Universität zu Köln Mathematisches Institut Sommersemester Zufallszahlengeneratoren und Monte-Carlo-Simulation

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1 Universität zu Köln Mathematisches Institut Sommersemester 2008 Zufallszahlengeneratoren und Monte-Carlo-Simulation Stefan Müller muelles1(at)smail.uni-koeln.de 3. September 2008

2 1 Optionen In den letzten drei Jahrzehnten erlangten Optionen und andere Derivate eine immer stärker werdende Bedeutung als Finanzmarktinstrumente. Einen angemessenen Preis, den sog. fair value, für solche Produkte in angemessener Zeit zu berechnen, ist ein wichtiges aktuelles Forschungsgebiet. Die Entwicklung geht hin zu immer komplexer werdenden Finanzprodukten, deren Preis nur mit hohem Rechenaufwand bestimmt werden kann. Deshalb ist es notwendig die Algorithmen auf den modernsten und schnellsten Prozessoren laufen zu lassen. Diese Seminararbeit soll einen Einblick über die Möglichkeiten geben, Optionsscheine auf einer GPU zu berechnen. Anschließend werden die Ergebnisse mit denen der Berechnung auf einer CPU verglichen. 1 Optionen Optionen gehören zu der Familie der Finanzmarktinstrumente und bilden eine Unterklasse der Derivate. Ihre ursprüngliche Aufgabe war die Absicherung von Risiken, die aus Kursschwankungen am Markt entstehen. Mittlerweile werden sie aber auch oft für Spekulationszwecke eingesetzt. Definition 1.1. (Option) Eine Option ist das Recht (aber nicht die Pflicht) ein risikobehaftetes Asset (z.b. eine Aktie) zu einem spezifischen Preis K ( Strike ) und einem bestimmten Zeitpunkt T (Fälligkeitsdatum) zu kaufen ( Call ) oder zu verkaufen ( Put ). Optionen besitzen keinen materiellen Gegenwert, sondern erhalten ihren Wert durch ein sogenannten underlying asset. Dies können u.a. Rohstoffe, Aktien und Immobilien sein. Beispiel 1.1. Ein Aktionär will in einem halben Jahr ( ) 1000 Aktien verkaufen, deren aktueller Wert 50 e pro Stück beträgt. Es besteht nun das Risiko von Kursverlusten, gegen die er sich absichern will. Dazu kauft er für jede Aktie eine Put-Option mit Strike K = 50 e und Fälligkeitsdatum T = Die Auszahlungsfunktion des Puts ist der sogenannte Payoff, er beträgt P = max(k S T, 0) und deckt somit die Kursverluste vollständig ab. Der Payoff beschreibt also wie teuer die Risikoabsicherung des Portfolios für den Aktionär ist. Hieran erkennt man sofort das Problem der fair value Berechnung, denn über den Wert des Optionsscheins entscheidet der zukünftige Wert des Assets S T und gegebenenfalls bei komplizierteren Payoff-Funktionen der Verlauf des Aktienkurses, der sogenannten Pfad. Doch heute sind diese Werte unbekannt, lediglich der aktuelle Kurs S 0 und die Zinsrate r liegen vor. Nun stellt sich die Frage, wie man am Besten den Preis für so ein Termingeschäft berechnen kann. Solche Berechnungen sind im Allgemeinen sehr aufwändig. Es gibt für einige einfache Optionen analytische Lösungen, die z.b. mit Hilfe des Black-Scholes-Modells berechnet werden. In dieser Seminararbeit möchte ich mich aber auf das Berechnen von exotische Optionen konzentrieren, für die es keine analytischen Lösungen gibt und daher Verfahren notwendig werden, die deren Wert gut approximieren. Hierzu werden in der Finanzmathematik im Allgemeinen Monte-Carlo-Methoden verwendet. 2

