Mathematik für Betriebswirte II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester

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1 Mathematik für Betriebswirte II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Name des Tutors: Vorkurs Mathematik besucht? Ja Nein Unterschrift der/des Studierenden: Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 0 Seiten. Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 90 Note

2 Aufgabe : Folgen und Reihen (0 Punkte). Zeigen Sie anhand der Teilfolgen a 2n und a 2n+ von a n = ( ) n mit n N, dass a n beschränkt ist. 2. Geben Sie die Reihe 6n n 2 7n in der Form k=0 a k an und berechnen Sie den Wert dieser Reihe. Lösung:. (5 Punkte) Es gilt lim a 2n+ = 2 n bzw. lim n a 2n = 2. Die Folge a n ist zwar divergent, aber da ihre beiden Teilfolgen a 2n bzw. a 2n+ jeweils gegen 2 bzw. 2 konvergent und damit beschränkt sind, ist a n beschränkt. 2. (5 Punkte) Es handelt sich um eine geometrische Reihe mit Anfangsglied a 0 = 2 5 und Quotient q = 0. Daher gilt: k=0 ( ) k 2 5 = = = = 4 9 2

3 Aufgabe 2: Differentialrechnung in R (0 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : R R, ax 2 + 4a für 2 x 2 x f(x) = mit a R. 2 x a für 2 < x 5 a) Bestimmen Sie den Parameter a derart, dass f eine stetige Funktion ist. b) Veranschaulichen Sie den Verlauf von f für den in a) errechneten Wert des Parameters a. Lösung: a) (5 Punkte) Es gilt: Daraus folgt: Damit ist f für a = stetig. ( lim ax 2 + 4a ) = 0 x 2 ( ) lim x 2 2 x a = a a = 0 a = b) (5 Punkte) Zu plotten ist die Funktion: x für 2 x 2 x f(x) = 2 x für 2 < x 5

4 Aufgabe : Differentialrechnung in R (0 Punkte). Geben Sie die erste Ableitung der Funktion f : D R ( x 2 ) 4 x f(x) := ln mit D := {x R x < 2 x > 2} an und vereinfachen Sie sie soweit wie möglich. 2. Geben Sie die erste Ableitung der Funktion g : R R x g(x) := x 2 4x x2 + 8 an und vereinfachen Sie sie soweit wie möglich. Lösung:. (5 Punkte) Es gilt:. (5 Punkte) Es gilt: f (x) = 8 (x 2 4)x g 2 (x) = (x 2 + 8) 2 4

5 Aufgabe 4: Approximationsverfahren (0 Punkte) Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren unter Verwendung des Startwertes eine reelle Lösung der Gleichung x 0 = 0,5 2x 5 x + 5x 2 = 2 auf vier Iterationen und vier Nachkommastellen genau. Erörtern Sie zudem, inwieweit der alternative Startwert x 0 = 0 hierzu geeignet wäre. Lösung: (2 Punkte) Es gilt: f(x) = 2x 5 x + 5x 2 2 f (x) = 0x 4 x 2 + 0x ( Punkt) Damit folgt für die Newton-Iteration: x 0 = 0,5: x n+ = x n 2x5 n x n + 5x 2 n 2 0x 4 n x 2 n + 0x n x x 2 x x 4 0,7586 ( Punkt) 0,7828 ( Punkt) 0,7844 ( Punkt) 0,7844 ( Punkt) x 0 = 0: ( Punkte) Für den Startwert x 0 = 0 ist das Newton-Verfahren nicht anwendbar, da x 0 = 0 einer stationären Stelle entspricht. 5

6 Aufgabe 5: Kurvendiskussion (0 Punkte) Ermitteln Sie das Extremum der ersten Ableitungsfunktion f von f : R R x f(x) := x e x2 und begründen Sie, um was für einen Punkt es sich dabei in der Funktion f handelt. Lösung: (5 Punkte) Für die Ableitungen von f gilt: f (x) = ( + 2x 2) e x2 f (x) = ( 4x + 6x ) e x2 f (x) = ( 8x x ) e x2 (2 Punkte) Damit folgt aus f (x) = 0, dass f eine stationäre Stelle bei x = 0 besitzt. (2 Punkte) Da zudem f (0) = 6 > 0 und f (0) = gilt, besitzt f in (0; ) einen Tiefpunkt. ( Punkt) Die Funktion f weist in (0; 0) also einen Konkav-Konvex-Wendepunkt auf. 6

