Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II

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1 Onlne Algorthmen k-server randomsert Tel II Ausarbetung für das Semnar Onlne Algorthmen Prof. Dr. Ro. Klen Anette Ebbers-Baumann Ansgar Grüne Insttut für Informatk Theorethsche Informatk und formale Methoden Wntersemester 2003/04 Erstellt von Martn Köhler

2 Inhaltsverzechns Enführung 2 2 Random walks 2 3 Harmonc random walk 4 3. Harmonc random walks und elektrsche Netzwerke Harmonc random walk Harmonc auf belebgen Metrschen Räumen 8 5 Zusammenfassung 4 6 Lteratur 5

3 Enführung Dese Ausarbetung setzt de Ausarbetung von Melane Elm fort. Ausgehend von den Ergebnssen werden nun de Voraussetzungen mmer mehr aufgewecht, um am Ende zu enem randomserten k Server Algorthmus zu kommen, der auf belebgen metrschen Räumen arbetet, während bs jetzt mmer spezelle metrsche Räume vorausgesetzt worden snd. 2 Random walks Zel deses Abschnttes st es zu zegen, dass für symmetrsche, gewchtete Graphen mt N Knoten und ener belebgen Stochastschen Matrx P der cycle stretch Faktor mndestens N st. Dazu werden Markovketten benötgt. Ene Markovkette st en Graph mt ener Stochastschen Matrx P, deren Enträge p j angeben, mt welcher Wahrschenlchket von Knoten nach Knoten j gewechselt wrd. Für den folgenden Abschntt werden Markovketten betrachtet, de ncht mehr reduzerbar snd. Das bedeutet, es exstert ene postve Wahrschenlchket für alle Knoten (, j) von nach j zu gelangen mt ener endlchen Anzahl an Schrtten. Des kann man annehmen, da Algorthmen, deren stochastsche Matrx ener reduzerbaren Markovkette entsprcht, ncht kompettv snd. Ebenfalls wrd angenommen, dass de Markovketten aperodsch snd, ansonsten kommt man über den Egenvektor an de Aufenthaltswahrschenlchket ran. Ene Markovkette st perodsch, wenn es en l 2 gbt, so dass, wenn de Wahrschenlchket von nach j n genau t zu kommen größer als 0 st, dann st t en Velfaches von l Im Fall aperodscher Markovketten kann man nun de Aufenthaltswahrschenlchket φ berechnen, de angbt mt welcher Wahrschenlchket man sch zu enem belebgen Zetpunkt m Knoten befndet. Dese Werte lösen das Glechungssystem φ j = φ p j. Damt st de Wahrschenlchket n enem belebgen Zug über de Kante (, j) zu gehen gegeben durch: φ p j. Das verlassen des Knoten über ene belebge Kante kostet dementsprechend m Mttel e = p j d j, wobe d j de das Gewcht der Kante zwschen Knoten j und Knoten j bezechnet. Damt ergbt sch dann, dass en Zug m Mttel H = φ e kostet. Lemma 2. Für jeden Knoten glt: h = H φ Dabe bezechnet h j de Kosten enes Random Walk von Knoten nach Knoten j bezechnet. 2