3 2 Monte-Carlo-Methoden 2 Monte-Carlo-Methoden Monte-Carlo-Methoden liefern Näherungslösungen zu Problemen die man nicht oder nur sehr schwer lösen kann. Die charakteristische Eigenschaft von MC-Simulationen ist, dass viele unabhängige Pfade mit Hilfe eines stochastischen Prozesses erzeugt werden, um diese dann zu einem Durchschnittsergebnis zu kombinieren. Auf Grund des Gesetzes der Großen Zahl konvergiert dieses dann gegen das Tatsächliche. Dies soll an einem Beispiel zur Berechnung von π verdeutlicht werden. Beispiel 2.1. Bestimme das Flächenverhältnis p zwischen einem Quadrat und seinem eingeschriebenen Kreis. p = πr2 4r 2 π = 4p Erzeuge nun n gleichverteilte Zufallszahlen (ZZ) im Quadrat und zähle diejenigen, die im Kreis liegen. Falls dies nun k Stück wären, lässt sich p annähern durch p k n. Beispielwerte sind in folgender Tabelle aufgeführt: n π 3,4 3,18 3,158 3,1492 3,1435 Natürlich ist dies eine ineffiziente Möglichkeit π zu berechnen, doch zeigen sich hierbei schon die Vorteile der Monte-Carlo-Simulation. 2.1 Kritik der MC-Methode 1. Die Methode ist leicht verständlich. 2. Der Algorithmus ist leicht zu implementieren. 3. Die MC-Methode ist leicht zu parallelisieren. Diese Vorteile kann man sich leicht am vorangegangenen Beispiel verdeutlichen. Interessant für unsere Zwecke ist vor allem der letzte Punkt, die Möglichkeit zur Parallelisierung. Dies erlaubt uns die Berechnung auf die verschiedenen Knoten einer GPU aufzuteilen, da die Berechnungen auf verschiedenen Knoten offensichtlich unabhängig voneinander sind. Oft ist die MC-Simulation die einzige Möglichkeit eine Approximation der Lösung zu erhalten, da eine Analytische nicht existiert. Doch die MC-Simulation hat auch einen großen Nachteil, der schon im Beispiel deutlich wurde. Das Verfahren konvergiert sehr langsam und besitzt eine Konvergenzrate von nur n, wobei n die Anzahl der unabhängigen Simulationen beschreibt. 2.2 Parallelisierung der MC-Methode Um auf einer GPU effizient arbeiten zu können, muss der MC-Algorithmus parallelisiert werden. Dies erfolgt in fünf Schritten. Zuerst wird dem Prozessor eine Zufallszahlensequenz zugewiesen, der sog. seed. Dann werden die für die Berechnung notwendigen Simulationsparameter, z.b. der momentane Wert einer Aktie S 0 und der 3

4 3 Zufallszahlen und ihre Generatoren Zinssatz r und die Anzahl der Simulationen allen Prozessoren übergeben. Anschließend wird für jeden Prozessor ein Zufallszahlen-Stream erzeugt, mit dem dann der Simulationskernel parallel auf den Prozessoren ausgeführt werden kann. Die Ergebnisse dieser Simulationen aller Prozessoren werden nun gesammelt und kombiniert, um eine Näherung zu erhalten. Die folgende Grafik verdeutlicht diese Schematik. 3 Zufallszahlen und ihre Generatoren Zufallszahlen können mit sogenannten Zufallszahlengeneratoren erzeugt werden. Hierbei unterscheidet man im Wesentlichen drei Arten, abhängig davon wie zufällig die Zahlen erzeugt werden. 3.1 Arten von Zufallszahlengerneratoren Zum Einen gibt es die physikalischen Zufallszahlengeneratoren oder kurz TRNG, von true random number generator, denen eine physikalische Quelle, z.b. der Atomzerfall eines radioaktiven Materials, zugrunde liegt. Wegen ihrer tatsächlichen Zufälligkeit werden sie in der Kryptographie verwendet, da aber die Berechnung sehr langsam ist, ist dieser für finanzmathematische Zwecke unbrauchbar. Zum Anderen gibt es die quasizufälligen Zufallszahlengeneratoren oder kurz QRNG. Diese werden eingesetzt, falls Häufungen von Zufallszahlen unerwünscht sind. Zuletzt und für die Bewertung von Finanzmarktprodukten geeignet sind die deterministischen Generatoren, kurz PRNG. Die Zufallszahlen werden hierbei deterministisch mit Hilfe von teils komplizierten mathematischen Formeln berechnet, trotzdem sind diese Generatoren deutlich schneller als die TRNGs. Im Folgenden werden wir einige PRNGs kennen lernen mit denen man verschiedene Arten von Zufallszahlen erzeugen kann. 3.2 Klassifikation von Zufallszahlen Die Zufallszahlen werden bezüglich ihrer Verteilung eingeordnet. Wichtige Verteilungen sind z.b. die Gleich-, die Normal- und die Exponentialverteilung. 4

