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1 Übug&Praktikum zu digitale Kommuikatiossysteme Thema: Faltug Diskrete Faltug Wird ei zeitdiskretes Sigal x T mit Hile eies Sigalverarbeitugssystems oder eies Sigalverarbeitugsblocks weiter bearbeitet, so lässt sich das Verhalte des verarbeitede Blocks im Zeitbereich durch die sogeate Impulsatwort h au lieare, zeitivariate Systeme (LTI liear time ivariat) beschräkt. beschreibe. Dabei wird die Betrachtug Die Impulsatwort ist das Ausgagssigal des Systems, we am Eigag ei Sigal eigespeist wird, das ur zu eiem Zeitpukt eie vo Null verschiedee Wert auweist. Ma et dieses Eigagssigal eie Dirac-Impuls ud beschreibt diese häuig mit dem Symbol Aussehe des Dirac Impulses wird i Bild veraschaulicht. (. Das Bild : Dirac-Impuls Mit Hile der Impulsatwort h( eies Systems lässt sich das Ausgagssigal y( ür jedes beliebige Eigagssigal bestimme. Dies soll beispielhat ür ei System, das durch die i Bild 2 dargestellte, zeitlich begrezte Impulsatwort h( beschriebe wird, gezeigt werde. 0,75 h( Bild 2: Impulsatwort h( eies Sigalverarbeitugssystems Als Eigagssigal x( wird ei zeitlich begreztes Sigal betrachtet, das aus 3 Abtastwerte bei de Zeitidices =0 bis =2 besteht, die die Bild 3 zu etehmede Amplitudewerte aehme. Alle adere Werte vo x( sid gleich Null. Gibt ma x( au das System mit der Impulsatwort h(, so reagiert das System au jede der 3 Impulse zum etsprechede Zeitpukt mit eier dem Amplitudewert x( etspreched gewichtete Versio seier Impulsatwort. Dies wird i der Darstellug i Bild 3 veraschaulicht. Das Ausgagssigal y( lässt sich aus der additive Überlagerug der Reaktioe au alle Abtastwerte des Sigals bestimme. H. Güter Hirsch Versio: pa4 Seite (9)

2 Übug&Praktikum zu digitale Kommuikatiossysteme Thema: Faltug A dieser Stelle werde die Eigeschate der Liearität ud der Zeitivariaz eies Systems deutlich. Ei System wird liear geat, we es au jede Abtastwert x( mit der Impulsatwort, die liear mit dem Amplitudewert vo x( gewichtet wird, reagiert. Es wird zeitivariat geat, we die Reaktio mit der gewichtete Impulsatwort auch jeweils zum Zeitpukt erolgt. x( h(-0) als Reaktio au x(0)=- h(-) als Reaktio au x()= h(-2) als Reaktio au x(2)= } ,75-0,375 0,25 0,75 0,875 0,75 y( 0, Bild 3: Bestimmug des Ausgagssigals als additive Überlagerug der zeitversetzte gewichtete Impulsatworte H. Güter Hirsch Versio: pa4 Seite 2 (9)

3 Übug&Praktikum zu digitale Kommuikatiossysteme Thema: Faltug Das additive Überlager der Reaktioe au alle Abtastwerte des Eigagssigals wird mathematisch als Faltug des Eigagssigals x( mit der Impulsatwort h( beschriebe, wobei ma das Symbol * als sogeate Faltugsoperator verwedet. m m y ( x( h( x( m) h( m) x( h( y( Bild 4: Beschreibug eies Sigalverarbeitugsblocks durch seie Impulsatwort h( Kokret bestimmt sich das Ausgagssigal y( als Faltugssumme: m m x ( m) h( m) Hadelt es sich bei dem Sigal x( um ei zeitlich begreztes Sigal mit K Werte ugleich Null ud bei der Impulsatwort h( um ei zeitlich begreztes Sigal mit L Werte ugleich Null, so ergibt sich als Ergebis der Faltug ei Sigal mit K+L- Werte ugleich Null. Übugsaugabe Bereche Sie die Werte des Ausgagssigals y( ür 05 als Faltugssumme ür das i Bild 3 agegebee Eigagssigal x( ud die i Bild 2 dargestellte Impulsatwort h(. Ei lieares, zeitivariates, zeitdiskretes System lässt sich mit de i Bild 5 dargestellte Grudelemete aubaue. x 2 ( x ( ( x x + y 2 x( T x( a y( x y( a x Bild 5: Grudelemete eies lieare, zeitivariate, zeitdiskrete Systems H. Güter Hirsch Versio: pa4 Seite 3 (9)