4 Informeller Bewes: Betrachtet man enen langen random walk, der von startet und T Schrtte dauert, so kommt man m Erwartungswert φ T mal über. De erwarteten Kosten snd dann H T. Damt snd de Kosten zwschen zwe Vorkommen des Knoten m Mttel H T φ T = H φ Lemma 2.2 Für alle symmetrschen Kostenmatrzen (d j ) und alle Stochastschen Matrzen P = (p j ) glt: φ p j h j = (N ),j,j φ p j d j En Summand der lnken Sete beschrebt dabe jewels de exakten Kosten enes random walk von nach k und de rechte Sete snd de N -fachen Kosten drekt von nach j zu gehen. Bewes: p j h j entsprcht für alle Knoten den erwarterten Kosten j h abzüglch der erwarteten Kosten des ersten Zuges. Grund: p j h j snd de erwarteten Kosten enes random walk von j nach, multplzert mt der Wahrschenlchket von nach j gegangen zu sen. Über alle j aufsummert, adderen sch de Wahrschenlchketen zu und es fehlen dann nur noch de erwarteten Kosten des ersten Zuges um auf h zu kommen. Damt ergbt sch: p j h j = h e Aus Lemma 2. auf der vorhergen Sete folgt, dass für j h glt: h = H φ. Damt lässt sch de lnke Sete der zu zegenden Glechung we folgt schreben: φ p j h j = φ p j h j = φ (h e ) =,j j = N H φ e = (N ) H φ ( H φ e ) De Summe auf der rechten Sete der zu zegenden Glechung lässt sch we folgt umformen, da es sch um ene symmetrsche Kostenmatrx handelt: φ p j d j = φ p j d j = φ p j d j = φ e = H,j,j j Dese beden Umformungen ergeben dann zusammen Lemma 2.2 Man kann über den Graphen enen Netzwerkfluss legen, so dass auf jeder Kante (j, ) genau φ j p j Enheten flessen. Der engehende Fluss an enem Knoten beträgt damt: φ j p j = φ und der ausgehende Fluss an enem j 3

5 Knoten beträgt: φ p j = φ p j = φ. Damt ergbt sch, dass der engehende Fluss an jedem Knoten genauso groß st, we der ausgehende Fluss. j j Damt lässt sch das folgende Lemma formuleren: Lemma 2.3 Desen Netzwerkfluss kann man n konvexe Summen von Kresen zerlegen. Des bedeutet, dass ene Menge von Kresen n dem Graphen exsteren {C,..., C r } und zu jedem Kres ene postve Zahl {a,..., a r }, so dass für alle Kanten (, j) glt: φ p j = k:(j,) C k a k Bewesdee: Wenn es enen Restfluss gbt, der noch ncht mt den bshergen Kresen abgedeckt wrd, dann exstert mndestens en weterer Kres, der desen Fluss abdecken kann. Theorem 2. Für jeden Graphen mt N Knoten und ener symmetrschen Kostenmatrx (d j ) und für alle stochastschen Matrzen P st der cycle stretch Faktor mndestens N. Bewes: Es genügt zu zegen, dass es mndestens enen Kres C mt stretch Faktor N gbt. Unter Benutzung von Lemma 2.3 lässt sch de Glechung aus Lemma 2.2 auf der vorhergen Sete we folgt schreben: r k= a k (,j) C k h j = (N ) r k= a k (,j) C k d j Des bedeutet aber, dass es mndestens enen Kres C k a k h j (N )a k d j. (,j) C k (,j) C k Der cycle stretch Faktor für desen Kres st damt: h j (,j) C k N d j (,j) C k gbt, für den glt: 3 Harmonc random walk De Qualtät der Algorthmen hängt davon ab, we de stochastsche Matrx P ausseht. Ene Stratege st, se nach enem harmonschen random walk zu erzeugen. Das bedeutet, dass jede Kante mt ener Wahrschenlchket genommen wrd, de nvers proportonal zu hren Kosten st. Damt werden bllge 4

6 Kanten bevorzugt, während teure Kanten gemeden werden. De Formel seht dafür we folgt aus: p uv = w N(u) d uv ( ) d uw Dabe steht N(u) für de zu u benachbarten Knoten. In desem Abschntt wrd deser Algorthmus harmonc nur m Fall betrachtet, wenn N = k +, also der Metrsche Raum nur enen Zustand mehr hat, als der Algorthmus Server. In desem Fall entsprcht harmonc auch enem random walk des Loches (we bem Cat and Rat Game). 3. Harmonc random walks und elektrsche Netzwerke Für de folgenden Bewese braucht man zusätzlch zu der weghted httng tme h j noch de commute tme c j = h j + h j. Während es gelten kann, dass h j h j st, glt c j = c j. Für = j wrd abwechend defnert c = h defnert. Man kann sch de Graphen auch als elektrsches Netzwerk vorstellen, wobe dann das Gewcht d j der Kanten den Wderstand n Ohm angbt. Man kann dann den effektven Wderstand R uv charakterseren, der auftrtt, wenn man an u en Ampere anlegt und an v abgreft. Deser effektve Wderstand st, dadurch, dass der Graph ene parallele Schaltung darstellt, maxmal so groß we der Wderstand zwschen u und v. Das heßt: R uv = R vu d uv = d vu. Se δ u der Grad des Knoten u. Und Φ uv de elektrsche Potentaldfferenz zwschen u und v, de vorherrscht, wenn man an jedem Knoten w een Strom von δ w Ampere anlegt und an v zusätzlch 2 E Ampere abgreft. Lemma 3. Se G = (V, E, d) en gewchteter, ungerchteter Graph und betrachte enen harmonc random walk auf G. Dann glt u, v V : Φ uv = h uv. 5