5 4 Erzeugung von normalverteilten Zufallszahlen 3.3 Bedingungen an die PNRGs Allgemein kann man sagen, dass die Generatoren eine hohe statistische Qualität liefern müssen, die mit Signifikanztests überprüft werden kann, denn Zufallszahlen mit schlechter Qualität können die MC-Simulation ruinieren. Eine weitere Anforderung ist eine lange Periodizität der Generatoren, denn jeder PNRG kann nur endlich viele Zufallszahlen erzeugen, bevor er in eine Schleife gerät. Man fordert oft, dass die Periode mindestens doppelt so groß ist wie die Anzahl der benötigten Zufallszahlen. 4 Erzeugung von normalverteilten Zufallszahlen Für unser finales Beispiel der Simulation eines Asiatischen Optionsscheins benötigen wir normalverteilte Zufallszahlen. Zu deren Berechnung gibt es zwei Techniken. Einerseits kann man gleichverteilte Zufallszahlen erzeugen und diese dann anschließend zu normalverteilten transformieren, dies sind die sogenannten Uniformto-Gaussian Conversion Generators (UGCG). Andererseits kann man die normalverteilten Zufallszahlen direkt berechnen. 4.1 Berechnung normalverteilter ZZ mit Transformation Der UGCG besteht aus zwei Teilen, nämlich einem Generator für gleichverteilte Zufallszahlen und einem Programm, das diese dann transformiert. Eine Anforderungen an den PNRG besteht in der Möglichkeit verschiedene Substreams auf parallelen Knoten zu erzeugen, wobei die Substreams auf verschiedenen Knoten unabhängig voneinander sein müssen Generatoren für gleichverteilte Zufallszahlen Es gibt einige deterministische Zufallszahlengeneratoren, die gleichverteilte Zufallszahlen erzeugen. Beispiele hierfür sind der Lineare Kongruenzen Generator (LCG), der Mersenne Twister (MT), der Combined Tausworth Generator (CTG) und Hybride Generatoren. Letztere kombinieren verschiedene Generatoren und haben sehr gute Eigenschaften, falls deren Perioden koprim sind. Der LCG berechnet die Zufallszahlen mit der Formel x n+1 = (ax n + c)mod m. Seine statistischen Eigenschaften sind schlecht, denn falls man nun 32 bit integer Zufallszahlen erzeugt, folgt direkt, dass die maximale Periode nur 2 32 betragen kann. Dies ist ein sehr schlechter Wert. Deshalb hat man unter anderen den Mersenne Twister entwickelt, der eine Periode von hat. Die statistischen Eigenschaften sind sehr gut, doch leider ist dieser Generator zu langsam um in der Optionsbewertung eingesetzt zu werden. Deswegen wurde der Combined Tausworth Generator entwickelt, der auf dem MT basiert, aber einige Berechnungen stark vereinfacht. Deshalb werden wir ihn in Kombination mit einem LCG als Hybriden Generator verwenden Transformatoren Bei der Transformation werden die gleichverteilten Zufallszahlen in Normalverteilte überführt. Hier gibt es wiederum einige Möglichkeiten eine Transformationsmetho- 5

