Vorlesung. Mathematik 1. Prof. Dr. M Herty (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
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1 Vorlesung Mathematik 1 Prof. Dr. M Herty (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
2 Vorlesung Mathematik 1 Prof. Dr. M Herty Diese Vorlesung: Mengen Reelle Zahlen Elementare Funktionen Anwendungsbeispiel: Bauakustik (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
3 MENGEN Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Elemente. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
4 MENGEN Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Elemente. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Die Objekte heißen Elemente, ist x ein Element von M, so schreiben wir x M Eine Menge M schreiben wir in der Form z.b. M = {m 1, m 2,..., m k }, M = {3, 5, 7, 9} oder M = {a, t, 2, K }. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
5 MENGEN Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Elemente. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Eine spezielle Menge ist die leere Menge }{{} := definiert als {}, die kein einziges Element enthält. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
6 MENGEN Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Elemente. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, A B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. 1. Beispiel: {1, 3} {0, 1, 2, 3} 2. Beispiel: 3. Beispiel: {3} {1, 2, {3}}, {3} {1, 2, {3}} (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
7 MENGEN Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Elemente. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Die Vereinigung C = A B zweier Mengen A, B ist die Menge der Elemente die in A und/oder in B enthalten sind. Beispiel: {1, 3} {1, 7} = {1, 3, 7} (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
8 MENGEN Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Elemente. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Der Schnitt C = A B zweier Mengen A, B ist die Menge der Elemente die sowohl in A als auch in B vorkommen. Beispiel: {1, 3, 5} {0, 1, 2, 3} = {1, 3} (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
9 MENGEN Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Elemente. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Die Differenz C = A \ B zweier Mengen A, B ist die Menge der Elemente die in A aber nicht in B vorkommen. Beispiel: {0, 1, 2, 3} \ {1, 3, 5} = {0, 2} (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
10 ZAHLEN 1 Natürliche Zahlen N : 1, 2, 3, 4,... (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
11 ZAHLEN 1 Natürliche Zahlen N : 1, 2, 3, 4,... 2 Ganze Zahlen Z :..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
12 ZAHLEN 1 Natürliche Zahlen N : 1, 2, 3, 4,... 2 Ganze Zahlen Z :..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... 3 Rationale Zahlen (Brüche): { z } Q = n N, z Z n (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
13 ZAHLEN 1 Natürliche Zahlen N : 1, 2, 3, 4,... 2 Ganze Zahlen Z :..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... 3 Rationale Zahlen (Brüche): { z } Q = n N, z Z n N Z Q (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
14 ZAHLEN 1 Natürliche Zahlen N : 1, 2, 3, 4,... 2 Ganze Zahlen Z :..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... 3 Rationale Zahlen (Brüche): { z } Q = n N, z Z n N Z Q Brauchen wir noch mehr? (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
15 REELLE ZAHLEN Beispiel: Ein Gebäude soll 200m 2 Grundfläche haben und quadratisch sein, also Seitenlänge x so dass x 2 = 200 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
16 REELLE ZAHLEN Beispiel: Ein Gebäude soll 200m 2 Grundfläche haben und quadratisch sein, also Seitenlänge x so dass Lösung: x 2 = 200 x = 10 2 = ist keine rationale Zahl. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
