachtete Ausprägung von X. Dann heißt Median von X. x m = x ( n+1 2 ), n ungerade ( ) 1 2 x ( n 2 ) + x ( n 2 +1 ), n gerade Dr. Karsten Webel 49

27 Beispiel 1.22: (Fortsetzung Bsp. 1.20) Die durchschnittliche Note der Statistik Klausur vom beträgt (n = 92): denn: x m = 1 2 (x (46) + x (47) ) = 1 2 (5,0 + 5,0) = 5,0, x (1) = 1,0; x (2) =... = x (4) = 1,7; x (5) = x (6) = 2,0; x (7) =... = x (9) = 2,3; x (10) =... = x (13) = 2,7; x (14) =... = x (16) = 3, 0; x (17) = x (18) = 3,3; x (19) =... = x (21) = 3,7; x (22) =... = x (40) = 4, 0; x (41) =... = x (92) = 5,0. Dr. Karsten Webel 50

28 Bemerkung 1.23: a) Der Median stimmt oft mit einer beobachteten Ausprägung überein. b) Der Median ist robuster gegenüber Ausreißern als das (gewichtete) arithmetische Mittel. c) Die Berechnung des Medians geht oft mit einem hohen Informationsverlust einher. Dr. Karsten Webel 51

29 Satz 1.24: Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians a) Bei linearen Datentransformationen der Form y i = a x i + b mit a 0 (i = 1,...,n) gilt: ȳ a = a x a + b und ȳ m = a x m + b. b) Beide Lagemaße minimieren jeweils eine Zielfunktion. Genauer gilt: ( n ) ( n ) x a = argmin (x i z) 2 und x m = argmin x i z. z R z R i=1 i=1 Dr. Karsten Webel 52