7 Bewes: u, v V snd de erwarteten Kosten enes harmonc random walk von u nach v: h uv = w N(u) h uv P r(u w) (d uw + h wv ) = d uw w N(u) = w N(u) u, v V : δ u = d uw w N(u) w N(u) d uw d uw (d uw + h wv ) = δ u + w N(u) h uv h wv d uw (d uw + h wv ) w N(u) h wv d uw Desweteren wrd de Stuaton betrachtet, n der δ w Ampere an jeden Knoten w V angelegt werden und 2 E Ampere am Knoten v abgegrffen werden. Der Strom, der den Knoten u n Rchtung w N(u) verlässt, st glech der Potentaldfferenz zwschen u und w, Φ uv Φ wv, dvdert durch den Wderstand d uw. Da an den Knoten u en Strom von δ u Ampere angelegt werden, müssen auch δ u Ampere den Knoten verlassen. Daraus ergbt sch folgende Glechung: u, v V : δ u = w N(u) Φ uv Φ wv d uw Dese Glechung, sowe de Glechung darüber entsprechen sch. Für deses Glechungssystem exstert genau ene Lösung. Daraus ergbt sch: u, v V : Φ uv = h uv. Theorem 3. Se G = (V, E, d) en gewchteter, ungerchteter Graph und betrachte enen harmonc random walk auf G. Dann glt: c uv = 2 E R uv Bewes: Φ vu kann man als de negatve Potentaldfferenz zwschen v und u ansehen, wenn δ w Ampere an jedem Knoten abgegrffen werden und 2 E Ampere an u angelegt werden. Das bedeutet, Φ vu st de elektrsche Potentaldfferenz von u nach v n desem Szenaro. Daraus folgt, dass Φ uv + Φ vu de elektrsche Potentaldfferenz von u nach v st, wenn 2 E Ampere an u angelegt werden und 2 E Ampere an v abgegrffen werden. Damt st der effektve Wderstand zwschen u und v glech Φuv+Φvu. Daraus folgt: 2 E c uv = h uv + h vu = Φ uv + Φ vu = 2 E R uv Da R uv d uv und h uv c uv glt, folgt daraus sofort folgendes Korollar: 6

