Matrikel- Nummer: Aufgabe Summe Punkte /1 /3 /3 /3 /7 /5 /3 /3 /3 /31

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1 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe Summe Punkte / / / / /7 /5 / / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei eigenhändig handbeschriebene Seiten DIN A4. Wer den Klausurraum vor Ende der Bearbeitungszeit endgültig verlässt, hat damit zu rechnen, dass seine Klausur als nicht bestanden gewertet wird. Eintragungen mit Bleistift oder Rotstift werden nicht gewertet. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Folgende Werte der Winkelfunktionen könnten hilfreich sein: x sinx 0 cosx 0 Viel Erfolg! Aufgabe Punkt Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe Punkte Die Ebene E ist gegeben durch die Gleichung x + x + x =. a Geben Sie die Hessesche Normalform für E an: 6 x = 6 b Welchen Abstand hat E vom Ursprung? 6 c Bestimmen Sie den Abstand des Punkts B =,, 5 von E : 5 6 Seite von 4

2 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe Punkte Skizzieren Sie die Mengen M = {z C : Im }, M = {z C : z z 4 und 0 argz z } in der Gaußschen Zahlenebene. Im M Re M Aufgabe 4 Punkte Gegeben ist die Pyramide mit den Eckpunkten A :=,,, B :=,,, C :=,, 5 und D := 8,,. Bestimmen Sie einen Normalenvektor n der Länge auf der Seite ABD und berechnen Sie die Fläche F dieser Seite. n = F = 49 Seite von 4

3 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 5 7 Punkte Bestimmen Sie jeweils alle R, für die folgende Ungleichungen erfüllt sind: a x + 5 x 8 0, ] b x + x x x + R c x x + 0, ] [, + Aufgabe 6 5 Punkte Gegeben ist das reelle, lineare Gleichungssystem Ax = b mit 0 0 A =, b = 0. 0 α a Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A. det A = + α b Für welche α R besitzt das System eine eindeutige Lösung? α Berechnen Sie diese Lösung. x = + α + α + α Seite von 4

4 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 7 Punkte Gegeben seien die Matrizen 0 A = und B = Berechnen Sie: Rg A = det B = 40 detab = 0 Aufgabe 8 Punkte Gegeben sind die folgenden Matrizen. 5 + i A =, B =, C = e 4 5 i. Berechnen Sie, wenn möglich, die folgenden Matrizen. Tragen Sie existiert nicht in den Kasten ein, falls die Operation nicht möglich ist. A = e 4 5 BB = + i i i i C = existiert nicht Aufgabe 9 Punkte Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ: R R mit 0 4 ϕ =, ϕ =. 5 a Geben Sie die Matrixdarstellung von ϕ bezüglich der Standardbasis E an. E ϕ E = 4 b Bestimmen Sie das Bild von x = unter ϕ. ϕx = 4 Seite 4 von 4

5 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe Summe Punkte / / / / /7 /5 / / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei eigenhändig handbeschriebene Seiten DIN A4. Wer den Klausurraum vor Ende der Bearbeitungszeit endgültig verlässt, hat damit zu rechnen, dass seine Klausur als nicht bestanden gewertet wird. Eintragungen mit Bleistift oder Rotstift werden nicht gewertet. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Folgende Werte der Winkelfunktionen könnten hilfreich sein: x sinx 0 cosx 0 Viel Erfolg! Aufgabe Punkt Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe Punkte Die Ebene E ist gegeben durch die Gleichung x + x x =. a Geben Sie die Hessesche Normalform für E an: 4 x = 4 b Welchen Abstand hat E vom Ursprung? 4 c Bestimmen Sie den Abstand des Punkts B = 5,, 4 von E : 8 4 Seite von 4

6 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe Punkte Skizzieren Sie die Mengen M = {z C : Im }, M = {z C : z z 9 und argz z } in der Gaußschen Zahlenebene. Im M Re M Aufgabe 4 Punkte Gegeben ist die Pyramide mit den Eckpunkten A :=,,, B :=, 6,, C :=,, und D := 0,,. Bestimmen Sie einen Normalenvektor n der Länge auf der Seite CDA und berechnen Sie die Fläche F dieser Seite. n = F = 406 Seite von 4

7 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 5 7 Punkte Bestimmen Sie jeweils alle R, für die folgende Ungleichungen erfüllt sind: a x x + x + x R b x + 7 x 9 0, ] c x 4 x 0, ] [, Aufgabe 6 5 Punkte Gegeben ist das reelle, lineare Gleichungssystem Ax = b mit α 0 A =, b = a Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A. det A = + 5α b Für welche α R besitzt das System eine eindeutige Lösung? α 5 Berechnen Sie diese Lösung. x = 5 + 5α + 5α + 5α Seite von 4

8 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 7 Punkte Gegeben seien die Matrizen 0 5 A = 0 und B = 0. Berechnen Sie: det A = Rg B = detab = 0 Aufgabe 8 Punkte Gegeben sind die folgenden Matrizen. ln 5 5 A = 4 i, B =, C = + i. Berechnen Sie, wenn möglich, die folgenden Matrizen. Tragen Sie existiert nicht in den Kasten ein, falls die Operation nicht möglich ist. + i A = ln 5 4 B B = i C = existiert nicht Aufgabe 9 Punkte Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ: R R mit 0 ϕ =, ϕ =. 8 a Geben Sie die Matrixdarstellung von ϕ bezüglich der Standardbasis E an. E ϕ E = b Bestimmen Sie das Bild von x = unter ϕ. ϕx = 6 Seite 4 von 4