7 Aufgabe 6: Integralrechnung in R (0 Punkte) Gegeben sei die Funktion { f : [0, b] R, x} 6x 2 mit b > 0 und die äquidistante Zerlegung Z n := 0, b n,..., (n ) b n, b des Intervalls [0, b] in die n N gleichlangen Teilintervalle [ 0, b ] [ b, n n, 2 b ] [ ] (n ) b,...,, b. n n Bestimmen Sie die Untersumme U(Z n ) der Funktion f über dem Intervall [0, b]. Lösung: Für die Untersumme U(Z n ) der Funktion f über dem Intervall [0, b] gilt: ( ) 2 b b ( 2 b n n + 6 n ( ) 2 (n ) b b n n U(Z n ) = b n + 6 = 6 b n ( (n ) 2) n = 6 b n (i ) 2 i= = 6 b n 2n n 2 + n 6 = b (2 n + n ) 2 Damit ergibt sich für den Grenzwert der Untersumme lim U(Z n) = 2b. n ) 2 b n 7

8 Aufgabe 7: Integralrechnung in R (0 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale: a) b) c) 6 x 2 dx mit x > 2 5 x dx e + ln(x) x dx mit x > 0 Lösung: a) ( Punkte) Es gilt: 6 x 2 dx = b) (4 Punkte) Es gilt: 5 x dx = (x 2) 2 dx = [2(x 2) 2 ] 6 ] 5 = 4 2 = 2 [ (x ) dx = 2 2 x2 x ( 25 = ) = 4 c) ( Punkte) Mittels der Substitution u = + ln(x) erhält man: e + ln(x) x dx = 2 u x x du = 2 u du = [ ] 2 2 u2 = 2 2 = 2 8

9 Aufgabe 8: Differentialrechnung im R n (0 Punkte) Bestimmen Sie für die Funktion f : (0, ) 2 R, (x, y) e xy + ln ( x 2 y ) die totale Ableitung und die Hesse-Matrix an einer allgemeinen Stelle des Definitionsbereiches. Lösung: (4 Punkte) Für die totale Ableitung gilt: grad f(x, y) = yexy + 2 x xe xy + y (6 Punkte) Die Hesse-Matrix ergibt sich zu: H f (x, y) = y2 e xy 2 x e xy + xye xy 2 e xy + xye xy x 2 e xy y 2 9

10 Aufgabe 9: Optimierung im R n (0 Punkte) Die Herstellungskosten eines Produktes seien durch K(x) = 4 x2 0x gegeben, wobei x 0 die produzierte Menge bezeichnet. a) Stellen Sie die Gewinnfunktion G(x, p) in Abhängigkeit von x und des Stückpreises p 0 auf. b) Bestimmen Sie die gewinnmaximierende Produktionsmenge, den gewinnmaximierenden Preis und den Gewinn bei einem Umsatz von U(x, p) = 800 Geldeinheiten. Lösung: a) (2 Punkte) Es gilt: G(x, p) = U(x, p) K(x) = xp 4 x2 + 0x 250 b) ( Punkt) Es gilt: G(x) = x2 + 0x 250 = 4 x2 + 0x (2 Punkte) Für die ersten beiden Ableitungen von G(x) gilt: G (x) = 2 x + 0 G (x) = 2 (2 Punkte) Nullsetzen von G (x) liefert im Zusammenspiel mit G (x) < 0 die gewinnmaximierende Produktionsmenge x = 20. (2 Punkt) Der maximale Gewinn ist dann: G(20) = = 650 ( Punkt) Der zugehörige gewinnmaximierende Preis ergibt sich über 20p = 800 zu p = 40. 0