8 Korollar 3.2 Se G = (V, E, d) en gewchteter, ungerchteter Graph und betrachte enen harmonc random walk auf G. Dann glt: h uv 2 E d uv 3.2 Harmonc random walk Theorem 3.3 Se G = (V, E, d) en ungerchter Graph. Für das Cat and Rat Game auf G st der harmonsche random walk (2 E )-kompettv gegen enen adaptven Onlne Gegner. Bewes: Es recht zu bewesen, dass der Edge Stretch Faktor (max j h j d j ) maxmal 2 E st. Aus Korollar 3.2 folgt, dass h uv 2 E d uv Damt st der edge stretch Faktor klener glech 2 E. Korollar 3.4 Für enen belebgen Metrschen Raum (M, d) mt N = k + st der kompettve Faktor von harmonc auf jeden Fall klener glech k(k + ). Bewes: harmonc st en gedächnsloser Algorthmus und für de Anzahl der Kanten glt: E k(k+). Damt folgt das Korollar drekt aus Theorem Interessant wrd es, wenn man das Problem erwetert auf N > k +. Ene Vermutung st, dass es für den Gegenspeler gut st, Anfragen genau auf den Punkten zu stellen, wo er enen Server stehen hat, der Onlne Algorthmus aber ncht. The lazy adversary conjecture: Wenn alg en gedächnsloser randomserter k-server Algorthmus st, dann erfüllt ene optmale Stratege für den Gegner folgende Bedngung: Immer wenn er ene andere Konfguraton als alg hat, fordert er enen Punkt an, der n sener Konfguraton st und für den er deshalb nchts bezahlen muss. Daraus ergbt sch folgendes Theorem: Theorem 3.5 Unter der Voraussetzung, das the lazy adversary conjecture wahr st, glt: Für enen belebgen metrschen Raum (M, d), be dem für jede Telmenge G mt (k + ) Knoten der Edge Stretch Faktor maxmal c st, n Bezug auf de stochastsche Matrx P, st alg c-kompettv gegenüber enem adaptven Onlne Gegner. Se n de Anzahl der Unterschede zwschen den Servern des Gegners und denen des Algorthmus. Am Anfang, wenn de Konfguratonen überenstmmen, glt n = 0. In jedem Zug kann sch n um maxmal ändern. Der 7

9 Gegner stellt, wenn de Konfguratonen verscheden snd, ene Anfrage auf enen Knoten, der von dem Onlne Algorthmus ncht abgedeckt st, aber n sener Konfguraton st. Dadurch entstehen hm kene Kosten. Der Onlne Algorthmus muss enen Server auf desen Punkt zehen. Dadurch, dass dort en Offlne Server steht, snkt n entweder um ens, wenn der Onlne Server vorher auf enem Knoten stand, der ncht n der Konfguraton vom Gegner war oder blebt glech, wenn der Server vorher auch schon auf enem Knoten stand, der auch n der Konfguraton vom Gegner war. Daher kann n ncht größer als werden. Damt blebt de Argumentaton genau de gleche, da es mmer genau en Loch gbt. Korollar 3.6 Wenn the lazy adversary conjecture wahr st, dann st harmonc c-kompettv mt c k(k + ) für belebge metrsche Räume (M, d). Es lässt sch sogar zegen, dass man dese Grenze auf k(k+) 2 verbessern kann. Des st, we m folgenden Abschntt gezegt wrd, auch optmal. 4 Harmonc auf belebgen Metrschen Räumen Der Algorthmus harmonc seht dann we folgt aus: Algorthmus Harmonc Beantworte ene Anfrage an r (sofern dort ncht schon ener Server steht) mt enem zufällg ausgewählten Server, wobe de Wahrschenlchket enen Server zu nehmen umgekehrt proportonal zu sener Entfernung von dem Anfragepunkt st. Das heßt, der Server s wrd mt der Wahrschenlchket d k j= = d j k d j= genommen. Damt st harmonc ene randomserte Verallgemenerung des ncht kompettven determnstschen Greedy Algorthmus. Als erstes wrd nun ene untere Schranke für den kompettven Faktor von harmonc bewesen. Theorem 4. Es gbt enen Graphen mt (k + ) Knoten, auf dem harmonc ncht besser als k(k+) -kompettv gegen enen adaptven Onlne Gegner 2 st. d j 8