17 REELLE ZAHLEN Beispiel: Ein Gebäude soll 200m 2 Grundfläche haben und quadratisch sein, also Seitenlänge x so dass Lösung: x 2 = 200 x = 10 2 = ist keine rationale Zahl. Definition: Die Zahlen mit (möglicherweise) unendlich vielen Nachkommastellen nennen wir reelle Zahlen. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
18 REELLE ZAHLEN Beispiel: Ein Gebäude soll 200m 2 Grundfläche haben und quadratisch sein, also Seitenlänge x so dass Lösung: x 2 = 200 x = 10 2 = ist keine rationale Zahl. Definition: Die Zahlen mit (möglicherweise) unendlich vielen Nachkommastellen nennen wir reelle Zahlen. Beispiel: Fläche eines Kreises mit Radius r = 1: π = (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
19 REELLE ZAHLEN Beispiel: Ein Gebäude soll 200m 2 Grundfläche haben und quadratisch sein, also Seitenlänge x so dass Lösung: x 2 = 200 x = 10 2 = ist keine rationale Zahl. Definition: Die Zahlen mit (möglicherweise) unendlich vielen Nachkommastellen nennen wir reelle Zahlen. Beispiel: Eulersche Zahl e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... = = Hierbei ist n! = n (n 1) 1 die Fakultät. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
20 BAUAKUSTIK Schalldämmmaß eines Fassadenelementes ist mit den Schallintensitäten R = 10 log 10 (I 1 /I 2 )db I 1 : von der Quelle I 2 : am Empfänger (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
21 BAUAKUSTIK Schalldämmmaß eines Fassadenelementes ist mit den Schallintensitäten R = 10 log 10 (I 1 /I 2 )db I 1 : von der Quelle I 2 : am Empfänger Bei einer Fassade aus Wand+Fenster mit dem Maß R W einer Wand (ohne Fenster) und dem Maß R F eines Fensters (ohne Wand) ergibt sich A F : Fläche des Fenster, A G : Fläche der Fassade (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
22 BAUAKUSTIK Schalldämmmaß eines Fassadenelementes ist mit den Schallintensitäten R = 10 log 10 (I 1 /I 2 )db I 1 : von der Quelle I 2 : am Empfänger Bei einer Fassade aus Wand+Fenster mit dem Maß R W einer Wand (ohne Fenster) und dem Maß R F eines Fensters (ohne Wand) ergibt sich ( R G = R W 10 log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ), A G A F : Fläche des Fenster, A G : Fläche der Fassade (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
23 BAUAKUSTIK Maß R W der Wand, Maß R F des Fensters, Fläche A F (gesamt: A G ) Schalldämmmaß der Fassade aus Wand und Fenster: ( R G = R W 10log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) A G (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
24 BAUAKUSTIK Maß R W der Wand, Maß R F des Fensters, Fläche A F (gesamt: A G ) Schalldämmmaß der Fassade aus Wand und Fenster: ( R G = R W 10log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) A G Dabei treten auf: Potenzfunktion 10 x Logarithmusfunktion log 10 (x) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
25 BAUAKUSTIK Maß R W der Wand, Maß R F des Fensters, Fläche A F (gesamt: A G ) Schalldämmmaß der Fassade aus Wand und Fenster: ( R G = R W 10log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) A G Dabei treten auf: Potenzfunktion 10 x Logarithmusfunktion log 10 (x) Aufgabe: Bestimme die Fensterfläche A F für ein Fassadenelement mit vorgegebenen Maßen R W, R F, R G und A G (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
26 FUNKTIONEN Definition: Funktion Eine Funktion f hat einen Definitionsbereich D (Urbild) und einen Wertebereich f (D) Y (Bild), f : D Y, x y = f (x), sie ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
27 FUNKTIONEN Definition: Funktion Eine Funktion f hat einen Definitionsbereich D (Urbild) und einen Wertebereich f (D) Y (Bild), f : D Y, x y = f (x), sie ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Jedes x D wird abgebildet und (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
28 FUNKTIONEN Definition: Funktion Eine Funktion f hat einen Definitionsbereich D (Urbild) und einen Wertebereich f (D) Y (Bild), f : D Y, x y = f (x), sie ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Jedes x D wird abgebildet und es wird immer genau ein Wert f (x) Y zugeordnet. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
