Experimentalphysik E1

Transkript

1 Experimentalphysik E1 Newtonsche Axiome, Kräfte, Arbeit, Skalarprodukt, potentielle und kinetische Energie Alle Informationen zur Vorlesung unter : 8.Okt 016

2 Newtons Physik vereinigt die Mechanik des Himmels und die Mechanik auf der Erde Gedankenexperiment : Kanone auf hohem Berg von der Wurfbahn Parabel) zunehmende Geschossgeschw. zur Planetenbahn Kreis) Originalabbildung aus Newtons "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" 178)

3 Bewegung mit nicht konstanter Beschleunigung Bsp.: Kreisbewegung R y v = ds dt ω = dϕ v r r v t + Δt) r v t) ds = R dϕ = R dϕ = R ω dt Winkelgeschwindigkeit " $ r = $ $ v = $ a = $ a = ω r R cosω t) R sinω t) 0 ' ' ' R ω sinω t) R ω cosω t) 0 R ω cosω t) R ω sinω t) 0 ' ' = ω R e r Zentripetalbeschleunigung

4 Allgemeine krummlinige Bewegung v ändert Richtung und Betrag x z p a n a t y Bsp.: a = d v dt a n = 0 a t = 0 Koordinatensystem so wählen, dass und ê n = dv dt ê t + v dê t dt Geraden z.b. senkrechter Wurf) z.b. Konstante Kreisbahn ê t = a t + a n in ˆx ŷ -Ebene liegen Approximation der Bahn durch Kreisbögen ρ dϕ ds = ρ dϕ ρ dϕ dt = dϕ ds ds dt = dϕ ds v = 1 ρ v a = dv dt ê t + v ρ ê n Vergleich konstante Bewegung

5 Zur Herleitung der Normalbeschleunigung ê n ϕ y p ϕ êt dê t dt = dϕ dt ê n x a n = v dϕ dt ê n ê t = " ê n = " cosϕ sinϕ 0 $ cosϕ + π ) sinϕ + π ) 0 dê t dt = $ a = dv dt ê t + v dϕ dt ê n = dv dt ê t + v ρ ê n $ " $ = $ $ sinϕ dϕ dt cosϕ dϕ dt 0 sinϕ cosϕ 0 ' ' ' '

6 Was ist die URSACHE für eine Bewegungsänderung? Erfahrungssatz Alle Körper erfahren im Vakuum und am selben Ort) die gleiche Erdbeschleunigung Bisher: Beschreibung durch Angabe von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Jetzt: Wie kommt Bewegung zustande? Die Newtonschen Gesetze Isaac Newton )

7 Galilei s Gedankenexperiment zum freien Fall Großer Stein Kleiner Stein mit Faden verbunden v v 1 v 1+ Annahme: Kleiner Stein fällt langsamer, v <v 1 dann ist die Geschwindigkeit im Verbund v <v 1+ <v 1 d.h. der grosse Stein wird gebremst, der kleine wird schneller. ABER: beide Steine zusammen sind schwerer als der große, also muß v >v 1+. => WIDERSPRUCH Galilei s Schluss : Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell

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9 Sir Isaac Newton ) Begründer der klassischen Mechanik Gravitationsgesetz Bewegungsgesetze Infinitisimalrechnung, Optik,

10 Die Newtonschen Grundgesetze 1. Newtonsche Axiom Trägheitsprinzip) Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.. Newtonsche Axiom Aktionsprinzip) Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als F = d dt mv) = m a 3. Newtonsche Axiom Reaktionsprinzip) Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft F 1 auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft F 1 auf den anderen Körper. F = 1 F 1 actio=reactio) [N=kg m/s = 1 Newton] m : träge Masse

11 Äquivalenzprinzip Ein homogenes Gravitationsfeld ist einem gleichmäßig beschleunigten Bezugssysten äquivalent Einstein verallgemeinerte das Äquivalenzprinzip auf alle physikalischen Experimente allgem. Relativitätstheorie)

12 V- Erdsatelliten- V- R- 1. Kosmische Geschwindigkeit - - R- Satellit-auf-Kreisbahn-wenn-az=gSatellit-auf-Kreisbahn-wenn-a = = = = = 6400" = 9,81 = 6400" = 9,81 = - " = " 6,4 10 9,81 = 8 10 = 8 = " = 6,4 10 9,81 = 8 1

13 Erfahrungssatz Alle Körper erfahren im Vakuum und am selben Ort) die gleiche Erdbeschleunigung

14 Die Arbeit Die Arbeit W work) wird definiert als das Produkt aus dem Weg den ein Körper zurücklegt und der Kraft, die in Richtung dieses Weges wirkt. W = F s = F s cosα) Die Arbeit ist das Skalarprodukt aus Kraft und Weg Einheit: 1 Joule)=1 Nm=1 kgm /s α v F F cosα) v s Bei veränderlicher Kraft summieren wir über kleine Wegelemente Δ v s W = F Δs = F ds v F

15 Die Arbeit ist ein Linienintegral W = Fds FΔs = Hängt die Hubarbeit vom Weg ab? W = Fds = m g cos α ) ds = m g dh = m g h Nur die Projektion des Weges auf die Richtung der Kraft zählt

16 Konservative Kraftfelder Eine Kraft heißt konservativ, wenn die gesamte Arbeit entlang einem beliebigen, geschlossenen Weg gleich null ist. W = 1 Fds + Fds = Fds = 1 0 Die Arbeit, die eine konservative Kraft an einem Massepunkt verrichtet, ist unabhängig davon, auf welchem Weg sich der Massenpunkt von einem Ort zu einem anderen bewegt.

17 Kann man Arbeit sparen? Goldene Regel der Mechanik: Bei reibungsfreien idealen) Maschinen gilt: Die dem Kraftwandler zugeführte Arbeit W zu ist gleich der von ihm abgegebenen Arbeit W ab. W zu = W ab Geleistete Zugarbeit : W zu = F s Erbrachte Hub-Arbeit : W ab = G h Da am Flaschenzug mit einer losen Rolle G= F und h = s/ gilt, ergibt sich daraus W zu = W ab.

18 Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie F Herleitung für den Fall gleichförmig beschleunigter Bewegung v m W kin = Def. Kinetische Energie a a a t a s v v = " $ = = Der zurückgelegte Weg : v v = = = m a a m s F W Bei der Beschleunigung verrichtete Arbeit :

19 Potentielle Energie - Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Ein Körper, an dem mechanische Arbeit geleistet worden ist, hat die Fähigkeit gewonnen diese Arbeit wieder zurückzugeben. Die von ihm aufgenommene Energie wird potentielle Energie genannt Feder: E pot = WD = D s Lage: E pot = W H = m g h

20 Energiesatz der Mechanik Wenn nur konservative Kräfte wirken, also keine Reibung auftritt, dann gilt: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines abgeschlossenen Systems ist unveränderlich. E pot + E = E kin ges = konstant

21 Das Pendel Lösung des Pendelproblems mit Hilfe des Energiesatzes E pot +E kin =const Es gibt ausgezeichnete Punkte 1. ϑ=ϑ max mit E kin =0 und Eges = E pot ϑ max ) = mgh. ϑ=0 mit E pot =0 und E kin 0) = mv max 1.)+.) v max = gh

22 Das asymmetrische Pendel links und rechts gilt Eges = E pot ϑ max ) = mgh Die Winkel lassen sich ableiten aus : h = l l l 1 ϑ lϑ l cosϑ +...)