10 Bewes: Seen de Knoten des Graphen durchnummerert von 0 bs k und se der Graph en vollständger Graph. Se d 0 = und alle anderen Entfernungen seen B k. Am Anfang seen de Knoten {,..., k} mt Servern besetzt, nur der Knoten 0 st demnach unbesetzt. Der Gegner arbetet phasenwese, wobe er n jeder ungeraden Phase als erstes den Knoten 0 anfordert und des mt dem Server, den er n stehen hat beantwortet. Danach fordert er solange Knoten an, wo er schon enen Server stehen hat, bs harmonc genau sene Konfguraton errecht. (Er fordert also mmer den Knoten an, den harmonc ncht abgedeckt hat, bst harmonc de glechen Knoten abdeckt we der Gegner) In jeder geraden Phase fordert er dann Knoten an und beantwortet de Anfrage mt senem Server, der n 0 steht. Danach fordert er weder Server aus sener Konfguraton an, bs harmonc de gleche Konfguraton hat. Der Gegner bezahlt pro Phase, da d 0 = st. harmonc führt n den beden Phasen enen random walk von 0 nach und weder nach 0 zurück aus. Wenn man Theorem 3. auf Sete 6 anwendet und de entsprechende Potentalvertelung n G berechnet, ergbt sch, dasss de Kosten der Rese 0 0 k(k+)2b snd. Für genügend große B kommt man belebg nahe 2B+k an k(k +) heran. Da der Gegner für dese beden Phasen zusammen 2 zahlt, ergbt sch, dass der kompettve Faktor ncht klener als k(k+) sen kann. 2 Daraus kann man nun folgendes Korollar herleten: Korollar 4.2 Es gbt enen Graphen mt (k + ) Knoten, be dem der kompettve Faktor von harmonc gegen enen vergeßlchen Gegenspeler ncht besser als k(k+) 2 st. Bewes: Der Bewes geht ähnlch, we der von Theorem 4.. Allerdngs muss der Gegenspeler de gesamte Anfragesequenz m voraus konstrueren, so dass er ncht mehr solange genau de Knoten anfordern kann, de harmonc unbesetzt lässt, da er dese ncht kennt. Allerdngs hat es kenerle Nachtele, Knoten anzufordern, de vom Gegenspeler und von harmonc besetzt snd. Daher konstruert man folgende Anfragesequenz, de ebenfalls weder aus 2 Phasen besteht: σ = (0, 2, 3,..., k) l, (, 2, 3,..., k) l Für genügend große l konvergert de Konfguraton von harmonc n de Konfguraton des Gegenspelers. Damt ergbt sch dann der gleche kompettve Faktor. Als nächstes wrd ene obere Schranke für den kompettven Faktor konstruert. Theorem 4.3 Gegen adaptve Onlne Gegner st harmonc (k + )(2 k ) k-kompettv. 9

11 Bewes: Der Bewes läuft über Potentalfunktonen. Um dese zu konstrueren, müssen erst enmal en paar andere Funktonen defnert werden. Se A de Menge der Server des Gegenspelers und S de Menge der Server von harmonc. Für jedes Paar (a, s) mt a A und s S se a,..., a l en Pfad von s nach a, der nur über Knoten aus A verläuft. Dabe wrd jede Kante mt enem Gewcht w() bewertet, wobe w() streng monoton fallend, aber mmer größer als 0 st. Streng monoton fallend bedeutet, dass das Gewcht der ersten Kante höher st, als das Gewcht der zweten Kante und so weter. Damt defneren wr p(s, a) we folgt: { } p(s, a) = mn {a,...,a l } A w() d(s, a ) + 2 j l w(j) d(a j, a j ) Weterhn se M en Matchng der Onlne-Server auf de Offlne-Server. Hermt kann man de Potentalfunkton Φ defneren: Φ = mn p(s, M(s)) M s S Se M das Matchng, dass dese Mnmaltätsbedngung erfüllt. Nun muss betrachtet werden, we sch dese Potentalfunkton durch Züge ändert. Dabe stellt der Gegenspeler ene Anfrage an den Punkt r. Als erstes wrd der Offlne Zug betrachtet. Herbe bewegt der Gegenspeler genau enen Server a um de Dstanz d(a, r). Deser Server kann n allen Pfaden der Onlne Server p(s, M ) auftauchen. Be allen Servern, außer dem, auf den er gematched st, kann er zudem n der Mtte des Pfades auftauchen. Damt glt für dese Onlne-Server, dass sch das Potental, falls der Server an Stelle j m Pfad steht, (wobe j = der onlne Server st), maxmal um w(j ) d(a, r) + w(j) d(a, r) = d(a, r) (w(j ) + w(j)) ändern kann. Für den Server s = M (a ) steht der Server an letzter Stelle j k m Pfad, so dass sch das Potental dort nur um w(j k ) d(a, r) ändern kann. Damt ergbt sch als maxmale Gesamtpotentaländerung: ( k ) Φ = (d(a, r) (w(j ) + w(j ))) + w(j k ) d(a, r) = = d(a, r) (( k ) ) (w(j ) + w(j )) + w(j k ) = Φ In Bezug auf den kompettven Faktor st das Verhältns wchtg. d(a,r) ( k ) Φ d(a, r) = (w(j ) + w(j )) + w(j k ) = 0