29 FUNKTIONEN Definition: Funktion Eine Funktion f hat einen Definitionsbereich D (Urbild) und einen Wertebereich f (D) Y (Bild), f : D Y, x y = f (x), sie ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Jedes x D wird abgebildet und es wird immer genau ein Wert f (x) Y zugeordnet. Das Bild f (D) Y ist die Menge aller Werte f (x), die vorkommen können. Y kann aber noch viel mehr Elemente enthalten. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
30 FUNKTIONEN Definition: Funktion f : D Y, x y = f (x), ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Beispiel 1: Parabel f (x) = x 2 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
31 FUNKTIONEN Definition: Funktion f : D Y, x y = f (x), ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Beispiel 1: Parabel D = R, Y = R f (x) = x 2 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
32 FUNKTIONEN Definition: Funktion f : D Y, x y = f (x), ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Beispiel 1: Parabel D = R, Y = R f (x) = x 2 f (D) = R 0 }{{} := {y R y 0} ist definiert als (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
33 FUNKTIONEN Definition: Funktion f : D Y, x y = f (x), ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Beispiel 2: Wurzelfunktion f (x) = x = x 1/2 ordnet jedem x D = R 0 dasjenige y R 0 zu, das y 2 = x erfüllt. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
34 FUNKTIONEN Definition: Funktion f : D Y, x y = f (x), ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Beispiel 2: Wurzelfunktion f (x) = x = x 1/2 ordnet jedem x D = R 0 dasjenige y R 0 zu, das y 2 = x erfüllt. Achtung! Auch y erfüllt ( y) 2 = x, aber es ist negativ (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
35 FUNKTIONEN Definition: Funktion f : D Y, x y = f (x), ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Beispiel 3: f (x) = x (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
36 FUNKTIONEN Definition: Funktion f : D Y, x y = f (x), ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Beispiel 3: f (x) = x Problem: Bei x = 1 müsste man durch 0 teilen (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
37 FUNKTIONEN Definition: Funktion f : D Y, x y = f (x), ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Beispiel 3: f (x) = x Problem: Bei x = 1 müsste man durch 0 teilen Maximaler Definitionsbereich: D = {x R x 1} (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
38 FUNKTIONEN Definition: Funktion f : D Y, x y = f (x), ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Beispiel 3: f (x) = x Problem: Bei x = 1 müsste man durch 0 teilen Maximaler Definitionsbereich: D = {x R x 1} Wertebereich z.b. Y = R (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
39 FUNKTIONEN Definition: Funktion f : D Y, x y = f (x), ordnet jedem x D genau ein y = f (x) Y zu. Beispiel 3: f (x) = x Problem: Bei x = 1 müsste man durch 0 teilen Maximaler Definitionsbereich: D = {x R x 1} Wertebereich z.b. Y = R Bild: f (D) = {y R y 0} (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
40 MONOME UND POLYNOME Monom: f (x) = a x n = a x } x {{ x} n mal (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
41 MONOME UND POLYNOME Monom: f (x) = a x n = a x } x {{ x} n mal n N: Grad des Monoms a R: Koeffizient (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
42 MONOME UND POLYNOME Monom: f (x) = a x n = a x } x {{ x} n mal n N: Grad des Monoms a R: Koeffizient Beispiel: f (x) = 2x 3 oder f (x) = 2x 7. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
43 MONOME UND POLYNOME Monom: f (x) = a x n = a x } x {{ x} n mal n N: Grad des Monoms a R: Koeffizient Beispiel: f (x) = 2x 3 oder f (x) = 2x 7. Anmerkung: a x 0 = a wegen x 0 := 1 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