6 4 Erzeugung von normalverteilten Zufallszahlen de auszuwählen. Unter anderem gibt es die Ziggurat Methode, die Polar Methode und die Box Muller Transformation. Letzte ist bei heutigen Berechnungen auf dem PC nicht sehr beliebt, da viele trigonometrische Funktionen berechnet werden müssen. Aber bei diesem Algorithmus ist eine Parallisierung einfach möglich. Hier kann die GPU ihre Stärken der vielen Prozessoren und der schnellen Berechnung von trigonometrischen Funktionen ausspielen. Seien u 0, u 1 (0, 1] gleichverteilt und unabhängig, dann werden zwei normalverteilte Zufallszahlen n 0 und n 1 durch folgende Formel berechnet: n 0 = sin(2πu 0 ) 2log(u 1 ) n 1 = cos(2πu 0 ) 2log(u 1 ) Kritik der Box-Muller-Transformation Man kann direkt erkennen, dass der Code nicht iterativ oder rekursiv ist und dass er keine Schleifen hat. Dies ist für die Parallisierung sehr von Vorteil. Des Weiteren benötigt dieser Algorithmus nur eine geringe Anzahl von Konstanten und keine table lookups, welche Aufrufe von zuvor berechneten Funktionswerten sind, um eine komplette Auswertung der Funktion zu vermeiden. Dies wiederum kommt der Speicherverwaltung zu Gute, da man so alles im shared memory abspeichern kann, der natürlich viel schneller ausgelesen und geschrieben werden kann als der globale Speicher. Zwar ist der Rechenaufwand sehr groß, doch die Threads können gebündelt werden. Zusammengefasst kann man sagen, dass der Box Muller Algorithmus genau auf die Stärken der GPU zugeschnitten ist. 4.2 Direkte Berechnung normalverteilter ZZ Im Folgenden werden wir ein Verfahren untersuchen, mit dem man ohne vorher gleichverteilte Zufallszahlen zu erzeugen normalverteilte ZZ generieren kann. Dazu betrachten wir den Wallace-Gauß-Generator (WGG). Seine Idee ist eine Menge von k normalverteilten Zufallszahlen zu nehmen und diese so zu transformieren um wiederum ein Pool von mindestens k normalverteilten Zufallszahlen zu erhalten. Der Output wird dann als Zufallszahlenstream und als neuer Pool benutzt. Dabei muss aber der Output unter Beibehaltung der Verteilung unkorreliert zum Input sein. Sonst würde man statistisch schlechte Zufallszahlen erhalten Berechnung der Zufallszahlen Der erste Schritt zur Berechnung der Zufallszahlen ist die Initialisierung des k - dimensionalen Pools. Dies kann man z.b. mit einem UGCG, den wir im vorherigen Abschnitt kennen gelernt haben, machen. Die Idee beim Wallace-Gauß-Generator ist es, den Pool, identifiziert als Vektor, mit einer orthogonalen Matrix zu multiplizieren, um einen neuen Pool mit k normalverteilten Einträgen zu erhalten. Dies funktioniert, da eine Multiplikation mit orthogonalen Matrizen die Normalverteilung erhält. Doch die Matrix muss zufällig gewählt und in jedem Schritt neu ermittelt werden. Die Erzeugung einer k k dimensionalen orthogonalen Matrix aus Zufallszahlen ist jedoch sehr teuer. Deswegen geht man dazu über viele kleine orthogonale Transformationen 6

