Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

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1 Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Gegeben Menge Ω (Wahscheinlichkeitsraum, Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments), Abbildung P : P(Ω) [0, 1] (Wahrscheinlichkeit): Jeder Teilmenge A Ω (Ereignis) wird eine Zahl P(A) zwischen 0 und 1 zugeordnet (Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt). mit folgenden Eigenschaften (KolmogorovAxiome): 1. P(Ω) = 1 (sicheres Ereignis), 2. P(A B) = P(A) + P(B), falls A B = (Additionsregel für unvereinbare Ereignisse).

2 Beispiel fairer Würfel Ω = {1,..., 6} mit P({i}) = P(i) = 1 für jede der möglichen 6 Augenzahlen i = 1, 2,..., 6. bzw. allgemeiner P(A) = 1 #A für jede Teilmenge A Ω 6 (#A bezeichnet die Anzahl der Elemente von A). Z. B. entspricht das Ereignis Augenzahl ist nicht durch 3 teilbar der Menge A = {1, 2, 4, 5} mit P(A) = 4 6 = 2 3. Für die Ereignisse B: Augenzahl durch 3 teilbar und C : Augenzahl durch 5 teilbar gilt P(B C) = P(B) + P(C) = = 1 2 = 50%.

3 Folgerungen aus den KolmogorovAxiomen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) für beliebige A, B, P(A) P(B), falls A B (Monotonie), P(A) = 1 P(A), wobei A = A c das Komplementärereignis zu A bezeichnet. P( ) = 0 (unmögliches Ereignis) Beispiel P(Augenzahl durch 2 oder 3 teilbar ) = P({2, 4, 6}) + P({3, 6}) P({6}) = = 2 3.

4 Laplace-Experiment Ω endliche Menge mit n Elementen und P({x}) = 1 n P(A) = 1 n für alle x A (Gleichverteilung), mal Zahl der Elemente von A = Zahl der güstigen durch Zahl der möglichen Fälle. Beispiele fairer Würfel Münzwurf: P(Wappen) = P(Zahl) = 1 2 = 50% Ziehen einer Spielkarte aus 32: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ass gezohen wird, ist 4/32 = 1 = 12, 5%. 8

5 Beispiel Lotto ( 49 6 ) Möglichkeiten, 6 aus 49 Zahlen zu ziehen: Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahlenkombination ist 1/ ( 49 6 ) = 1/ < 0, 00001% (Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) Andere Urnenmodelle Mit Berücksichtung der Reihenfolge gibt es beim Ziehen von 6 aus 49 Zahlen = 49! 43! Möglichkeiten P({x}) = 43! 49! = 1/ Mit Zurücklegen (d. h. Zahlen können mehrfach gezogen werden) und Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es 49 6 Möglichkeiten P({x}) = 49 6 = 1/

6 Zwei Würfel 6 6 = 36 Möglichkeiten, jede hat Wahrscheinlichkeit 1/36. Ω = {(i, j) : 1 i, j 6} mit P(i, j) = Mit A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} (erster Würfel 2) und B = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} (zweiter Würfel 3) ist P(A) = P(B) = 1 6 und P(A B) = P(2, 3) = 1 = P(A) P(B) 36 Unabhängigkeit A und B heiÿen unabhängig, wenn P(A B) = P(A) P(B) Interpretation: Das Eintreten von Ereignis A hat keinen Einuss auf die Wahrscheinlichkeit von B und umgekehrt.

7 Beispiele Mit A = Augenzahl des ersten Würfels gerade und B = Augensumme gerade ist P(A) = P(B) = 1 2 und P(A B) = 1 4, also sind die beiden Ereignisse unabhängig. Mit A = erster Würfel 4 und B = Augensumme 10 ist P(A) = 1, P(B) = 1 und 6 12 P(A B) = P(4, 6) = 1 1 1, also sind A und B nicht unabhängig. Mit A = erste gezogene Spielkarte ist ein Ass und B = zweite Karte ist ein Bube ist P(A) = P(B) = 1 und 8 P(A B) = 1 4 = 1 1 1, d. h. die beiden Ereignisse sind nicht unabhängig.

8 Bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit umformuliert: P(A B) = P(A) P(B) P(A) = P(A B)/P(B). Allgemein deniert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B als P(A B) P(A B) =. P(B) Interpretation: Wahrscheinlichkeit für A, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist. Bemerkungen P(A B) ist nur deniert, wenn P(B) > 0. Falls P(A), P(B) > 0, so gilt A und B unabhängig P(A B) = P(A) P(B A) = P(B).

9 Beispiele bei zwei Würfeln A: Augensumme 10, B: erster Würfel 4, Dann ist P(A) = 3 36 = 1 12, P(B) = 1 6, P(A B) = 1 36 P(A B) = 1/36 1/6 = 1 6 P(A) = 1 12 sowie P(B A) = 1/36 1/12 = 1 3 P(B) = 1 6. A: Augensumme 7, B: erster Würfel 6, P(A B) = 1/36 = 1 = P(A) sowie 1/6 6 P(B A) = 1 = P(B), 6 d. h. A und B sind unabhängig. A: 6 Richtige beim Lotto, B: die ersten 5 gezogenen Zahlen stimmen, P(A B) = 1 2, 27% > P(A) sowie 44 P(B A) = 1 P(B).