44 MONOME UND POLYNOME Polynom: f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
45 MONOME UND POLYNOME Polynom: f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, n N: Grad des Polynoms a 0,..., a n R: Koeffizienten (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
46 MONOME UND POLYNOME Polynom: f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, n N: Grad des Polynoms a 0,..., a n R: Koeffizienten Beispiel: f (x) = 2x 2 + 3x + 7 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
47 MONOME UND POLYNOME Polynom: f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, n N: Grad des Polynoms a 0,..., a n R: Koeffizienten Beispiel: f (x) = 2x 2 + 3x + 7 Maximaler Definitionsbereich: D = R (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
48 MONOME UND POLYNOME Polynom: f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, Beispiel: n N: Grad des Polynoms a 0,..., a n R: Koeffizienten f (x) = 2x 2 + 3x + 7 Maximaler Definitionsbereich: D = R Hinweis: Polynome lassen sich leicht ableiten/integrieren (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
49 RATIONALE FUNKTIONEN f (x) = p(x) q(x) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
50 RATIONALE FUNKTIONEN f (x) = p(x) q(x) p: Zählerpolynom q: Nennerpolynom (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
51 RATIONALE FUNKTIONEN f (x) = p(x) q(x) Beispiel: p: Zählerpolynom q: Nennerpolynom f (x) = 2x 2 + 3x + 7 x 2 1 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
52 RATIONALE FUNKTIONEN Beispiel: p: Zählerpolynom q: Nennerpolynom f (x) = p(x) q(x) f (x) = 2x 2 + 3x + 7 x 2 1 Maximaler Definitionsbereich: D = R \ {x R q(x ) 0} (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
53 UMKEHRFUNKTION Beispiel: Die Umkehrfunktion zur Parabel ist f (x) = x 2 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
54 UMKEHRFUNKTION Beispiel: Die Umkehrfunktion zur Parabel f (x) = x 2 ist f 1 (y) = y (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
55 UMKEHRFUNKTION Beispiel: Die Umkehrfunktion zur Parabel ist f (x) = x 2 f 1 (y) = y Wendet man auf x 0 zuerst f an, x x 2 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
56 UMKEHRFUNKTION Beispiel: Die Umkehrfunktion zur Parabel ist f (x) = x 2 f 1 (y) = y Wendet man auf x 0 zuerst f an, und anschließend f 1 : so kommt wieder x heraus. x x 2 x 2 x 2 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
57 UMKEHRFUNKTION Beispiel: Die Umkehrfunktion zur Parabel ist f (x) = x 2 f 1 (y) = y Wendet man auf x 0 zuerst f an, und anschließend f 1 : so kommt wieder x heraus. x x 2 x 2 x 2 f 1 macht alles rückgängig, was f gemacht hat Achtung! Man kann f nur umkehren, wenn keine zwei Stellen x 1, x 2 auf dasselbe y abgebildet werden (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
58 UMKEHRFUNKTION f (x) = x 2 Nicht verwechseln: f 1 (y) = y = y 1 2, }{{} Umkehrfunktion aber f (x) 1 = 1 }{{} f (x) = 1 x = x durch die Funktion (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
59 UMKEHRFUNKTION (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
60 UMKEHRFUNKTION Frage: Welche Funktionen lassen sich umkehren? (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
61 UMKEHRFUNKTION Frage: Welche Funktionen lassen sich umkehren? Antwort: f : D Y = f (D) lässt sich auf Y = f (D) umkehren, f 1 : Y D wenn keine zwei x 1 x 2 auf dasselbe y abgebildet werden (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
62 UMKEHRFUNKTION Frage: Welche Funktionen lassen sich umkehren? Antwort: f : D Y = f (D) lässt sich auf Y = f (D) umkehren, f 1 : Y D wenn keine zwei x 1 x 2 auf dasselbe y abgebildet werden Definiton: f : D Y heißt injektiv, wenn f (x 1 ) f (x 2 ) für alle x 1 x 2 D (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
63 UMKEHRFUNKTION VON MONOMEN Auflösen von y = x n, n N, nach x R: (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