7 5 Optionsscheinberechnung auf einer GPU auf Teile des Pools anzuwenden. Leider ergibt sich so das Problem, dass die Anzahl der Kombinationen unter den Zufallszahlen relativ gering ist und somit besteht die Möglichkeit, dass die Zufallszahlen eine schlechte Qualität besitzen. Dagegen hilft aber eine Kombination aus Zufalls-Permutationen des Pools und mehrmalige Anwendung der Transformation, bevor die Zufallszahlen ausgegeben werden. Man hat mit statistischen Analysen festgestellt, dass dieses Vorgehen nur Sinn macht, wenn die Permutation ausreichend zufällig ist. Dies hat zur Folge, dass Bankkonflikte auftreten können, welche beim Zugriff von mindestens zwei Threads auf die gleiche Bank auftreten können und die Berechnung verlangsamen. Doch an dieser Stelle ist dies unumgänglich, da man sonst das Ergebnis nicht verwenden kann. Zur Berechnung der neuen Zufallszahlen liest man dann d zufällige Werte ein, was einer Permutation des Pools entspricht. Diese werden anschließend transformiert. Man erhält also eine Abbildung 1...k 1...d 1... d k. Für die Permutation bietet sich der Lineare Kongruenzengenerator an, den wir in Kapitel kennen gelernt haben. Wenn man nun die maximale Periode m = k d wählt, erhält man eindeutige Thread IDs mit Werten aus [0, m), d.h. der LCG erzeugt eine Permutation, die zwar statistisch schlecht ist, die Zufallszahlen aber ausreichend für die anschließende Transformation kombiniert Kritik des Wallace-Gauß-Generators Ein Vorteil des Wallace-Gauß-Generators ist, dass nicht erst ein Generator für gleichverteilte Zufallszahlen und ein Transformator kombiniert werden muss, sondern er die Zufallszahlen direkt berechnen kann. Ein weiterer Punkt insbesondere im Hinblick auf die Stärken einer GPU ist, dass der Pool komplett parallel bearbeitet werden kann. Dadurch kann der shared memory gut ausgenutzt werden. Falls jedoch die Simulation selber viel Speicherplatz benötigt, reicht der shared memory nicht aus und es müssen langsame Zugriffe auf den globalen Speicher erfolgen. Dies verschlechtert die Performance so stark, dass in diesen Fällen ein UGCG dem Wallace- Gauß-Generator vorzuziehen ist. 5 Optionsscheinberechnung auf einer GPU In diesem Abschnitt werden zwei Beispielanwendungen beleuchtet. Sie sollen die Grenzen des WGG aufdecken, aber auch die Möglichkeiten verdeutlichen. 5.1 Asiatische Option Wir wollen nun an einem Beispiel zeigen, wie die Berechnung eines Optionsscheins auf einer GPU ausgeführt werden kann und wie die Performance im Vergleich zu einer CPU ist. In unserem Fall haben wir eine asiatische Option auf ein Maximum eines Basket mit zwei Underlyings. Diese folgen einer Irrfahrt mit Lognormal-Verteilung und haben eine bekannte Korrelationsstruktur σ R 2 2. Eine asiatische Option wird dadurch charakterisiert, dass zur Berechnung des Payoffs der Durchschnittswert des Baskets benötigt wird. Jedoch ignorieren wir einige Details, wie z.b. die Diskontierung, da 7

8 5 Optionsscheinberechnung auf einer GPU wir uns auf die Berechnung konzentrieren wollen. Die Anfangswerte für den Basket ist S 0 = (a 0, b 0 ). Die Korrelationsstrukturmatrix σ beinhaltet die Kovarianzen als Einträge. Sie lässt sich mit Hilfe einer Cholesky- Zerlegung auf die drei Konstanten σ aa, σ ab und σ bb reduzieren. Falls man nun noch die Driftparameter µ α und µ β berücksichtigt, erhält man folgende Gleichung zur Pfadsimulation: a t+1 = a t exp(µ α + N 1 σ aa ) b t+1 = b t exp(µ β + N 1 σ ab + N 2 σ bb ) s t+1 = max(a t+1, b t+1 ) Der Payoff P wird folgendermaßen berechnet: Ein Beispielpfad kann so aussehen: S = T 1 T s t t=1 P = max(s s T, 0) 5.2 Variante einer Lookback Option Das zweite Beispiel ist eine Variante der Lookback Option, deren besondere Eigenschaft ist, dass der Payoff P aus der Summe der positiven Differenzen zwischen jedem Wert des Assets S t an einem Zeitschritt t und dem Endwert des Assets S T gebildet wird. Der Payoff wird also folgendermaßen bestimmt: P = t=0 T 1 max(s t S T, 0) Diese Option hat die Eigenschaft, dass der ganze Pfad gespeichert werden muss. Dies führt natürlich dazu, dass sehr viel Speicherplatz benötigt wird und deshalb der shared memory nicht ausreicht. Aus diesem Grund ist der Wallace-Gauß-Generator für diese Option nicht geeignet ist. 8

