Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme

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1 Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische Informatik nationales Algorithmische Forschungszentrum Methoden in der Helmholtz-Gemeinschaft für schwere Optimierungsprobleme

2 Vorlesung 5 Wiederholung Lokale Suchstrategien: 2-Opt, L-K Metaheuristik Simulated Annealing Programm des Tages: 2 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

3 Inhalt Untere Schranke 3 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

4 als Online-Problem Ausgehend von einem Startpunkt muss ein Handlungsreisender verschiedene Zielorte besuchen Danach Rückkehr zum Ursprung Der Handlungsreisende erfährt die kommenden Zielorte erst unterwegs Optimierungskriterium Vergleich mit Offline-Algorithmus für Fahrzeugrouting mit Veröffentlichungszeiten (vehicle routing with release times) Beide Verfahren bewegen sich gleich schnell fort Frage: Warum nicht Vergleich mit normalem? 4 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

5 Motivation Anwendungen Handwerker-Service Kurierfahrer, Spedition Großlager Hoffentlich nicht: Krankenwagen Abbildung: [http://www.stadtkurier-leipzig.de/images/kurierfahrer-startseite.jpg] 5 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

6 Festlegungen und Begriffe Der Handlungsreisende heißt nun Server Wir vergleichen einen Online-Server mit einem Offline-Server Beide besuchen dieselbe Menge von Punkten (Anfragen) Offline-Server kennt alle Anfragen im Voraus Online-Server erfährt Anfragen (teilweise) erst unterwegs Anfragen dürfen erst nach ihrer Bekanntgabe besucht werden Beide Server bewegen sich in Einheitsgeschwindigkeit Annahme: Der Offline-Server findet optimale Lösung 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

7 Problemstellung für beide Server Im Ursprung starten und enden Eingabe besteht aus Paaren (p i ; t i ) p i : Punkt (Anfrage) t i : Zeitpunkt der Bekanntgabe von p i 0 t i t j, falls i < j Aufgabe: Alle Anfragen erfüllen (Orte besuchen), aber nicht vor deren Bekanntgabe Optimierungskriterium: Anzahl Zeitschritte (Einheitsgeschwindigkeit!) 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

8 c-kompetitive Algorithmen t: Aktueller Zeitpunkt Z : Laufzeit des optimalen Offline-Servers Z OL : Laufzeit Online-Server p (t): Position Offline-Server zum Zeitpunkt t p OL (t): Position Online-Server zum Zeitpunkt t Definition (c-kompetitiver Algorithmus) Ein Online-Algorithmus für ein Optimierungs-Problem Π heißt c-kompetitiv, falls für alle Instanzen von Π gilt: Z OL cz Ziel: Untere Schranke für c finden 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

9 Untere Schranke für c-kompetitive Algorithmen auf reeller Zahlengerade Theorem Für jeden c-kompetitiven Algorithmus für auf der reellen Zahlengerade muss gelten: c Beweisidee Annahme des Gegenteils: c-kompetitiver Algorithmus mit c < Ziel: Widerspruch durch Angabe der Folge eines Gegenspielers (möglichst schlecht für Online-Server) 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

10 Beweis der unteren Schranke (1) Lemma p OL (1) [ (2c 3), (2c 3)] Beweis. Beachte: 2c 3 < 1, denn c < 2 Annahme: p OL (1) > 2c 3 (andere Richtung symmetrisch) Online-Server erhält nun als einzige Anfrage 1 im Zeitpunkt t = 1 Dann: Z OL > 1 + (2c 3) + 2 = 2c = cz Z OL > cz (Widerspr.) Grund: bereits verstrichene Zeit + Bewegung zum Ursprung + Anfrage + zurück zum Ursprung 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

11 Beweis der unteren Schranke (2) Wir dürfen also annehmen: p OL (1) [ (2c 3), (2c 3)] Nun: Gegenspieler präsentiert zum Zeitpunkt t = 1: ( 1; 1) und (1; 1) Lemma p OL (3) / [ (7 4c), (7 4c)] Beweis. Beachte: 7 4c > 0, denn c < 7/4 Annahme: p OL (3) [ (7 4c), (7 4c)] Œ: OL bearbeitet erst Anfrage (1; 1); Anfrage (-1; 1) dann frühestens in t = 3 Gegenspieler präsentiert daraufhin (1; 3) Dann: Z OL > (7 4c) + 3 = 4c = cz Z OL > cz (Wid.) Grund: 3 Zeitschr. vergangen, dann mind. (1 (7 4c)) bis 1 gehen, dann 2 Schritte bis +1 und 1 Schritt bis zum Ursprung zurück 11 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

12 Beweis der unteren Schranke (3) Beobachtung p OL (3) [ (2c 3), (2c 3)], denn der Online-Server hat sich zunächst nach +1 bewegt, dann nach -1. Corollary p OL (3) [ (2c 3), (2c 3)] p OL (3)/ [ (7 4c), (7 4c)] 12 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

13 Beweis der unteren Schranke (4) Beobachtung Wenn c < , dann wäre das Intervall [ (2c 3), (2c 3)] im Intervall [ (7 4c), (7 4c)] echt enthalten. Widerspruch! Skizze der restlichen Beweisschritte Zum Zeitpunkt t = 3 befindet sich der Online-Server im Intervall ((7 4c); 1], da +1 besucht wurde; nun wandert er in Richtung 1 Spätestens zum ZP (4c 2) muss Ursprung 0 passiert werden Annahme: Ursprung zu 3 + q 4c 2; neue Anfrage zum ZP 1 + q führt zu Z OL = 7 + 3c c (7 + 3(4c 5))/(4 + 2(4c 5)) c Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

14 Zwischenfazit Bewiesen: Kein Algorithmus für kann besser als 1,64-kompetitiv auf der reellen Zahlengerade sein. Untere Schranke für (bestimmte) metrische Räume: 2 ɛ Welche guten Algorithmen gibt es? Gierig: Immer wenn eine neue Anfrage kommt, den aktuell besten Hamiltonpfad berechnen Einschätzung: Laufzeit exponentiell, 2.5-kompetitiv (ohne Beweis) Als nächstes: Einfacher 2-kompetitiver Algorithmus für (bestimmte) metrische Räume 14 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

15 Algorithmus Plan at Home für (bestimmte) metrische Räume Arbeitsweise von PAH 1. Falls PAH-Server im Ursprung: PAH folgt der aktuell optimalen Route 2. Falls PAH im Punkt p eine Anfrage am Punkt x erhält: 2.1 Falls dist(x, 0) > dist(p, 0): PAH geht direkt zu 0 und somit in Fall Falls dist(x, 0) dist(p, 0): Server ignoriert die Anfrage, bis er wieder im Ursprung ist, dann gilt Fall 1 15 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

16 Güte von Plan at Home Theorem Plan at Home ist 2-kompetitiv. Beweisidee Für alle 3 Fälle getrennt die Eigenschaft beweisen Dann gilt sie auch insgesamt Fälle 1 und 2.1: Übung! Fall 2.2: Siehe Tafel! Notation T : Pfad T : Optimaler Pfad von 0 aus für alle bisher bekannten Anfragen T : Länge des Pfades T 16 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

17 Zusammenfassung : Anfragen zu Punkten werden erst bei der Ausführung bekannt Vergleich mit Offline-Algorithmus, der Anfragen erst zu bestimmten Zeitpunkten erfüllen darf Untere Schranke für c-kompetitivität auf reeller Zahlengerade: c Algorithmus PAH: Arbeitsweise in 3 Fällen Agiert in (bestimmten) metrischen Räumen 2-kompetitiv 17 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

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