64 UMKEHRFUNKTION VON MONOMEN Auflösen von y = x n, n N, nach x R: 1 Exponent n gerade. Dann ist y 0 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
65 UMKEHRFUNKTION VON MONOMEN Auflösen von y = x n, n N, nach x R: 1 Exponent n gerade. Dann ist y 0 (Beispiel: x 2, x 4, x 6 sind immer 0) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
66 UMKEHRFUNKTION VON MONOMEN Auflösen von y = x n, n N, nach x R: 1 Exponent n gerade. Dann ist y 0 (Beispiel: x 2, x 4, x 6 sind immer 0) Umkehrfunktion zu f (x) = x n : f 1 (y) = n y = y 1 n mit nichtnegativem Vorzeichen. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
67 UMKEHRFUNKTION VON MONOMEN Auflösen von y = x n, n N, nach x R: 1 Exponent n gerade. Dann ist y 0 (Beispiel: x 2, x 4, x 6 sind immer 0) Umkehrfunktion zu f (x) = x n : f 1 (y) = n y = y 1 n mit nichtnegativem Vorzeichen. 2 Der Exponent n ist ungerade. Beispiel: x 3 kann für alle y umgekehrt werden ( 27) 1/3 = 3, denn ( 3) 3 = ( 3) ( 3) ( 3) = 27 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
68 UMKEHRFUNKTION VON MONOMEN Auflösen von y = x n, n N, nach x R: 1 Exponent n gerade. Dann ist y 0 (Beispiel: x 2, x 4, x 6 sind immer 0) Umkehrfunktion zu f (x) = x n : f 1 (y) = n y = y 1 n mit nichtnegativem Vorzeichen. 2 Der Exponent n ist ungerade. Beispiel: x 3 kann für alle y umgekehrt werden ( 27) 1/3 = 3, denn ( 3) 3 = ( 3) ( 3) ( 3) = 27 f 1 (y) = n y = y 1 n (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
69 ZUSAMMENFASSUNG Monome der Form f (x) = x n, n 1, haben als maximalen Definitionsbereich D = R (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
70 ZUSAMMENFASSUNG Monome der Form f (x) = x n, n 1, haben als maximalen Definitionsbereich D = R Funktionen der Form f (x) = x q, 0 < q < 1 haben mindestens den Definitionsbereich D = R 0 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
71 ZUSAMMENFASSUNG Monome der Form f (x) = x n, n 1, haben als maximalen Definitionsbereich D = R Funktionen der Form f (x) = x q, 0 < q < 1 haben mindestens den Definitionsbereich D = R 0 Die Umkehrfunktion zu f (x) = x n ist f (y) = y 1 n. Für gerade n positive Werte (und 0) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
72 ZUSAMMENFASSUNG Monome der Form f (x) = x n, n 1, haben als maximalen Definitionsbereich D = R Funktionen der Form f (x) = x q, 0 < q < 1 haben mindestens den Definitionsbereich D = R 0 Die Umkehrfunktion zu f (x) = x n ist f (y) = y 1 n. Für gerade n positive Werte (und 0) Brüche im Exponenten: für x p q := (x p ) 1 q = q x p x 0 falls q 2 gerade, x 0 falls negativer Exponent (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
73 RECHENREGELN 1 x q := 1 x q (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
74 RECHENREGELN 1 x q := 1 x q 2 a b+c = a b a c Beispiel: = = (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
75 RECHENREGELN 1 x q := 1 x q 2 a b+c = a b a c Beispiel: = = (a x ) y = a xy Beispiel: (3 2 ) 3 = 9 3 = = = 3 6 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
76 RECHENREGELN 1 x q := 1 x q 2 a b+c = a b a c Beispiel: = = (a x ) y = a xy Beispiel: (3 2 ) 3 = 9 3 = = = Aber Achtung! 4 = ( 2) 2 = ( 2) = ( 2) 4 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
77 RECHENREGELN 1 x q := 1 x q 2 a b+c = a b a c Beispiel: = = (a x ) y = a xy Beispiel: (3 2 ) 3 = 9 3 = = = Aber Achtung! 4 = ( 2) 2 = ( 2) = ( 2) 4 ist sinnvoll (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
78 RECHENREGELN 1 x q := 1 x q 2 a b+c = a b a c Beispiel: = = (a x ) y = a xy Beispiel: (3 2 ) 3 = 9 3 = = = Aber Achtung! 4 = ( 2) 2 = ( 2) = ( 2) 4 ist sinnvoll 4 = ( 2) 2 = ( 2) = ( 2) 4 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
79 RECHENREGELN 1 x q := 1 x q 2 a b+c = a b a c Beispiel: = = (a x ) y = a xy Beispiel: (3 2 ) 3 = 9 3 = = = Aber Achtung! 4 = ( 2) 2 = ( 2) = ( 2) 4 ist sinnvoll 4 = ( 2) 2 = ( 2) = ( 2) 4 nicht (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