9 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe Summe Punkte / / / / /7 /5 / / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei eigenhändig handbeschriebene Seiten DIN A4. Wer den Klausurraum vor Ende der Bearbeitungszeit endgültig verlässt, hat damit zu rechnen, dass seine Klausur als nicht bestanden gewertet wird. Eintragungen mit Bleistift oder Rotstift werden nicht gewertet. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Folgende Werte der Winkelfunktionen könnten hilfreich sein: x sinx 0 cosx 0 Viel Erfolg! Aufgabe Punkt Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe Punkte Die Ebene E ist gegeben durch die Gleichung 4x x + x =. 4 a Geben Sie die Hessesche Normalform für E an: x = b Welchen Abstand hat E vom Ursprung? c Bestimmen Sie den Abstand des Punkts B =,, von E : 5 Seite von 4

10 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe Punkte Skizzieren Sie die Mengen M = {z C : Im }, M = {z C : z z 9 und z argz } in der Gaußschen Zahlenebene. Im M Re M Aufgabe 4 Punkte Gegeben ist die Pyramide mit den Eckpunkten A :=,,, B :=,,, C := 0,, und D := 6,, 4. Bestimmen Sie einen Normalenvektor n der Länge auf der Seite ABD und berechnen Sie die Fläche F dieser Seite. n = F = 45 Seite von 4

11 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 5 7 Punkte Bestimmen Sie jeweils alle R, für die folgende Ungleichungen erfüllt sind: a x + 5 4x 9 0, ] 4 b x x 0 c 5x + x x + 5x, ] [, R Aufgabe 6 5 Punkte Gegeben ist das reelle, lineare Gleichungssystem Ax = b mit 0 0 A =, b = 0. 0 α a Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A. det A = + α b Für welche α R besitzt das System eine eindeutige Lösung? α Berechnen Sie diese Lösung. x = + α + α + α Seite von 4

12 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 7 Punkte Gegeben seien die Matrizen A = 0 und B = Berechnen Sie: Rg A = det B = 40 detab = 0 Aufgabe 8 Punkte Gegeben sind die folgenden Matrizen. 4 e i A =, B =, C = + i. Berechnen Sie, wenn möglich, die folgenden Matrizen. Tragen Sie existiert nicht in den Kasten ein, falls die Operation nicht möglich ist. A = 4 e BB = i i i + i C = existiert nicht Aufgabe 9 Punkte Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ: R R mit 0 4 ϕ =, ϕ =. 7 a Geben Sie die Matrixdarstellung von ϕ bezüglich der Standardbasis E an. E ϕ E = 5 b Bestimmen Sie das Bild von x = unter ϕ. ϕx = 6 Seite 4 von 4

13 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version 4 Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe Summe Punkte / / / / /7 /5 / / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei eigenhändig handbeschriebene Seiten DIN A4. Wer den Klausurraum vor Ende der Bearbeitungszeit endgültig verlässt, hat damit zu rechnen, dass seine Klausur als nicht bestanden gewertet wird. Eintragungen mit Bleistift oder Rotstift werden nicht gewertet. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Folgende Werte der Winkelfunktionen könnten hilfreich sein: x sinx 0 cosx 0 Viel Erfolg! Aufgabe Punkt Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe Punkte Die Ebene E ist gegeben durch die Gleichung x + x x =. a Geben Sie die Hessesche Normalform für E an: 4 x = 4 b Welchen Abstand hat E vom Ursprung? 4 c Bestimmen Sie den Abstand des Punkts B =, 6, von E : 4 4 Seite von 4

14 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version 4 Aufgabe Punkte Skizzieren Sie die Mengen M = {z C : Im }, M = {z C : z z 4 und z argz } in der Gaußschen Zahlenebene. Im M Re M Aufgabe 4 Punkte Gegeben ist die Pyramide mit den Eckpunkten A :=,,, B := 4,,, C := 4,, 0 und D := 4,,. Bestimmen Sie einen Normalenvektor n der Länge auf der Seite CDA und berechnen Sie die Fläche F dieser Seite. n = F = 46 Seite von 4

15 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version 4 Aufgabe 5 7 Punkte Bestimmen Sie jeweils alle R, für die folgende Ungleichungen erfüllt sind: a 4 x 5 x 0 [, ] 5, + b x + + x x + x + R c x + 4 x 7 0, ] Aufgabe 6 5 Punkte Gegeben ist das reelle, lineare Gleichungssystem Ax = b mit 0 0 A = α, b =. 0 0 a Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A. det A = 5 α b Für welche α R besitzt das System eine eindeutige Lösung? α 5 Berechnen Sie diese Lösung. x = 5 α 5 α 5 α Seite von 4

16 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version 4 Aufgabe 7 Punkte Gegeben seien die Matrizen 0 A = 5 0 und B = Berechnen Sie: det A = Rg B = detab = 0 Aufgabe 8 Punkte Gegeben sind die folgenden Matrizen. 4 A = 5 + i, B =, C = i 4. ln 7 Berechnen Sie, wenn möglich, die folgenden Matrizen. Tragen Sie existiert nicht in den Kasten ein, falls die Operation nicht möglich ist. 4 i A = 5 ln 7 B B = + i C = existiert nicht Aufgabe 9 Punkte Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ: R R mit 0 7 ϕ =, ϕ =. 4 a Geben Sie die Matrixdarstellung von ϕ bezüglich der Standardbasis E an. E ϕ E = b Bestimmen Sie das Bild von x = unter ϕ. ϕx = 4 Seite 4 von 4