4 Übug&Praktikum zu digitale Kommuikatiossysteme Thema: Faltug Skizziere de Schaltugsaubau eies Systems, das die i Bild 2 agegebee Impulsatwort h( besitzt. Graphische Lösug Die Berechug eies Ausgagswerts y( als Faltugssumme ka ma aschaulich durch eie Spiegelug der Impulsatwort h(m) a der Ordiate zur Geierug vo h(-m), eie Verschiebug der gespiegelte Impulsatwort a de Zeitpukt zur Geerierug vo h(-m) sowie die Berechug der Summe aller Produktterme x(m). h(-m) vorehme. y(4)=. +. =0,625 Bild 6: Graphische Lösug zur diskrete Faltug der Sigale x( ud h( H. Güter Hirsch Versio: pa4 Seite 4 (9)

5 Übug&Praktikum zu digitale Kommuikatiossysteme Thema: Faltug Die Berechug aller Werte vo y( ka ma durch ei Schiebe der gespiegelte Impulsatwort vo liks ach rechts über alle Zeitpukte hiweg vorehme. Beispielhat wird diese graphische Lösugsweise i Bild 6 veraschaulicht. Experimetelle Augabe Zur Veraschaulichug der graphische Bestimmug der Faltugssumme steht die graphische Oberläche zur Faltug zur Verügug. Lade Sie x( durch Auswahl des Meüpukts Sigal sowie Eigagssigal lade ud Auswahl des Files altug_x.wav. Lade Sie h( durch Auswahl des Meüpukts Sigal sowie Impulsatwort lade ud Auswahl des Files altug_h.wav. We Sie die Faltug im Demomodus ausühre, wird die graphische Lösugsmethode zur Bestimmug der Abtastwerte y( ür jede Abtastwert veraschaulicht. Faltugsalgebra Das Reche mit dem Faltugsoperator lässt sich durch eie etsprechede Algebra beschreibe, die der der Multiplikatio weitgehed etspricht:. Der Dirac-Impuls stellt das Eiselemet der Faltugsalgebra dar: x( x( (, 0 wobei der Dirac-Impuls ( deiiert ist als ( ür Es gilt das Kommutativgesetz, ach dem die Faktore eies Faltugsprodukts vertauscht x( h( h( x( werde düre: ) Aschaulich bedeutet dies, dass das Ausgagssigal eies Systems mit der Impulsatwort h( bei Aliege des Eigagssigals x( dem Ausgagssigal eies Systems mit der Impulsatwort x( bei Aliege des Eigagssigals h( etspricht. 3. Es gilt das Assoziativgesetz, ach dem bei Faltug vo 3 Faktore zwei beliebige Faktore zuächst miteiader gealtet werde ud da eie Faltug mit dem dritte Faktor erolgt: x( g( h( [ x( g( ] h( x( g( h( H. Güter Hirsch Versio: pa4 Seite 5 (9)

6 Übug&Praktikum zu digitale Kommuikatiossysteme Thema: Faltug Das Assoziativgesetz lässt sich zur Bestimmug des Ausgagssigals bei der Hitereiaderschaltug zweier Systeme, die die Impulsatworte g( ud h( besitze, awede. Etweder berechet ma das Ausgagssigal schrittweise, i dem ma erst die Faltug des Eigagssigals x( mit der Impulsatwort g( des erste Systems berechet ud das daraus resultierede Sigal mit der Impulsatwort h( altet. Alterativ ka ma auch zuerst die Impulsatwort des Gesamtsystems als Faltug vo g( ud h( bestimme, wie es i Bild 7 dargestellt ist. Das Eigagssigal x( wird da mit der Impulsatwort des Gesamtsystems gealtet. } Bild 7: Bestimmug der Impulsatwort als Faltug der Impulsatworte zweier hitereiader geschalteter Systeme 4. Es gilt das Distributivgesetz: x( [ g( h( ] [ x( g( ] x( h( Experimetelle Augabe 2 Geeriere Sie im Sigalgeerator 40 Abtastwerte (z.b als Teil eies abgetastete Rechteckimpulses oder als Gleichateil), die alle de Wert besitze. Speicher Sie das Sigal ab. Geeriere Sie ebealls 40 Abtastwerte eies liear vo 0 bis asteigede Sigals (als Teil/ Viertelperiode eies Dreiecksigals erzeugt werde!) Speicher Sie das Sigal. Lade Sie i der Oberläche zur Faltug de Rechteckimpuls als Eigagssigal ud das liear asteigede Sigal als Impulsatwort. Führe Sie die Faltug im Demomodus durch ud skizziere Sie i der olgede Darstellug grob das Ausgagssigal uter Agabe der charakteristische Werte: H. Güter Hirsch Versio: pa4 Seite 6 (9)