80 RECHENREGELN 1 x q := 1 x q 2 a b+c = a b a c Beispiel: = = (a x ) y = a xy Beispiel: (3 2 ) 3 = 9 3 = = = Aber Achtung! 4 = ( 2) 2 = ( 2) = ( 2) 4 ist sinnvoll 4 = ( 2) 2 = ( 2) = ( 2) 4 nicht stimmt für komplexe Zahlen, C (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
81 POTENZFUNKTION UND LOGARITHMUS Potenzfunktion: Beispiel: f (x) = 10 x f (x) = a x, a > 0 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
82 POTENZFUNKTION UND LOGARITHMUS Potenzfunktion: Beispiel: f (x) = 10 x Umkehrfunktion: d.h. f (x) = a x, a > 0 log a (y) := f 1 (y) y = a x log a (y) = x (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
83 POTENZFUNKTION UND LOGARITHMUS Potenzfunktion: Beispiel: f (x) = 10 x Umkehrfunktion: d.h. f (x) = a x, a > 0 log a (y) := f 1 (y) Definitionsbereich von f 1 : y = a x log a (y) = x D = R >0, f 1 (D) = R (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
84 EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS Zwei wichtige Exemplare: log(x) := log 10 (x), der 10er-Logarithmus, er zählt die Nullen: log 10 (10) = 1, log 10 (1000) = 3, log 10 ( ) = 6,... (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
85 EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS Zwei wichtige Exemplare: log(x) := log 10 (x), der 10er-Logarithmus, er zählt die Nullen: log 10 (10) = 1, log 10 (1000) = 3, log 10 ( ) = 6,... ln(x) := log e (x), der natürliche Logarithmus, und entsprechend die Exponentialfunktion e x (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
86 EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
87 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 1. Regel log a (b c) = log a (b)+ log a (c) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
88 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 1. Regel log a (b c) = log a (b)+ log a (c) Beispiel: und daher 10 9 = (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
89 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 1. Regel log a (b c) = log a (b)+ log a (c) Beispiel: und daher 10 9 = log 10 ( ) = log 10 (10 9 ) = 9 = 4+5 = log 10 (10 4 )+log 10 (10 5 ) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
90 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 1. Regel log a (b c) = log a (b)+ log a (c) Beispiel: und daher 10 9 = log 10 ( ) = log 10 (10 9 ) = 9 = 4+5 = log 10 (10 4 )+log 10 (10 5 ) Herleitung: log a (b) = y und log a (c) = z bedeutet b = a y, c = a z und daher b c = a y a z = a y+z, d.h. log a (bc) = y + z. (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
91 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 2. Regel log a (b x ) = x log a (b) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
92 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 2. Regel log a (b x ) = x log a (b) Beispiel: und daher = 10 8 (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
93 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 2. Regel log a (b x ) = x log a (b) Beispiel: und daher = 10 8 log 10 (100 4 ) = 8 = 4 2 = 4 log 10 (100) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
94 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 2. Regel log a (b x ) = x log a (b) Beispiel: und daher = 10 8 log 10 (100 4 ) = 8 = 4 2 = 4 log 10 (100) Herleitung: log a (b) = y bedeutet b = a y und daher log a (b x ) = log a (a xy ) = xy = x log a (b). (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
95 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 3. Regel Beispiel: log a (y) = log b (y)/ log b (a) log 4 (64) = 3 = 6/2 = log 2 (64)/ log 2 (4) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
96 BAUAKUSTIK Schalldämmmaß eines Fassadenelementes ist mit den Schallintensitäten R = 10 log 10 (I 1 /I 2 )db I 1 : von der Quelle I 2 : am Empfänger (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