10 Totale Wahrscheinlichkeit P(A) = P(A B) + P(A B) = P(B) P(A B) + P(B) P(A B). Allgemeiner P(A) = n k=1 P(B k) P(A B k ), wenn Ω = B 1... B n mit B i B j = eine Zerlegung des Wahrscheinlichkeitsraumes ist.

11 Beispiel P(S) Wahrscheinlichkeit, dass eine Spam ist. P(G) Wahrscheinlichkeit, dass eine das Wort Gewinn enthält. Bekannt: P(S) = 0, 25, P(G S) = 0, 19 und P(G S) = 0, 01, d. h. jede 4. Mail ist Spam und 19% aller Spammails sowie 1% aller NichtSpamMails enthalten das Wort Gewinn. Es folgt P(G) = P(S) P(G S) + P(S) P(G S) = 0, 055, also enthalten 5, 5% aller Mails das Wort Gewinn.

12 Formel von Bayes Aus P(B) P(A B) = P(A B) = P(A) P(B A) folgt P(B A) = P(B) P(A B) P(A) = P(B) P(A B) P(B) P(A B) + P(B) P(A B), bzw. bei einer Zerlegung Ω = B 1... B n P(B k A) = P(B k) P(A B k ) n i=1 P(B i) P(A B i ).

13 Anwendung: Bayes'scher Spamlter Beispiel: P(S) = 0, 25 (25% SpamMails), P(G S) = 0, 19 (19% davon enthalten das Wort Gewinn) P(G S) = 0, 01 (1% der übrigen Mails enthalten das Wort Gewinn) Dann folgt P(S G) = = P(S) P(G S) P(S) P(G S) + P(S) P(G S) 0, 25 0, 19 0, 864, 0, 25 0, , 75 0, 01 d. h. eine Mail mit dem Wort Gewinn ist zu 86, 4% Spam.

14 Binomialverteilung n unabhängige Wiederholungen eines Experiments mit zwei möglichen Ausgängen (1 Erfolg, mit Wahrscheinlichkeit p und 0 kein Erfolg, mit Wahrscheinlichkeit 1 p) Beispiel nfacher Münzwurf, p = 0, 5 nfaches würfeln, 6 = Erfolg (p = 1 6 ) Modell Ω = {0, 1} n = { } (ω 1,..., ω n ) : ω i {0, 1}, P({ω}) = p k (1 p) n k, wobei k Anzahl der Einsen.

15 Gesamtwahrscheinlichkeit für k Erfolge Zahl der ω Ω mit k Einsen mal P({ω}) gleich ( n k) p k (1 p)n k = b n,p(k). Beispiel: Wahrscheinlichkeit für... 6 mal Wappen bei 10 Münzwürfen: b 10;0,5 (6) 21%, 3 Sechsen bei 10 mal würfeln: b 10;1/6 (3) 16%, 30 Sechsen bei 100 mal würfeln: b 100;1/6 (30) 0, 038%, zwischen 25 und 34 Sechsen bei 100 Würfen: 34 k=25 b 100;1/6(k) 2, 2%, zwischen 11 und 20 Sechsen bei 100 Würfen: 80, 5%.

16 Beispiel Binomialverteilung mit n = 20 und p = 0, 6, die die typische Form einer Glockenkurve hat.

17 Erwartungswert einer Zufallsgröÿe X, die reelle Zahlen als Werte hat, ist deniert als EX = ω Ω ω P(ω) Beispiel Augenzahl beim Würfeln EX = = 3, 5 (mittlerer oder durchschnittlicher Gewinn)

18 Eigenschaften E(X + Y ) = EX + EY, E(X Y ) = (EX ) (EY ), falls X und Y unabhängig sind. Beispiel: zwei Würfel Die durchschnittliche Augensumme ist 3, 5 + 3, 5 = 7. Das Produkt der beiden Augenzahlen ergibt im Durchschnitt 3, 5 2 = 12, 25.

19 Erwartungswert der Binomialverteilung Beim einmaligen Ausführen des Experiments ist der Erwartungswert EX 1 = p. Es folgt, dass der Erwartungswert für die Zahl der Erfolge beim n-maligen Durchführen des Experiments EX n = n EX 1 = np ist. Beispiel 100 mal Würfeln Im Durchschnitt werden = Sechsen erwartet.

20 Varianz Maÿ für die Streuung um den Erwartungswert: Ist EX = X, so setzt man V (X ) = E(X X ) 2 = ω Ω(ω X ) 2 P(ω) Beispiel Würfel V (X ) = 1 (1 3, 6 5)2 + 1 (2 3, 6 5)2 + 1 (3 3, 5)2 6 = , (4 3, 6 5)2 + 1 (5 3, 6 5)2 + 1 (6 3, 5)2 6 Die Standardabweichung ist deniert als σ = V (X ). 35 Im Beispiel ist σ = 1, 7. 12

21 Varianz einer Summe Sind X und Y unabhängig, so ist V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) Beispiele Die Varianz der Augensumme zweier Würfel ist 2 2, 9 = 5, 8, die Standardabweichung etwa 2,4. Die Varianz einer binimialverteilten Zufallsgröÿe ist n p (1 p). Beim 100maligen Würfeln ist die Varianz für die Zahl der Sechsen z. B , 9 und die Standardabweichung 3,

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