12 De Frage st nun, we groß deser Wert werden kann, da ja de j noch ncht festgelegt snd. Da de Gewchtsfunkton streng monoton fallend st, wrd deser Wert maxmal, wenn j = 2 und j k = glt. Damt reduzert es sch zu folgendem Ausdruck: k Φ d(a, r) (w() + w(2)) + w() = kw() + (k )w(2) () = Als nächstes zeht der Algorthmus harmonc. Dabe muss das Potental um mndestens den Wert fallen, den harmonc an Kosten verursacht. harmonc beantwortet de Anfrage r mt enem Server z S. Außerdem st genau ener der Onlne-Server auf den Punkt r gematched. Das heßt, x S : r = M (x) Nun wrd en neues Matchng M new we folgt konstruert: (Sehe Abbldung 2 auf der nächsten Sete) z wrd auf M (x) gematched (Dstanz 0, da der Server z de Anfrage n r = M (x) beantwortet hat) und x wrd auf M (z) gematched. Außerdem wrd M unverändert gelassen. Das Matchng M new st ncht notwendgerwese mnmal, aber es recht, da nur gezegt werden muss, dass das Potental um mndestens de Kosten von harmonc fällt. Außerdem werden de beden folgenden Mengen (Pfade) defnert: P (x) = {x, x 2,..., x l(x) }: De Menge der offlne Server auf dem Pfad von x nach M (x) und P (z) = {z, z 2,..., z l(z) }: De Menge der offlne Server auf dem Pfad von z nach M (z). Dabe glt es nun zwe Fälle zu unterscheden. Fall : M (z) P (x): Se M (z) der j-te Offlne-Server x j auf dem Pfad von x nach M (x). Dann muss j l(z) gelten, da sonst das Matchng ncht mnmal gewesen sen kann. (Sehe Abbldung auf der nächsten Sete) Würde j < l(z) gelten, so wäre das Matchng x M (z) und z M (x) gernger als M, da de Gewchte auf dem Pfad von M (z) nach M (x) klener wären, da w() streng mononton fallend st. Damt wäre dann aber das Matchng M ncht mnmal. Jede Kante n P (z) hat enen Index, der ncht größer als l(z) j l(x) st. Im neuen Matchng M new fallen de Kanten zwschen z und M (x) weg. (Sehe Abbldung 2 auf der nächsten Sete) Dese Kanten hatten alle mndestens das Gewcht w(l(x)). Aufgrund der Dreecksunglechung fällt das Potental um mndestens d(z, M (x)) w(l(x)). Se nun (der Enfachhet halber) N(x) = d(z,m (x)). Damt wählt harmonc z S den Server z mt der Wahrschenlchket d(z,m (x))n(x) Da das Matchng

13 z w(). w(2) w(3) w(4) w(2) w() w(3) M (z) w(4). M (x) x Abbldung : Ncht mnmales Matchng x Vorher: M (x). Nacher:.. M (z) x M (z) M new (x) M new (z) M (x) z z Abbldung 2: Änderung des Matchng M ene bjektve Abbldung st, gbt es genau l(x) Server, für de de Bedngung M (z) P (x) zutrfft. Damt ergbt sch de erwartete Potentalabsenkung: D = P r(z wrd gezogen) d(z, M (x)) w(l(x)) M (z) P (x) = M (z) P (x) d(z, M (x)) w(l(x)) N(x) d(z, M (x)) = l(x) w(l(x)) N(x) Fall 2: M (z) P (x) In desem Fall kann das Potental sogar anwachsen. Allerdngs wrd der dabe konstruerte Pfad dafür sorgen, dass dass Potental ncht zu stark wächst. Da m neuen Matchn M new z auf M (x) gematched st, muss nun en Pfad von x nach M (z) konstruert werden. Se Q(x, z) = P (z) \ P (x) und es gelte de Rehenfolge, so we se durch den Pfad P (z) vorgegeben war. Dann glt, dass der Pfad P (x), gefolgt 2

