Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15

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1 Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Thomas Timmermann 12. November 2014 Darstellung natürlicher Zahlen durch Mengen 1. Wie können wir natürliche Zahlen durch Mengen darstellen? Idee 0 = und n + 1 = {1,..., n}= n {n} = s(n) 2. Wie erkennen wir, ob eine Menge eine natürliche Zahl darstellt? Definition Eine Menge a heißt natürliche Zahl, wenn gilt: (N1) a ist transitiv, d.h. jedes Element ist eine Teilmenge (N2) x y : (x y) (x = y) definiert eine Ordnung auf a (N3) jede nichtleere Teilmenge hat ein Minimum und Maximum Nun müssen wir zeigen, dass die Definition genau die Mengen beschreibt, die wir in 1. erhalten. Lemma. (i) 0 ist eine natürliche Zahl. Sei n eine natürliche Zahl ungleich 0. Dann gilt: (ii) s(n) = n {n} ist auch eine natürliche Zahl. (iii) Jedes x n ist eine natürliche Zahl. 1

2 (iv) Es genau eine natürliche Zahl m mit n = s(m). Beweis. (i) Einfach. (ii) Übungsaufgabe. (iii) Aus x n folgt x n und damit recht einfach die Behauptung. (iv) Nach (N3) hat n ein Maximum m n, also n = {x n : x m x = m} = {x n : x m} {m} = (n m) {m} = s(m). Wenden wir (iv) auf m an, so können wir schreiben: n = s(m 1 ) = s(s(m 2 )) = mit n m 1 m 2. Nach (N1) gilt n m 1, m 2, und nach (N3) hat n ein minimales Element. Also muss der Abstieg irgendwann abbrechen: n = s(m 1 ) = s(s(m 2 )) = = s k (m k ). Es folgt m k =, sonst können wir wieder m k = s(m k+1 ) schreiben. Somit ist n = s(s( (s(0)))). Satz. Es gibt eine Menge, deren Elemente genau die natürlichen Zahlen sind. Diese Menge zusammen mit den Definitionen 0 = und s(x) = x {x} erfüllt die Peano- Axiome. Wir bezeichnen diese Menge mit N 0 oder auch mit ω. Beweis. Nach dem Unendlichkeitsaxiom existiert eine Menge a mit a und s(x) a für alle x a. 1. Wir zeigen, dass a alle natürlichen Zahlen enthält: Andernfalls gäbe es eine natürliche Zahl n mit n a. Die Teilmenge b := s(n) \ a s(n) hat nach (N3) ein Minimum m s(n). Wegen 0 a ist 0 m. Nach?? gibt es ein m mit m = s(m ). Insbesondere ist m s(n). Nach Wahl von m gilt m b, also m a. Nach Annahme über a folgt m = s(m ) a. Widerspruch. 2. Mit dem Aussonderungsaxiom zeigt man, dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von a bilden. 3. Das vorige Lemma zeigt, dass diese Teilmenge alle Peano-Axiome erfüllt 2

3 3.3 Die Rechenoperationen Man konstruiert nun die Rechenoperationen (Addition und Multiplikation) in vier Schritten: Zunächst sind die Addition und Multiplikation Abbildungen von N 0 N 0 nach N 0 : (x, y) x + y bzw. (x, y) x y. Definition. Eine Abbildung von einer Menge a in eine Menge b ist eine Teilmenge f a b derart, dass es für jedes x a genau ein y b mit (x, y) f gibt. Wir schreiben dann f : a b, um zu erklären, dass f eine Abbildung von a nach b ist, y = f (x) oder y f x, wenn (x, y) f. Beispiel. Seien a und b Mengen. Dann ex. Abbildungen die Identität id a : a a, geg. durch x x bzw. id a = {(x, x) : x a}; die Projektion p 1 : a b a, geg. durch (x, y) x bzw. p 1 = {((x, y), x) : (x, y) a b}; die Projektion p 2 : a b b,... Alle Abbildungen einer Menge a in eine Menge b bilden selbst wiederum eine Menge, diese wird oft mit b a bezeichnet. Nun definieren wir induktiv die Addition durch x + 0 = x und x + s(y) = s(x + y), Multiplikation durch x 0 = 0 und x s(y) = (x y) + x. Erhalten wir wirklich Abbildungen? Existieren also die entsprechenden Mengen {((x, y), x + y) : x, y N 0 } bzw. {((x, y), x y) : x, y N 0 }? Das garantiert der folgende Rekursionssatz: 3

4 Satz. Gegeben seien Mengen a, b und Abbildungen f : a b und g : a N 0 b b. Dann existiert genau eine Abbildung h : a N 0 b mit h(x, 0) = f (x) und h(x, s(y)) = g(x, y, h(x, y)) für alle x a und y N 0. Beweis. Lassen wir weg. Anwendung: wir setzen f (x) = x und g(x, y, z) = s(z) und erhalten h(x, 0) = f (x) = x, h(x, s(y)) = g(x, y, h(x, y))= s(h(x, y)) und somit die Existenz der Addition h(x, y) = x + y wir setzen f (x) = 0 und g(x, y, z) = x + z und erhalten h(x, 0) = f (x) = 0, h(x, s(y)) = x + h(x, y) und somit die Existenz der Multiplikation h(x, y) = x y Nun beweist man per Induktion die Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze, z.b: Satz. Die Addition auf N 0 ist kommutativ. Beweis. Schritt 1: Wir zeigen per Induktion über k: 0 + k = k (= k + 0 nach Def.) für alle k N 0. (i) Induktionsanfang k = 0: = 0 = nach Definition. (ii) Induktionsschritt: Es sei 0+k = k. Nach Definition folgt 0+s(k) = s(0+k) = s(k). (iii) Die Menge {k N 0 : 0 + k = k} enthält nach (i) 0 und nach (ii) mit jedem k auch s(k), also ganz N 0. Schritt 2: Wir zeigen per Induktion über l: s(k) + l = s(k + l). (i) Induktionsanfang l = 0: s(k) + 0 = 0 + s(k) = s(k) = s(k + 0) nach Schritt 1. 4

5 (ii) Induktionsschritt: Es gelte s(k) + l = s(k + l). Dann folgt s(k) + s(l) = s(s(k) + l) (Def. von +) = s(s(k + l)) (Annahme) = s(k + s(l)) (Def. von +) Schritt 3: Wir zeigen ber Induktion über l: k + l = l + k für alle k N 0 : (i) Induktionsanfang l = 0: k + 0 = k = 0 + k nach Schritt 1. (ii) Induktionsschritt: Es gelte k + l = l + k. Dann folgt k + s(l) = s(k + l) (nach Def. von +) = s(l + k) (nach Annahme) = s(l) + k (nach Schritt 2) 5