9 6 Fazit 5.3 Vergleich zwischen GPU und CPU In folgender Tabelle sind die Anzahl der Pfadsimulationen für die vorangegangenen Beispiele aufgeführt. Zur Berechnung wurde eine GPU einer Nvida GeForce 8 und Quad Opteron 2,2 GHz CPU verwendet, wobei sowohl GPU und CPU zum Erscheinungsdatum des Artikels auf dem neuesten Stand waren. Die Tabelleneinträge besitzen die Einheit Mio. Zufallszahlen pro Sekunde bzw. Mio. Schritte pro Sekunde: Reine ZZ Asiat. Option Lookback Option Tausworth mit Box-Muller GPU Wallace Ohne ZZ Berechnung Quad Opteron Ziggurat mit Mersenne Ohne ZZ Berechnung Beschleunigung Die erste Spalte gibt die Anzahl der Zufallszahlen an, die pro Sekunde erzeugt werden können, ohne diese in eine Simulation einzuspeisen. Hier wird deutlich, wieviel schneller Zufallszahlen auf einer GPU im Vergleich zu einer CPU berechnet werden können. Interessant ist, dass der WGG um den Faktor 1.2 schneller ist als der UG- CG, in diesem Fall der Tausworth Generator mit Box-Muller. Als Programm für die Optionsscheinberechnung auf einer CPU nehmen wir den Ziggurat Generator mit Mersenne Twister (ZGMT), wobei dieses Programm zur Zeit die besten Ergebnisse für Simulationen auf einer CPU liefert. Vergleicht man nun die Geschwindigkeiten der Zufallszahlen-Erzeugung des ZGMT mit dem des WGG, wird eine Beschleunigung um den Faktor 26 auf der GPU deutlich. Es ist aber natürlich nicht ausreichend nur die Zufallszahlen zu erzeugen, sondern man muss sie auch in einer Simulation verwenden. Die Spalten zwei und drei zeigen die Performance der Simulationen für die im vorherigen Abschnitt behandelten exotischen Optionen. Interessant ist, dass bei der asiatischen Option der WGG nur noch einen Geschwindigkeitsvorsprung von 1.06 hat. Dies lässt sich auf den für die Simulation benötigten Speicherplatz zurückführen, der dann zur Zufallszahlen- Erzeugung nicht mehr zur Verfügung steht und deshalb Daten auf dem langsameren globalen Speicher abgelegt werden müssen. Deshalb wurde die Simulation für die speicherplatzaufwändige Lookback Optionsberechnung für den WGG nicht getätigt. Die Zeile Ohne ZZ Berechnung gibt an, wieviele Simualtionen pro Zeiteinheit durchgeführt werden können, wenn die Zufallszahlen bereits vorhanden sind und nicht erzeugt werden müssen. 6 Fazit Wie man an diesen Beispielen exemplarisch sehen kann, ist die GPU deutlich schneller als die CPU, sowohl für die Erzeugung der Zufallszahlen, der Simulation der Pfade mit gegebenen Zufallszahlen, als auch für die Kombination, also der kompletten Simulation. Falls man auf die Stärken und Schwächen der GPU Rücksicht nehmen kann, ist sie auf jeden Fall hervorragend für Finanzsimulationen geeignet und wird deshalb in der Zukunft ein fester Bestandteil der Optionsscheinberechnung in Banken werden. 9

10 7 Quellen 7 Quellen Pharr, M.; Fernando, R.: GPU Gems 2: Programming Techniques for High- Performance Graphics and General-Purpose Computation, o.o., Addison-Wesley Professional, , S Nguyen, H.: GPU Gems 3, o.o., Addison-Wesley Professional, , S Seydel, R.: Skript Numerische Finanzmathematik, Köln, SS

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