Glättung durch iterative Verfahren

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1 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Glättung durch iterative Verfahren Vorlesung Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211

2 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Modellproblem Poisson-Gleichung in 1d: u x) = f x) für x Ω =, 1) ux) = für x Γ = {, 1} Sei f x) = 1 exakte Lösung: ux) = 1 2x1 x)

3 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Modellproblem Poisson-Gleichung in 1d: u x) = f x) für x Ω =, 1) ux) = für x Γ = {, 1} Sei f x) = 1 exakte Lösung: ux) = 1 2x1 x) Schwache Formulierung: 1 u x)v x) dx = 1 f x)vx) dx für alle v V = H 1 } {{ } =au,v) } {{ } =lv)

4 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Approximation durch finite Elemente Wähle m N und setze = 1 m, x j = j, j =,..., m Hutfunktionen: ϕ i x) = ϕ i x j ) = 1 x x i für x [x i 1, x i+1 ] sonst { 1 für i = j sonst

5 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Steifigkeitsmatrix und Lastvektor ) Steifigkeitsmatrix A = aϕ i, ϕ j ) Lastvektor b = lϕ 1 ),..., lϕ m 1 ) i,j=1,...,m 1 ) T

6 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Steifigkeitsmatrix und Lastvektor ) Steifigkeitsmatrix A = aϕ i, ϕ j ) Lastvektor b = lϕ 1 ),..., lϕ m 1 ) i,j=1,...,m 1 ) T aϕ i, ϕ i ) = x i 1 ϕ ix)) 2 dx = x i+1 x i 1 1 ) 2 dx = 2

7 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Steifigkeitsmatrix und Lastvektor ) Steifigkeitsmatrix A = aϕ i, ϕ j ) Lastvektor b = lϕ 1 ),..., lϕ m 1 ) i,j=1,...,m 1 ) T aϕ i, ϕ i ) = aϕ i, ϕ i+1 ) = x i 1 ϕ ix)) 2 dx = x i+1 x i 1 x i ϕ ix)ϕ i+1x) dx = 1 x i+1 x i ) 2 dx = 2 1 ) 1 dx = 1

8 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Steifigkeitsmatrix und Lastvektor ) Steifigkeitsmatrix A = aϕ i, ϕ j ) Lastvektor b = lϕ 1 ),..., lϕ m 1 ) i,j=1,...,m 1 ) T 1 ϕ ix)ϕ i+1x) dx = aϕ i, ϕ i ) = ϕ ix)) 2 dx = x i 1 x i 1 aϕ i, ϕ i+1 ) = x i x i aϕ i, ϕ j ) = falls i j > 1 x i+1 ) 2 dx = 2 1 ) 1 dx = 1

9 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Steifigkeitsmatrix und Lastvektor ) Steifigkeitsmatrix A = aϕ i, ϕ j ) Lastvektor b = lϕ 1 ),..., lϕ m 1 ) i,j=1,...,m 1 ) T 1 ϕ ix)ϕ i+1x) dx = aϕ i, ϕ i ) = ϕ ix)) 2 dx = x i 1 x i 1 aϕ i, ϕ i+1 ) = x i x i aϕ i, ϕ j ) = falls i j > 1 lϕ i ) = 1 ϕ i x) dx = x i 1 x i+1 ) 2 dx = 2 1 ) 1 dx = 1

10 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Das lineare Gleichungssystem Löse also nach Division durch ) }{{} =:Ã=A/ µ 1.. µ m 1 1 =.. 1 }{{} =: b=b/ Bemerkung: In diesem einfachen Beispiel führen finite Elemente und finite Differenzen also auf dasselbe Gleichungssystem.

11 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Gauß-Seidel-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren mit D L = 1 2 D L)µ k+1 = Uµ k + b , U = D L Ã

12 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Loesung Fehler = Loesung Fehler = Loesung Fehler = Loesung Fehler = Loesung Fehler =.214 Iteration Iteration 5 Iteration 1 Iteration 15 Iteration

13 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Loesung Fehler = Loesung Fehler = Loesung Fehler = Loesung Fehler = Loesung Fehler = Iteration Iteration 5 Iteration 1 Iteration 15 Iteration Loesung Fehler = Loesung Fehler = Loesung Fehler = Loesung Fehler = Loesung Fehler =.1421 Iteration Iteration 5 Iteration 1 Iteration 15 Iteration

14 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Fazit Wenn die Matrix A aus der Diskretisierung eines elliptischen Differentialoperators stammt, dann konvergieren die klassischen Iterationsverfahren meist nur langsam. Die hochfrequenten Anteile des Fehlers verschwinden jedoch viel schneller als die glatten Anteile. Man kann die Verfahren also zur Glättung verwenden und die glatten Fehleranteile dann auf einem gröberen Gitter korrigieren. Das ist die Idee der Mehrgitterverfahren.

15 Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Glättung durch iterative Verfahren Vorlesung Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211