97 BAUAKUSTIK Schalldämmmaß eines Fassadenelementes ist mit den Schallintensitäten R = 10 log 10 (I 1 /I 2 )db I 1 : von der Quelle I 2 : am Empfänger Bei einer Fassade aus Wand+Fenster mit dem Maß R W einer Wand (ohne Fenster) und dem Maß R F eines Fensters (ohne Wand) ergibt sich ( R G = R W 10 log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ), A G A F : Fläche des Fenster, A G : Fläche der Fassade (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
98 BAUAKUSTIK Maß R W der Wand, Maß R F des Fensters, Fläche A F (gesamt: A G ) Schalldämmmaß der Fassade aus Wand und Fenster: ( R G = R W 10log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) A G (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
99 BAUAKUSTIK Maß R W der Wand, Maß R F des Fensters, Fläche A F (gesamt: A G ) Schalldämmmaß der Fassade aus Wand und Fenster: ( R G = R W 10log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) A G Aufgabe: Bestimme die Fensterfläche A F für ein Fassadenelement mit vorgegebenen Maßen R W, R F, R G und A G (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
100 BAUAKUSTIK Original Formel: R G = R W 10log 10 ( 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) 1. Schritt: R W abziehen ( R G R W = 10log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) A G (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
101 BAUAKUSTIK Original Formel: R G = R W 10log 10 ( 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) 1. Schritt: R W abziehen ( R G R W = 10log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) A G 2. Schritt: Durch 10 teilen ( (R W R G )/10 = log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) A G (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
102 BAUAKUSTIK Original Formel: R G = R W 10log 10 ( 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) 2. Schritt: Durch 10 teilen ( (R W R G )/10 = log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) A G (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
103 BAUAKUSTIK Original Formel: R G = R W 10log 10 ( 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) 2. Schritt: Durch 10 teilen ( (R W R G )/10 = log A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) A G 3. Schritt: 10 x anwenden 10 (R W R G )/10 = 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
104 BAUAKUSTIK Original Formel: R G = R W 10log 10 ( 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) 3. Schritt: 10 x anwenden 10 (R W R G )/10 = 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
105 BAUAKUSTIK Original Formel: R G = R W 10log 10 ( 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) 3. Schritt: 10 x anwenden 10 (R W R G )/10 = 1 + A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) A G 4. Schritt: 1 abziehen 10 (R W R G )/10 1 = A F ( 10 (R W R F )/10 1 ) A G (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
106 BAUAKUSTIK Original Formel: R G = R W 10log 10 ( 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) 4. Schritt: 1 abziehen 10 (R W R G )/10 1 = A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
107 BAUAKUSTIK Original Formel: R G = R W 10log 10 ( 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) 4. Schritt: 1 abziehen 10 (R W R G )/10 1 = A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) 5. Schritt: Durch ( 10 (R W R F )/10 1 ) teilen ( 0) 10 (R W R G )/ (R W R F )/10 1 = A F A G (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
108 BAUAKUSTIK Original Formel: R G = R W 10log 10 ( 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) 5. Schritt: Durch ( 10 (R W R F )/10 1 ) teilen ( 0) 10 (R W R G )/ (R W R F )/10 1 = A F A G (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
109 BAUAKUSTIK Original Formel: R G = R W 10log 10 ( 1 + A F A G ( 10 (R W R F )/10 1 ) ) 5. Schritt: Durch ( 10 (R W R F )/10 1 ) teilen ( 0) 10 (R W R G )/ (R W R F )/10 1 = A F A G 6. Schritt: Mit A G multiplizieren A G 10 (R W R G )/ (R W R F )/10 1 = A F (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
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