14 von Q(x, z) en Pfad von x nach M (z) st und alle Kanten, de aus den ursprünglchen beden Pfaden übernommen wurden, en Gewcht haben, dessen Wert maxmal so groß st, we das Gewcht m Orgnalpfad. Es kommt genau ene neue Kante hnzu, de das Potental n de Höhe gehen lässt. Des st de Kante zwschen M (x) und z. Dese Kante verursacht ene Potentaländerung n Höhe: w(l(x) + ) d(z, M (x)). De erwartete Gesamtpotentaländerung n desem Fall höchstens: D 2 = M (z) P (x) = w(l(x) + ) d(z, M (x)) N(x) d(z, M (x)) (k l(x)) w(l(x) + ) N(x) De erwarteten Kosten von harmonc, de entstehen, wenn harmonc de Anfrage M (x) beantwortet, snd: D = z S d(z, M (x)) N(x) d(z, M (x)) = k N(x) Um de Kompettvtät zu wahren, muss gelten (Setze l(x) = ): D 2 D D D D 2 D D D + D 2 l(x) w(l(x)) k + ((k l(x)) w(l(x) + )) N(x) N(x) l(x) w(l(x)) k + (k l(x)) w(l(x) + ) w() (k ) w( + ) + k Setzt man für = k ergbt sch sofort w(k). Da nach Glechung auf Sete, welche später für den kompettven Fakotr verantwortlch sen wrd, durch enen w() und w(2) monoton wachsenden Ausdruck beschränkt st, wählen wr w() und w(2) möglchst klen, aber so, dass obge Unglechungen noch erfüllt snd. Damt erhalten wr de beden folgenden Formeln: w() = (k ) w( + ) + k (2) w(k) = (3) Zu zegen st nun, dass de so rekursv defnerte Funkton streng monoton fallend st für < k. Dazu wrd en umgekehrter Indunktonsbewes durchgeführt. Induktonsverankerung für = k (Daraus folgt das bem 3

15 Anwenden der IV auch angeommen werden kann, dass w( + ) glt, da w(k) = glt.) w(k ) = w(k) + k k Nun wrd de Formel für w( + ) benötgt: w( + ) = w() k k = k + k > Induktonsschrtt von +, mt < k k > 0 ( ) k w() = w( + ) + k ( ) IV k > w( + 2) + k ( ) k = ( + ) w( + ) k + k k ( + ) ( k + k = ) w( + ) k2 + k + k2 k k k k (k ) w( + ) (w( + ) ) = + k k IV k( ) w( + ) + = w( + ) k Desweteren muss man nun w() berechnen. Durch sukzessves Ensetzen, ausgehend von der Defnton von w() kommt man am Ende auf de Formeln: k ( ) k w() = = 2 k = w(2) = w() k k Daraus ergbt sch dann nach der Bewesmethode der Interleavng Moves und Glechung auf Sete der kompettve Faktor von (k + )(2 k ) k. Man kann den Faktor allerdngs durch enen besseren Bewes auf O(2 k log k) senken. 5 Zusammenfassung Es st gezegt worden, dass der kompettve Faktor enes belebgen randomserten Algorthmus selbst auf enem Raum mt N = k + Knoten ncht 4

16 besser als (N ) = k sen kann. Be Betrachtung enes spezellen Algorthmus, harmonc st gezegt worden, dass er auf belebgen metrschen Räumen (k + )(2 k ) k kompettv st. Deser Wert hängt ncht von der Größe des metrschen Raumes ab, sondern glt für alle metrschen Räume. 6 Lteratur Borodn, Allan und El-Yanv, Ran Onlne Computaton and Compettve Analyss, 998 5

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