7 Übug&Praktikum zu digitale Kommuikatiossysteme Thema: Faltug Zeit Lade Sie das liear asteigede Sigal als Eigagssigal ud de Rechteckimpuls als Impulsatwort. Führe Sie die Faltug im Demomodus durch ud vergleiche Sie das Ausgagssigal mit dem zuvor bestimmte ud skizzierte Sigal. Aus welcher algebraische Regel der Faltugsalgebra resultiert das beobachtete Ergebis: x(t) * h(t) = Übugsaugabe 2 Ei digitalisiertes Sigal x( wird über eie Nachrichteübertragugsstrecke übertrage, die aus der Hitereiaderschaltug zweier sigalverarbeiteder Systeme besteht, wie es i Bild 8 dargestellt ist. Die beide Systeme besitze die beide agegebee Impulsatworte h ( ud h 2 (. Dabei ehme h ( ur ür 02 ud h 2 ( ur ür 04 Werte ugleich Null a. x( y( h ( h 2 ( + 0,827 + h ( 0 2 h 2 ( - 0, Bild 8: Hitereiaderschaltug zweier Systeme mit de Impulsatworte h ( ud h 2 ( Bereche ud skizziere Sie die Impulsatwort hges( der gesamte Sigalverarbeitugsstrecke. h ges ( +0, H. Güter Hirsch Versio: pa4 Seite 7 (9) -0,2

8 Übug&Praktikum zu digitale Kommuikatiossysteme Thema: Faltug Impulsatwort des ideale Tiepassilters Trasormiert ma de rechteckörmige Verlau des Frequezgags eies ideale Tiepassilters i de Zeitbereich, so erhält ma als Verlau der Stossatwort eie gedämpte Siusschwigug, wie es i Bild 9 dargestellt ist. htp(t) HTP() /2 / 3/2 t /2 - + Bild 9: Stossatwort ud Frequezcharakteristik des ideale Tiepassilters Der Verlau der Stossatwort wird mathematisch beschriebe durch Die Fuktio h TP t si t 2 t 2 six bezeichet ma kurz auch als SI-Fuktio. Bei der SI-Fuktio hadelt es x sich um eie gedämpte Schwigug, die allerdigs uedlich ausgedeht ist. Da ma zur praktische Realisierug eies TP die Fuktio zeitlich begreze muss, wird deutlich, dass ma eie ideale TP icht realisiere ka. Übugsaugabe 3 Bestimme Sie durch Substitutio vo t durch T die allgemeie mathematische Beschreibug der zeitdiskrete Impulsatwort h TP eies ideale Tiepasses i Abhägigkeit des Zeitidexes g g. ud der zur Abtastrequez a relative Grezrequez des Tiepasses a Bereche Sie die Werte der Impulsatwort eies Tiepasses ür -4 4, der eie relative. Grezrequez vo 4 a besitzt. H. Güter Hirsch Versio: pa4 Seite 8 (9)

9 Übug&Praktikum zu digitale Kommuikatiossysteme Thema: Faltug Experimetelle Augabe 3 Die Abtastwerte eies Tiepasses mit der i der vorherige Augabe verwedete relative Grezrequez sid i dem File Si_05.wav gespeichert. Gehe Sie uter Digitale Filter i die graphische Oberläche Frequezgag eier Impulsatwort ud lade Sie die Abtastwerte des TP. Skizziere Sie de Frequezgag im achstehede Diagramm. H TP () + 0 a Lade Sie i der graphische Oberläche zur Faltug das Sprachsigal artos_oerohr_8k.wav sowie die Impulsatwort des TP. Führe Sie Faltug durch. Höre Sie sich das Origialsigal ud das geilterte Sigal a. Welche absolute Grezrequez besitzt das Filter i diesem Fall? khz Lade Sie i der graphische Oberläche zur Faltug das Musiksigal arica_6k.wav sowie die Impulsatwort des TP. Führe Sie die Faltug durch. Höre Sie sich das Origialsigal ud das geilterte Sigal a. Welche absolute Grezrequez besitzt das Filter i diesem Fall? khz H. Güter Hirsch Versio: pa4 Seite 9 (9)